本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.第I卷第1頁至第2頁，第Ⅱ卷第3頁至第4頁.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回.滿分150分，考試用時120分鐘.
第I卷（選擇題，共60分）
注意事項：
1.答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號、座位號在答題卡上填寫清楚.
2.每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.在試題卷上作答無效.
一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1. 已知集合，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解一元二次不等式化簡集合A，再利用交集的定義求解即得.
【詳解】由不等式，得，解得，
因此，而，
所以.
故選：C
2. 復(fù)數(shù)的虛部是實部的2倍，則實數(shù)（ ）
A. 1B. 3C. 5D. 7
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法化簡復(fù)數(shù)，再根據(jù)虛部與實部的關(guān)系得到方程，解得即可.
【詳解】因為，
又的虛部是實部的倍，，解得.
故選：D.
3. 已知橢圓的焦點在軸上，若焦距為4，則該橢圓的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)橢圓的焦點在軸上，焦距為4，結(jié)合a,b,c之間的關(guān)系以及離心率公式可得答案.
【詳解】由題得，即，
由焦距為4得，解得，
可得橢圓方程為，所以，，
所以離心率為.
故選：B.
4. 經(jīng)過點，并且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線有（ ）條.
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】討論直線在兩坐標(biāo)軸上的截距是否為0，結(jié)合直線的截距式方程求解，即可得答案.
【詳解】若直線經(jīng)過原點，則，在坐標(biāo)軸上的截距均為0，符合題意，
若截距均不為0，則設(shè)直線方程為，將代入得，
此時直線方程為，符合題意；
即經(jīng)過點，并且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線有2條
故選：C.
:
5. “”是“直線與圓相交”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】先求出直線與圓相交的充要條件，結(jié)合四種條件的定義可得答案.
【詳解】直線與圓相交，
顯然，推不出，而可推出，故是必要不充分條件.
故選：B.
6. 已知空間三點，，，若，且，則點的坐標(biāo)為（ ）
A. B.
C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè)點坐標(biāo)，由可解出坐標(biāo)，再用空間向量模長公式即可.
【詳解】設(shè)，則，，
因為，所以，，，
所以，又，
解得或，所以或，
故選:C
7. 已知函數(shù)在時有最大值，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根據(jù)最值可得，結(jié)合單調(diào)性可得答案.
【詳解】在時取得最大值，即，可得，
所以，
因為要求的最大值，所以這里可只考慮的情況，
又因為在上單調(diào)遞增，所以，解得，
當(dāng)時，，所以的最大值為，
故選：C.
8. 如圖，某同學(xué)用兩根木條釘成十字架，制成一個橢圓儀.木條中間挖一道槽，在另一活動木條的P處鉆一個小孔，可以容納筆尖，A，B各在一條槽內(nèi)移動，可以放松移動以保證與的長度不變，當(dāng)A，B各在一條槽內(nèi)移動時，P處筆尖就畫出一個橢圓E.已知，且P在右頂點時，B恰好在點，則E的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】設(shè)，，根據(jù)已知結(jié)合圖形，得出，然后求出，即可得出答案.
【詳解】由題意知與的長度不變，
已知，設(shè)，，則，
當(dāng)A滑動到O位置處時，P點在上頂點或下頂點，則短半軸長；
又由已知可得，當(dāng)P在右頂點時，B恰好在O點，則長半軸長.
所以，
故離心率為.
故選：D.
二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項是符合題目要求的.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）
9. 某機(jī)床生產(chǎn)一種零件，在8天中每天生產(chǎn)的次品數(shù)分別為，關(guān)于該組數(shù)據(jù)，下列說法正確的是（ ）
A. 中位數(shù)為3B. 極差為6
C. 第40百分位數(shù)為4D. 方差為4.75
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)中位數(shù)、極差、百分位數(shù)、方差的概念及求解方法可得答案.
【詳解】將這組數(shù)據(jù)從小到大排列為，所以中位數(shù)為，故A錯誤；
極差為，故B正確；
因為數(shù)據(jù)共有8個，所以，所以第40百分位數(shù)是4，故C正確；
設(shè)平均數(shù)為，方差為，則，
，故D正確，
故選：BCD.
10. 下列說法正確的是（ ）
A. 直線的傾斜角的取值范圍是
B. 點關(guān)于直線的對稱點為
C. 過點，且在兩坐標(biāo)軸上截距互為相反數(shù)的直線的方程為
D. 直線的方向向量為，則該直線的傾斜角為
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)直線斜率與傾斜角的關(guān)系、關(guān)于直線對稱的性質(zhì)、方向向量的定義逐一判斷即可.
【詳解】對A：直線的傾斜角為，則，
因為，所以，故A正確；
對B：點和的中點在直線上，且連線的斜率為，
可得與直線垂直，所以點關(guān)于直線的對稱點為，故B正確；
對C：設(shè)直線與軸交點為，則與軸交點為，
當(dāng)時，直線過原點，斜率為，故方程為；
當(dāng)時，直線的斜率，故直線方程為，
即，故C錯誤；
對D：設(shè)直線的傾斜角為，則，
又因，故，故D正確，
故選：ABD.
