注意事項(xiàng)：
1.答卷前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上，并認(rèn)真核對(duì)條形碼上的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及科目，在規(guī)定位置貼好條形碼.
2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3.考試結(jié)束后，將答題卡交回.
第I卷（選擇題，共60分）
一、單項(xiàng)選擇題：共8小題，每小題5分，共40分，四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 直線的傾斜角是（）
A. 150°B. 120°C. 60°D. 30°
【答案】A
【解析】
【分析】先求得直線的斜率，進(jìn)而求得傾斜角.
【詳解】直線的斜率為，
所以直線的傾斜角為.
故選：A
2. “”是“直線與直線互相垂直”的（）
A. 充分不必要條件B. 充要條件
C. 必要不充分條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合兩直線垂直的性質(zhì)分析判斷.
【詳解】∵直線與直線互相垂直
∴，∴或，
而“”是“或”的充分不必要條件
∴“”是“直線與直線互相垂直”的充分不必要條件，
故選：A.
3. 直線在軸上的截距是（）
A. B. 1C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)截距的概念運(yùn)算求解.
【詳解】令，則，解得
∴直線在軸上的截距是
故選：A.
4. 在中，，，且有，則線段的長(zhǎng)為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】在中，利用余弦定理求得AC，再在中，利用余弦定理求得，然后在中，利用余弦定理求解.
【詳解】解：在中，，，
由余弦定理得，
即，解得，
在中，由余弦定理得，
所以，
，
，
所以，
故選：C
5. 已知正三棱柱的各棱長(zhǎng)都等于2，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由題意，根據(jù)正三棱柱的性質(zhì)，求得對(duì)應(yīng)線段的長(zhǎng)，結(jié)合異面直線夾角的定義以及余弦定理，可得答案.
【詳解】如圖，設(shè)的中點(diǎn)為的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，連接，則可得，
在中，由，則，
在中，由，
由三棱柱中，易知在等邊中，，
在中，，
所以異面直線與所成的角是或它的補(bǔ)角，由余弦定理得，
則異面直線與所成的角的余弦值為.
故選：A.
6. 已知圓：，為圓上位于第一象限的一點(diǎn)，過點(diǎn)M作圓的切線.當(dāng)?shù)臋M縱截距相等時(shí)，的方程為（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由題意可知，直線經(jīng)過一、二、四象限，所以，再依據(jù)直線與圓相切，且在坐標(biāo)軸上的截距相等，即可求得直線方程.
【詳解】由題意可知，直線的斜率存在，所以設(shè)過點(diǎn)的切線方程為，因?yàn)榈臋M縱截距相等，
所以，，又因?yàn)橹本€與圓相切，所以，所以，
所以直線方程為.
故選：D
7. 阿基米德是古希臘著名的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積. 已知橢圓（）的右焦點(diǎn)為，過F作直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，若弦中點(diǎn)坐標(biāo)為，則橢圓的面積為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用作差法構(gòu)建斜率、中點(diǎn)坐標(biāo)相關(guān)方程，再結(jié)合即可求解出a、b，進(jìn)而求出面積.
【詳解】設(shè)，，則有，兩式作差得：，
即，
弦中點(diǎn)坐標(biāo)為，則，
又∵，∴，∴，
又∵，∴可解得，，
故橢圓的面積為.
故選：C
8. 如圖，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)P，Q分別在半圓弧C1C，A1A(均不含端點(diǎn))上，且C1，P，Q，C在球O上，則（）
A. 當(dāng)點(diǎn)Q在弧A1A的三等分點(diǎn)處，球O的表面積為
B. 當(dāng)點(diǎn)P在弧C1C的中點(diǎn)處，過C1，P，Q三點(diǎn)的平面截正四棱柱所得的截面的形狀都是四邊形
C. 球O的表面積的取值范圍為(4π，8π)
D. 當(dāng)點(diǎn)P在弧C1C的中點(diǎn)處，三棱錐C1—PQC的體積為定值
【答案】D
【解析】
【分析】取中點(diǎn)，中點(diǎn)，中點(diǎn)，根據(jù)球的性質(zhì)，容易知道球心O在線段EF上，設(shè)出OE的長(zhǎng)度和∠FGQ，算出FQ的長(zhǎng)度，利用OC1=OQ，即可判斷A,B；
作出過C1，P,Q三點(diǎn)的截面即可判斷C；
利用即可求出體積，進(jìn)而判斷D.
