2023屆山東省聊城市高三上學期期中數(shù)學試題 一、單選題1．設(shè)集合，，則（    ）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)指數(shù)以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，確定集合,求出，根據(jù)集合的交集運算即可求得答案.【詳解】由題意得，，故，所以，故選：B.2．已知復數(shù)z滿足，則（    ）．A． B． C． D．8【答案】A【分析】根據(jù)復數(shù)的除法求出z,再根據(jù)復數(shù)模的計算即可求得答案.【詳解】因為，所以，故，故選：A.3．下列結(jié)論正確的是（    ）．A．若命題，，則，．B．若，則“”是“”的必要不充分條件．C．點在的終邊上，則的一個充要條件是．D．，．【答案】D【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定、必要不充分條件、充要條件、存在量詞命題的真假性的知識確定正確答案.【詳解】A選項，命題，，則，，A選項錯誤.B選項，；，不能推出；不能推出，所以“”是“”的非充分非必要條件，B選項錯誤.C選項，設(shè)，所以，但此時為負數(shù)，所以C選項錯誤.D選項，當時，，所以D選項正確.故選：D4．已知函數(shù)，若函數(shù)在R上有兩個零點，則m的取值范圍是（    ）．A． B． C． D．【答案】D【分析】當時，有一個零點，只需當時，有一個根，利用“分離參數(shù)法”結(jié)合函數(shù)圖像求解即可.【詳解】因為函數(shù),當時，令可得，解得，所以在上有一個零點，又函數(shù)在R上有兩個零點，所以當時，方程有一個根，所以方程在上有一個根，即函數(shù)與函數(shù)的圖象在時有且只有一個交點，作函數(shù)的圖象如下：觀察圖象可得，所以，所以m的取值范圍是.故選：D.5．已知，則（    ）．A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)三角函數(shù)恒等變換公式化簡已知等式，再根據(jù)誘導公式簡化即可得到答案.【詳解】故選:A6．如圖，此形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中，后人稱為“三角垛”．“三角垛”最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，…．設(shè)第n層有個球，從上往下n層球的總數(shù)為，則（    ）．A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)的值可得，由遞推公式即可判斷B；利用累加法可得，再計算前4項的和即可判斷A；由即可判斷C；利用裂項相消求和法即可判斷D.【詳解】因為，，，……，，以上個式子累加可得：，所以，故選項A錯誤；由遞推關(guān)系可知：，所以B錯誤；由，可得，C正確；因為，所以，D錯誤；故選：C.7．若函數(shù)使得數(shù)列，為遞增數(shù)列，則稱函數(shù)為“數(shù)列保增函數(shù)”．已知函數(shù)為“數(shù)列保增函數(shù)”，則a的取值范圍為（    ）．A． B．C． D．【答案】B【分析】由題意，對，，即，結(jié)合的單調(diào)性求解即可.【詳解】由題意，對，，即，即，對恒成立，由于在上單調(diào)遞增，故，故.即.故選：B8．已知，，，下列說法正確的是（    ）．A． B． C． D．【答案】C【分析】令，利用導數(shù)研究單調(diào)性可比較，，利用導數(shù)研究單調(diào)性可比較，即可求解【詳解】設(shè)，則在上恒成立，所以在單調(diào)遞增，所以，所以在單調(diào)遞增，所以，即，所以，又在單調(diào)遞增，所以，即，所以；設(shè)，則在上恒成立，所以在單調(diào)遞減，所以，所以在單調(diào)遞減，所以，即，所以，即所以；綜上所述：，故選：C 二、多選題9．已知平面向量，，，則（    ）．A．若，則 B．若，則C．若與的夾角為銳角，則 D．的最小值為4【答案】ABD【分析】根據(jù)向量的平行和垂直的坐標表示，列式計算，可判斷A,B;根據(jù)向量的夾角公式求出與的夾角為銳角時的n的范圍，要考慮向量同向情況，判斷C;根據(jù)向量的模的坐標計算可判斷D.【詳解】由題意平面向量，，，若，則 ，A正確；若，則，B正確；若與的夾角為銳角，則 ，即 ，但時，與同向，滿足，但夾角為 ，不是銳角，故C錯誤； ，當時，取得最小值，故的最小值為4，D正確，故選：ABD.10．下列結(jié)論正確的是（    ）．A．若，且，則B．若，，，則的最小值為4C．函數(shù)的最小值為4D．已知各項均為正數(shù)的數(shù)列滿足，，則取最小值時，【答案】AB【分析】利用基本不等式可判斷A;根據(jù)對數(shù)運算可得，再結(jié)合基本不等式可判斷B;利用換元法將化為函數(shù)，，結(jié)合其性質(zhì)判斷C;求出數(shù)列的通項公式，可得的表達式，即可判斷D.【詳解】對于A，若，且，因為 ，即，A正確；對于B, 若，，,則，則，即，故，當且僅當是取得等號，故的最小值為4，B正確；對于C,當時，，令 ，則函數(shù)，單調(diào)遞減，故，即函數(shù)的最小值為2，C錯誤；對于D, 各項均為正數(shù)的數(shù)列滿足，，則 ，滿足上式，所以, 所以，當時，，當時，，由于，故D錯誤，故選：AB.11．