1. 已知點(diǎn)，，則直線在軸上的截距為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由已知的兩點(diǎn)求出直線的方程，將代入直線方程即可求解軸上的截距.
【詳解】因?yàn)橹本€經(jīng)過兩點(diǎn)和，則直線方程為，化簡(jiǎn)得，
令，則直線在軸上的截距為.
故選：B.
2. 圓與圓的位置關(guān)系為（）
A. 外切B. 內(nèi)切C. 相交D. 外離
【答案】C
【解析】
【分析】由題意，求出兩圓的圓心和半徑，結(jié)合圓與圓的位置關(guān)系即可求解.
【詳解】由題意知，
，則，
，則，
又，有，
所以圓與圓相交.
故選：C.
3. 設(shè)函數(shù)，則（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】將式子變形，得到與的關(guān)系，利用導(dǎo)函數(shù)運(yùn)算求解可得.
【詳解】由，
又，則，
則.
故選：A.
4. 已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則實(shí)數(shù)的值為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先確定焦點(diǎn)位置，再根據(jù)計(jì)算即可.
【詳解】由已知可得橢圓的焦點(diǎn)在軸上，
故，
則，
得.
故選：D.
5. 已知函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線經(jīng)過定點(diǎn)（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線斜率，由點(diǎn)斜式得切線方程，再由直線方程不受參數(shù)的影響找到定點(diǎn).
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，則，
又，直線過，
則直線方程為，即，
令，得，即直線不受參數(shù)的影響，恒過定點(diǎn).
故選：A.
6. 已知等比數(shù)列前項(xiàng)和為，且，則（）
A. 3B. 5C. 30D. 45
【答案】D
【解析】
【分析】首先確定，再利用等比數(shù)列的前和公式代入即可求出答案.
【詳解】若公比，則，，右邊，等式不成立，故，
則，顯然，所以，解得，
又因?yàn)椋氲茫?br>所以，
故選：D.
7. 已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為、，是上一點(diǎn)，為等腰三角形，且的外接圓面積為，則雙曲線的離心率為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，作出圖形，分析可知，利用正弦定理求出的值，進(jìn)而可得出直線的斜率，求出直線的方程，結(jié)合二倍角的正切公式以及點(diǎn)斜式可得出直線的方程，可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線的方程，求出的值，即可求出雙曲線的離心率的值.
【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，如下圖所示：
由圖可知，，且，
因?yàn)闉榈妊切危瑒t，
設(shè)的外接圓半徑為，則，可得，
由正弦定理可得，則，即，
易知，為銳角，則，
所以，，
，
所以，直線的方程為，直線的方程為，
聯(lián)立，解得，即點(diǎn)，
將點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線的方程可得，可得，
因此，雙曲線的離心率為.
故選：C.
8. 設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且，若存在，使得成立，則實(shí)數(shù)的最小值為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先由化簡(jiǎn)得遞推關(guān)系，從而求得通項(xiàng)及前項(xiàng)和，要使能成立，即能成立，令，轉(zhuǎn)化為求解的最小值即可.
【詳解】由
得，
則有對(duì)任意成立，
又，則，
故，且
則數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，
則，
由得，，
分離參數(shù)得，，
令
則
令，則
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
由，則當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，恒有，
又，故的最小值為.
若存在，使得成立，則，
則有，即實(shí)數(shù)的最小值為.
故選：D.
二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）
9. 下列函數(shù)的圖象可能與直線相切的是（）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)有解，則直線就可以為該函數(shù)圖象的切線，從而逐項(xiàng)檢驗(yàn)即可得結(jié)論.
【詳解】因?yàn)橹本€的斜率為，
所以有解，則直線就可以為該函數(shù)圖象的切線．
對(duì)于A，令，解得，滿足條件；
對(duì)于B，因?yàn)楹愠闪?，不滿足條件；
對(duì)于C，令，解得，滿足條件；
對(duì)于D，恒成立，不滿足條件．
故選：AC.
10. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，直線，其中，則下列結(jié)論正確的是（）
A. 直線恒過定點(diǎn)，且定點(diǎn)坐標(biāo)為
B. 若直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則
C. 若直線過第一、三象限，則
D. 若直線和直線與兩坐標(biāo)軸圍成的四邊形有外接圓，則
【答案】ACD
【解析】
【分析】求出直線的方程，分離參數(shù)可求得直線過的定點(diǎn)，判斷A；根據(jù)直線的方程求出其在坐標(biāo)軸上的截距，令二者相等求得a的值，判斷B；根據(jù)直線所過象限確定直線的斜率正負(fù)，即可求得a的范圍，判斷C；根據(jù)題意判斷直線和直線垂直，即可列式求得a，判斷D.
【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，直線的方程為，
即，即，
令，即此時(shí)直線恒過定點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，，，直線的方程為也過點(diǎn)，
即直線恒過定點(diǎn)，且定點(diǎn)坐標(biāo)為，A正確；
對(duì)于B，直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，
顯然時(shí)，直線的方程為不合題意；
故，此時(shí)直線的方程，
令，則，令，則，
令，即，解得或，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，若直線過第一、三象限，則直線的斜率一定存在且為正數(shù)，
即，C正確；
對(duì)于D，若直線和直線與兩坐標(biāo)軸圍成的四邊形有外接圓，
即該四邊形對(duì)角互補(bǔ)，
而直線恒過定點(diǎn)，故需滿足直線，
則，D正確，
故選：ACD
11. 已知數(shù)列滿足，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列結(jié)論正確的是（）
A. 數(shù)列為等差數(shù)列B.
C. 數(shù)列的前項(xiàng)和為D. 數(shù)列的前項(xiàng)和為
【答案】ABC
【解析】
【分析】先構(gòu)造數(shù)列，知其前項(xiàng)和求通項(xiàng)，進(jìn)而再求出，選項(xiàng)A，由定義證明為等差數(shù)列；選項(xiàng)B，利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式求解即可；選項(xiàng)C，兩項(xiàng)并一項(xiàng)，并項(xiàng)為常數(shù)列求和；選項(xiàng)D，分段討論去絕對(duì)值后，分組求和，再利用等差數(shù)列求和公式即可求出.
【詳解】由，
設(shè)，則，
所以當(dāng)時(shí)，，
兩式相減得，，
當(dāng)時(shí)，也適合上式.
則，解得，，
所以，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，
則，
故選項(xiàng)AB正確；
選項(xiàng)C，數(shù)列的前項(xiàng)和
，故C項(xiàng)正確；
選項(xiàng)D，，
則前項(xiàng)和為，
故D項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：ABC.
12. 已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，過點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）
A. 拋物線的準(zhǔn)線方程為B. 直線與拋物線相切
C. 為定值D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】選項(xiàng)A，由點(diǎn)在拋物線上，代入方程待定系數(shù)，求出拋物線C方程，則得到準(zhǔn)線方程；選項(xiàng)B，利用導(dǎo)數(shù)求出切線斜率，與直線斜率相同即可說明相切；選項(xiàng)C，設(shè)出直線AB方程，聯(lián)立拋物線方程，將坐標(biāo)化韋達(dá)定理代入可證；選項(xiàng)D，利用弦長(zhǎng)公式用表示，再代入韋達(dá)定理，結(jié)合判別式得出的的范圍，即可判斷得出答案．
【詳解】對(duì)于A：因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線：上，
則，解得，
所以拋物線：，
其準(zhǔn)線為，故A正確；
對(duì)于B：令，
則，可得，
即拋物線在A點(diǎn)處切線斜率與直線AB斜率相同，
所以直線AB與拋物線C相切，故B正確；
對(duì)于C：由題意可知，直線PQ斜率存在，
設(shè)直線PQ的方程為，
聯(lián)立方程，消去y得：，
可得，得，
且，
因?yàn)?br>，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：由題意可知，
因?yàn)椋?br>則，
所以，故D正確.
故選：ABD．
三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）
13. 設(shè)為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若，則________．
【答案】4
【解析】
【分析】由題意可得，令，分別求出、即可求解.
【詳解】由題意知，令，則，
，令，
則，解得，
所以.
