第15講幾何圖形的初步（5考點 34題型）（講義）-2024年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（全國通用）-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

2、學(xué)會運用數(shù)形結(jié)合思想。數(shù)形結(jié)合思想是指從幾何直觀的角度,利用幾何圖形的性質(zhì)研究數(shù)量關(guān)系，尋求代數(shù)問題的解決方法（以形助數(shù)）。
3、要學(xué)會搶得分點。要將整道題目解題思路轉(zhuǎn)化為得分點。
4、學(xué)會運用等價轉(zhuǎn)換思想。將抽象的問題轉(zhuǎn)化為具體的問題，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。
5、學(xué)會運用分類討論的思想。如果不注意對各種情況分類討論，就有可能造成錯解或漏解，縱觀近幾年的中考壓軸題分類討論思想解題已成為新的熱點。
6、轉(zhuǎn)化思想：體現(xiàn)在數(shù)學(xué)上也就是要把難轉(zhuǎn)簡，把不熟轉(zhuǎn)熟，把未知轉(zhuǎn)為已知的問題。
第15講幾何圖形的初步
目錄
TOC \ "1-3" \n \h \z \u \l "_Tc155340408" \l "_Tc155125913" 一、考情分析
二、知識建構(gòu)
\l "_Tc155340409" 考點一認識幾何圖形
\l "_Tc155340410" 題型01 幾何圖形的識別
\l "_Tc155340411" 題型02 幾何體點、棱、面之間的關(guān)系
\l "_Tc155340412" 題型03 判斷幾何體的截面形狀
\l "_Tc155340413" 題型04 判斷幾何體的展開圖
\l "_Tc155340414" 題型05 由展開圖計算幾何體的表面積或體積
\l "_Tc155340415" 題型06 正方體展開圖的識別
\l "_Tc155340416" 題型07 補一個面使其成為正方體的展開面
\l "_Tc155340417" 題型08 正方體相對兩面上的字或圖案
\l "_Tc155340418" 題型09 與七巧板有關(guān)的計算
\l "_Tc155340419" 考點二直線、射線、線段的相關(guān)概念
\l "_Tc155340420" 題型01 畫直線、射線、線段
\l "_Tc155340421" 題型02 求直線、線段的數(shù)量
\l "_Tc155340422" 題型03 求直線相交點的個數(shù)
\l "_Tc155340423" 題型04直線的性質(zhì)
\l "_Tc155340424" 題型05 線段的性質(zhì)
\l "_Tc155340425" 題型06 與線段中點有關(guān)的計算
\l "_Tc155340426" 考點三角的相關(guān)概念
\l "_Tc155340427" 題型01 度、分、秒的換算
\l "_Tc155340428" 題型02 鐘面角的計算
\l "_Tc155340429" 題型03 方向角的表示
\l "_Tc155340430" 題型04 角平分線的相關(guān)計算
\l "_Tc155340431" 題型05 求一個角的余角、補角
\l "_Tc155340432" 題型06 與余角、補角有關(guān)的計算
\l "_Tc155340433" 考點四相交線
\l "_Tc155340434" 題型01 點到直線的距離
\l "_Tc155340435" 題型02 利用對頂角、鄰補角的性質(zhì)求解
\l "_Tc155340436" 題型03 判斷同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角
\l "_Tc155340437" 考點五平行線
\l "_Tc155340438" 題型01 平行公理的應(yīng)用
\l "_Tc155340439" 題型02 利用平行線的判定進行證明
\l "_Tc155340440" 題型03 求平行線之間的距離
\l "_Tc155340441" 題型04 平行線判定的實際應(yīng)用
\l "_Tc155340442" 題型05 由平行線的性質(zhì)求角度
\l "_Tc155340443" 題型06 由平行線的性質(zhì)解決折疊問題
\l "_Tc155340444" 題型07 平行線的性質(zhì)在實際生活的應(yīng)用
\l "_Tc155340445" 題型08 利用平行線的性質(zhì)解決三角板問題
\l "_Tc155340446" 題型09 根據(jù)平行線性質(zhì)與判定求角度
\l "_Tc155340447" 題型10 根據(jù)平行線性質(zhì)與判定證明

