數(shù)學
全卷滿分150分，考試時間120分鐘．
注意事項：
1．答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．
2．請按題號順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．
3．選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案+的標號涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚．
4．考試結束后，請將試卷和答題卡一并上交．
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．已知復數(shù)滿足，則（ ）
A． B． C． D．
2．經(jīng)過點，傾斜角為的直線方程為（ ）
A． B．
C． D．
3．已知，若平面的一個法向量為，則（ ）
A． B． C． D．
4．若直線與平行，則兩直線之間的距離為（ ）
A． B．1 C． D．2
5．已知向量，設甲：“”；乙：“向量的夾角為銳角”，則（ ）
A．甲是乙的充分不必要條件 B．甲是乙的必要不充分條件
C．甲是乙的充要條件 D．甲是乙的既不充分也不必要條件
6．已知圓錐（為圓錐的頂點，為圓錐底面的圓心）的軸截面是等邊三角形，為底面圓周上的三點，且為底面圓的直徑，為的中點．若三棱錐的外接球的表面積為，則圓錐的外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
7．設的內角的對邊分別為，若，且，則的面積的最大值為（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
8．如圖，在四面體中，，若，則二面角的大小為（ ）
A． B． C． D．
二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．
9．已知正三棱柱的所有棱長均為2，則（ ）
A．正三棱柱的體積為
B．正三棱柱的側面積為
C．直線與平面所成的角為
D．直線到平面的距離為
10．不透明的袋子中裝有6個大小質地相同的小球，分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機抽取兩次，每次取一個球．表示事件“第二次取出的球上標有的數(shù)字大于等于3”，表示事件“兩次取出的球上標有的數(shù)字之和為5，則（ ）
A． B． C． D．事件與相互獨立
11．已知圓與直線相交于兩點，為坐標原點，則下列說法正確的是（ ）
A．直線過定點 B．若，則的面積為
C．的最小值為 D．的面積的最大值為2
12．在平行六面體中，，，若，其中，則下列結論正確的有（ ）
A．若，則三棱錐的體積為定值
B．若，則
C．若，則與平面所成的角的正弦值為
D．當時，線段的長度的最小值為
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13．已知三點共線，則_____________．
14．一組樣本數(shù)據(jù)為，若是方程的兩根，則這個樣本的方差是_____________．
15．已知圓臺的體積為，且其上、下底面半徑分別為1，2，若為下底面圓周的一條直徑，為上底面圓周上的一個動點，則_____________．
16．設為坐標原點，，若上存在點，使得，則的取值范圍是_____________．
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．
17．（本小題滿分10分）在平面直角坐標系中，已知．
（1）求邊上的高所在的直線方程；
（2）若點在直線上，且，求點到直線的距離．
18．（本小題滿分12分）如圖，在正方體中，分別為的中點．
（1）求異面直線與的夾角的余弦值；
（2）求點到平面的距離．
19．（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐中，平面平面為等邊三角形，底面為等腰梯形，，且．
（1）在棱上是否存在點，使得平面？若存在，請確定點的位置；若不存在，請說明理由；
（2）求與平面所成角的正弦值．
20．（本小題滿分12分）已知為坐標原點，圓，直線，其中．
（1）當時，過點作圓的兩條切線，切點分別為，求直線的方程；
（2）若直線與圓相交于兩點，求．
21．（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，平面底面，側棱與底面所成的角為．
（1）證明：平面平面；
（2）若平面平面，求二面角的正弦值．
22．（本小題滿分12分）設為坐標原點，已知與直線相交于兩點．
（1）若，求的值；
（2）過點的直線與相互垂直，直線與圓相交于兩點，求四邊形的面積的最大值．
金科·新未來2023年秋季學期高二年級10月質量檢測·數(shù)學
參考答案、提示及評分細則
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．【答案】B
