1. 直線關(guān)于x軸對(duì)稱的直線方程為（）
AB.
C. D.
2. 兩條平行直線：與：之間距離是（）
A. 0B. 2C. 1D.
3. 若橢圓的長(zhǎng)軸端點(diǎn)與雙曲線的焦點(diǎn)重合，則的值為（）
A. 4B. C. D. 2
4. 已知雙曲線的離心率為，C的一條漸近線與圓交于A，B兩點(diǎn)，則（）
A. B. C. D.
5. 如果直線與曲線有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
AB. C. D.
6. 已知橢圓＋＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(3,0)，過(guò)點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)．若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－1)，則E的方程為
A. ＋＝1B. ＋＝1
C. ＋＝1D. ＋＝1
7已知直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，若，則（）
A. 2B. C. D.
8. 已知橢圓：左、右焦點(diǎn)分別是，，是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，和分別是的內(nèi)心和重心，若與軸平行，則橢圓的離心率為()
A. B. C. D.
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知方程，則下列說(shuō)法中正確的有（）
A. 方程可表示圓
B. 當(dāng)時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓
C. 當(dāng)時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線
D. 當(dāng)方程表示橢圓或雙曲線時(shí)，焦距均為10
10. 已知圓與圓，下列說(shuō)法正確的是（）
A. 與的公切線恰有4條
B. 與相交弦的方程為
C. 與相交弦的弦長(zhǎng)為
D. 若，分別是圓，上的動(dòng)點(diǎn)，則
11. 已知雙曲線的左右頂點(diǎn)為，，左右焦點(diǎn)為，，直線與雙曲線的左右兩支分別交于，兩點(diǎn)，則（）
A. 若，則的面積為
B. 直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點(diǎn)，則
C. 若的斜率的范圍為，則的斜率的范圍為
D. 存在直線的方程為，使得弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為
12. 已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，過(guò)焦點(diǎn)作直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線的切線與準(zhǔn)線交于點(diǎn)，連接，若，則（）
A. B.
C. 為鈍角D.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 拋物線的準(zhǔn)線方程為_(kāi)_____.
14. 若直線與圓相交于，兩點(diǎn)，且（其中為原點(diǎn)），則的值為_(kāi)_____.
15. 一動(dòng)圓與圓外切，同時(shí)與圓內(nèi)切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程為_(kāi)_____.
16. 如圖，過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)引圓的切線，切點(diǎn)為，延長(zhǎng)交雙曲線右支于點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為_(kāi)_______.
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
17. 已知的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，求
（1）求的面積；
（2）求的外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
18. 已知直線和圓，且直線和圓交于兩點(diǎn).
（1）當(dāng)為何值時(shí)，截得的弦長(zhǎng)為4；
（2）若，求的取值范圍.
19. 已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，直線，的斜率之積為4，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為.
（1）求的方程；
（2）直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與交于，兩點(diǎn)，線段中點(diǎn)在第一象限，且縱坐標(biāo)為4，求.
20. 已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)，且截軸所得弦長(zhǎng)為4.
（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)的直線與軌跡交于A，兩點(diǎn)，若為軌跡的焦點(diǎn)，且滿足，求的值.
21. 橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，且過(guò).
（1）求橢圓的方程；
（2）如圖所示，記橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在定直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線，分別交橢圓于兩點(diǎn)，.
（i）證明：點(diǎn)B在以為直徑的圓內(nèi)；
（ii）求四邊形面積的最大值.
22. 已知點(diǎn)在雙曲線上．
（1）雙曲線上動(dòng)點(diǎn)Q處的切線交的兩條漸近線于兩點(diǎn)，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：的面積是定值；
（2）已知點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作動(dòng)直線與雙曲線右支交于不同的兩點(diǎn)?，在線段上取異于點(diǎn)?的點(diǎn)，滿足，證明：點(diǎn)恒在一條定直線上．
青島二中2023-2024學(xué)年第一學(xué)期期中考試
高二試題（數(shù)學(xué)）
命題人：薛海濤孫云濤曹成俊劉碩審核人：董天龍
時(shí)間：120分鐘滿分：150分
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 直線關(guān)于x軸對(duì)稱的直線方程為（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)兩直線斜率之間的關(guān)系，以及所求直線過(guò)已知直線與x軸交于點(diǎn)可得.
【詳解】直線的斜率為2，與x軸交于點(diǎn)，
則與關(guān)于x軸對(duì)稱的直線斜率為，并過(guò)點(diǎn)，
所以，所求方程為，即.
