專題4 圖形的性質(zhì)
第6講 多邊形與平行四邊形
一、多邊形
1．多邊形：在同一平面內(nèi)，由不在同一直線上的線段首尾順次連接而成的圖形就是多邊形；
2．多邊形的內(nèi)角和定理：；
3．多邊形的外角和定理：多邊形的外角和是360°;
4．多邊形的對角線
（1）從一個頂點出發(fā)可以畫（n-3）條對角線；
（2）n邊形共有對角線的條數(shù)是：；
4．正多邊形：各個內(nèi)角都相等，各條邊相等的多邊形叫做正多邊形；
5．對稱性：正多邊形是軸對稱圖形，偶數(shù)邊形的正多邊形是中心對稱圖形；
6．正多邊形的每個外角的度數(shù)是：，每個內(nèi)角的度數(shù)是：；
二、平行四邊形
1．平行四邊形的性質(zhì)
（1）邊的性質(zhì)：對邊平行且相等；
（2）角的性質(zhì)：對角相等，鄰角互補；
（3）對角線的性質(zhì)：對角線互相平行；
（4）對稱性：是中心對稱圖形，對稱中心是對角線的交點；
2．平行四邊形的判定
（1）利用邊來判定
兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；
兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；
一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；
（2）利用角來判定
兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；
（3）利用對角線判定
對角線互相平行的四邊形是平行四邊形；
3．平行四邊形的周長和面積
（1）周長等于長與寬和的2倍；
（2）面積等于底乘以高；
4．中點四邊形
連結(jié)任意四邊形各邊的中點得到的四邊形是平行四邊形；
《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》2022年版，學(xué)業(yè)質(zhì)量要求：
1．了解多邊形及相關(guān)概念；
2．探索并掌握多邊形的內(nèi)角和定理和外角和定理；
3．理解平行四邊形的概念，了解四邊形的不穩(wěn)定性；
4．探索并證明平行四邊形的性質(zhì)定理和判定定理；
5．理解平行線間距離，能度量平行線間的距離；
【例1】（2023·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）
1．如圖1是我國古建筑墻上采用的八角形空窗，其輪廓是一個正八邊形，窗外之境如同鑲嵌于一個畫框之中．如圖2是八角形空窗的示意圖，它的一個外角（ ）

A．B．C．D．
【變1】（2023·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）
2．如圖，將正五邊形紙片折疊，使點與點重合，折痕為，展開后，再將紙片折疊，使邊落在線段上，點的對應(yīng)點為點，折痕為，則的大小為 度．

【例1】（2023·海南·統(tǒng)考中考真題）
3．如圖，在中，，，平分，交邊于點，連接，若，則的長為（ ）

A．6B．4C．D．
【變1】（2023·福建·統(tǒng)考中考真題）
4．如圖，在中，為的中點，過點且分別交于點．若，則的長為 ．

【例1】（2023·湖北·統(tǒng)考中考真題）
5．如圖，和都是等腰直角三角形，，點在內(nèi)，，連接交于點交于點，連接．給出下面四個結(jié)論：①；②；③；④．其中所有正確結(jié)論的序號是 ．
【變1】（2023·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）
6．如圖，平行四邊形的對角線相交于點，點在對角線上，且，連接，．

(1)求證：四邊形是平行四邊形．
(2)若的面積等于2，求的面積．
一、選擇題
（2023·湖南湘西·統(tǒng)考中考真題）
7．一個七邊形的內(nèi)角和是（ ）
A．B．C．D．
（2023·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）
8．如圖，一束太陽光線平行照射在放置于地面的正六邊形上，若，則的度數(shù)為（ ）

A．B．C．D．
（2023·湖南益陽·統(tǒng)考中考真題）
9．如圖，的對角線交于點，下列結(jié)論一定成立的是（ ）

A．B．C．D．
（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）
10．如圖，在四邊形中， ，若添加一個條件，使四邊形為平形四邊形，則下列正確的是（ ）

A．B．C．D．
（2023·河北·統(tǒng)考中考真題）
11．綜合實踐課上，嘉嘉畫出，利用尺規(guī)作圖找一點C，使得四邊形為平行四邊形．圖1~圖3是其作圖過程．
在嘉嘉的作法中，可直接判定四邊形ABCD為平行四邊形的條件是（ ）
A．兩組對邊分別平行B．兩組對邊分別相等
C．對角線互相平分D．一組對邊平行且相等
（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）
12．如圖，直線、與雙曲線分別相交于點．若四邊形的面積為4，則的值是（ ）