考點一認識幾何圖形
幾何圖形的概念: 我們把實物中抽象出來的各種圖形叫做幾何圖形,幾何圖形分為平面圖形和立體圖形.
立體圖形的概念：有些幾何圖形的各個部分不都在同一平面內(nèi)，這個圖形叫做立體圖形.
平面圖形的概念：有些幾何圖形的各個部分在同一平面內(nèi)的圖形，這個圖形叫做平面圖形.
正方體展開圖（共計11種）：
口訣：1）“一四一”、“一三二”，“一”在同層可任意,
2）“三個二”成階梯,
3）“二個三”“日”相連,異層必有“日”，“凹”“田”不能有，掌握此規(guī)律，運用定自如.
幾何圖形的組成：1）點：線和線相交的地方是點，它是幾何圖形最基本的圖形.
2）線：面和面相交的地方是線，分為直線和曲線.
3）面：包圍著體的是面，分為平面和曲面.
4）體：幾何體也簡稱體.
組成幾何圖形元素的關(guān)系：點動成線，線動成面，面動成體.
【擴展】
1.同一個立體圖形按不同的方式展開得到的平面展開圖是不一樣的.
2.在正方體的展開圖中，一條直線上的小正方形不會超過四個,圖1所示的圖形不是正方體的展開圖.
3.正方體的展開圖中不會有“田”字形、“凹”字形的形狀,圖2、圖3所示的圖形不是正方體的展開圖.
題型01 幾何圖形的識別
【例1】（2023·山東臨沂·統(tǒng)考一模）下列幾何體中，是棱錐的為（）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分別判斷選項的幾何題即可得到答案．
【詳解】解：A.圖形中的幾何體是棱錐，故此選項符合題意；
B.圖形中的幾何體是正方體，故此選項不符合題意；
C.圖形中的幾何體是圓錐，故此選項不符合題意；
D.圖形中的幾何體是圓柱，故此選項不符合題意；
故選：A．
【點睛】本題考查了幾何體的識別，掌握各幾何體的特征是解題的關(guān)鍵．
【變式1-1】（2023·北京西城·統(tǒng)考一模）下面幾何體中，是圓柱的是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)圓柱的特征，即可解答．
【詳解】解：A.是正方體，故不符合題意；
B.是圓柱，故符合題意；
C.是圓錐，故不符合題意；
D.是球體，故不符合題意，
故選：B．
【點睛】本題考查了認識立體圖形，熟練掌握每個幾何體的特征是解題的關(guān)鍵．
【變式1-2】（2023·江蘇鎮(zhèn)江·校聯(lián)考一模）不透明的箱子中裝有一個幾何體模型，小樂和小欣摸該模型并描述它的特征．小樂：它有4個面是三角形；小欣：它有6條棱．則該幾何體模型的形狀可能是（）
A．三棱錐B．三棱柱C．四棱錐D．四棱柱
【答案】A
【分析】根據(jù)幾何體有4個面是三角形，有6條棱，進行判斷即可．
【詳解】解：∵幾何體有4個面是三角形，
∴幾何體不能是棱柱（棱柱側(cè)面均為四邊形，只有三棱柱上下底面是三角形）；
又∵幾何體有6條棱，
∴選項中只有A選項符合題意；
故選A．
【點睛】本題考查幾何體的判斷．熟練掌握常見幾何體的特征，是解題的關(guān)鍵．
題型02 幾何體點、棱、面之間的關(guān)系
【例2】（2020·山東棗莊·中考真題）歐拉（Euler，1707年~1783年）為世界著名的數(shù)學(xué)家、自然科學(xué)家，他在數(shù)學(xué)、物理、建筑、航海等領(lǐng)域都做出了杰出的貢獻．他對多面體做過研究，發(fā)現(xiàn)多面體的頂點數(shù)（Vertex）、棱數(shù)E（Edge）、面數(shù)F（Flat surface）之間存在一定的數(shù)量關(guān)系，給出了著名的歐拉公式．
（1）觀察下列多面體，并把下表補充完整：
（2）分析表中的數(shù)據(jù)，你能發(fā)現(xiàn)V、E、F之間有什么關(guān)系嗎？請寫出關(guān)系式：____________________________．
【答案】（1）表格詳見解析；（2）V+F?E=2
【分析】（1）通過認真觀察圖象，即可一一判斷；
（2）從特殊到一般探究規(guī)律即可．
【詳解】解：（1）填表如下：
（2）據(jù)上表中的數(shù)據(jù)規(guī)律發(fā)現(xiàn)，多面體的頂點數(shù)V、棱數(shù)E、面數(shù)F之間存在關(guān)系式：V+F?E=2．
【點睛】本題考查規(guī)律型問題，歐拉公式等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會從特殊到一般探究規(guī)律的方法，屬于中考常考題型．
題型03 判斷幾何體的截面形狀
【例3】（2023·河南信陽·二模）妹妹把一密閉且透明的圓柱形水杯中裝一半的水，隨意轉(zhuǎn)動水杯，水面的形狀不可能是（）
A．三角形B．長方形C．圓形D．橢圓
【答案】A
【分析】根據(jù)圓柱體的截面形狀，判斷即可．
【詳解】解：因為圓柱的截面形狀可能是圓形，橢圓形或長方形，
所以，一個密閉且透明的圓柱形水杯中裝一半的水，隨意轉(zhuǎn)動水杯，則水面的形狀不可能是三角形．
故選：A．
【點睛】本題考查了截一個幾何體，熟練掌握圓柱體的截面形狀是解題的關(guān)鍵．
【變式3-1】（2023·江蘇南京·校聯(lián)考三模）在一個密閉透明的圓柱桶內(nèi)裝一定體積的水，將圓柱桶按不同方式放置時，圓柱桶內(nèi)的水平面不可能呈現(xiàn)出的幾何形狀是（）
A．圓面B．矩形面
C．梯形面D．橢圓面或部分橢圓面
【答案】C
【分析】對不同的放置情況分別判斷，得出結(jié)論．
【詳解】解：當(dāng)圓柱桶豎直放置時，液面形狀為圓形，故選項A不符合題意；
當(dāng)圓柱桶水平放置時，液面為矩形，故選項B不符合題意；
無論圓柱桶怎樣放置，圓柱桶內(nèi)的水平面不可能呈現(xiàn)出梯形面，故選項C符合題意；
當(dāng)圓柱桶傾斜放置時，若液面經(jīng)過底面，則液面為橢圓的一部分，若液面不經(jīng)過底面，則液面為橢圓，故選項D不符合題意．
故選：C．
【點睛】本題考查了圓柱的結(jié)構(gòu)特征．關(guān)鍵是理解用平面去截圓柱體，所得到截面.
【變式3-2】（2023·四川成都·統(tǒng)考一模）分別用一平面去截如圖所示幾何體，能得到截面是矩形的幾何體共有（）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【答案】C
【分析】利用正方體、圓柱、三棱柱、圓錐、球體的結(jié)構(gòu)特征解答即可．
【詳解】解：用一個平面去截正方體、圓柱、三棱柱，都可以得到截面是矩形，
用一個平面去截圓錐、球體，不可以得到截面是矩形，
所以用一平面去截如圖所示幾何體，能得到截面是矩形的幾何體共有3個．
故選：C．
【點睛】本題考查了截一個幾何體，熟練掌握正方體、圓柱、三棱柱、圓錐、球體的結(jié)構(gòu)特是解題的關(guān)鍵．
【變式3-3】（2023·廣東深圳·統(tǒng)考一模）如圖，往一個密封的正方體容器持續(xù)注入一些水，注水的過程中，可將容器任意放置，水平面形狀不可能是（）
A．三角形B．正方形C．六邊形D．七邊形
【答案】D
【分析】正方體有六個面，用平面去截正方體時最多與六個面相交得六邊形，最少與三個面相交得三角形，因此截面的形狀可能是：三角形、四邊形、五邊形、六邊形，即可得到答案；
【詳解】解：∵正方體有六個面，用平面去截正方體時最多與六個面相交得六邊形，最少與三個面相交得三角形，
∴截面的形狀可能是：三角形、四邊形、五邊形、六邊形，
故選D．
【點睛】本題考查了正方體的截面，解題的關(guān)鍵是熟練掌握面面相交等到線．
題型04 判斷幾何體的展開圖
【例4】（2023·山西忻州·校聯(lián)考模擬預(yù)測）下列圖形中，為圓錐的側(cè)面展開圖的是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)立體圖形的特點及張開圖的特點即可求解．
【詳解】解：A、是棱錐的側(cè)面展開圖，不符合題意；
B、是圓錐的側(cè)面展開圖，符合題意；
C、是圓臺的側(cè)面展開圖，不符合題意；
D、是圓柱的側(cè)面展開圖，不符合題意；
故選：B．
【點睛】本題主要考查立體圖形的展開圖的識別，掌握圓錐、棱錐、圓柱，圓臺的特點及張開圖的特點是解題的關(guān)鍵．
【變式4-1】（2023·湖南長沙·統(tǒng)考三模）如圖，是一個幾何體的表面展開圖，那么這個幾何體的名稱是（）