已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，將該函數(shù)圖象向右平移個單位后，再把所得曲線上點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?/span>2倍（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖象，則下列選項中正確的有（    ）．A．B．C．是曲線的對稱軸D．直線是曲線的一條切線【答案】ACD【分析】根據(jù)函數(shù)圖象可確定的值，利用特殊點代入函數(shù)解析式確定，即可得到函數(shù)解析式，判斷A;根據(jù)三角函數(shù)圖象的平移變換可得到表達式，判斷B;將代入驗證，可判斷C;利用導數(shù)的幾何意義求得曲線的切線方程，可判斷D.【詳解】由圖象知 ， 解得 ， 將代入中得，則 ，因為   ，A正確；由于將函數(shù)圖象向右平移個單位后，得函數(shù)的圖象，再把所得曲線上點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?/span>2倍（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖象，故，B錯誤；將代入中，，是曲線的對稱軸，C正確；，令 ，即，可得時滿足，此時，則在點處的切線方程為 ，D正確，故選：ACD.12．在平面四邊形ABCD中， 的面積是面積的2倍，又數(shù)列滿足，恒有，設(shè)的前n項和為，則（    ）A．為等比數(shù)列 B．為等差數(shù)列C．為遞增數(shù)列 D．【答案】BD【分析】連交于，根據(jù)面積關(guān)系推出，根據(jù)平面向量知識推出，結(jié)合，推出，即，求出，，根據(jù)等比數(shù)列的定義可判斷A；根據(jù)等差數(shù)列的定義可判斷B，根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性可判斷C；利用錯位相減法求出，可判斷D.【詳解】如圖，連交于，則，即，所以，所以，所以，設(shè)，因為，所以，，所以，所以，即，又，所以，所以是首項為2，公差為的等差數(shù)列，所以，所以，因為不是常數(shù)，所以不為等比數(shù)列，故A不正確；因為，所以為等差數(shù)列，故B正確；因為，所以為遞減數(shù)列，故C不正確；因為，所以，所以，所以，所以，故D正確.故選：BD 三、填空題13．已知，若，，則=     ．【答案】【詳解】因為，所以，又，，整理得解得或（舍去）因此，因為，所以，，14．在四邊形ABCD中，，且，，則的值為______．【答案】5【分析】由條件可得，然后可得答案.【詳解】因為，所以四邊形ABCD是平行四邊形，所以，因為，，所以，故答案為：15．設(shè)為數(shù)列的前n項和，且，，，則______．【答案】【分析】由得()，兩式相減可化為()，由此即可得出答案．【詳解】因為，①則當時，，②①－②得，所以，(），則數(shù)列從第二項起，是公比2的等比數(shù)列，又，(），當時，，不符合，故，故答案為：．16．已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則a的取值范圍為______．【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得在上恒成立，討論a的取值范圍，參變分離，將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，即可求解.【詳解】因為函數(shù)，故函數(shù)，由題意可知在上恒成立，（不恒等于0），當時，，不符合題意；當時， ，則在上恒成立，即在上恒成立，令，則，當時，遞增，當時，遞減，故，故 ，當時，僅在時取等號，符合題意；當時， ，則在上恒成立，即在上恒成立，由上述分析可知無最小值，且當時，，比如取時，，即此時在上不恒成立，綜合上述可得a的取值范圍為，故答案為：.【點睛】方法點睛：本題是根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，求解參數(shù)范圍，實質(zhì)上是不等式恒成立問題，解決這類問題的一般方法是：利用導數(shù)列出不等式恒成立，然后參變分離，根據(jù)分離后的式子特征構(gòu)造合適的函數(shù)，進而將恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題解決. 四、解答題17．已知函數(shù)．(1)當時，函數(shù)恒有意義，求實數(shù)a的取值范圍；(2)是否存在這樣的實數(shù)a，使得函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，并且最大值為1？如果存在，試求出a的值；如果不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)，使得函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，并且最大值為1 【分析】（1）轉(zhuǎn)化為時，恒成立，結(jié)合且，求解即可；（2）由復合函數(shù)單調(diào)性可得為減函數(shù)，即，又最大值為，求解即可.【詳解】（1）因為且，設(shè)，則為減函數(shù)，時，的最小值為，當時，恒有意義，即時，恒成立．所以．所以．又且，所以．（2），因為，所以函數(shù)為減函數(shù)．因為在區(qū)間上為增函數(shù)，所以為減函數(shù)，所以．