1、以專題復(fù)習(xí)為主。如選擇題、填空題的專項(xiàng)練習(xí)，要把握準(zhǔn)確度和時(shí)間的安排。
2、重視方法思維的訓(xùn)練。對(duì)初中數(shù)學(xué)所涉及的函數(shù)思想、方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、整體思想等數(shù)學(xué)思想方法，要通過(guò)典型試題的訓(xùn)練。
3、拓寬思維的廣度，培養(yǎng)多角度、多維度思考問(wèn)題的習(xí)慣。將專項(xiàng)復(fù)習(xí)中的共性習(xí)題串連起來(lái)，通過(guò)一題多解，積極地探求解決問(wèn)題的最優(yōu)解法。
專題26 最值模型之費(fèi)馬點(diǎn)模型
費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題是由全等三角形中的手拉手模型衍生而來(lái)，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想，在各類考試中都以中高檔題為主。本專題就最值模型中的費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。
【模型背景】皮耶·德·費(fèi)馬，17世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家，有“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”的美譽(yù)，之所以叫業(yè)余并非段位不夠，而是因?yàn)槠渲髀毷锹蓭煟媛毟愀銛?shù)學(xué)．費(fèi)馬在解析幾何、微積分等領(lǐng)域都有卓越的貢獻(xiàn)，除此之外，費(fèi)馬廣為人知的是以其名字命名的“費(fèi)馬小定理”、“費(fèi)馬大定理”等．費(fèi)馬點(diǎn)：三角形內(nèi)的點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)。
【模型解讀】
結(jié)論1：如圖，點(diǎn)M為△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，連接AM、BM、CM，當(dāng)M與三個(gè)頂點(diǎn)連線的夾角為120°時(shí)，MA+MB+MC的值最小。
注意：上述結(jié)論成立的條件是△ABC的最大的角要小于120o，若最大的角大于或等于120o，此時(shí)費(fèi)馬點(diǎn)就是最大角的頂點(diǎn)A。（這種情況一般不考，通常三角形的最大頂角都小于120°）
【模型證明】以AB為一邊向外作等邊三角形△ABE，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN．
∵△ABE為等邊三角形，∴AB＝BE，∠ABE＝60°．而∠MBN＝60°，∴∠ABM＝∠EBN．
在△AMB與△ENB中，∵，∴△AMB≌△ENB（SAS）．
連接MN．由△AMB≌△ENB知，AM＝EN．∵∠MBN＝60°，BM＝BN，∴△BMN為等邊三角形．
∴BM＝MN．∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．∴當(dāng)E、N、M、C四點(diǎn)共線時(shí)，AM+BM+CM的值最?。?br>此時(shí)，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°；
∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°．
費(fèi)馬點(diǎn)的作法：如圖3，分別以△ABC的AB、AC為一邊向外作等邊△ABE和等邊△ACF，連接CE、BF，設(shè)交點(diǎn)為M，則點(diǎn)M即為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)。
【最值原理】?jī)牲c(diǎn)之間，線段最短。
結(jié)論2：點(diǎn)P為銳角△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，連接AP、BP、CP，求xAP+yBP+zCP最小值。（加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)）
【模型證明】第一步，選定固定不變線段；第二步，對(duì)剩余線段進(jìn)行縮小或者放大。
如：保持BP不變，xAP+yBP+zCP=，如圖，B、P、P2、A2四點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值。
模型特征：PA+PB+PC（P為動(dòng)點(diǎn)）
①一動(dòng)點(diǎn)，三定點(diǎn)；②以三角形的三邊向外作等邊三角形的，再分別將所作等邊三角形最外的頂點(diǎn)與已知三角形且與所作等邊三角形相對(duì)的頂點(diǎn)相連，連線的交點(diǎn)即為費(fèi)馬點(diǎn)；③同時(shí)線段前可以有不為1的系數(shù)出現(xiàn)，即：加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)。
例1．（2023·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題）1643年，法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬曾提出一個(gè)著名的幾何問(wèn)題：給定不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A，B，C，求平面上到這三個(gè)點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn)的位置，意大利數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家托里拆利給出了分析和證明，該點(diǎn)也被稱為“費(fèi)馬點(diǎn)”或“托里拆利點(diǎn)”，該問(wèn)題也被稱為“將軍巡營(yíng)”問(wèn)題．