A．正三棱柱B．正三棱錐C．圓柱D．圓錐
【答案】A
【分析】由表面展開圖得，這個幾何體是正三棱柱．
【詳解】解：由表面展開圖得，這個幾何體是正三棱柱，
故選：A．
【點睛】本題考查了幾何體的表面展開圖，解題的關(guān)鍵是熟記幾何體的表面展開圖的特征．
【變式4-2】（2023·江西九江·校考模擬預(yù)測）將如圖所示的圓錐的側(cè)面展開，則點A和點B在展開圖中的相對位置正確的是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)點B在圓錐的母線上，將圓錐側(cè)面展開后，點B應(yīng)在扇形的半徑上，且A，B間距離為扇面的一半，故可解答．
【詳解】解：點B在圓錐的母線上，將圓錐側(cè)面展開后，點B應(yīng)在扇形的半徑上，且A，B間距離為扇面的一半，
故選：C
【點睛】本題主要考查了圓錐的側(cè)面展開圖，考核了學(xué)生的空間想象能力．
【變式4-3】（2023·北京通州·統(tǒng)考一模）如圖，是某一個幾何體的表面展開圖，這個幾何體是（）
A．五棱錐B．四棱錐C．四棱柱D．三棱柱
【答案】D
【分析】側(cè)面為三個長方形，底邊為三角形，故原幾何體為三棱柱．
【詳解】解：觀察圖形可知，這個幾何體是三棱柱．
故選：D．
【點睛】本題考查的是三棱柱的展開圖，從實物出發(fā)，結(jié)合具體的問題，辨析幾何體的展開圖，通過結(jié)合立體圖形與平面圖形的轉(zhuǎn)化，建立空間觀念，是解決此類問題的關(guān)鍵．
【變式4-4】（2023·河北石家莊·統(tǒng)考一模）將如圖所示的長方體包裝盒沿某些棱剪開，且使六個面連在一起，然后鋪平，則得到的圖形不可能是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】依據(jù)長方體的展開圖的特征進行判斷即可．
【詳解】解：A、符合長方體的展開圖的特點，是長方體的展開圖，故此選項符合題意；
B、符合長方體的展開圖的特點，是長方體的展開圖，故此選項符合題意；
C、符合長方體的展開圖的特點，是長方體的展開圖，故此選項符合題意；
D、不符合長方體的展開圖的特點，不是長方體的展開圖，故此選項不符合題意．
故選：D．
【點睛】本題考查了長方體的展開圖，熟練掌握長方體的展開圖的特點是解題的關(guān)鍵．
題型05 由展開圖計算幾何體的表面積或體積
【例5】（2023·河北保定·統(tǒng)考二模）張師傅要制作一個無蓋長方體玻璃魚缸，切割出來的幾塊玻璃的尺寸如圖所示（單位：dm），則其體積為（）

A．60dm3B．72dm3C．74dm3D．94dm3
【答案】A
【分析】設(shè)長方體底面的長和寬分別xdm，ydm，根據(jù)其平面展開圖的相關(guān)數(shù)據(jù)可得關(guān)于x、y的二元一次方程組，然后根據(jù)長方體的體積公式求解即可.
【詳解】解：設(shè)長方體底面的長和寬分別xdm，ydm，
由平面圖可知，x+y=9y+3=7，解得x=5y=4；
故魚缸的體積為4×5×3=60dm3.
故選A.
【點睛】本題考查了長方體的平面展開圖以及二元一次方程組等知識，弄清長方體的展開圖與圓長方體中長、寬、高的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.
【變式5-1】（2023·黑龍江大慶·大慶一中?？寄M預(yù)測）如圖是某幾何體的展開圖，則該幾何體的體積為（）

A．πB．3πC．32πD．33π
【答案】D
【分析】由題意知，該幾何體為圓錐，如圖，則 BC=12×2=1，AB=2，∠ACB=90°，在Rt△ACB中，由勾股定理得，AC=3，則幾何體的體積V=13S?=13×π×3，計算求解即可．
【詳解】解：由題意知，該幾何體為圓錐，如圖，則BC=12×2=1，AB=2，∠ACB=90°，

在Rt△ACB中，由勾股定理得，AC=AB2?BC2=3，
∴幾何體的體積V=13S?=13×π×3=33π，
故選：D．
【點睛】本題考查了根據(jù)圓錐的展開圖求圓錐體積，勾股定理．解題的關(guān)鍵在于確定幾何體的形狀．
【變式5-2】（2022·河北石家莊·統(tǒng)考一模）相同規(guī)格（長為14，寬為8）的長方形硬紙板，剪掉陰影部分后，將剩余的部分沿虛線折疊，制作成底面為正方形的長方體箱子，有如圖所示的甲、乙兩種方案，所得長方體體積分別記為：V甲和V乙．下列說法正確的是：（）
A．V甲>V乙B．V甲=V乙C．V甲36
∴V甲>V乙
故選A．
【點睛】本題考查了長方體的展開圖，體積，二元一次方程組的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵在于求出長方體的高，底面正方形的邊長．
【變式5-3】（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考二模）在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以AB所在直線為軸，把△ABC旋轉(zhuǎn)1周，得到一個幾何體，則該幾何體的表面積為．
【答案】845π
【分析】先求出直角三角形斜邊AB的長，然后再求出斜邊上的高，最后根據(jù)扇形面積公式進行求解即可．
【詳解】解：過點C作CD⊥AB于點D，
∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=AC2+BC2=5，
∴CD=AC×BCAB=3×45=125，
∴該幾何體的表面積為：12×2×125π×3+4=845π．
故答案為：845π．
【點睛】本題主要考查了勾股定理，圓錐側(cè)面積的計算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握扇形面積公式，準(zhǔn)確計算．
【變式5-4】（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考一模）如圖為一個長方體的展開圖，且長方體的底面為正方形．根據(jù)圖中標(biāo)示的長度，此長方體的表面積為．
【答案】370
【分析】根據(jù)展開圖，可以求得原來長方體的底面的邊長和高，然后計算長方體的表面積即可．
【詳解】解：設(shè)原長方體底面邊長為a，長方體高為b，
15=3a，2a+b=26，
解得a=5，b=16，
∴長方體的表面積為：5×5×2+5×16×4=370，
故答案為：370．
【點睛】本題考查幾何體的展開圖，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
【變式5-5】（2022·貴州貴陽·統(tǒng)考三模）如圖，把一個高9dm的圓柱的底面分成許多相等的扇形，然后把圓柱切開，拼成一個與它等底等高的近似長方體，它的表面積比圓柱體的表面積增加了36dm2．原來這個圓柱的體積是 dm3．
【答案】36π
【分析】增加的面積等于底面半徑乘以高，再乘以2，由此可以計算出圓柱的底面半徑，進而可以算出圓柱的體積．
【詳解】解：圓柱的底面半徑為：36÷2÷9=2（分米），
故圓柱的體積為：π×22×9=36π（立方分米），
故答案：36π．
【點睛】本題考查圓柱的體積，長方形的面積，長方體的表面積，掌握圓周的體積公式是解決本題的關(guān)鍵．
題型06 正方體展開圖的識別
【例6】（2023·河南周口·校聯(lián)考三模）下列哪個不是正方體的側(cè)面展開圖（）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)已知正方體圖形，利用排除法選出正確答案，從底面和側(cè)面的情況進行全面的分析，相鄰必不相對．
【詳解】根據(jù)已知正方體圖形，從底面和側(cè)面的情況進行全面的分析，相鄰必不相對．
利用排除法可得D選項正確
故選：D
【點睛】判斷一個平面圖形是不是某立體圖形的平面展開圖，需要從底面和側(cè)面的情況進行全面的分析，反之相同，在分析過程中需謹記，相鄰必不相對．此類題目的解答有兩種思路∶①根據(jù)已知立體圖形，利用排除法選出正確答案；②將選項中的展開圖還原成成立體圖形與已知立體圖形比較得出正確答案．
【變式6-1】（2023·河南南陽·統(tǒng)考二模）下列四個圖形中，不能作為正方體的展開圖的是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用不能出現(xiàn)同一行有多于4個正方形的情況，不能出現(xiàn)田字形、凹字形的情況進行判斷，也可對展開圖進行還原成正方體進行判斷．
【詳解】解：A．可以作為一個正方體的展開圖，不符合題意；
B．不可以作為一個正方體的展開圖，符合題意；
C．可以作為一個正方體的展開圖，不符合題意；
D．可以作為一個正方體的展開圖，不符合題意；
故選：B
【點睛】本題考查正方體的展開圖，熟記展開圖的11種形式是解題的關(guān)鍵，利用不是正方體展開圖的“一線不過四、田凹應(yīng)棄之”（即不能出現(xiàn)同一行有多于4個正方形的情況，不能出現(xiàn)田字形、凹字形的情況）判斷也可．
【變式6-2】（2023·江蘇南京·統(tǒng)考二模）如圖，將左圖的正方形紙盒切去一角得到下圖，下列選項中，不能作為紙盒剩余部分的展開圖的是（）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)正方體展開圖的特征，由條件結(jié)合圖形驗證是否能拼成正方體，逐項判斷即可得出結(jié)論．
【詳解】解：根據(jù)正方體的展開圖的特征可知：
A.圖形是中間四個連一行，兩邊隨意擺的形式，符合正方體的展開圖，所以A選項正確；
B.圖形是二三相連錯一個，三一相連隨意的形式，符合正方體的展開圖，所以B選項正確；
C.圖形是三個兩排一對齊，不符合正方體的展開圖，無法拼成正方體，所以C選項不正確；
D.圖形是兩兩相連各錯一的形式，符合正方體的展開圖，所以D選項正確；
故選：C．
【點睛】本題主要考查了正方體展開圖的特征，熟練掌握正方體展開圖的各種形式，是解題的關(guān)鍵．
題型07 補一個面使其成為正方體的展開面
【例7】（2022·吉林長春·統(tǒng)考一模）如圖，在有序號的小正方形中選出一個，它與圖中五個有陰影的小正方形組合后，不能構(gòu)成正方體的表面展開圖的是（）