當時，最大值為，所以，即．故，使得函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，并且最大值為1．18．已知正項數(shù)列滿足且．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)令，求數(shù)列的前項的和．【答案】(1).(2). 【分析】（1）將化簡可得，由此可求得答案；（2）由（1）可得的通項公式，采用分組求和的方法，結(jié)合等差等比數(shù)列的前n項和公式求得答案.【詳解】（1）由題意得：,∵，∴，即為常數(shù)，∴數(shù)列是以2為首項，以2為公比的等比數(shù)列，∴．（2）由（1）得,∴.19．已知函數(shù)為奇函數(shù)，且，其中，．函數(shù)．(1)求a，的值；(2)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間．【答案】(1)，(2)， 【分析】（1）法一：根據(jù)函數(shù)的奇偶性求得，根據(jù)求得.法二：根據(jù)的奇偶性以及列方程組，由此解得.（2）化簡的表達式，利用換元法求得的單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】（1）法一：因為是奇函數(shù)，而為偶函數(shù)，所以為奇函數(shù)，又，得．所以，由，得，即．法二：由題意可得，因為，所以，可解得，，此時為奇函數(shù)，符合題意，所以，．（2），令，則的單調(diào)遞減區(qū)間為，，由解得，，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，．20．已知中，A、B、C所對邊分別為a、b、c，且，．(1)若，求的面積；(2)若，求的周長．【答案】(1)(2)或 【分析】（1）由余弦定理與三角形面積公式求解即可；（2）由正弦定理把邊化角，結(jié)合已知條件求得，，再討論角B，結(jié)合三角恒等變換與正弦定理即可求解【詳解】（1）因為，，，∴，解得，∴．（2）因為，由正弦定理可得，代入，解得，，因為，所以A為銳角，∴，當B為銳角時，，∴，因為，∴，，∴，當B為鈍角時，，∴，因為，∴，，∴．綜上：的周長為或．21．已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)設(shè)，當時，對任意，存在，使，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)答案見解析(2) 【分析】（1）先求導函數(shù)，討論的范圍，求解和的解集，寫出單調(diào)區(qū)間．（2）當時，根據(jù)(1)求出的最小值，由已知可得不等式有解，所以，利用導數(shù)求函數(shù)的最大值即可．【詳解】（1）定義域為，，令，得或．當即時：，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；，，函數(shù)在單調(diào)遞增；當，即時：，，函數(shù)在單調(diào)遞增；，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當即時：，，函數(shù)在單調(diào)遞增；當即時：，，函數(shù)在單調(diào)遞增；，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；綜上：當時，單調(diào)遞減區(qū)間有，單調(diào)遞增區(qū)間有；當時，單調(diào)遞減區(qū)間有，單調(diào)遞增區(qū)間有，；當時，單調(diào)遞增區(qū)間有，無單調(diào)遞減區(qū)間；當時，單調(diào)遞減區(qū)間有，單調(diào)遞增區(qū)間有，．（2）當時，由（1）得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間，上單調(diào)遞增，從而函數(shù)在區(qū)間上的最小值為．即存在，使，即存在，使得，即，令，，則，由，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以，所以．【點睛】對于恒成立問題，常用到以下兩個結(jié)論：(1)恒成立?；(2)恒成立?.22．已知函數(shù)，，其中．(1)若在上有兩個不同零點，求a的取值范圍．(2)若在上單調(diào)遞減，求a的取值范圍．(3)證明：，．【答案】(1)(2)(3)答案見解析 【分析】（1）求得，利用導數(shù)研究其單調(diào)性，最值，即可得出a的取值范圍；（2）在區(qū)間上單調(diào)遞減，即在上恒成立，即在上恒成立，通過研究函數(shù)得出a的取值范圍；（3）由（2）知時，，即，．令得，由此即可證得結(jié)論.【詳解】（1），，所以時，，單調(diào)遞減，時，，單調(diào)遞增，所以時，取最小值．因為在有兩個不同的零點，所以，所以．下面驗證：當時，在有兩個不同的零點.當時，，，令，則，當時，，單調(diào)遞減，則，所以，又，，時，單調(diào)遞減，時，單調(diào)遞增，所以在，上各有一個零點，即在有兩個不同的零點.綜上，.（2）在區(qū)間上單調(diào)遞減，即在上恒成立，即在上恒成立．令，，當時，，，所以，即在上單調(diào)遞增，所以當時，，所以．（3）由（2）知時，，所以，即，．令得，所以，即，． 

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