A．B．C．D．1
二、填空題
（2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）
13．如圖，在中，，，，點M是邊上一動點，點D，E分別是，的中點，當(dāng)時，的長是 ．若點N在邊上，且，點F，G分別是，的中點，當(dāng)時，四邊形面積S的取值范圍是 ．

（2022·山西大同·校聯(lián)考一模）
14．如圖，，，，，則線段的長為 ．

（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）
15．如圖，在中，，D是延長線上的一點，．M是邊上的一點（點M與點B、C不重合），以為鄰邊作．連接并取的中點P，連接，則的取值范圍是 ．

三、解答題
（2023·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）
16．如圖，B是AC的中點，點D，E在同側(cè)，，．
(1)求證：≌．
(2)連接，求證：四邊形是平行四邊形．
（2023·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）
17．中，，垂足為E，連接，將繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接．

(1)當(dāng)點E在線段上，時，如圖①，求證：；
(2)當(dāng)點E在線段延長線上，時，如圖②：當(dāng)點E在線段延長線上，時，如圖③，請猜想并直接寫出線段AE，EC，BF的數(shù)量關(guān)系；
(3)在（1）、（2）的條件下，若，，則_______．
（2022·遼寧·統(tǒng)考中考真題）
18．在?ABCD中，∠C＝45°，AD＝BD，點P為射線CD上的動點（點P不與點D重合），連接AP，過點P作EP⊥AP交直線BD于點E．
(1)如圖①，當(dāng)點P為線段CD的中點時，請直接寫出PA，PE的數(shù)量關(guān)系；
(2)如圖②，當(dāng)點P在線段CD上時，求證：DA+DP＝DE；
(3)點P在射線CD上運動，若AD＝3，AP＝5，請直接寫出線段BE的長．
（2022·貴州貴陽·統(tǒng)考中考真題）
19．小紅根據(jù)學(xué)習(xí)軸對稱的經(jīng)驗，對線段之間、角之間的關(guān)系進行了拓展探究．
如圖，在中，為邊上的高，，點在邊上，且，點是線段上任意一點，連接，將沿翻折得．
(1)問題解決：
如圖①，當(dāng)，將沿翻折后，使點與點重合，則______；
(2)問題探究：
如圖②，當(dāng)，將沿翻折后，使，求的度數(shù)，并求出此時的最小值；
(3)拓展延伸：
當(dāng)，將沿翻折后，若，且，根據(jù)題意在備用圖中畫出圖形，并求出的值．
（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）
20．如圖，在等邊中，于點，為線段上一動點（不與，重合），連接，，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．

(1)如圖1，求證：；
(2)如圖2，連接交于點，連接，，與所在直線交于點，求證：；
(3)如圖3，連接交于點，連接，，將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)，得到，將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)，得到，連接，．若，直接寫出的最小值．
（2023·河南·統(tǒng)考中考真題）
21．李老師善于通過合適的主題整合教學(xué)內(nèi)容，幫助同學(xué)們用整體的、聯(lián)系的、發(fā)展的眼光看問題，形成科學(xué)的思維習(xí)慣．下面是李老師在“圖形的變化”主題下設(shè)計的問題，請你解答．

(1)觀察發(fā)現(xiàn)：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，過點的直線軸，作關(guān)于軸對稱的圖形，再分別作關(guān)于軸和直線對稱的圖形和，則可以看作是繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到的，旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為______；可以看作是向右平移得到的，平移距離為______個單位長度．
(2)探究遷移：如圖，中，，為直線下方一點，作點關(guān)于直線的對稱點，再分別作點關(guān)于直線和直線的對稱點和，連接，，請僅就圖的情形解決以下問題：
①若，請判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
②若，求，兩點間的距離．
(3)拓展應(yīng)用：在（2）的條件下，若，，，連接．當(dāng)與的邊平行時，請直接寫出的長．
（1）作的垂直平分線交于點O；