A．①B．②C．③D．④
【答案】D
【分析】根據(jù)正方體的展開圖判斷即可得出答案．
【詳解】解：①②③都可以構(gòu)成正方體的表面展開圖，它們都屬于“141”型，故A，B，C選項不符合題意；
④不可以構(gòu)成正方體的表面展開圖，因為出現(xiàn)了“田”字，故D選項符合題意；
故選：D．
【點睛】本題考查了正方體的展開圖，掌握正方體的11種展開圖是解題的關(guān)鍵．
【變式7-1】（2023·浙江·模擬預(yù)測）在圖中，實線所圍成的多邊形區(qū)域（陰影部分）是由四個全等正方形拼接而成的．現(xiàn)在若補上圖中標(biāo)有號碼的其中一個全等小正方形，則可得到九個多邊形區(qū)域（每個區(qū)域恰好含有五個全等小正方形），試問這九個多邊形區(qū)域中，可以折成無蓋的正方體容器的個數(shù)是（）
A．3B．4C．5D．6
【答案】D
【分析】根據(jù)正方體的展開圖有11種情況：1?4?1型共6種，1?3?2型共3種，2?2?2型一種，3?3型一種，由此判定找出答案即可．
【詳解】解：根據(jù)題意可得：
補上后能夠折成無蓋的正方體容器的有：④⑤⑥⑦⑧⑨，
共6個，
故選：D．
【點睛】此題考查正方體的展開圖，解決此題的關(guān)鍵是記住正方體展開圖的類型1-4-1型，2-3-1型，2-2-2型，3-3型．以及口訣“凹、田應(yīng)棄之”．
【變式7-2】（2022·湖北恩施·統(tǒng)考二模）在如圖所示的正方形網(wǎng)格中，其中陰影部分的5個小正方形是一個正方體的表面展開圖的一部分．現(xiàn)在從其余的小正方形中任取一個涂上陰影，則能構(gòu)成這個正方體的表面展開圖的概率是（）
A．112B．17C．13D．47
【答案】D
【分析】由正方體表面展開圖的形狀可知，此正方體還缺一個上蓋，故應(yīng)在圖中四塊相連的空白正方形中選一塊，再根據(jù)概率公式解答即可．
【詳解】解：因為共有12個大小相同的小正方形，其中陰影部分的5個小正方形是一個正方體的表面展開圖的一部分，
所以剩下7個小正方形．
在其余的7個小正方形中任取一個涂上陰影，能構(gòu)成這個正方體的表面展開圖的小正方形有4個，
因此先從其余的小正方形中任取一個涂上陰影，能構(gòu)成這個正方體的表面展開圖的概率是47．
故選：D．
【點睛】此題考查了概率公式，用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比，掌握概率公式是本題的關(guān)鍵．
【變式7-3】（2022·廣東深圳·坪山中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，方格紙（每個小正方形邊長都相同）中5個白色小正方形已剪掉，在剩余七個小正方形中再剪去1個正方形，恰好使余下部分能折成一個正方體的概率是．

【答案】27
【分析】根據(jù)正方體的11種展開圖的模型求解，即可得到答案．
【詳解】解：由正方體的11種展開圖的模型可知，把圖中的⑥或⑦剪去，余下部分能折成一個正方體，
即概率為27，
故答案為：27．
【點睛】本題考查了正方體的展開圖，概率公式，熟記正方體的11種展開圖的模型是解題關(guān)鍵
題型08 正方體相對兩面上的字或圖案
【例8】（2023·河北滄州·校考模擬預(yù)測）如圖，點P，Q是一正方體展開圖上的兩個頂點，則頂點P，Q在正方體上的位置標(biāo)記正確的是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)正方體展開圖直接判斷即可得到答案；
【詳解】解：由圖像可得，
P，Q在相對的兩面，且與相鄰正方形頂點重合，故P，Q在同一條棱上，
故選C；
【點睛】本題考查正方體展開圖，解題的關(guān)鍵是熟練掌握展開圖的相對相鄰面及相鄰棱之間的關(guān)系．
【變式8-1】（2023·河南信陽·校考三模）習(xí)近平總書記在黨的二十大報告中提出：“新時代十年的偉大變革，在黨史、新中國史、改革開放史、社會主義發(fā)展史、中華民族發(fā)展史上具有里程碑意義”將“二”“十”“大”“里”“程”“碑”這六個漢字分別寫在某正方體的六個面上，下圖是它的一種展開圖，則在原正方體中，與“里”字所在面相對的面上的漢字是（）