11. 已知，兩直線且，則下列說法正確的是（ ）
A. B. C. 的最小值為D. 的最小值為9
【答案】AC
【解析】
【分析】由題意利用兩條直線垂直的性質(zhì)，求得，再利用乘“1”法及基本不等式計算可得．
【詳解】解：，，兩直線，，且，
，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號，
故選：AC．
12. 已知為坐標(biāo)原點，橢圓：的左、右焦點分別為、，橢圓的上頂點和右頂點分別為A、B，點P、Q都在上，且，則下列說法正確的是（ ）
A. 周長的最小值為14
B. 四邊形可能是矩形
C. 直線，的斜率之積為定值
D. 的面積最大值為
【答案】ACD
【解析】
【分析】對四個選項一一判斷：對于A：利用橢圓的對稱性，判斷出PQ為橢圓的短軸時， 周長最小.即可判斷；對于B：判斷出，從而四邊形不可能是矩形.即可判斷；對于C：設(shè)，直接計算出.即可判斷；對于D.由的面積為.即可判斷.
【詳解】由，可知P，Q關(guān)于原點對稱.
對于A.根據(jù)橢圓的對稱性，，當(dāng)PQ為橢圓的短軸時，有最小值6，所以周長的最小值為14.故A正確；
對于B.因為，所以，
則，故橢圓上不存在點，使得，
又四邊形是平行四邊形，所以四邊形不可能是矩形.故B不正確.
對于C.由題意得，設(shè)，則，
所以.故C正確；
對于D.設(shè)的面積為，所以當(dāng)PQ為橢圓的短軸時，最大，所以.故D正確.
故選：ACD.
第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）
注意事項：
第Ⅱ卷用黑色碳素筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，在試題卷上作答無效.
三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）
13. 已知函數(shù)是奇函數(shù)，則__________.
【答案】1
【解析】
【分析】利用奇函數(shù)的定義可求答案.
【詳解】因為，故，
因為為奇函數(shù)，故，，整理得到，解得.
故答案為：1
14. 若直線過點且與平行，則直線的一般方程為__________.
【答案】
【解析】
【分析】依題知斜率和點，寫出點斜式方程，最后化為一般方程.
【詳解】因為直線的斜率是：，且直線與平行，直線的斜率也為，故直線的方程是：，整理得.
故答案為：
15. 已知橢圓：，過點的直線與橢圓相交于A，B兩點，且弦AB被點P平分，則直
線AB的方程為______．
【答案】
【解析】
【分析】已知相交弦的中點，用點差法求出斜率，即可求解.
【詳解】在橢圓內(nèi)，過點的直線與橢圓必
相交于A，B兩點，設(shè)，
且弦AB被點P平分，故直線AB的斜率存在，
兩式相減得，
，
直線AB的方程為.
故答案為:
【點睛】本題考查相交弦的中點問題，利用點差法得到中點坐標(biāo)與相交弦的斜率關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.
16. 點在曲線上，則取值范圍為__________．
【答案】
【解析】
【分析】由題意，問題轉(zhuǎn)化為半圓上的點到定直線的距離的5倍，進(jìn)而求出結(jié)果.
【詳解】如圖，曲線為圓的上半圓，圓心，半徑為2，,
表示點到直線距離的5倍．
由點到直線的距離公式得，，
所以直線與圓相離，
最大值為
最小值為
則的取值范圍為．
故答案為：.
四、解答題（共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
17. 在中，設(shè)所對的邊分別為，且滿足.
（1）求角；
（2）若，求的面積.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由余弦定理化簡已知式即可得出答案；
（2）由余弦定理求出的值，再由三角形的面積公式即可得出答案.
【小問1詳解】
因為，
由余弦定理得，
即
所以.又，
所以.
【小問2詳解】
由余弦定理得：，則，
，解得，
所以
18. 某市在創(chuàng)建國家級衛(wèi)生城（簡稱“創(chuàng)衛(wèi)”）的過程中，相關(guān)部門需了解市民對“創(chuàng)衛(wèi)”工作的滿意程度，若市民滿意指數(shù)（滿意指數(shù)）不低于0.8，“創(chuàng)衛(wèi)”工作按原方案繼續(xù)實施，否則需進(jìn)一步整改.為此該部門隨機(jī)調(diào)查了100名市民，根據(jù)這100名市民對“創(chuàng)衛(wèi)”工作滿意程度給出的評分，分成六組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）求直方圖中的值；
（2）為了解部分市民給“創(chuàng)衛(wèi)”工作評分較低的原因，該部門從評分低于70分的市民中用分層抽樣的方法隨機(jī)選取8人進(jìn)行座談，求應(yīng)選取評分在的市民人數(shù)；
（3）假設(shè)同組中的每個數(shù)據(jù)用該組的中點值代替，根據(jù)你所學(xué)的統(tǒng)計知識，判斷該市“創(chuàng)衛(wèi)”工作是否需要進(jìn)一步整改，并說明理由.