（2）連接，在的延長線上截??；

（3）連接，，則四邊形即為所求．

參考答案：
1．A
【分析】由正八邊形的外角和為，結(jié)合正八邊形的每一個外角都相等，再列式計算即可．
【詳解】解：∵正八邊形的外角和為，
∴，
故選A
【點睛】本題考查的是正多邊形的外角問題，熟記多邊形的外角和為是解本題的關(guān)鍵．
2．
【分析】根據(jù)題意求得正五邊形的每一個內(nèi)角為，根據(jù)折疊的性質(zhì)求得在中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解．
【詳解】解：∵正五邊形的每一個內(nèi)角為，
將正五邊形紙片折疊，使點與點重合，折痕為，
則，
∵將紙片折疊，使邊落在線段上，點的對應(yīng)點為點，折痕為，
∴，，
在中，，
故答案為：．
【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，正多邊形的內(nèi)角和的應(yīng)用，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
3．C
【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可得，，，由平行線的性質(zhì)可得，由角平分線的定義可得，從而得到，推出，，過點作于點，由直角三角形的性質(zhì)和勾股定理可得，，，即可得到答案．
【詳解】解：四邊形是平行四邊形，
，，，
，
平分，
，
，
，
，
，
如圖，過點作于點，
，
則，
，
，
，，
，
故選：C．
【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、角平分線的定義、等腰三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識，熟練掌握以上知識點，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
4．10
【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可得即，再結(jié)合可得可得，最進一步說明即可解答．
【詳解】解：∵中，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴,即．
故答案為：10．
【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識點，證明三角形全等是解答本題的關(guān)鍵．
5．①③④
【分析】由題意易得，，，，則可證，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)與判定可進行求解．
【詳解】解：∵和都是等腰直角三角形，
∴，，，，
∵，，
∴，故①正確；
∴，
∴，，故③正確；
∵，，，
∴，；故②錯誤；
∴，
∵，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，故④正確；
故答案為①③④．
【點睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定、等腰直角三角形的性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定、等腰直角三角形的性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
6．(1)見解析
(2)1
【分析】（1）根據(jù)平行四邊形對角線互相平分可得，，結(jié)合可得，即可證明四邊形是平行四邊形；
（2）根據(jù)等底等高的三角形面積相等可得，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得．
【詳解】（1）證明：四邊形是平行四邊形，
，，
，
，
，
又，
四邊形是平行四邊形．
（2）解：，，
，
四邊形是平行四邊形，
．
【點睛】本題考查平行四邊形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形的對角線互相平分．
7．B
【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式列式計算即可得解.
【詳解】解：
.故選B.
【點睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和外角，熟記內(nèi)角和公式是解題的關(guān)鍵.
8．B
【分析】如圖，求出正六邊形的一個內(nèi)角和一個外角的度數(shù)，得到，平行線的性質(zhì)，得到，三角形的外角的性質(zhì)，得到，進而求出的度數(shù)．
【詳解】解：如圖：

∵正六邊形的一個外角的度數(shù)為：，
∴正六邊形的一個內(nèi)角的度數(shù)為：，
即：，
∵一束太陽光線平行照射在放置于地面的正六邊形上，，
∴，
∴，
∴；
故選B．
【點睛】本題考查正多邊形的內(nèi)角和、外角和的綜合應(yīng)用，平行線的性質(zhì)．熟練掌握多邊形的外角和是，是解題的關(guān)鍵．
9．C
【分析】根據(jù)平行四邊形性質(zhì)逐項驗證即可得到答案．
【詳解】解：A、根據(jù)平行四邊形性質(zhì)：對角線相互平分，在中，，，則不一定成立，該選項不符合題意；
B、根據(jù)平行四邊形性質(zhì)：對角線相互平分，不一定垂直，則不一定成立，該選項不符合題意；
C、根據(jù)平行四邊形性質(zhì)：對角線相互平分，在中，，該選項符合題意；
D、根據(jù)平行四邊形性質(zhì)，對角線不一定平分對角，則不一定成立，該選項不符合題意；
故選：C．
【點睛】本題考查平行四邊形性質(zhì)，熟記平行四邊形對角線相互平分是解決問題的關(guān)鍵．
10．D
【分析】根據(jù)平行四邊形的判定定理逐項分析判斷即可求解．
【詳解】解：A．根據(jù)，，不能判斷四邊形為平形四邊形，故該選項不正確，不符合題意；
B． ∵，∴，不能判斷四邊形為平形四邊形，故該選項不正確，不符合題意；
C．根據(jù)，，不能判斷四邊形為平形四邊形，故該選項不正確，不符合題意；
D．∵，
∴，
∵
∴，
∴
∴四邊形為平形四邊形，
故該選項正確，符合題意；
故選：D．
【點睛】本題考查了平行四邊形的判定定理，熟練掌握平行四邊形的判定定理是解題的關(guān)鍵．
11．C
【分析】根據(jù)作圖步驟可知，得出了對角線互相平分，從而可以判斷．
【詳解】解：根據(jù)圖1，得出的中點，圖2，得出，
可知使得對角線互相平分，從而得出四邊形為平行四邊形，
判定四邊形ABCD為平行四邊形的條件是：對角線互相平分，
故選：C．
【點睛】本題考查了平行四邊形的判斷，解題的關(guān)鍵是掌握基本的作圖方法及平行四邊形的判定定理．
12．A
【分析】連接四邊形的對角線，過作軸，過作軸，直線與軸交于點，如圖所示，根據(jù)函數(shù)圖像交點的對稱性判斷四邊形是平行四邊形，由平行四邊形性質(zhì)及平面直角坐標(biāo)系中三角形面積求法，確定，再求出直線與軸交于點，通過聯(lián)立求出縱坐標(biāo)，代入方程求解即可得到答案．
【詳解】解：連接四邊形的對角線，過作軸，過作軸，直線與軸交于點，如圖所示：