A．十B．二C．程D．碑
【答案】B
【分析】將正方體的展開圖還原成立體圖，即可求解
【詳解】解：若以“大”字作為正方體的底面
可知：“十”、“碑”為前后兩個面；
“二”、“里”為左右兩個面；
“程”、“大”為上下兩個面．
故選：B
【點睛】本題考查正方體展開圖相對兩個面上的字．將展開圖還原成立體圖是解題關(guān)鍵．
【變式8-2】（2023·河南信陽·?？既＃┫铝姓襟w的展開圖中，每個面上都有一個漢字，則“口”的對面是“手”的展開圖是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)正方體的表面展開圖找相對面的方法逐項判斷即可．
【詳解】解：A、“口”的對面是“洗”，故A不符合題意；
B、“口”的對面是“勤”，故B不符合題意；
C、“口”的對面是“洗”，故C不符合題意；
D、“口”的對面是“手”，故D符合題意；
故選：D．
【點睛】本題考查了正方體相對兩個面上的文字，熟練掌握根據(jù)正方體的表面展開圖找相對面的方法是解題的關(guān)鍵．
【變式8-3】（2023·湖北恩施·?？寄M預(yù)測）有一個正方體，6個面上分別寫有數(shù)字1、2、3、4、5、6，有3個人從不同的角度觀察的結(jié)果如圖所示．如果記6 的對面的數(shù)字為a，2的對面的數(shù)字為b，那么a+b的值為（）

A．6B．7C．8D．11
【答案】B
【分析】由圖一和圖二可看出1的對面的數(shù)字是5；再由圖二和圖三可看出3的對面的數(shù)字是6，從而2的對面的數(shù)字是4，從而可得答案．
【詳解】解：從3個小立方體上的數(shù)可知，
與寫有數(shù)字1的面相鄰的面上數(shù)字是2，3，4，6，
所以數(shù)字1面對數(shù)字5，
與寫有數(shù)字3的面相鄰的面上數(shù)字是1，2，4，5，
所以立方體面上數(shù)字3對6．
故立方體面上數(shù)字2對4．
則a=3，b=4，
那么a+b=3+4=7．
故選B．
【點睛】本題考查靈活運用正方體的相對面解答問題，解題的關(guān)鍵是按照相鄰和所給圖形得到相對面的數(shù)字．
【變式8-4】（2023·山東青島·統(tǒng)考二模）如圖的正方體紙盒，只有三個面上印有圖案，下面四個平面圖形中，經(jīng)過折疊能圍成此正方體紙盒的是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】四個選項中的圖都是正方體展開圖的“1?4?1”結(jié)構(gòu)．由正方體可以看出，有圖案的三個面兩兩相鄰．
【詳解】解：四個選項中的圖都是正方體展開圖的“1?4?1”結(jié)構(gòu)．由正方體可以看出，有圖案的三個面兩兩相鄰；
A、C、D選項折成正方體后有圖案的面有兩個相對，不符合題意；B選項折成正方體后，有圖案的三個面兩兩相鄰；
的展開圖是
故選：B．
【點睛】正方體展開圖“1?4?1”結(jié)構(gòu)，折成正方體后，兩個“1”相對，“4”組成側(cè)面，間隔面相鄰．關(guān)鍵是明白有圖案的三個面兩兩相鄰．
【變式8-5】（2023·河北滄州·?？寄M預(yù)測）如圖，已知一個正方體是三個面分別標(biāo)有〇、◎、※三種圖案，則它的展開圖可能是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)正方體表面展開圖的特征進行判斷即可．
【詳解】解：由正方體表面展開圖的“相間、Z端是對面”可知，
選項A中“〇面”“◎面”“※面”的對面都是“空白”，故選項A符合題意；
選項B中的“◎面”與“※面”是對面，與題意矛盾，故選項B不符合題意；
選項C中的“〇面”與“◎面”是對面，與題意矛盾，故選項C不符合題意；
選項D中的“◎面”與“※面”是對面，與題意矛盾，故選項D不符合題意．
故選：A．
【點睛】本題主要考查正方體的展開圖，掌握正方體表面展開圖的特征是正確解答本題的關(guān)鍵．

正方體展開圖相對面的確定方法：1）同一行或同一列，間隔一個面的兩個面是相對面；
2）“Z”字型圖案中，兩端點處的兩個面是相對面.
題型09 與七巧板有關(guān)的計算
【例9】（2023·江西贛州·統(tǒng)考二模）如圖，七巧板起源于我國先秦時期，古算書《周髀算經(jīng)》中有關(guān)于正方形的分割術(shù)，經(jīng)歷代演變而成七巧板．下列由七巧板拼成的表情圖中，是軸對稱圖形的為（）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念逐項分析判斷即可，軸對稱圖形的概念：平面內(nèi)，一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形．
【詳解】解：選項A、B、D均不能找到這樣的一條直線，使直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形，所以不是軸對稱圖形；
選項C能找到這樣的一條直線，使直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形，所以是軸對稱圖形；
故選：C．
【點睛】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．
【變式9-1】（2023·廣東深圳·?？既＃┢咔砂迨俏覈糯鷦趧尤嗣竦陌l(fā)明之一，被譽為“東方魔板”，它是由五塊等腰直角三角形、一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組成的，如圖，是一個用七巧板拼成的裝飾圖，放入長方形ABCD內(nèi)，裝飾圖中的三角形頂點E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，三角形①的邊GD在邊AD上，則BFBE的值為（）
A．1+22B．22C．2+24D．2+22
【答案】D
【分析】設(shè)七巧板正方形的邊長為x，根據(jù)正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)分別表示出BF，BE的長，即可求解．
【詳解】解：設(shè)七巧板正方形的邊長為x，
∴2BE2=x2，
∴BE2=x22，
∴BE=22x，
∴BF=12x+22x，
∴BFBE=1+2222x=1+22=2+22．
故選：D．
【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，七巧板，勾股定理，正方形的性質(zhì)，表示出BF，BE的長是解題的關(guān)鍵．
【變式9-2】（2023·江西宜春·統(tǒng)考二模）七巧板是我們祖先的一項偉大創(chuàng)造，被興為“東方魔板”．在一次“美術(shù)制作”活動課上，小明用邊長為4cm的正方形紙片制作了如圖所示的七巧板（如圖1），并設(shè)計了一幅作品“我跑步，我快樂”創(chuàng)作畫（如圖2），則創(chuàng)作畫中陰影部分的面積是 cm2．