故選：D
2. 兩條平行直線：與：之間的距離是（）
A. 0B. 2C. 1D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)平行直線間的距離公式求解即可.
【詳解】直線：即，故與：的距離為
.
故選：D
3. 若橢圓的長(zhǎng)軸端點(diǎn)與雙曲線的焦點(diǎn)重合，則的值為（）
A. 4B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)長(zhǎng)軸端點(diǎn)確定焦點(diǎn)，再根據(jù)的關(guān)系可求得的值.
【詳解】橢圓的長(zhǎng)軸端點(diǎn)為，
所以雙曲線的焦點(diǎn)為，
故.
故選：D.
4. 已知雙曲線的離心率為，C的一條漸近線與圓交于A，B兩點(diǎn)，則（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)離心率得出雙曲線漸近線方程，再由圓心到直線的距離及圓半徑可求弦長(zhǎng).
【詳解】由，則，
解得，
所以雙曲線的一條漸近線不妨取，
則圓心到漸近線的距離，
所以弦長(zhǎng).
故選：D
5. 如果直線與曲線有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用數(shù)形結(jié)合求出直線與半圓相切時(shí)的值，以及直線與半圓有兩個(gè)交點(diǎn)的臨界位置時(shí)的的值，進(jìn)而可以求解．
【詳解】由可得：，，
則該曲線為以原點(diǎn)為圓心，以1為半徑的軸上方的半圓，
直線和曲線的圖象如圖所示：
當(dāng)直線與圓相切于點(diǎn)時(shí)滿足：，解得，
當(dāng)直線與半圓相交于兩點(diǎn)時(shí)，把代入直線方程可得：，
則由數(shù)形結(jié)合可得直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)，的取值范圍為：，
故選：B
6. 已知橢圓＋＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(3,0)，過(guò)點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)．若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－1)，則E的方程為
A. ＋＝1B. ＋＝1
C. ＋＝1D. ＋＝1
【答案】D
【解析】
【詳解】設(shè)、，所以，運(yùn)用點(diǎn)差法，所以直線的斜率為，設(shè)直線方程為，聯(lián)立直線與橢圓的方程，所以；又因?yàn)椋獾?
【考點(diǎn)定位】本題考查直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查學(xué)生的化歸與轉(zhuǎn)化能力.
7已知直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，若，則（）
A. 2B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)焦半徑公式，聯(lián)立方程即可求解.
【詳解】由拋物線可得，所以，
，
，
故,故，所以
故選：B
8. 已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別是，，是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，和分別是的內(nèi)心和重心，若與軸平行，則橢圓的離心率為()
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】連接PO，則三點(diǎn)共線，延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，則由平行于軸得，從而可得，根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)可得，從而可得離心率．
【詳解】∵是的中點(diǎn)，G是的重心，∴三點(diǎn)共線，
延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，則由平行于軸知，，
則,設(shè)內(nèi)切圓半徑為r，
則，
∴橢圓的離心率為．
故選：A﹒
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知方程，則下列說(shuō)法中正確的有（）
A方程可表示圓
B. 當(dāng)時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓
C. 當(dāng)時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線
D. 當(dāng)方程表示橢圓或雙曲線時(shí)，焦距均為10
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)方程的形式，結(jié)合圓，橢圓和雙曲線的形式，即可求解.
【詳解】對(duì)于A，當(dāng)方程可表示圓時(shí)，，無(wú)解，故A錯(cuò)誤;
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，，表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，故B正確；;
對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，，表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，故C正確;
對(duì)于D，當(dāng)方程表示雙曲線時(shí)，得；由C可知，
，焦距為10，
當(dāng)方程表示橢圓時(shí)，，，則
，焦距為10，所以焦距均為10，故D正確.
故選：BCD
10. 已知圓與圓，下列說(shuō)法正確的是（）
A. 與的公切線恰有4條
B. 與相交弦的方程為
C. 與相交弦的弦長(zhǎng)為
D. 若，分別是圓，上的動(dòng)點(diǎn)，則
【答案】BCD
【解析】
【分析】求出圓心距，判斷兩圓位置關(guān)系即可判斷A；兩圓方程相減消去二次項(xiàng)可判斷B；利用點(diǎn)到直線的距離公式求到相交弦的距離，然后由弦長(zhǎng)公式求弦長(zhǎng)可判斷C；觀察圖形可知，可判斷D.