【答案】（1）
（2）3人 （3）需要進(jìn)一步整改，理由見解析
【解析】
【分析】（1）由頻率分布直方圖中所有小長方形的面積和為1可求得答案；
（2）由頻率分布直方圖求出評分在、、的市民人數(shù)可得答案；
（3）由頻率分布直方圖求出平均分后比較可得答案．
【小問1詳解】
依題意得：，得；
【小問2詳解】
由頻率分布直方圖知，評分在的市民人數(shù)為；
評分在的市民人數(shù)為；
評分在的市民人數(shù)，
故應(yīng)選取評分在的市民人數(shù)為；
小問3詳解】
由頻率分布直方圖可得滿意程度平均分為
，
則滿意指數(shù)，故該市“創(chuàng)衛(wèi)”工作需要進(jìn)一步整改.
19. 已知圓C過點，圓心C在直線上，且圓C與x軸相切．
（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點的直線l與圓C相交于A、B兩點，若為直角三角形，求直線l的方程．
【答案】（1）
（2）或．
【解析】
【分析】(1)待定系數(shù)法求圓的方程即可；
(2) 設(shè)，根據(jù)題意得到弦長，再結(jié)合垂徑定理和點線距離公式可求的值，從而得到直線l的方程．
【小問1詳解】
由題意，設(shè)圓心，由于圓C與x軸相切．半徑，
所以設(shè)圓C方程為
又圓C過點，
解得
圓C方程為．
【小問2詳解】
由圓C方程易知直線l的斜率存在，故設(shè)，即
，設(shè)C到l的距離為d，
則，
為直角三角形，，，
或，
故直線l得方程為或．
20. 與學(xué)生安全有關(guān)的問題越來越受到社會的關(guān)注和重視，為了普及學(xué)生安全教育，某社區(qū)舉辦學(xué)生安全知識競賽活動，某場比賽中，甲、乙、丙三個家庭同時回答一道有關(guān)學(xué)生安全知識的問題.已知甲家庭回答正確這道題的概率是，甲、丙兩個家庭都回答錯誤的概率是．乙、丙兩個家庭都回答正確的概率是，各家庭是否回答正確互不影響，
（1）求乙、丙兩個家庭各自回答正確這道題的概率：
（2）求甲、乙、丙三個家庭中不少于2個家庭回答正確這道題的概率
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)獨(dú)立事件的乘法公式即可得到方程，解出即可；
（2）利用獨(dú)立事件的乘法公式和互斥事件的加法公式即可得到答案.
【小問1詳解】
記“甲家庭回答正確這道題”“乙家庭回答正確這道題”“丙家庭回答正確這道題”分別為事件A，B，C，
則，，，
即，，
所以，，
所以乙、丙兩個家庭各自回答正確這道題的概率分別為，．
【小問2詳解】
有3個家庭回答正確的概率為
，
有2個家庭回答正確的概率為
，
所以不少于2個家庭回答正確這道題的概率．
21. 如圖甲，在直角梯形中，是的中點，是與的交點.將沿折起到.的位置，如圖乙.

（1）證明：平面.；
（2）若二面角為直二面角，求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）.
【解析】
【分析】（1）由線面垂直的判定定理證明即可；
（2）以為原點，分別以所在直線為軸?軸?軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面的法向量和直線的方向向量，由線面角的向量公式求解即可得出答案.
【小問1詳解】
證明：在圖甲中，因為是的中點，，
故四邊形為正方形，所以，
即在圖乙中，，
又平面，
所以平面.
又，所以四邊形是平行四邊形，
所以，所以平面
【小問2詳解】
解：由已知，平面平面，
又由（1）知，，
所以為二面角的平面角，
所以，
如圖所示，以為原點，分別以所在直線為軸?軸?軸建立空間直角坐標(biāo)系，

，
設(shè)平面的一個法向量為，
因為，
令，
故平面的一個法向量為，
又，
設(shè)直線與平面所成角的平面角為，
從而，
故直線與平面所成角的正弦值為.
22. 已知橢圓：（）上任意一點到兩個焦點的距離之和為，且離心率為．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點作直線交橢圓于，兩點，點為線段的中點，求直線的方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知條件和橢圓定義求出，再由離心率求出，根據(jù)求出，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）使用點差法進(jìn)行求解即可.
【小問1詳解】
由橢圓的定義知，，∴，
又∵橢圓的離心率，∴，
∴，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
【小問2詳解】
∵為橢圓內(nèi)一點，∴直線與橢圓必交于，兩點，
設(shè)，，當(dāng)時，不合題意，故，
∵為線段的中點，∴，∴，
又∵，均在橢圓上，∴，
兩式相減，得，即，
∴，∴，即，
∴直線的方程為，即．

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