【答案】5
【分析】先求出最小的等腰直角三角形的面積=18×12×42=1cm2，最大的等腰直角三角形的面積為4cm2，再根據(jù)陰影部分的組成求出相應(yīng)的面積即可求解．
【詳解】解：最小的等腰直角三角形的面積=18×12×42=1cm2，最大的等腰直角三角形的面積為14×42=4cm2，
∴陰影部分的面積為4+1=5cm2．
故答案為：5
【點睛】本題主要考查了圖形的剪拼、七巧板，解題的關(guān)鍵是求出最小的等腰直角三角形的面積，學(xué)會利用分割法求陰影部分的面積．
【變式9-3】（2023·陜西寶雞·統(tǒng)考三模）七巧板是中國民間流傳的一種傳統(tǒng)智力玩具，它是由等腰直角三角形，正方形和平行四邊形組成的．如圖，有一塊邊長為42的正方形厚紙板ABCD，做成如圖①所示的一套七巧板(點O為正方形紙板對角線的交點，點E、F分別為AD、CD的中點，GE∥BI，IH∥CD)，將圖①所示七巧板拼成如圖②所示的“魚形”，則“魚尾”MN的長為．

【答案】6
【分析】依據(jù)勾股定理即可得到AC的長，進而得出FI=EI=2，EF=4，即可得到“魚尾”MN的長．
【詳解】解：∵正方形厚紙板ABCD的邊長為42，
∴AD=CD=42，
∴AC=AD2+CD2=8，
又∵AG=GO=OH=CH，
∴FI=EI=2，EF=4，
∴NM=EF+IF=6，
故答案為：6．
【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，七巧板問題，掌握七巧板的結(jié)構(gòu)特點是解決問題的關(guān)鍵．
【變式9-4】（2023·陜西西安·西安市鐵一中學(xué)校考模擬預(yù)測）七巧板是我國古代勞動人民的發(fā)明之一，被譽為“東方魔板”，它是由五塊等腰直角三角形、一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組成的．如圖是一個用七巧板拼成的正方形，且邊長為4，那么陰影部分面積為．

【答案】3
【分析】將正方形ABCD的面積分成16等份，看陰影部分占幾份即可．
【詳解】解：如圖所示，正方形ABCD的面積可以分成16等份，

其中△BJE占1份，平行四邊形HPFD占2份，
∵正方形ABCD的邊長為4，
∴ S正方形ABDF=42=16，
∴S陰影=S△BJE+S?HPFD=1+216×16=3．故答案為：3．
【點睛】本題考查七巧板相關(guān)的計算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形得出陰影部分所占面積與正方形面積之比．
考點二直線、射線、線段的相關(guān)概念
一、直線、射線、線段的相關(guān)概念
直線的性質(zhì)：
1）直線公理: 經(jīng)過兩點有且只有一條直線，簡稱：兩點確定一條直線；
2）經(jīng)過一點的直線有無數(shù)條，過兩點的直線只有一條，過三點就不一定了.
兩點間的距離：連接兩點間的線段的長度叫兩點間的距離.
線段的性質(zhì)：兩點的所有連線中，線段最短. 簡稱：兩點之間，線段最短.
線段的長度比較方法：1)度量法:分別用刻度尺測量線段AB、線段CD的長度，再進行比較
2)疊加法:讓線段某一段端點重合，比較另一邊兩端點的位置.
線段中點的概念：把一條線段分成兩條相等的線段的點叫線段中點.
1. 線段的長度可以度量，所以能夠比較線段的長短，而且線段的長度是非負數(shù).
2. 一條線段的中點只有一個.
3. 某一個點要成為一條線段的中點必須同時滿足兩個條件：
1）點必須在這條直線上.
2）它把這條線段分為兩條相等的兩條線段.
題型01 畫直線、射線、線段
【例1】（2023·河北廊坊·?？既＃┤鐖D，已知A、B兩點，畫射線AB，按照上述語句，下列畫法正確的是（）

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)射線的概念即可得到答案．
【詳解】解：已知A、B兩點，畫射線AB，如圖所示：
，
故選：A．
【點睛】本題主要考查了射線的定義，熟練掌握射線的定義：由線段的一端無限延伸所形成的直線，是解題的關(guān)鍵．
【變式1-1】（2023·河北滄州·?？寄M預(yù)測）下列各選項中的射線EF和直線AB能相交的是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)線段、射線、直線的性質(zhì)和圖判斷即可．
【詳解】解：A、射線EF延伸，不能與AB相交，故本選項錯誤；
B、能相交，故本選項正確；
C、射線只能向F點方向延伸，不能向E點方向延伸，因此不能相交，故本選項錯誤；
D、射線只能向F點方向延伸，不能向E點方向延伸，因此不能相交，故本選項錯誤；
故選：B．
【點睛】本題考查了對線段、射線、直線的性質(zhì)的應(yīng)用，注意：直線能向兩方無限延伸，射線只能向一方無限延伸，而線段不能延伸．
【變式1-2】（2023·河北衡水·統(tǒng)考二模）如圖，若線段PC與線段OA有一個公共點，則點C可以是（）
A．點DB．點EC．點QD．點M
【答案】A
【分析】把P與各點的連線段畫出來即可得到答案.
【詳解】解：如圖，
若線段PC與線段OA有一個公共點，則點C可以是D，
故選A
【點睛】本題考查的是線段的概念，熟記線段的特征是解本題的關(guān)鍵.
題型02 求直線、線段的數(shù)量
【例2】（2023·河北保定·統(tǒng)考二模）如圖，點C在線段BD上，過A，B，C，D中的兩點可以畫一條直線，其中過點C的直線有（）