【詳解】如圖1，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，中點(diǎn)，由題意，球心在線段上，設(shè)，在中，由余項(xiàng)定理，設(shè)，
則，∴，
設(shè)外接球半徑為R，∵，∴，
∴，∴，∴球的表面積，C錯(cuò)誤；
當(dāng)點(diǎn)Q在的三等分點(diǎn)處，，則，，∴∴球的表面積，A錯(cuò)誤；
對(duì)B，如圖2，取中點(diǎn)，當(dāng)在上時(shí)，連接AF，在平面ADD1A1上過點(diǎn)Q作AF的平行線，與線段，AD分別交于M,N，延長(zhǎng)C1P與BC交于R，連接RN交AB于S，此時(shí)截面為，B錯(cuò)誤；
對(duì)D,當(dāng)點(diǎn)P位于的中點(diǎn)處，三棱錐的體積為定值，D正確.
故選：D.
【點(diǎn)睛】本題涉及知識(shí)點(diǎn)較多，題目運(yùn)算量大比較復(fù)雜，多面體外接球的球心的確定，一定要取多面體的特殊面，先確定其外心，然后過外心作截面的垂線，設(shè)出球心（垂線上）的位置，進(jìn)而根據(jù)勾股定理求出外接球半徑；如果棱錐的體積不好求得，我們可以用等底等高的棱錐進(jìn)行轉(zhuǎn)化.
二、多項(xiàng)選擇題：共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，至少兩項(xiàng)是符合題目要求的.
9. 若直線過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上截距的絕對(duì)值相等，則直線的方程可能為（）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】將點(diǎn)坐標(biāo)代入各方程判斷是否在直線上，再求直線在x、y軸上的截距，即可得答案.
【詳解】A：顯然在上，且在x、y軸上的截距均為1，符合；
B：顯然在上，且在x、y軸上的截距均為3，符合；
C：顯然在上，且在x、y軸上的截距均為0，符合；
D：不在上，不符合.
故選：ABC
10. 若直線與直線垂直，則a=（）
A. 0B. C. 2D. 1
【答案】AB
【解析】
【分析】根據(jù)直線垂直列出方程，化簡(jiǎn)求得的值.
【詳解】由于直線與直線垂直，
所以，
解得或.
故選：AB.
11. 已知橢圓，，是橢圓的左右焦點(diǎn)，P為橢圓上任意一點(diǎn).下列說法中正確的是（）
A. 橢圓離心率為B. 的最大值為3
C. D.
【答案】ABCD
【解析】
【分析】根據(jù)橢圓的定義、有關(guān)概念和幾何性質(zhì)依次判斷選項(xiàng)即可.
【詳解】A：由知，則，所以，故A正確；
B：當(dāng)點(diǎn)為橢圓的右頂點(diǎn)時(shí)，最大，且最大值為，故B正確；
C：當(dāng)點(diǎn)為橢圓左、右頂點(diǎn)時(shí)，最小，且最小值為0，
當(dāng)點(diǎn)為橢圓的上、下頂點(diǎn)時(shí)，最大，此時(shí)，
為等邊三角形，，所以，故C正確；
D：由橢圓的定義知，，故D正確.
故選：ABCD.
12. 如圖，已知二面角的棱上有不同兩點(diǎn)和，若，，，，則（）
A. 直線和直線為異面直線
B. 若，則四面體體積的最大值為2
C. 若，，，，，，則二面角的大小為
D. 若二面角的大小為，，，，則過、、、四點(diǎn)的球的表面積為
【答案】ACD
【解析】
【分析】由異面直線的定義可判斷A；面且，此時(shí)四面體體積的最大值，求出即可判斷B；在平面內(nèi)過A作BD的平行線AE，且使得，連接，四邊形是一個(gè)矩形，是二面角的一個(gè)平面角，由余弦定理求出即可判斷C；取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，易知是二面角的一個(gè)平面角，則，
過作平面的垂線和平面的垂線，交于點(diǎn)，即為外接球球心，求出
，即可求出，可判斷D.
【詳解】對(duì)于A，由異面直線的定義知A正確；
對(duì)于B，要求四面體體積的最大值，則面且，
此時(shí)四面體體積的最大值：
,故B不正確；
對(duì)于C，在平面內(nèi)過A作BD的平行線AE，且使得，連接，
四邊形是一個(gè)矩形，是二面角的一個(gè)平面角，且面AEC，
所以面AEC，從而.