故答案為：4.
14. 設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合題意，化簡(jiǎn)得到，求得，再利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，即可求解.
【詳解】由題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，
因?yàn)椋傻茫?br>即，可得，且，解得，
又由.
故答案為：.
15. 已知直線關(guān)于直線的對(duì)稱直線與圓有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________．
【答案】
【解析】
【分析】由對(duì)稱性可知，求出圓關(guān)于直線對(duì)稱的對(duì)稱圓方程，再由有公共點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為直線與圓相交或相切，利用幾何法求解參數(shù)的范圍即可.
【詳解】圓，圓心，半徑為，
設(shè)圓關(guān)于直線的對(duì)稱圓圓心，
且圓的半徑仍為，
則圓心與關(guān)于直線對(duì)稱，
有，解得，即對(duì)稱圓圓心.
由對(duì)稱性可知，直線與圓有公共點(diǎn)，
則有圓心到直線的距離
，
化簡(jiǎn)得，解得，
則實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故答案為：.
16. 希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名，他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓”．后來，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓．已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，點(diǎn)是滿足的阿氏圓上的任一點(diǎn)，則該阿氏圓的方程為_______________________；若點(diǎn)為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在軸上的射影為，則的最小值為________．
【答案】 ①. ②. ##
【解析】
【分析】先求出點(diǎn)的軌跡方程，再結(jié)合阿波羅尼斯圓的定義及拋物線的定義可得，當(dāng)且僅當(dāng)四點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào).
【詳解】設(shè)，已知，，
則，，
化簡(jiǎn)整理得，
所以點(diǎn)的軌跡為以為圓心，2為半徑的圓，且.
拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，
則
，
當(dāng)且僅當(dāng)（兩點(diǎn)在兩點(diǎn)中間）四點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，
所以的最小值為.
故答案為：；.
四、解答題（本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
17. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．
（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．
【答案】（1）證明見解析，
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)的關(guān)系即可作差得，進(jìn)而可得是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，即可根據(jù)等比通項(xiàng)求解，
（2）根據(jù)等比數(shù)列的求和公式即可求解.
【小問1詳解】
∵，∴,
兩式相減得：，∴ ,
∴，
令得：，∴，,
∴是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列,
∴，即．
【小問2詳解】
由（1）得：，是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
∴
18. 已知直線過直線和直線的交點(diǎn)．
（1）若坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為，求直線的方程；
（2）若直線的傾斜角為，且，求直線的方程．
【答案】（1）或
（2）或
【解析】
【分析】（1）聯(lián)立兩直線方程求出交點(diǎn)，分類討論斜率是否存在兩種情況，利用點(diǎn)到直線的距離分別求解直線方程；
（2）由同角三角函數(shù)的關(guān)系知弦求切，得到直線的斜率，再由點(diǎn)斜式方程可得.
【小問1詳解】
由得：，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，其方程為，適合題意；
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，
即
∵坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為，
∴，解得，
此時(shí)直線的方程為
∴直線的方程為或．
【小問2詳解】
∵直線的傾斜角為，且，
由，，
∴，
∴
當(dāng)時(shí)，直線的方程為；
當(dāng)時(shí)，直線的方程為.
∴直線的方程為或
19. 已知直線與圓相交于兩點(diǎn)．
（1）若，求直線的傾斜角；
（2）問在軸上是否存在點(diǎn)，使得當(dāng)實(shí)數(shù)變化時(shí)，總有？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】（1）或
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）兩圓圓心到直線的距離求出，再根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系可得答案；
（2）設(shè)點(diǎn)，，假設(shè)存在滿足題意的點(diǎn)，即，直線方程與圓的方程聯(lián)立利用韋達(dá)定理代入求出可得答案.
【小問1詳解】
∵圓的方程為∴圓的圓心為，半徑
∵，∴圓心到直線的距離，
解得，即，
當(dāng)時(shí)，傾斜角，當(dāng)時(shí)，傾斜角，
∴直線的傾斜角為或；
【小問2詳解】
設(shè)點(diǎn)，，假設(shè)存在滿足題意點(diǎn)，即，
由得：，，
∴，，
∴，
由得：，
∴，解得：，
∴在軸上存在滿足題意的點(diǎn)，且點(diǎn)的坐標(biāo)為.