A．2條B．3條C．4條D．5條
【答案】A
【分析】根據(jù)直線的特征即可得到答案．
【詳解】解：如圖，過點C的直線有AC，BD，共2條．

故選：A．
【點睛】此題考查了直線的條數(shù)，熟練掌握直線的特征是解題的關(guān)鍵．
【變式2-1】（2020·浙江杭州·模擬預(yù)測）1000m的大道兩側(cè)從起點開始每隔10m各種一棵樹，相鄰兩棵樹之間放一盆花，這樣需要（）
A．樹200棵，花200盆B．樹202棵，花200盆
C．樹202棵，花202盆D．樹200棵，花202盆
【答案】B
【分析】用1000÷10求得大道一側(cè)的間隔數(shù)，用間隔數(shù)加上1就是一側(cè)植樹的棵數(shù)，再乘2就是兩側(cè)一共植樹的棵數(shù)，用間隔數(shù)乘2就是兩側(cè)一共要放多少盆花，
【詳解】解：種花：1000÷10×2=100×2=200（盆）
種樹：（1000÷10+1）×2=101×2=202（棵）
答：這樣需要202棵樹，200盆花．
故選：B．
【點睛】本題考查線段上端點問題．為使其更直觀，用圖示法來說明．樹用點來表示，植樹的沿線用線來表示，這樣就把植樹問題轉(zhuǎn)化為一條非封閉或封閉的線上的“點數(shù)”與相鄰兩點間的線的段數(shù)之間的關(guān)系問題．
【變式2-2】（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考一模）哈齊高鐵于2015年開通，是我國目前最北端的高速鐵路，開通8年時間，方便了千千萬萬大慶市民出行，也推動了龍江經(jīng)濟發(fā)展．從大慶西站到哈爾濱站中間有4個車站，共有種票價．（注：擬設(shè)每兩個城市之間的票價相同）
【答案】15
【分析】把中途4站看作線段AB上的4個點，數(shù)出線段的數(shù)量即可求解．
【詳解】把中途4站看作線段AB上的4個點．
線段共有：5+4+3+2+1=15（條），
所以有15種不同的票價．
故答案為：15．
【點睛】本題考查了線段數(shù)量問題，將問題轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．
題型03 求直線相交點的個數(shù)
【例3】（2023·安徽蚌埠·校考二模）將一塊等邊三角形蛋糕切三次，最多能分成的塊數(shù)為（）
A．3B．5C．7D．9
【答案】C
【分析】根據(jù)題意畫出圖形即可求解．
【詳解】如圖所示，將一塊等邊三角形蛋糕切三次，最多能分成的塊數(shù)為7塊
故選：C．
【點睛】本題考查了直線分平面問題，理解題意是解題的關(guān)鍵．
【變式3-1】（2022·四川達州·四川省渠縣中學(xué)?？级＃┰谄矫嬷?，兩條直線最多只有1個交點，三條直線最多有3個交點…若n條直線最多有325個交點，則n的值為（）
A．24B．25C．26D．27
【答案】C
【分析】從簡單情形考慮：分別求出2條、3條、4條、5條直線相交時最多的交點個數(shù)，找出規(guī)律即可解答．
【詳解】解：2條直線相交最多有1個交點；
3條直線相交最多有1+2個交點；
4條直線相交最多有1+2+3個交點；
5條直線相交最多有1+2+3+4個交點；
…
所以n條直線相交最多有1+2+3+4+5+…+（n-1）=12n（n-1）個交點；
∴12n(n?1) =325，
解得n=26（負值已舍去），
則n值為26．
故選：C．
【點睛】此題考查圖形的變化規(guī)律，解答此題的關(guān)鍵是找出其中的規(guī)律，利用規(guī)律解決問題．
【變式3-2】（2023·湖北武漢·校考模擬預(yù)測）2條直線最多有S1個交點，3條直線最多有S2個交點，按照規(guī)律依此類推，2023條直線最多有S2022個交點，則1S1+1S2+1S3+?+1S2021+1S2022的值為（）
A．20231012B．40442023C．40452023D．20211011
【答案】B
【分析】先求出S1，S2，S3，由此發(fā)現(xiàn)規(guī)律，可得S2022=2022×20232，從而得到1S1+1S2+1S3+?+1S2021+1S2022=11+13+16+?+22022×2023==21?12+212?13+213?14+?+212022?12023，即可求解．
【詳解】解：根據(jù)題意得：S1=2×2?12=1，
S2=3×3?12=3，
S3=4×4?12=6，
……，
由此發(fā)現(xiàn)，Sn=nn+12，
∴S2022=2022×20232，
∴1S1+1S2+1S3+?+1S2021+1S2022
=11+13+16+?+22022×2023
=21?12+212?13+213?14+?+212022?12023
=21?12+12?13+13?14+?+12022?12023
=21?12023
=40442023．
故選：B
【點睛】本題主要考查了直線的交點個數(shù)，數(shù)字類規(guī)律題，明確題意，準(zhǔn)確得到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
題型04直線的性質(zhì)
【例4】（2022·湖北十堰·統(tǒng)考中考真題）如圖，工人砌墻時，先在兩個墻腳的位置分別插一根木樁，再拉一條直的參照線，就能使砌的磚在一條直線上．這樣做應(yīng)用的數(shù)學(xué)知識是（）
A．兩點之間，線段最短B．兩點確定一條直線
C．垂線段最短D．三角形兩邊之和大于第三邊
【答案】B
【分析】由直線公理可直接得出答案．
【詳解】解：建筑工人砌墻時，經(jīng)常在兩個墻腳的位置分別插一根木樁，然后拉一條直的參照線，這種做法用幾何知識解釋應(yīng)是：兩點確定一條直線．
故選：B．
【點睛】此題主要考查了直線的性質(zhì)，要想確定一條直線，至少要知道兩點．
【變式4-1】（2021·河北·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知四條線段a，b，c，d中的一條與擋板另一側(cè)的線段m在同一直線上，請借助直尺判斷該線段是（）
A．a(chǎn)B．b
C．cD．d
【答案】A
【分析】根據(jù)直線的特征，經(jīng)過兩點有一直線并且只有一條直線即可判斷．
【詳解】解:設(shè)線段m與擋板的交點為A，a、b、c、d與擋板的交點分別為B，C，D，E，
連結(jié)AB、AC、AD、AE，
根據(jù)直線的特征經(jīng)過兩點有且只有一條直線，
利用直尺可確定線段a與m在同一直線上，
故選擇A．
【點睛】本題考查直線的特征，掌握直線的特征是解題關(guān)鍵．
題型05 線段的性質(zhì)
【例5】（2023·吉林松原·統(tǒng)考二模）如圖，A,B兩地間修建彎河道與修建直的河道橋相比，增加了河道橋的長度，其中蘊含的數(shù)學(xué)道理是（）

A．兩點之間，線段最短B．平行于同一條直線的兩條直線平行
C．垂線段最短D．兩點確定一條直線
【答案】A
【分析】把A，B兩地看作兩個點，再利用線段公理作答即可．
【詳解】解：A，B兩地間修建彎河道與修建直的河道橋相比，增加了河道橋的長度，其中蘊含的數(shù)學(xué)道理是：兩點之間，線段最短．
故選：A．
【點睛】本題是線段公理的實際應(yīng)用，正確理解題意、熟知兩點之間，線段最短是解題關(guān)鍵．
【變式5-1】（2023·吉林松原·校聯(lián)考三模）如圖，利用隧道，把彎曲的公路改直，就能縮短兩地的路程，這其中蘊含的數(shù)學(xué)道理是．