在中，由余弦定理可知：
所以.故C正確；
對(duì)于D，因?yàn)槎娼堑拇笮椋?，?br>如下圖，所以平面與平面所成角的大小為，，
取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，為△△的外心，
取的中點(diǎn)，連接，則
所以是二面角的一個(gè)平面角，則，
過作平面的垂線和過作平面的垂線，交于點(diǎn)，即為外接球球心，
所以面，面，連接，，
所以易證得：與全等，所以，
所以在直角三角形，，
，則過、、、四點(diǎn)的球的表面積為.故D正確.
故選：ACD
第Ⅱ卷（共90分）
三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）
13. 已知直線l經(jīng)過點(diǎn)P（0，1）且一個(gè)方向向量為（2，1），則直線l的方程為______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)方向向量可得直線的斜率，進(jìn)而根據(jù)點(diǎn)斜式求解方程即可.
【詳解】因?yàn)橹本€l的一個(gè)方向向量為（2，1），所以其斜率為，所以直線l的方程為，即．
故答案為：
14. 已知的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，則_________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)正弦定理，可直接求得答案.
【詳解】由題意在中，，
所以，
因?yàn)椋?
故答案：
15. 四棱錐P-ABCD的各個(gè)頂點(diǎn)都在球心為O的球面上，且PA⊥面ABCD，底面ABCD為矩形，PA=AB=2，AD=3，則球O的體積為___________.
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)線面垂直得到兩兩垂直，故四棱錐P-ABCD的外接球可以補(bǔ)形為長(zhǎng)方體的外接球，求出外接球半徑，進(jìn)而求出外接球的體積.
【詳解】因?yàn)镻A⊥面ABCD，平面ABCD，
所以，，
又因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形，
所以兩兩垂直，
故四棱錐P-ABCD的外接球可以補(bǔ)形為長(zhǎng)方體的外接球，如圖所示，
故外接球O的直徑為，半徑為，
球O的體積為
故答案為：
16. 已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，圓：， 圓：．分別為圓和圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為_______．
【答案】
【解析】
【分析】如圖所示，以為直徑作圓，延長(zhǎng)交新圓于點(diǎn)，交新圓于點(diǎn)，首先證得，將題意轉(zhuǎn)化為求圓內(nèi)接三角形面積的最大值，將基本不等式和琴生不等式相結(jié)合即可得結(jié)果.
【詳解】如圖所示，以為直徑作圓，延長(zhǎng)交新圓于點(diǎn)，交新圓于點(diǎn)，
連接，，則與垂直，
又，所以為中點(diǎn)，
由對(duì)稱性可知，
∵，
所以，
因此當(dāng)最大值時(shí)，最大，
故題意轉(zhuǎn)化為在半徑為1的圓內(nèi)求其內(nèi)接三角形的面積最大值，
圓內(nèi)接三角形的面積，由正弦定理得，，
∴
由于，時(shí)為上凸函數(shù)，
可得
即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
進(jìn)而可得的最大值為，故答案為
【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓內(nèi)接三角形面積最大值的求法，考查了解析幾何中的對(duì)稱思想以及等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，用不等式求最值是難點(diǎn)，屬于難題.
四、解答題（本大題共6個(gè)小題，共70分，其中17題10分，其余每題12分）各題解答必須答在答題卷上相應(yīng)題目指定的方框內(nèi)（必須寫出必要的文字說明、演算步驟或推理過程）.
17. 已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，求：
（1）AC邊所在直線的方程
（2）BC邊上中線所在直線方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)直線方程的截距式方程列式，化簡(jiǎn)即得AC邊所在直線的方程；
（2）由線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式，算出BC中點(diǎn)D的坐標(biāo)，從而得到直線AD的斜率k，再由直線方程的點(diǎn)斜式列式，化簡(jiǎn)即得BC邊上中線所在直線的方程．
【小問1詳解】
，
∴直線AC的截距式方程為，化簡(jiǎn)得
即AC邊所在直線的方程為：；
【小問2詳解】
∴BC中點(diǎn)為D（，），
直線AD的斜率為k
因此，直線AD的方程為y（x+5），
化簡(jiǎn)得，即為BC邊上中線所在直線的方程．
18. △ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且△ABC的外接圓半徑R滿足.