20. 設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列滿足，，且，設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由與的關(guān)系求通項(xiàng)，注意驗(yàn)證時(shí)是否成立；
（2）由等比中項(xiàng)形式證明等比數(shù)列，求解數(shù)列的基本量，再求通項(xiàng)，進(jìn)而化簡(jiǎn)，再分組求和，分別利用裂項(xiàng)相消法與等比數(shù)列求和公式求和即可.
【小問1詳解】
已知，，
則當(dāng)時(shí)，，
則有
當(dāng)時(shí)，，也適合上式，
∴．
【小問2詳解】
∵，且，
∴，
∴數(shù)列是等比數(shù)列，
又，
∴公比，
∴，
∴
，
∴
21. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，直線，設(shè)動(dòng)點(diǎn)到直線的距離為，且．
（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程，并指出它表示什么曲線；
（2）已知過點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)，直線與軸分別交于點(diǎn)，試問：線段的中點(diǎn)是否為定點(diǎn)，若是定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由．
【答案】（1），表示中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的橢圓
（2）是定點(diǎn)，
【解析】
【分析】（1）設(shè)點(diǎn)，用坐標(biāo)表示已知等式化簡(jiǎn)后可得；
（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)，，由韋達(dá)定理得，，求出點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算并代入，化簡(jiǎn)可得．
【小問1詳解】
設(shè)點(diǎn)，由得：，
整理得：，即，
它表示中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的橢圓，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，短軸長(zhǎng)為2 ；
【小問2詳解】
設(shè)直線方程為，即
由得：
由得：，
設(shè)點(diǎn)，，則，，
直線的方程為，令得：，所以點(diǎn)，
直線的方程為，令得：，所以點(diǎn)，
∴
，
∴，即線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴線段的中點(diǎn)為定點(diǎn)，其坐標(biāo)為．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查主要考查拋物線中直線過定點(diǎn)問題，解題方法是設(shè)而不求的思想方程，即設(shè)直線方程為，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，，直線方程代入拋物線方程后應(yīng)用韋達(dá)定理得，代入已知求出參數(shù)值，然后由直線方程得定點(diǎn)坐標(biāo)．
22. 已知橢圓的下頂點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，且，左焦點(diǎn)為，過點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，設(shè)為線段的中點(diǎn)，直線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交軸于點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程；
（2）當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí)，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
分析】（1）由已知條件建立關(guān)系待定系數(shù)求解即可；
（2）設(shè)直線斜率為，直線方程，聯(lián)立直線與橢圓，應(yīng)用弦的中點(diǎn)坐標(biāo)、弦長(zhǎng)公式與點(diǎn)到直線的距離公式，用表達(dá)的面積，再解方程得，再求出中點(diǎn)，直線與交點(diǎn)，則可求出的值.
【小問1詳解】
由題意知，點(diǎn)，，
則，又，，
解得：，，
∴橢圓的方程為．
【小問2詳解】
設(shè)，，因?yàn)橹本€l過F且斜率為，
設(shè)，
由得，
所以，，
因?yàn)镸為線段AB的中點(diǎn)，
所以，，
所以，
又因?yàn)?，所以?br>因?yàn)樵谥本€上，
令，則，
所以直線的方程為，令，所以，
，
所以，
又點(diǎn)到直線的距離為：，
所以的面積為
化簡(jiǎn)得：，
則，解得：，即，
所以，則直線的方程為，
又直線方程為：，
聯(lián)立直線的方程與的方程，
解得，則，

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這是一份江蘇省鹽城市五校2023_2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期10月聯(lián)考試題，共8頁。

2023-2024學(xué)年江蘇省鹽城市高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)模擬試題（含解析）：

這是一份2023-2024學(xué)年江蘇省鹽城市高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)模擬試題（含解析），共16頁。試卷主要包含了單項(xiàng)選擇題，多項(xiàng)選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

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