【答案】兩點之間，線段最短
【分析】根據(jù)線段的性質(zhì)：兩點之間線段最短，解答即可．
【詳解】解：由線段的性質(zhì)可知：
兩點的所有連線中，可以有無數(shù)種連法，如折線、曲線、線段，這些所有的線中，線段最短，
故答案為：兩點之間，線段最短．
【點睛】本題主要考查了線段的性質(zhì)，即兩點之間線段最短．
題型06 與線段中點有關(guān)的計算
【例6】（2023·河北石家莊·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，某同學(xué)用直尺畫數(shù)軸．?dāng)?shù)軸上點A、B分別在直尺的1cm，9cm處，若點A對應(yīng)?4，直尺的0刻度位置對應(yīng)?6，則線段AB中點對應(yīng)的數(shù)為（）

A．4B．5C．8D．12
【答案】A
【分析】根據(jù)題意得出1cm代表數(shù)軸上兩個單位長度，求出線段AB中點對應(yīng)直尺5cm處，再求線段AB中點對應(yīng)的數(shù)即可．
【詳解】解：∵點A、B分別在直尺的1cm，9cm處，點A對應(yīng)?4，直尺的0刻度位置對應(yīng)?6，
∴1cm代表數(shù)軸上兩個單位長度，
∴線段AB中點對應(yīng)直尺1+92=5cm處，
∴線段AB中點對應(yīng)的數(shù)為：?4+2×4=4，
故選：A．
【點睛】題目主要考查數(shù)軸上兩點之間的距離，理解題意是解題關(guān)鍵．
【變式6-1】（2023·河北滄州·校考二模）如圖，不完整的數(shù)軸上有A，B兩點，原點在A、B之間，沿原點將負半軸折疊到正半軸上，點A落在點B左側(cè)4個單位長度處，則線段AB的中點表示的數(shù)為（）

A．2B．?2C．4D．?4
【答案】A
【分析】先根據(jù)題意畫出圖形，求出OC的長即可得出線段AB的中點表示的數(shù)．
【詳解】如圖，點A落在點A'處，點C是線段AB的中點，A'B=4，

設(shè)點A表示的數(shù)為a，則OA=OA'=?a，
∴AB=?2a+4．
∴AC=12AB=?a+2．
∴OC=AC?OA=?a+2??a=2．
即線段AB的中點表示的數(shù)為2．
故選A．
【點睛】本題主要考查了數(shù)軸、折疊以及線段的中點問題，準(zhǔn)確畫出示意圖，求出線段中點到原點的距離是解題的關(guān)鍵．
【變式6-2】（2023·河北衡水·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知點A、B、O、C在數(shù)軸上的位置如圖所示，O為AC的中點，若AB=2，點B所對應(yīng)的數(shù)為m，則點C所對應(yīng)的數(shù)是( )
A．?2?mB．??m?2C．?m+2D．?m?2
【答案】D
【分析】先求出點A坐標(biāo)，再求出點C坐標(biāo)．
【詳解】AB=2,B為m
則A點坐標(biāo)為：m?2
B點與A點互為相反數(shù)，所以B點坐標(biāo)為：?m?2
故選：D
【點睛】本題考查數(shù)軸上的點的位置和坐標(biāo)，找到不同點之間是數(shù)量關(guān)系是本題關(guān)鍵．
【變式6-3】（2023·寧夏·統(tǒng)考中考真題）如圖，點A，B，C在數(shù)軸上，點A表示的數(shù)是?1，點B是AC的中點，線段AB=2，則點C表示的數(shù)是．

【答案】22?1
【分析】根據(jù)兩點間的距離公式和中點平分線段進行計算即可．
【詳解】解：∵點B是AC的中點，線段AB=2，
∴AC=22，
∴點C表示的數(shù)是：22?1；
故答案為：22?1．
【點睛】本題考查數(shù)軸上兩點間的距離，以及線段的中點．熟練掌握線段中點的定義，以及數(shù)軸上兩點間的距離公式，是解題的關(guān)鍵．
【變式6-4】（2023·河北滄州·模擬預(yù)測）A、B、C、D四個車站的位置如圖所示．

(1)A、C兩站的距離；
(2)C、D兩站的距離；
(3)若a=6，C為AD的中點，求b的值．
【答案】(1)3a
(2)a+3b
(3)4
【分析】（1）根據(jù)題意列出關(guān)系式，合并即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)題意列出關(guān)系式，去括號合并即可得到結(jié)果；
（3）根據(jù)中點的定義列出方程計算即可求解．
【詳解】（1）∵AC=AB+BC=a+b+2a?b=3a
∴A、C兩站的距離為：3a；
（2）∵CD=BD?BC=3a+2b?2a?b=3a+2b?2a+b=a+3b,
∴C、D兩站的距離為：a+3b；
（3）∵C為AD的中點，
∴AC=DC,
∴3a=a+3b,
當(dāng)a=6時，3×6=6+3b，
解得b=4．
【點睛】此題考查了整式的加減，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵
考點三角的相關(guān)概念
角的定義（靜態(tài)）：由公共端點的兩條射線所組成的圖形叫做角.
角的定義（動態(tài)）：由一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)一定角度而形成的圖形.
角的分類：
角的表示方法：
角度制：以度、分、秒為單位的角的度量制.
度、分、秒的運算方法：1°=60′；1′=60″；1°=3600″；1″=（160）′；1″=（13600）°
1周角=2平角=4直角=360°.
角的大小的比較：1）疊合法：使兩個角的頂點及一邊重合，比較另一邊的位置；
2）度量法：分別用量角器測量兩個角的大小，再進行比較.
角的平分線的概念：從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線，叫做這個角的平分線.
【性質(zhì)】①若OC是∠AOB的平分線，則∠AOC=∠BOC =12∠AOB，∠AOB=2∠AOC =2∠BOC．
②角平分線上的點到角兩邊的距離相等．
余角的概念：如果兩個角的和等于直角，就說這兩個角互為余角，即其中一個是另一個的余角.
補角的概念：如果兩個角的和等于平角，就說這兩個角互為補角，即其中一個是另一個的補角.
【性質(zhì)】同角（或等角）的余角相等，同角（或等角）的補角相等.
1. 因為射線是向一方無限延伸的，所以角的兩邊無所謂長短，即角的大小與邊的長短無關(guān).
2. 角的大小可以度量，可以比較.
3. 在進行度、分、秒運算時，由低級單位向高級單位轉(zhuǎn)化或由高級單位向低級單位轉(zhuǎn)化要逐步進行.
4. 一條射線要成為一個角的平分線必須同時滿足兩個條件：
1）射線必須在角的內(nèi)部. 2）它把這個角分成兩個相等的角.
5. 鈍角沒有余角.
6. 互為余角、補角是兩個角之間的關(guān)系,
7. 兩個角互為余角、互為補角只與角的度數(shù)有關(guān)，與角的位置無關(guān). 只要它們的度數(shù)之和等于90°或180°，就一定互為余角或補角.
題型01 度、分、秒的換算
【例1】（2023·廣西賀州·統(tǒng)考一模）比較大?。?0.15° 40°15'（用>、=、

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