（1）求角C；
（2）若，求△ABC周長(zhǎng)取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化，再結(jié)合三角恒等變換化簡(jiǎn)整理求解；（2）利用正弦定理進(jìn)行邊化角，再結(jié)合三角恒等變換化簡(jiǎn)整理可得，再以為整體結(jié)合三角函數(shù)求范圍.
【小問1詳解】
由正弦定理，可得，
∴，
所以，則，
因?yàn)椋?
【小問2詳解】
∵，，由正弦定理得，
∴，，
∴△ABC周長(zhǎng)：，
由，得，∴，
∴a＋b＋c的取值范圍，即△ABC周長(zhǎng)的取值范圍是.
19. 如圖，三棱柱的底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，平面，，是的中點(diǎn).
（1）證明：平面；
（2）求異面直線與所成角的余弦值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）作出輔助線，得到線線平行，從而得到線面平行；
（2）作出輔助線，找到異面直線與所成角，利用余弦定理求出余弦值.
【小問1詳解】
證明：連接，交的于，連接，
則為的中點(diǎn)，
因?yàn)榉謩e是，的中點(diǎn)，
，
平面，平面，
平面；
【小問2詳解】
由（1）得：，
（或其補(bǔ)角）就是異面直線與所成的角，
∵三棱柱的底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，，
∴，，，
∴
由余弦定理得：，
故異面直線與所成角的余弦值為.
20. 已知圓M：，Q是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，、分別與圓相切于兩點(diǎn).
（1）若，求切線方程；
（2）求四邊形面積的最小值；
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）設(shè)切線方程，根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑列方程求解即可；
（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)求出面積，再分析面積的最小值即可.
【小問1詳解】
由題意，過點(diǎn)且與軸垂直的直線顯然與圓相切，此時(shí)，切線方程為，
當(dāng)過點(diǎn)的直線不與軸垂直時(shí)，設(shè)其方程為，即，由解得，此時(shí)切線方程為.
【小問2詳解】
連接，因?yàn)閳A的方程為，所以，，設(shè)，所以，根據(jù)勾股定理得，所以，所以當(dāng)時(shí)，四邊形的面積最小，.
21. 如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，.
（1）為上一點(diǎn)，且，當(dāng)平面時(shí)，求實(shí)數(shù)的值；
（2）當(dāng)平面與平面所成的銳二面角的大小為時(shí)，求與平面所成角的正弦值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）找到平面與平面的交線，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理知，由已知條件，結(jié)合三角形相似，可推得的值；
（2）首先找到平面與平面的交線，根據(jù)二面角平面角的定義，再找到其平面角，計(jì)算出的值，進(jìn)一步由線面角的定義，
尋找平面，找到線面角，計(jì)算得答案.
【小問1詳解】
如圖，連接交于點(diǎn)N，連接，
∵平面，平面，
平面平面，∴，
在梯形中，∵，
∴，∴，
∵，∴，∴
【小問2詳解】
取的中點(diǎn)，連接，，
∵為的中點(diǎn)，且，，
∴且，∴四邊形為平行四邊形，
∴，∵，∴，
∴，又，∴為等邊三角形，
又，∴為等邊三角形，
∴
∵，平面，平面，
∴平面，
∵平面，∴，
過點(diǎn)作，由，
則，∴平面，平面，
即平面平面，
∴，，
∴為平面與平面所成的銳二面角，
∴.
又由，
∴，∴，
作交的延長(zhǎng)線于，連接，
∵，∵平面，平面，
∴，
∵，平面，平面，
∴平面，
∴為與平面所成的角，
在中，，
∵，
∴，
，
∴，
因此，與平面所成角的正弦值為.
22. 已知橢圓的離心率為，短軸長(zhǎng)為4．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若過點(diǎn)的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，求的取值范圍．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)離心率及短軸長(zhǎng)及求出，，求出橢圓方程；
（2）先考慮直線AB的斜率不存在時(shí)的值，再考慮直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立后得到兩根之和，兩根之積，從而求出，從而求出的取值范圍.
【小問1詳解】
，，
∴，
又，即，
解得：，，
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
【小問2詳解】
當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，，
不妨設(shè)，則
當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)，
由，
恒成立，
故，
∴
，
綜上：，
故的取值范圍為．

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