【詳解】由已知得圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，
因?yàn)?，，故兩圓相交，
所以與的公切線恰有2條，故A錯(cuò)誤；
兩圓方程做差可得與相交弦的方程為，故B正確；
由點(diǎn)到直線的距離公式得到相交弦的距離為，
故相交弦的弦長(zhǎng)為，C正確；.
由圖可知，，故D正確.
故選：BCD
11. 已知雙曲線左右頂點(diǎn)為，，左右焦點(diǎn)為，，直線與雙曲線的左右兩支分別交于，兩點(diǎn)，則（）
A. 若，則的面積為
B. 直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點(diǎn)，則
C. 若的斜率的范圍為，則的斜率的范圍為
D. 存在直線的方程為，使得弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為
【答案】ABC
【解析】
【分析】對(duì)于A：利用余弦定理及雙曲線的定義求出，進(jìn)而可得三角形的面積；對(duì)于B：設(shè)，與直線聯(lián)立，發(fā)現(xiàn)均與無(wú)關(guān)，進(jìn)一步分析可得；對(duì)于C：求出為定值，進(jìn)而可得的斜率的范圍；對(duì)于D：將直線方程和雙曲線方程聯(lián)立，通過(guò)判別式可得結(jié)果.
【詳解】在雙曲線中，
對(duì)于A：在雙曲線的焦點(diǎn)三角形中，
，可得
所以，故A正確；
對(duì)于B，不妨設(shè)，當(dāng)時(shí)表示雙曲線，當(dāng)時(shí)表示該雙曲線的兩條漸近線.
設(shè)直線，其與的交點(diǎn)為
聯(lián)立，可得，
應(yīng)滿足且.
由韋達(dá)定理可知，都與無(wú)關(guān).
所以線段的中點(diǎn)與線段的中點(diǎn)重合，不妨設(shè)為.
由可知，故B正確；
對(duì)于C，設(shè)，且，
，
所以若的斜率范圍為，則的斜率的范圍為，C正確；
對(duì)于D，聯(lián)立，消去可得，，故直線與雙曲線無(wú)交點(diǎn)，所以不存在中點(diǎn)，D錯(cuò)誤.
故選：ABC.
12. 已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，過(guò)焦點(diǎn)作直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線的切線與準(zhǔn)線交于點(diǎn)，連接，若，則（）
A. B.
C. 為鈍角D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，直線的方程，結(jié)合拋物線的切線求出點(diǎn)坐標(biāo)，再逐項(xiàng)計(jì)算判斷即得.
【詳解】依題意，，由，得，設(shè)，不妨令，
過(guò)作軸的垂線分別交y軸于，則有，即，
點(diǎn)，設(shè)直線的方程為，與方程聯(lián)立消去x得：
，則，，解得，
因此點(diǎn)，直線，
設(shè)拋物線在點(diǎn)處切線方程為，與方程聯(lián)立消去x得：
，顯然，，解得，
于是拋物線在點(diǎn)切線方程為，而拋物線的準(zhǔn)線為，則，
對(duì)于A，直線斜率，因此，A正確；
對(duì)于B，由，得，，B正確；
對(duì)于C，顯然，即為直角，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，點(diǎn)O到直線的距離，點(diǎn)M到的距離
，所以，D正確.
故選：ABD
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：拋物線在點(diǎn)處的切線斜率；拋物線在點(diǎn)處的切線斜率.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 拋物線的準(zhǔn)線方程為_(kāi)_____.
【答案】
【解析】
【分析】將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程即可得解.
【詳解】由題意拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，其準(zhǔn)線方程為.
故答案為：.
14. 若直線與圓相交于，兩點(diǎn)，且（其中為原點(diǎn)），則的值為_(kāi)_____.
【答案】
【解析】
【分析】直接利用垂徑定理列式計(jì)算即可.
【詳解】由可得，
則，解得.
故答案為：.
15. 一動(dòng)圓與圓外切，同時(shí)與圓內(nèi)切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程為_(kāi)_____.
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)動(dòng)圓的圓心，半徑為，根據(jù)兩圓的位置關(guān)系列式整理可得動(dòng)圓圓心的軌跡為橢圓，根據(jù)橢圓定義可得軌跡方程.
【詳解】設(shè)動(dòng)圓的圓心，半徑為，
又由圓得，圓心，半徑，
由圓得，圓心，半徑，
由已知得，兩式相加消去可得，
根據(jù)橢圓定義可得動(dòng)圓圓心的軌跡為以為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)為
其中，
所以，
所以動(dòng)圓圓心的軌跡方程為.
