2021-2022學年云南省昆明市第一中學高二下學期期中考試數(shù)學試題一、單選題1．設集合，集合滿足，則滿足條件的集合的個數(shù)為（       ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】列出滿足的集合全部情況即可.【詳解】因為集合，，則，所以集合可能的情況有，，，，共有4個.故選：D【點睛】本題主要考查集合的并集運算，屬于簡單題.2．已知數(shù)列的前項和為，且，，則為（       ）A．1024 B．2096 C．1023 D．2095【答案】C【分析】先由定義判斷數(shù)列是等比數(shù)列，求出首項，再按照求和公式求即可.【詳解】由可得，又，故數(shù)列為公比為2的等比數(shù)列，則，解得，故.故選：C.3．函數(shù)的圖象大致為（       ）A． B．C． D．【答案】A【解析】先根據(jù)函數(shù)的奇偶性排除部分選項，再由時判斷.【詳解】因為，所以為奇函數(shù)，排除C，D；又因為時，排除B，故選：A.4．已知向量與的夾角為120°，||＝3，|＋|＝，則等于（       ）A．5 B．4 C．3 D．1【答案】B【分析】將|＋|＝兩邊平方，得到關(guān)于的一元二次方程，解方程即可.【詳解】∵向量與的夾角為120°，||＝3，|＋|＝，∴,∵，∴，∴＝﹣1（舍去）或＝4，故選：B．【點睛】本題考查向量數(shù)量積的運算，考查向量的模的計算，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.5．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】求導，，由即可得解.【詳解】函數(shù)的定義域是，，令，解得，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，選：D.【點睛】本題考查了利用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)性，考查了導數(shù)的基本能應用，屬于基礎(chǔ)題.6．已知函數(shù)(ω>0)，若f(x)在上恰有兩個零點，則ω的取值范圍是（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】當時，，所以所包含的兩個零點為，則當時，，求解可得的范圍.【詳解】解：因為，且ω>0，所以，又f(x)在上恰有兩個零點，所以且，解之得.故選：A.【點睛】思路點睛：已知的范圍，已知零點個數(shù)，則只需保證終點介于第二個零點和第三個零點之間即可.7．設是同一個半徑為4的球的球面上四點，為等邊三角形且其面積為，則三棱錐體積的最大值為（    ）A． B． C． D．【答案】B【詳解】分析：作圖，D為MO 與球的交點，點M為三角形ABC的中心，判斷出當平面時，三棱錐體積最大，然后進行計算可得．詳解：如圖所示，點M為三角形ABC的中心，E為AC中點，當平面時，三棱錐體積最大此時，,點M為三角形ABC的中心中，有故選B.點睛：本題主要考查三棱錐的外接球，考查了勾股定理，三角形的面積公式和三棱錐的體積公式，判斷出當平面時，三棱錐體積最大很關(guān)鍵，由M為三角形ABC的重心，計算得到，再由勾股定理得到OM，進而得到結(jié)果，屬于較難題型．8．記函數(shù)的定義域為，函數(shù)，若不等式對恒成立，則的取值范圍為（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)函數(shù)解析式，先求出；令，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，判定是奇函數(shù)；根據(jù)導數(shù)的方法判定是增函數(shù)；化所求不等式為，進而可求出結(jié)果.【詳解】由解得，即，令，則，則是R上的奇函數(shù)；又顯然恒成立，所以是增函數(shù)；由得，即，即，由是R上的奇函數(shù)且為增的函數(shù)，所以得：.所以，當時，.所以.故選：A.【點睛】本題主要考查由不等式恒成立求參數(shù)的問題，考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合，考查導數(shù)的方法判定函數(shù)單調(diào)性，屬于常考題型. 二、多選題9．已知i為虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是（       ）A．復數(shù)的虛數(shù)部為 B．復數(shù)的共軛復數(shù)C．復數(shù)在復平面對應的點位于第二象限 D．復數(shù)z滿足，則【答案】ABD【分析】根據(jù)復數(shù)除法運算化簡求出可判斷AB；根據(jù)復數(shù)幾何意義可判斷C；根據(jù)復數(shù)的定義可判斷D.【詳解】對于A，，其虛部為，故A正確：對于B，，故，故B正確；對于C，，在復平面內(nèi)對應點的坐標為，位于第四象限，故C不正確；對于D，設，則，又，得，所以，故D正確.故選：ABD.10．已知向量＝（1，－3），＝（2，－1），＝（m＋1，m－2），若點A，B，C能構(gòu)成三角形，則實數(shù)m可以是（　?。?/span>A．－2 B． C．1 D．－1【答案】ABD【分析】先求與，使之共線并求出的值，則A，B，C三點不共線即可構(gòu)成三角形，因此取共線之外的值即可．【詳解】因為，．假設A，B，C三點共線，則1×（m＋1）－2m＝0，即m＝1．所以只要m≠1，則A，B，C三點即可構(gòu)成三角形.故選：ABD．