根據(jù)直線、與雙曲線交點的對稱性可得四邊形是平行四邊形，
，
直線與軸交于點，
當(dāng)時，，即，
與雙曲線分別相交于點，
聯(lián)立，即，則，由，解得，
，即，解得，
故選：A．
【點睛】本題考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合，涉及平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平面直角坐標(biāo)系中三角形面積求法是解決問題的關(guān)鍵．
13．
【分析】根據(jù)三角形中位線定理可得，設(shè)，從而，由此得到四邊形是平行四邊形，結(jié)合邊上的高為，即可得到函數(shù)解析式，進而得到答案．
【詳解】解：∵點D，E分別是，的中點，
∴是的中位線，
∴；
如圖，設(shè)，

由題意得，，且，
∴，
又F、G分別是的中點，
∴，，
∴，，
∴四邊形是平行四邊形，
由題意得，與的距離是，
∴，
∴邊上的高為，
∴四邊形面積，
∵，
∴，
故答案為：，．
【點睛】此題主要考查了三角形的中位線定理，二次函數(shù)的性質(zhì)，求函數(shù)解析式，解題時要熟練掌握并靈活運用是關(guān)鍵．
14．
【分析】過點作，且，連接，，根據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì)可得，，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，根據(jù)等邊三角形的判定和性質(zhì)可得，，根據(jù)等角對等邊可得，根據(jù)勾股定理求得，即可求解．
【詳解】解：過點作，且，連接，，如圖：

∵，，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，，
∵，，，
∴，，
又∵，，
∴，，
∵，，
∴三角形是等邊三角形，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，即，
∴，
解得：，
即．
故答案為：．
【點睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，等角對等邊，勾股定理等，熟練掌握以上判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
15．
【分析】過點B作交的延長線于點，連接，過點P作的平行線交于點，交于點，連接，過點作，分析可知為的最大值，為的最小值，據(jù)此即可求解．
【詳解】解：過點B作交的延長線于點，連接，過點P作的平行線交于點，交于點，連接，過點作，如圖所示：

