2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．已知集合，則（ ）
A．B．C．D．
2．已知，則下列選項(xiàng)中，使成立的一個(gè)充分不必要條件是（ ）
A．且B．且C．且D．且
3．若關(guān)于的不等式的解集是，則關(guān)于的不等式的解集為（ ）
A．B．C．D．
4．已知冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則函數(shù)的圖象過定點(diǎn)（ ）
A．B．C．D．
5．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋? ）
A．B．C．D．
6．設(shè)，則（ ）
A．B．C．D．
7．已知函數(shù)，則（ ）
A．是偶函數(shù)，且在區(qū)間和上單調(diào)遞減
B．是偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減
C．是奇函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減
D．是奇函數(shù)，且在區(qū)間和上單調(diào)遞減
8．已知函數(shù)，則使得成立的的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．
9．已知，則（ ）
A．B．C．D．
10．下列各組中兩個(gè)函數(shù)是同一函數(shù)的是（ ）
A．和B．和
C．和D．和
11．若函數(shù)的圖象上存在不同的兩點(diǎn)到直線的距離均為1，則的解析式可以是（ ）
A．B．C．D．
12．已知，則（ ）
A．B．C．D．
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13．已知集合，則中元素的個(gè)數(shù)為______．
14．已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，則______．
15．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．
16．已知函數(shù)則滿足的的取值范圍是______．
四、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17．（10分）計(jì)算：
（Ⅰ）；
（Ⅱ）．
18．（12分）
已知集合．
（Ⅰ）若，求；
（Ⅱ）若是成立的充分不必要條件，求的取值范圍．
19．（12分）
已知函數(shù)且的圖象經(jīng)過點(diǎn)．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）比較與的大??；
（Ⅲ）求函數(shù)的值域．
20．（12分）
（Ⅰ）若關(guān)于的不等式的解集非空，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（Ⅱ）若，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
21．（12分）近年來，共享單車的出現(xiàn)為市民“綠色出行”提供了極大的方便，某共享單車公司計(jì)劃在甲、乙兩座城市共投資200萬元，每個(gè)城市都至少要投資70萬元，由前期市場調(diào)研可知：在甲城市的收益（單位：萬元）與投入（單位：萬元）滿足，在乙城市的收益（單位：萬元）與投入（單位：萬元）滿足．
（Ⅰ）當(dāng)在甲城市投資125萬元時(shí)，求該公司的總收益；
（Ⅱ）試問：如何安排甲、乙兩個(gè)城市的投資，才能使總收益最大？
22．（12分）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù)．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）判斷的單調(diào)性并用定義證明；
（Ⅲ）若當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
2023-2024學(xué)年（上）南陽六校高一年級期中考試
數(shù)學(xué)?答案
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．
1．答案C
命題意圖本題考查集合的表示與運(yùn)算．
解析由題意可得，所以．
2．答案B
命題意圖本題考查充分條件與必要條件的應(yīng)用．
解析選項(xiàng)A，C，D都既不是充分條件也不是必要條件，對于B，由且可得，反過來推不出，所以B符合條件．
3．答案D
命題意圖本題考查不等式的解法．
解析由于關(guān)于的不等式的解集是，所以則有且，則等價(jià)于，解得，即不等式的解集為．
4．答案A
命題意圖本題考查冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)．
解析因?yàn)槭莾绾瘮?shù)，所以，解得或．當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，故．此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，即的圖保過定點(diǎn)．
5．答案C
命題意圖本題考查函數(shù)的定義域．
解析要使函數(shù)有意義，則故或，所以的定義域?yàn)椋?br>6．答案A
命題意圖本題考查指數(shù)和對數(shù)的運(yùn)算．
解析因?yàn)?，所以?br>7．答案D
命題意圖本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性．
解析由題意得畫出函數(shù)的大致圖象，如圖，觀察圖象可知，函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故函數(shù)為奇函數(shù)，單調(diào)遞減區(qū)間是．
8．答案C
命題意圖本題考查偶函數(shù)的性質(zhì)和不等式的解法．
解析易知函數(shù)的定義域?yàn)?，且為偶函?shù)．當(dāng)時(shí)，，易知此時(shí)單調(diào)遞增，所以，所以，解得或．