故答案為：.
16. 如圖，過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)引圓的切線，切點(diǎn)為，延長(zhǎng)交雙曲線右支于點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為_(kāi)_______.
【答案】
【解析】
【分析】利用中位線結(jié)合雙曲線的性質(zhì), 解得，解得，然后轉(zhuǎn)化成，求得離心率.
【詳解】設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)，連接，.
則中，，，
則，
由直線與圓相切，
可得.
又雙曲線中，，
則，
又，
則，
整理得，
兩邊平方整理得，
則雙曲線離心率，
故答案為：.
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
17. 已知的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，求
（1）求的面積；
（2）求的外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
【答案】（1）20 （2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)點(diǎn)距離公式可判斷三角形為等腰三角形，即可根據(jù)面積公式求解，
（2）根據(jù)兩點(diǎn)斜率公式結(jié)合垂直滿足的關(guān)系可判斷為直角三角形，進(jìn)而根據(jù)直角三角形的性質(zhì)確定外接圓圓心和半徑，即可求解方程.
【小問(wèn)1詳解】
，，，
由于,
所以為以為斜邊的等腰直角三角形，可得中點(diǎn)，
所以，故的面積為20.
【小問(wèn)2詳解】
由（1）知.
所以外接圓圓心恰好為中點(diǎn)，,
所以三角形外接圓標(biāo)準(zhǔn)方程為.
18. 已知直線和圓，且直線和圓交于兩點(diǎn).
（1）當(dāng)為何值時(shí)，截得的弦長(zhǎng)為4；
（2）若，求的取值范圍.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）由題意可得，再由求解即可；
（2）由，可得，則有，即，求解即可；
【小問(wèn)1詳解】
設(shè)直線與圓心距離為，則，
所以有
解得；
【小問(wèn)2詳解】
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，
因?yàn)椋裕?br>有，即，
解得.
19. 已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，直線，的斜率之積為4，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為.
（1）求的方程；
（2）直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與交于，兩點(diǎn)，線段中點(diǎn)在第一象限，且縱坐標(biāo)為4，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）設(shè)出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)斜率之積為4列出等式，化簡(jiǎn)即可.
（2）首先直線斜率存在且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，設(shè)出直線方程并將其與雙曲線方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理結(jié)合已知條件算出斜率，進(jìn)而由弦長(zhǎng)的計(jì)算公式直接計(jì)算即可.
【小問(wèn)1詳解】
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)?，，所以?br>化簡(jiǎn)得：.所以的方程為.
【小問(wèn)2詳解】
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，顯然不符合題意；

設(shè)，，直線方程為，
與聯(lián)立得：，
由且，解得且，
由韋達(dá)定理得，
因?yàn)榫€段中點(diǎn)在第一象限，且縱坐標(biāo)為，
所以，解得或（舍去），
所以直線為，所以，
所以.
20. 已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)，且截軸所得弦長(zhǎng)為4.
（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)的直線與軌跡交于A，兩點(diǎn)，若為軌跡的焦點(diǎn)，且滿足，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由題意，設(shè)動(dòng)圓圓心，設(shè)圓截y軸所得弦為，分別討論當(dāng)不在y軸上和在y軸上這兩種情況，進(jìn)而即可求解；
（2）易知直線斜率存在，設(shè)出直線l的方程，將直線l的方程與軌跡T的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系以及斜率公式再進(jìn)行求解即可．
【小問(wèn)1詳解】
如圖，設(shè)動(dòng)圓圓心，設(shè)圓截y軸所得弦為，則有，
當(dāng)不在y軸上時(shí)，過(guò)作交于，則是的中點(diǎn)，
于是，化簡(jiǎn)得；
當(dāng)在y軸上時(shí)，動(dòng)圓過(guò)定點(diǎn)，且在y軸上截得弦的長(zhǎng)為4，
則與原點(diǎn)重合，即點(diǎn)也滿足方程，
所以動(dòng)圓圓心的軌跡的方程為.
【小問(wèn)2詳解】
顯然直線斜率存在，不妨設(shè)直線，
與聯(lián)立可得，
，得，
韋達(dá)定理可知，
已知，
解得或1，因?yàn)?，所?
所以.
21. 橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，且過(guò).
（1）求橢圓的方程；
（2）如圖所示，記橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在定直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線，分別交橢圓于兩點(diǎn)，.
（i）證明：點(diǎn)B在以為直徑的圓內(nèi)；
（ii）求四邊形面積的最大值.