由題意得：點在線段上運動（不與點重合），點在線段上運動（不與點重合），
∴為的最大值，當(dāng)時，取得最小值，最小值等于的長，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵且，
∴，
∵P為的中點，
∴，
∵P為的中點，
∴為的中點，
∴，
∵，
∴，
故，
∵點M與點B、C不重合，
∴的取值范圍是，
故答案為：．
【點睛】本題綜合考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理、動點軌跡問題，平行四邊形的判定和性質(zhì)，垂線段最短等知識的綜合．根據(jù)題意確定動點軌跡是解題關(guān)鍵．
16．(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）由B是的中點得，結(jié)合，，根據(jù)全等三角形的判定定理“”即可證明≌；
（2）由（1）中≌得，進一步得，再結(jié)合，根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可證明．
【詳解】（1）解：∵B是的中點，
∴．
在和中，
∴≌（）．
（2）如圖所示，
∵≌，
∴，
∴．
又∵，
∴四邊形是平行四邊形．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定，熟練掌握全等三角形的判定方法與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
17．(1)見解析
(2)圖②：，圖③：
(3)1或7
【分析】（1）求證，，得，所以，進而，所以；
（2）如圖②，當(dāng)點E在線段延長線上，時，同（1），，得，結(jié)合平行四邊形性質(zhì)，得，所以；如圖③，當(dāng)點E在線段延長線上，時，求證，得，同（1）可證，，結(jié)合平行四邊形性質(zhì)，得，所以；
（3）如圖①，中，勾股定理，得 ，求得；如圖②，，則,中，，可得圖②中，不存在，的情況；如圖③，中，勾股定理，得 ，求得．
【詳解】（1）證明：，
．
，
∴
∴
．
，
．
．
，
．
．
四邊形是平行四邊形，
．
；
（2）如圖②，當(dāng)點E在線段延長線上，時，

同（1），，
∴
四邊形是平行四邊形，
．
∴
即；
如圖③，當(dāng)點E在線段延長線上，時，

∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
同（1）可證，
∴
四邊形是平行四邊形，
．
∴
即
（3）如圖①，∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴
∵
∴
中，,，
由，得；
如圖②，，則,中，，
∴,與矛盾，故圖②中，不存在，的情況；
如圖③，
∵四邊形是平行四邊形
∴
∴
∵
∴
中，，
∴
由知，．
綜上，或7．
【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)條件選用恰當(dāng)?shù)姆椒ㄗ魅鹊呐卸ㄊ墙忸}的關(guān)鍵．
18．(1)PA＝PE
(2)見解析
(3)BE的長為或7
【分析】（1）連接BD，證明△BDC是等腰直角三角形，可得∠ADP＝∠PBE＝135°，進而證明△ADP≌△EBP（ASA），即可得PA＝PE；
（2）過點P作PF⊥CD交DE于點F，證明△ADP≌△EFP（ASA），由cs∠PDF＝，根據(jù)DE＝DF+EF，即可得證；
（3）①當(dāng)點P在線段CD上時，如圖②，作AG⊥CD，交CD延長線于G，②當(dāng)點P在CD的延長線上時，作AG⊥CD，交CD延長線于G，分別求解即可．
【詳解】（1）解：連接BD，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD＝CB，
∵AD＝BD，
∴∠BDC＝∠C＝45°，
∴△BDC是等腰直角三角形，
∵點P為CD的中點，
∴DP＝BP，∠CPB＝45°，
∴∠ADP＝∠PBE＝135°，
∵PA⊥PE，
∴∠APE＝∠DPB＝90°，
∴∠APD＝∠BPE，
∴△ADP≌△EBP（ASA），
∴PA＝PE；
（2）證明：如圖，過點P作PF⊥CD交DE于點F，
∵PF⊥CD，EP⊥AP，
∴∠DPF＝∠APE＝90°，
∴∠DPA＝∠FPE，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠C＝∠DAB＝45°，AB∥CD，
又∵AD＝BD，
∴∠DAB＝∠DBA＝∠C＝∠CDB＝45°，
∴∠ADB＝∠DBC＝90°，
∴∠PFD＝45°，
∴∠PFD＝∠PDF，
∴PD＝PF，
∴∠PDA＝∠PFE＝135°，
∴△ADP≌△EFP（ASA），
∴AD＝EF，
在Rt△FDP中，∠PDF＝45°，
∵cs∠PDF＝，
∴DF＝，
∵DE＝DF+EF，
∴DA+DP＝DE；
（3）解：當(dāng)點P在線段CD上時，如圖②，作AG⊥CD，交CD延長線于G，
則△ADG是等腰直角三角形，
∴AG＝DG＝3，
∴GP＝4，
∴PD＝1，
由（2）得，DA+DP＝DE；
∴3+＝DE，
∴DE＝4，
∴BE＝DE﹣BD＝4﹣3＝，
當(dāng)點P在CD的延長線上時，作AG⊥CD，交CD延長線于G，
同理可得△ADP≌△EFP（AAS），
∴AD＝EF，
∵PD＝AG+DG＝4+3＝7，
∴DF＝PD＝7，
∴BE＝BD+DF﹣EF＝DF＝7，
綜上：BE的長為或7．
【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，余弦，平行四邊形的性質(zhì)與判定，正確的添加輔助線是解題的關(guān)鍵．
19．(1)
(2)
(3)作圖見解析，
【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)可得，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可求解；
（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)即可求得，由三角形內(nèi)角和定理可得，根據(jù)點在邊上，當(dāng)時，取得最小值，最小值為；
（3）連接，設(shè),然后結(jié)合勾股定理分析求解．
【詳解】（1），
是等邊三角形，
四邊形是平行四邊形，
，
，
為邊上的高，
，
（2），，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，是等腰直角三角形，為底邊上的高，則
點在邊上，
當(dāng)時，取得最小值，最小值為；
（3）如圖，連接，
，則，
設(shè)， 則，，
折疊，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
延長交于點，如圖，
，
，
，
，
，
在中，，
，
．
同理，當(dāng)點F落在下方時，
．
綜上，m的值為
【點睛】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，解直角三角形，勾股定理，三角形內(nèi)角和定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，綜合運用以上知識是解題的關(guān)鍵．
20．(1)見解析
(2)見解析
(3)
【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，，進而證明，即可得證；
（2）過點作，交點的延長線于點，連接，，證明四邊形四邊形是平行四邊形，即可得證；
（3）如圖所示，延長交于點，由（2）可知是等邊三角形，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，，進而得出是等邊三角形，由（2）可得，得出四邊形是平行四邊形，則，進而得出，則，當(dāng)取得最小值時，即時，取得最小值，即可求解．
【詳解】（1）證明：∵為等邊三角形，
∴，，
∵將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，
∴，
∴
∴
即
在和中
，
∴，
∴；
（2）證明：如圖所示，過點作，交點的延長線于點，連接，，