二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．每小題全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．
9．答案ABD
命題意圖本題考查不等式的性質(zhì)．
解析由，得，則，A成立；由兩邊同時(shí)乘以，不等號反向，得，B成立；由兩邊同時(shí)除以，得，C不成立；由可得，同除以，可得，D成立．
10．答案BC
命題意圖本題考查函數(shù)的概念．
解析A，D中函數(shù)的定義域不同．
11．答案AD
命題意圖本題考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)．
解析分別作出相應(yīng)的圖象，如圖：
對于A，容易看出的圖象上存在兩點(diǎn)與到直線的距離均為1，故A正確；對于B，的圖象在直線上方的部分僅存在一點(diǎn)到直線的距離為1，在直線下方的部分滿足，到直線的距離均小于1，故不存在符合條件的兩點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；對于C，因?yàn)?，故其圖象上所有點(diǎn)到直線的距離均大于1，故C錯(cuò)誤；對于D，利用幾何知識可以算得點(diǎn)到直線的距離為，由指數(shù)函數(shù)的圖象可知，在點(diǎn)的兩邊各存在一點(diǎn)到直線的距離為1，故D正確．
12．答案ABD
命題意圖本題考查指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．
解析對于A，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，所以，故A正確；
對于B，因?yàn)?，又，所以，所以，所以，故B正確；
對于C，因?yàn)?，所以，故C錯(cuò)誤；
對于D，設(shè)，則，所以，故D正確．
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13．答案4
命題意圖本題考查集合的概念和運(yùn)算．
解析因?yàn)?，所以滿足的自然數(shù)對有，即中的元素有4個(gè)．
14．答案
命題意圖本題考查奇函數(shù)的概念．
解析設(shè)函數(shù)，則的最大值為，最小值為，容易判斷是奇函數(shù)，所以，所以．
15．答案
命題意圖本題考查函數(shù)的單調(diào)性．
解析函數(shù)，由時(shí)，單調(diào)遞減，得，解得．
16．答案
命題意圖本題考查分段函數(shù)和不等式的解法．
解析由題意知，當(dāng)時(shí)，恒成立；當(dāng)時(shí)，恒成立；當(dāng)時(shí)，由，解得，所以．綜上，的取值范圍是．
四、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17．命題意圖本題考查指數(shù)和對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．
解析（Ⅰ）原式．
（Ⅱ）原式
．
18．命題意圖本題考查集合的運(yùn)算、充分條件與必要條件的判斷．
解析由得，故，
由得，
因?yàn)?，故?br>（Ⅰ）若，則，所以．
（Ⅱ）若是成立的充分不必要條件，則，
則有解得，此時(shí)滿足，
所以的取值范圍是．
19．命題意圖本題考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)與不等式的綜合．
解析（Ⅰ）因?yàn)榈膱D象經(jīng)過點(diǎn)，
所以，又且，所以．
（Ⅱ）因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增．
又因?yàn)?，所以?br>所以．
（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，，
所以，即，
所以的值域?yàn)椋?br>20．命題意圖本題考查一元二次不等式與二次函數(shù)．
解析（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，顯然，滿足題意；
若，顯然滿足題意；
若，則需，解得．
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是．
（Ⅱ）由題可知，當(dāng)時(shí)，恒成立．
因?yàn)椋?br>所以等價(jià)于．
因?yàn)樵趨^(qū)間上的最小值為，
所以只需即可，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．
21．命題意圖本題考查函數(shù)模型的應(yīng)用和二次函數(shù)的性質(zhì)．
解析（Ⅰ）當(dāng)在甲城市投資125萬元時(shí)，在乙城市投資75萬元，
所以總收益為（萬元）．
（Ⅱ）設(shè)在甲城市投資萬元，則在乙城市投資萬元，
總收益為，
依題意得解得．
故．
令，則，
所以，
因?yàn)樵摱魏瘮?shù)的圖象開口向下，且對稱軸，
所以當(dāng)，即時(shí)，取得最大值65，
所以當(dāng)在甲城市投資80萬元，乙城市投資120萬元時(shí)，總收益最大，且最大總收益為65萬元．
22．命題意圖本題考查函數(shù)的綜合問題．
解析（Ⅰ）因?yàn)樵诙x域上是奇函數(shù)，所以，所以．
又由，可得，
經(jīng)檢驗(yàn)知，當(dāng)時(shí)，原函數(shù)是奇函數(shù)．
（Ⅱ）由（I）知在上是增函數(shù)．
證明：任取，設(shè)，
則，
因?yàn)?，所以，又，所以?br>即，所以函數(shù)在上是增函數(shù)．
（Ⅲ）因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以不等式等價(jià)于，因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù)，所以，
即對任意，都有成立．
設(shè)，令，則有，
所以，

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