11．已知函數(shù)則下列判斷正確的是（       ）A．關(guān)于直線對稱 B．關(guān)于直線對稱C．關(guān)于點對稱 D．關(guān)于點對稱【答案】AC【解析】根據(jù)兩角差的正弦公式將函數(shù)解析式化為，然后采用代入檢驗法可得答案.【詳解】解：，則，即函數(shù)關(guān)于直線對稱，故A正確，D錯誤；，則函數(shù)不關(guān)于直線對稱，故B錯誤；，即關(guān)于對稱，故C正確.故選：AC.【點睛】本題考查了兩角差的正弦公式，考查了正弦函數(shù)的對稱軸和對稱中心，屬于較易題.12．下列四個命題中，是真命題的是（       ）A．，且B．，使得C．若，，則D．當時，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是【答案】BCD【分析】選項A：根據(jù)基本不等式可知x＜0時不成立；選項B：驗證時成立即可；選項C：要證，只需證，即證，利用基本不等式即可證明；選項D：通過分離參數(shù)可得m＜－，時成立，所以只需求函數(shù)，x∈(1,2)的最小值即可.【詳解】對于A：，且對x＜0時不成立；對于B：當x＝1時，x2＋1＝2，2x＝2，x2＋1≤2x成立，正確；對于C：若x＞0，y＞0，則(x2＋y2)(x＋y)2≥2xy·4xy＝8x2y2，即，當且僅當x＝y＞0時取等號，正確；對于D：當x∈(1,2)時，若不等式x2＋mx＋4＜0恒成立，即m＜－在x∈(1,2)時恒成立，令，x∈(1,2)，根據(jù)對勾函數(shù)可知函數(shù)f(x)在(1,2)上單調(diào)遞增．所以f(x)＞f(1)＝－5.所以m≤－5，因此實數(shù)m的取值范圍是(－∞，－5]，正確．故選：BCD. 三、填空題13．的展開式中含項的系數(shù)為___________.【答案】【分析】直接由二項展開式求出含的項，即可求得含項的系數(shù).【詳解】由可得含項為，故含項的系數(shù)為.故答案為：.14．函數(shù)的最大值是____________.【答案】【分析】先利用倍角公式和誘導公式化簡得到，再結(jié)合求出最大值即可.【詳解】，又可得，故，故的最大值是.故答案為：.15．在抗擊新冠肺炎的疫情中，某醫(yī)院從3位女醫(yī)生，5位男醫(yī)生中選出4人參加援鄂醫(yī)療隊，至少有一位女醫(yī)生入選，其中女醫(yī)生甲和男醫(yī)生乙不能同時參加，則不同的選法共有種______（用數(shù)字填寫答案）.【答案】50【解析】以女醫(yī)生的人數(shù)進行分類.有1位女醫(yī)生時，有3位男醫(yī)生，又分為兩種情況：有女醫(yī)生甲和不含女醫(yī)生甲；有2位女醫(yī)生時，有2位男醫(yī)生，又分為兩種情況：有女醫(yī)生甲和不含女醫(yī)生甲；有3位女醫(yī)生時，有1位男醫(yī)生.根據(jù)分類計數(shù)原理可得不同的選法種數(shù).【詳解】以女醫(yī)生的人數(shù)進行分類. 有1位女醫(yī)生時，有3位男醫(yī)生，有種選法；有2位女醫(yī)生時，有2位男醫(yī)生，有種選法；有3位女醫(yī)生時，有1位男醫(yī)生，有種選法.根據(jù)分類計數(shù)原理可得，共有種選法.故答案為：50.【點睛】本題考查分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理，屬于基礎(chǔ)題.16．已知，分別為雙曲線的左、右焦點，以為圓心，為半徑的圓交雙曲線的右支于，兩點，若，則雙曲線的離心率為_________.【答案】.【分析】根據(jù)已知條件可知，那么，然后進一步求出，根據(jù)雙曲線的定義可知，求出離心率.【詳解】設與軸交于點，則，所以，所以，所以，所以，所以雙曲線的離心率.【點睛】本題考查雙曲線離心率的求法，本題的重點是利用半徑等于，根據(jù)平面幾何的性質(zhì)將和都表示成與有關(guān)的量，然后根據(jù)雙曲線的定義求解.在圓錐曲線中求離心率的方法：（1）直接法，易求的比值；（2）構(gòu)造法，根據(jù)條件構(gòu)造成關(guān)于的齊次方程；（3）幾何法，利用橢圓和其他平面圖形的一些幾何性質(zhì)，找到等量關(guān)系，求離心率. 四、解答題17．在① ,,② ,, ③ , 這三個條件中任選一個，補充在下面問題中并作答.已知等差數(shù)列的前項和為且_________.（填寫序號）（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，求證數(shù)列的前項和 注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）選條件①，利用等差數(shù)列的通項公式即可求解；選條件②，利用等差數(shù)列的前項和公式以及等差數(shù)列的通項公式即可求解；選條件③，利用等差數(shù)列的通項公式即可求解.（2）利用裂項求和法即可求解.【詳解】（1）方案一：選條件①.設等差數(shù)列的公差為.因為，，所以,解得所以.   方案二：選條件②.設等差數(shù)列的公差為.因為，，所以,解得所以.   方案三：選條件③.設等差數(shù)列的公差為，所以.因為，，所以，，所以，所以.   （2）由（1）知，所以=＜．18．在中，已知a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且滿足.(1)求的大?。?/span>(2)若的面積為，其外接圓半徑，求的周長.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，利用正弦定理和兩角和的正弦公式，化簡得到，求得，即可求得的大?。?