∵是等邊三角形，
∴，
∵
∴
∴垂直平分，
∴
又∵，
∴，
∴,
∴在的垂直平分線上，
∵
∴在的垂直平分線上，
∴垂直平分
∴，
∴
又∵，
∴是等邊三角形，
∴
∴
∴，
又∵，
∴
∴，
∴
在與中，
∴
∴
∴
∴四邊形是平行四邊形，
∴；
（3）解：依題意，如圖所示，延長交于點，

由（2）可知是等邊三角形，
∴
∵將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)，得到，將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)，得到，
∴，
∴，
∴是等邊三角形，
∴
由（2）可得
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∴四邊形是平行四邊形，
∴
由（2）可知是的中點，則
∴
∴
∵折疊，
，
∴，
又，
∴，
∴當(dāng)取得最小值時，即時，取得最小值，此時如圖所示，

∴，
∴，
∴．
【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，勾股定理，平行四邊形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
21．(1)，．
(2)①，理由見解析；②
(3)或
【分析】（1）觀察圖形可得與關(guān)于點中心對稱，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得即可求得平移距離；
（2）①連接，由對稱性可得，，進而可得，即可得出結(jié)論；
②連接分別交于兩點，過點作，交于點，由對稱性可知：且，得出，證明四邊形是矩形，則，在中，根據(jù)，即可求解；
（3）分，，兩種情況討論，設(shè)，則，先求得，勾股定理求得，進而表示出，根據(jù)由（2）②可得，可得，進而建立方程，即可求解．
【詳解】（1）（1）∵關(guān)于軸對稱的圖形，與關(guān)于軸對稱，
∴與關(guān)于點中心對稱，
則可以看作是繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到的，旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為
∵，
∴，
∵,關(guān)于直線對稱，
∴，
即，
可以看作是向右平移得到的，平移距離為個單位長度．
故答案為：，．

（2）①，理由如下，
連接，

由對稱性可得，，
∴，
②連接分別交于兩點，過點作，交于點，

由對稱性可知：且，
∵四邊形為平行四邊形，
∴
∴三點共線，
∴，
∵，
∴，
∴四邊形是矩形，
∴，
在中，，
∵，
∴,
∴
（3）解：設(shè)，則，
依題意，，
當(dāng)時，如圖所示，過點作于點，

∴
∵，，
∴，
∴，則，
在中，，
∴，則，
∴
在中，，則，，
在中，，
，
∴
由（2）②可得，
∵
∴
∴，
解得：；
如圖所示，若，則，

∵，則，
則，
∵，，
∵，
∴，
解得：，
綜上所述，的長為或．
【點睛】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

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