（考試時間：120分鐘 試卷滿分：150分）
一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）
1．存在量詞命題“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知函數(shù)，若，則的值為（ ）
A．B．2C．D．或2
3．已知冪函數(shù)的圖象不經(jīng)過坐標(biāo)原點，則（ ）
A．B．3C．1或D．或3
4．已知，則的最小值是（ ）
A．2B．3C．4D．5
5．設(shè)是實數(shù)，使得不等式成立的一個充分而不必要的條件是（ ）
A．B．C．D．
6．已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域是（ ）
A．B．C．D．
7．若，則下列不等式不一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
8．設(shè)函數(shù)是上的減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分．）
9．設(shè)，若，則實數(shù)的值可以為（ ）
A．B．0C．D．
10．已知是定義域為的奇函數(shù)，且，若當(dāng)時，，則下列說法正確的有（ ）
A．B．在區(qū)間上單調(diào)遞減
C．D．
11．設(shè)正實數(shù)滿足，則（ ）
A．有最大值B．有最大值
C．有最大值D．有最小值
12．已知函數(shù)．若存在，使得，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A．B．的最大值為9
C．的取值范圍是D．的取值范圍是
三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分．）
13．不等式的解集為______．
14．集合中的元素個數(shù)為______．
15．已知，則的取值范圍為______．
16．已知函數(shù)的定義域為，滿足，且當(dāng)時，．若對任意，都有，則實數(shù)的最小值是______．
四、解答題（本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）
17．（本小題滿分10分）
已知集合．
（1）當(dāng)時，求；
（2）若，求實數(shù)的范圍．
18．（本小題滿分12分）
二次函數(shù)滿足，且有唯一實數(shù)解．
（1）求的解析式；
（2）若，且，求的最小值．
19．（本小題滿分12分）
已知．
（1）若為真命題，求的取值范圍；
（2）若一個是真命題，一個是假命題，求的取值范圍．
20．（本小題滿分12分）
黨的二十大報告提出“積極穩(wěn)妥推進碳達峰碳中和”，降低能源消耗，建設(shè)資源節(jié)約型社會．日常生活中我們使用的LED燈具就具有節(jié)能環(huán)保的作用，它環(huán)保不含永，可回收再利用，功率小，高光效，長壽命，有效降低資源消耗．某企業(yè)決定在國家科研部門的支持下進行技術(shù)攻關(guān)，采取新工藝，助力碳達峰．已知該企業(yè)每年需投入4萬元更換一套生產(chǎn)設(shè)備，該企業(yè)的年產(chǎn)量最少為300百件，最多為500百件，年生產(chǎn)成本（元）與年產(chǎn)量（百件）之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為，若每年可獲得政府補貼元，且該產(chǎn)品政府定價為每百件600元（產(chǎn)品成本包括生產(chǎn)成本和更換設(shè)備投入）．
（1）該企業(yè)每年產(chǎn)量為多少百件時，才能使每百件的平均成本最低？
（2）若要保證企業(yè)不虧本，則需要國家每年至少補貼多少元？
21．（本小題滿分12分）
已知函數(shù)．
（1）證明：在上是減函數(shù)；
（2）求不等式的解集．
22．（本小題滿分12分）
對于定義域為的函數(shù)，如果存在區(qū)間，使得在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，且函數(shù)的值域是，則稱區(qū)間是函數(shù)的一個“保值區(qū)間”．
（1）判斷函數(shù)和函數(shù)是否存在“保值區(qū)間”，如果存在，寫出符合條件的一個“保值區(qū)間”（直接寫出結(jié)論，不要求證明）；
（2）如果是函數(shù)的一個“保值區(qū)間”，求的最大值．
2023—2024學(xué)年上期期中聯(lián)考
高一數(shù)學(xué)參考答案
1．A 【解析】存在量詞命題“”的否定是．