【答案】（1）
（2）（i）證明見(jiàn)解析；（ii）6
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)出橢圓方程，用待定系數(shù)法求解即可得解；
（2）（i）根據(jù)題意只要證為鈍角即即可，求出坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積運(yùn)算即可得證；（ii）求出四邊形的面積，對(duì)面積的表達(dá)式變形利用基本不等式和對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性求出最大值得解.
【小問(wèn)1詳解】
由題知，橢圓的焦點(diǎn)為，，
故可設(shè)橢圓方程為，將點(diǎn)代入可得，
解得，
所以橢圓得方程為.
【小問(wèn)2詳解】
（i）易知，由橢圓對(duì)稱性可知，不妨設(shè)，；
根據(jù)題意可知直線斜率均存在，且，；
所以直線的方程為，的方程為；
聯(lián)立直線和橢圓方程，消去可得；
由韋達(dá)定理可得，解得，則；
聯(lián)立直線和橢圓方程，消去可得；
由韋達(dá)定理可得，解得，則；
則，；
所以；
即可知為鈍角，所以點(diǎn)B在以為直徑的圓內(nèi)；
（ii）易知四邊形的面積為，
設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；
由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增，
所以，可得，
所以時(shí)，四邊形的面積最大為6，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
由對(duì)稱性可知，即當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為或時(shí)，
四邊形的面積最大，最大值為6.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題第二問(wèn)考查直線與橢圓的綜合問(wèn)題.小問(wèn)（i）要證點(diǎn)在圓內(nèi)等價(jià)于只要證為鈍角即即可，求出坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積運(yùn)算即可得證；小問(wèn)（ii）求出四邊形的面積，從結(jié)構(gòu)出發(fā)變換，換元，利用基本不等式和對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性求出最大值得解.
22. 已知點(diǎn)在雙曲線上．
（1）雙曲線上動(dòng)點(diǎn)Q處的切線交的兩條漸近線于兩點(diǎn)，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：的面積是定值；
（2）已知點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作動(dòng)直線與雙曲線右支交于不同的兩點(diǎn)?，在線段上取異于點(diǎn)?的點(diǎn)，滿足，證明：點(diǎn)恒在一條定直線上．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）先求出雙曲線方程，設(shè)，則過(guò)點(diǎn)的切線方程為，聯(lián)立與兩條漸近線方程，得到點(diǎn)坐標(biāo)，利用求出面積為定值；
（2）考慮直線斜率不存在，不合題意，故直線斜率存在，設(shè)直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立，設(shè)出，得到兩根之和，兩根之積，再設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由得到，，消去參數(shù)得到點(diǎn)恒在一條定直線上.
【小問(wèn)1詳解】
將代入雙曲線中，，
解得，故雙曲線方程為，
下面證明上一點(diǎn)的切線方程為，
理由如下：當(dāng)切線方程的斜率存在時(shí)，
設(shè)過(guò)點(diǎn)的切線方程為，與聯(lián)立得，
，
由
化簡(jiǎn)得，
因?yàn)?，代入上式得?br>整理得，
同除以得，，
即，
因?yàn)?，?br>所以，
聯(lián)立，兩式相乘得，，
從而，
故，
即，
令，則，即，
解得，即，
當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，此時(shí)切點(diǎn)為，切線方程為，滿足，
綜上：上一點(diǎn)的切線方程為，
設(shè)，則過(guò)點(diǎn)的切線方程為，
故為過(guò)點(diǎn)的切線方程，
雙曲線的兩條漸近線方程為，
聯(lián)立與，解得,
聯(lián)立與，解得,
直線方程為，即，
故點(diǎn)到直線的距離為，
且，
故的面積為
，為定值；
【小問(wèn)2詳解】
若直線斜率不存在，此時(shí)直線與雙曲線右支無(wú)交點(diǎn)，不合題意，不滿足條件，
故直線斜率存在，設(shè)直線方程，
與聯(lián)立得，
由，
因?yàn)楹愠闪?，所以?br>故，
解得,
設(shè)，則，
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
則由得，，
變形得到，
將代入，解得，
將代入中，解得，
則，
故點(diǎn)恒在一條定直線上.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：過(guò)圓上一點(diǎn)的切線方程為：，
過(guò)圓外一點(diǎn)的切點(diǎn)弦方程為：.
過(guò)橢圓上一點(diǎn)的切線方程為，
過(guò)雙曲線上一點(diǎn)的切線方程為

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