【解析】設，則，所以，所以，故選B．
2．【答案】A
【解析】直線斜率為，所以該直線方程為，即，故選A．
3．【答案】C
【解析，所以，即，解得，所以，故選C．
4．【答案】C
【解析】依題意，，解得，所以兩直線分別為，所以兩直線之間的距離為，故選C．
5．【答案】B
【解析】由向量夾角為銳角，則，解得，當時，，得，所以的取值范圍為，所以甲是乙的必要不充分條件，故選B．
6．【答案】A
【解析】因為圓錐的軸截面是等邊三角形，設底面半徑為，則圓錐的高為，且，從而，所以，且圓錐的外接球的半徑為，其表面積為．故選A．
7．【答案】D
【解析】由余弦定理，，得，整理可得，
又由，有（當且僅當時取“=”），故選D．
8．【答案】C
【解析】作垂直于垂直于，則，所以，設二面角的大小為，則，有，解得，故選C．
二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．
9．【答案】CD
【解析】正三棱柱的體積為，A選項錯誤；
正三棱柱的側面積為，B選項錯誤；
與平面所成角即為，C選項正確；
過作垂直于，則為與平面之間的距離，，選項正確，故選CD．
10．【答案】AC
【解析】第二次取出球為，所以，A選項正確；
，所以，B選項錯誤；
，所以，所以，C選項正確；
因為選項錯誤，故選AC．
11．【答案】ABD
【解析】直線，所以直線過定點，A選項正確；
易知道，若直線，則，此時直線到的距離的面積為，B選項正確；
由知直線過定點，所以，所以當時，取得最小值為，C選項錯誤；
面積為，當且僅當時，等號成立，D選項正確．故選ABD．
12．【答案】AB
【解析】若，則點到平面的距離為定值，所以三棱錐的體積為定值，A選項正確；
若，則，且，所以，B選項正確；
若，由可知，且，所以為平面的一個法向量，且，又因為．，所以與平面所成角的正弦值為，C選項錯誤；
，當且僅當時等號成立，所以長度的最小值為，D選項錯誤．故選AB．
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13．【答案】
【解析】直線的方程為，代人，解得．
14．【答案】5
【解析】，解得或4，不妨設，則樣本平均數(shù)是4，根據(jù)方差公式得．
15．【答案】12
【解析】設圓臺的高為，則，解得，
不妨設，則，
所以．
16．【答案】
【解析】設點，由，可知，整理可得點的軌跡方程為，即與存在交點，易知圓心距為，因此，解得．
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．
17．【答案】（1）（2）
【解析】（1）直線，即，直線的斜率為2
以邊上的高所在直線的斜率為1，
所以邊上的高所在的直線方程為，整理得；
（2）直線，即，
的中點為，所以的垂直平分線所在的直線方程為，
因為為垂直平分線與直線的交點，所以
解得，
所以到直線的距離為．
18．【答案】（1）（2）
【解析】由兩兩垂直，以正交基底建系如圖，，，
，所以，
又，
設異面直線與的夾角為，
則，
即異面直線與夾角的余弦值為；
（2）設平面的法向量為，
由，
得即取，
又，則點到平面的距離．
19．【答案】（1）存在，當為中點時，平面（2）
【解析】（1）如圖，分別取中點，連接，則，
因為，
所以，四邊形為平行四邊形，
所以，又因為平面平面，
所以平面，即當為中點時，平面；
（2）取的中點的中點，連接，
因為，所以，
因為平面平面，平面平面平面，
所以平面，
又因為平面，
所以，
如圖，以為原點，方向分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，
可求得梯形的高為，
可得，
所以，
設為平面的法向量，
則由得
令，則，即，
設與平面所成角為，有，
則，
所以與平面所成角的正弦值為．
20．【答案】（1）（2）
【解析】（1）當時，圓，
以為直徑的圓的方程為，
兩圓方程相減，則直線；
（2）點到直線的距離為，
設為中點，即，所以，可得，
所以．
21．【答案】（1）略（2）
【解析】（1）證明：在正方形中，．
因為平面底面，平面平面平面
所以平面．而平面，所以平面平面；
（2）設與交于點，則平面平面，
作垂直于，則平面，所以，又，
且，所以平面，
因為平面，所以，由（1）可知，，
所以底面，故和底面所成的角等于，
故．
以為原點，的方向為軸正方向，建立空間直角坐標系．
設．則．
設平面和平面的法向量分別為．
，
由即取，得；
由即，取，得．
由，有，
設二面角的大小為，則．
所以二面角的正弦值為．
22．【答案】（1）（2）7
【解析】（1）不妨設，且，由，可知，
聯(lián)立與，可得，
則，
，
因為，解得；
（2）由（1）可知，，
同理可得，，
設四邊形的面積為，
則，
設，則（當且僅當時取“=”），
所以四邊形的面積的最大值為7．題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
A
C
C
B
A
D
C
CD
AC
ABD
AB

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