/span>又由，所以.（2）由（1）知和三角形的面積公式，求得，利用正弦定理求得，結(jié)合余弦定理列出方程求得，進而求得三角形的周長.【詳解】(1)解：因為，由正弦定理可得，即，又因為，所以，由，可得，所以，又由，所以.(2)解：由（1）知，所以的面積為，解得，因為的外接圓半徑，由正弦定理可得，所以，又由余弦定理得，即，解得，所以，所以的周長為.19．如圖，在三棱柱中，，.（1）證明：；（2）若，求二面角的余弦值.【答案】(1)見解析(2) 【詳解】試題分析：（1）易知△ 與△均為等邊三角形，點為的中點，可得，，進而得平面，從而得證；（2）由勾股定理可得，從而以點為坐標原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，分別求平面的一個法向量和平面的一個法向量，利用法向量求解二面角即可..試題解析：（1）證明：設點為的中點，連接，，由，，知△與△均為等邊三角形，點為的中點，可得，，，相交于點，所以平面，又平面，所以．（2）由（1）知△與△均是邊長為是等邊三角形，，又在△中，，由余弦定理得，所以，故，，以點為坐標原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系．可得，，，，，，，設為平面的一個法向量，則，得，同理可得平面的一個法向量為，由，所以，二面角的余弦值為． 點睛：利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當?shù)目臻g直角坐標系；第二，破“求坐標關(guān)”，準確求解相關(guān)點的坐標；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應用公式關(guān)”.20．某電器專賣店試銷A、B、C三種新型空調(diào)，銷售情況如下表所示： 第一周第二周第三周第四周第五周型數(shù)量（臺）111015型數(shù)量（臺）101213型數(shù)量（臺）15812(1)根據(jù)型空調(diào)連續(xù)前3周銷售情況，預估型空調(diào)連續(xù)5周的平均周銷量為10臺，那么當型空調(diào)周銷售量的方差最小時，求，的值；（注：方差，其中為的平均數(shù)）(2)為跟蹤調(diào)查空調(diào)的使用情況，根據(jù)銷售記錄，從該電器專賣店第二周和第三周售出的空調(diào)中分別隨機抽取一臺，求抽取的兩臺空調(diào)中型空調(diào)臺數(shù)的分布列和數(shù)學期望.【答案】(1)或；(2)分布列見解析，期望為【分析】（1）先由平均數(shù)求得，再用方差公式表示出方差，借助二次函數(shù)求出最值即可；（2）分別求出為0，1，2的概率，列出分布列，再按照期望公式計算期望即可.【詳解】(1)由連續(xù)5周的平均周銷量為10臺可得，則，又方差，因為，故或時，方差最小，即或方差最??；(2)的取值為0，1，2，，，，則分布列如下：012故期望為：.21．已知橢圓：上任意一點，過點作軸，為垂足，且.(1)求動點的軌跡的方程；(2)設直線與曲線相切，且與橢圓交于，兩點，求面積的最大值（為坐標原點）.【答案】(1)；(2)【分析】（1）設出點、點、點的坐標，結(jié)合平面向量的坐標運算建立參數(shù)關(guān)系式，代入橢圓的方程即可求得動點的軌跡的方程；（2）設直線，根據(jù)直線與曲線相切建立關(guān)系式得到，將直線與橢圓聯(lián)立，進而求解弦長，利用基本不等式求解最值，結(jié)合高為定值即可求出面積的最大值.【詳解】(1)設，則，所以，由得，即，又因為點在橢圓上，可得，即，故動點的軌跡的方程為；(2)易得直線的斜率不為0，設直線，由直線與曲線相切可得，即，設，由得，顯然，所以，，又，當且僅當，即時取等號，所以的最大值為，而在中邊上的高始終為1，所以面積的最大值為.22．已知函數(shù).（1）設函數(shù)，討論的單調(diào)性；（2）當時，恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）答案不唯一，具體見解析；（2）.【解析】（1）求導得后分類討論即可求解；（2）求函數(shù)的導數(shù)，利用導函數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求出函數(shù)在上的最小值，根據(jù)恒成立即可求解.【詳解】（1）由已知得，所以.①當時，，在上單調(diào)遞增.②當時，令，則；令，則.所以在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增綜上所述，當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增（2），令，得設，則當時，，在上單調(diào)遞增，所以的值域是.當時，沒有實根，，在上單調(diào)遞增，所以，符合題意當時，，所以有唯一實根，即有唯一實根，當時，，在上單調(diào)遞減，所以，不符合題意綜上所述，，即的取值范圍是.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題為了確定導函數(shù)在上的正負，需要構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)確定在上遞增，求出，分類討論可得在上的正負是解題的關(guān)鍵.

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