2．D【解析】若，則，得，若，則，得或（舍），故選：D．
3．A【解析】因為是冪函數(shù)，所以，解得或3；又的圖象不經(jīng)過坐標(biāo)原點，當(dāng)時，，符合題意，當(dāng)時，，不符合題意，故．
4．B【解析】因為，所以由均值不等式，
，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，不等式取等號，故的最小值為3．故選：B．
5．C 【解析】由得，，由題選項應(yīng)該是的一個真子集，故選：C
6．B【解析】由于函數(shù)的定義域為，所以，所以函數(shù)的定義域為，所以的定義域為．
7．D【解析】由于，則，而，故．即，故A成立；因為，故，故B成立；
，故C成立；取，檢驗可知D不一定成立．
8．B【解析】函數(shù)在上是減函數(shù)，可得：，解得，故實數(shù)的取值范圍是．
9．ABD 【解析】由題，得，因為，所以，
當(dāng)時，無解，此時，滿足題意；
當(dāng)時，得，所以或，解得或，
綜上，實數(shù)的值可以為．
10．ABC 【解析】因為函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，所以，又，所以的圖象關(guān)于直線對稱，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，且關(guān)于直線對稱，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減；
，所以4是的一個周期，
；
，且所以，即對于不成立，故D不正確．故選ABC．
11．BD【解析】正實數(shù)滿足，即有，可得，即有，A錯，B正確，由，C錯，由，D正確，綜上可得BD均正確．
12．ACD【解析】如圖所示，，故A正確；，又，所以等號不成立，故B錯；由圖像可知，，故C正確；，由，故，故．故D正確．
13．（寫成也得分）
【解析】即，整理得：，所以不等式的解集為．
14．6【解析】因為，即，所以的可能取值為，分別代入可得，所以集合中共有6個元素．
15．．【解析】由，可得，又，兩式相加，可得，即的取值范圍為．
16．【解析】當(dāng)時，，又，故當(dāng)時，
，令，則，同理，當(dāng)時，，
令，則，整理得函數(shù)類似于周期函數(shù)，每向右移一個單位，函數(shù)最小值變?yōu)樯弦粋€最小值，要使對任意，都有，只需，令，解得（舍去）或，故的最小值是．
17．【參考答案】
（1），當(dāng)時，
（2）若，則
，，且，
實數(shù)的范圍是．
18．【參考答案】（1）設(shè)的解析式為．
因為．
．
又有唯一實數(shù)解，即有唯一實數(shù)解
所以，所以
所以
（2）因為關(guān)于對稱，且，所以
又，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，即的最小值為9．
19．【參考答案】
（1）解：由，若為真命題，
則，解得，
所以的取值范圍為；
（2）解：若為真命題，
則，所以，
若一個是真命題，一個是假命題，當(dāng)是真命題，是假命題時，
則，解得，
當(dāng)是假命題，是真命題時，
則，解得，
綜上所述．
20．【參考答案】（1）由題意知，平均每百件的成本為
；
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，
故該當(dāng)每年產(chǎn)量為400百件時，才能使每百件的平均成本最低，最低為600元．
（2）設(shè)該企業(yè)每年獲利為元，則
，
如果要保證企業(yè)不虧本，則需，即
令
時單調(diào)遞減，時單調(diào)遞增，
，所以
故要保證企業(yè)不虧本，則需要國家每年至少補貼10000元
21．【參考答案】（1）證明：設(shè)，且，
則，
，
，即在上是減函數(shù)；
（2）由，得
，所以是奇函數(shù)，
．
又，且在上為減函數(shù)，
，即，解得或，
不等式的解集是．
22．【參考答案】
（1）在上單調(diào)遞增，由，得或或，
不符合題意，舍去；不存在保值區(qū)間；
是增函數(shù)，存在保值區(qū)間．
（2）在和上都是增函數(shù)，
因此保值區(qū)間或，
由題意所以有兩個同號的不等實根，
，
，解得或，
同號，滿足題意，，
因為或．所以當(dāng)，即時．．
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
D
A
B
C
B
D
B
ABD
ABC
BD
ACD

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