(1)下面是該問(wèn)題的一種常見(jiàn)的解決方法，請(qǐng)補(bǔ)充以下推理過(guò)程：（其中①處從“直角”和“等邊”中選擇填空，②處從“兩點(diǎn)之間線段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空，③處填寫(xiě)角度數(shù)，④處填寫(xiě)該三角形的某個(gè)頂點(diǎn)）
當(dāng)?shù)娜齻€(gè)內(nèi)角均小于時(shí)，
如圖1，將繞，點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，

由，可知為 ① 三角形，故，又，故，
由 ② 可知，當(dāng)B，P，，A在同一條直線上時(shí)，取最小值，如圖2，最小值為，此時(shí)的P點(diǎn)為該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”，且有 ③ ；
已知當(dāng)有一個(gè)內(nèi)角大于或等于時(shí)，“費(fèi)馬點(diǎn)”為該三角形的某個(gè)頂點(diǎn)．如圖3，若，則該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”為 ④ 點(diǎn)．
(2)如圖4，在中，三個(gè)內(nèi)角均小于，且，已知點(diǎn)P為的“費(fèi)馬點(diǎn)”，求的值；

(3)如圖5，設(shè)村莊A，B，C的連線構(gòu)成一個(gè)三角形，且已知．現(xiàn)欲建一中轉(zhuǎn)站P沿直線向A，B，C三個(gè)村莊鋪設(shè)電纜，已知由中轉(zhuǎn)站P到村莊A，B，C的鋪設(shè)成本分別為a元/，a元/，元/，選取合適的P的位置，可以使總的鋪設(shè)成本最低為_(kāi)__________元．（結(jié)果用含a的式子表示）
例2．（2023·廣東深圳·二模）如圖，是等邊三角形，M是正方形ABCD對(duì)角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，，（點(diǎn)N在AB的左側(cè)），當(dāng)AM+BM+CM的最小值為時(shí)，正方形的邊長(zhǎng)為_(kāi)_____．
例3．（2023春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，四邊形 是菱形，B=6，且∠ABC=60° ，M是菱形內(nèi)任一點(diǎn)，連接AM，BM，CM，則AM+BM+CM 的最小值為_(kāi)_______．
例4．（2023春·湖北武漢·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，點(diǎn)M是矩形內(nèi)一點(diǎn)，且，，N為邊上一點(diǎn)，連接、、，則的最小值為_(kāi)_____．
例5．（2023·廣東廣州·?？级＃┢叫兴倪呅沃?，點(diǎn)E在邊上，連，點(diǎn)F在線段上，連，連．
(1)如圖1，已知，點(diǎn)E為中點(diǎn)，．若，求的長(zhǎng)度；
(2)如圖2，已知，將射線沿翻折交于H，過(guò)點(diǎn)C作交于點(diǎn)G．若，求證：；
(3)如圖3，已知，若，直接寫(xiě)出的最小值．
例6．（2023.河南四模）閱讀材料：平面幾何中的費(fèi)馬問(wèn)題是十七世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家、被譽(yù)為業(yè)余數(shù)學(xué)家之王的皮埃爾·德·費(fèi)馬提出的一個(gè)著名的幾何問(wèn)題．1643年，在一封寫(xiě)給意大利數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家托里拆利的私人信件中，費(fèi)馬提出了下面這個(gè)極富挑戰(zhàn)性和趣味性的幾何難題，請(qǐng)求托里拆利幫忙解答：給定不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A，B，C，求平面上到這三個(gè)點(diǎn)的距離之和最短的點(diǎn)P的位置．托里拆利成功地解決了費(fèi)馬的問(wèn)題．后來(lái)人們就把平面上到一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C距離之和最小的點(diǎn)稱為ABC的費(fèi)馬-托里拆利點(diǎn)，也簡(jiǎn)稱為費(fèi)馬點(diǎn)或托里拆利點(diǎn)．問(wèn)題解決：
（1）費(fèi)馬問(wèn)題有多種不同的解法，最簡(jiǎn)單快捷的還是幾何解法．如圖1，我們可以將BPC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BDE，連接PD，可得BPD為等邊三角形，故PD=PB，由旋轉(zhuǎn)可得DE=PC，因PA+PB+PC=PA+PD+DE，由 可知，PA+PB+PC的最小值與線段 的長(zhǎng)度相等；
（2）如圖2，在直角三角形ABC內(nèi)部有一動(dòng)點(diǎn)P，∠BAC=90°，∠ACB=30°，連接PA，PB，PC，若AB=2，求PA+PB+PC的最小值；（3）如圖3，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4，∠ABC=60°，平面內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)E，在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，始終有∠BEC=90°，連接AE、DE，在ADE內(nèi)部是否存在一點(diǎn)P，使得PA+PD+PE最小，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出PA+PD+PE的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
例7．（2023·江蘇·?？既＃┤鐖D，四個(gè)村莊坐落在矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)上，公里，公里，現(xiàn)在要設(shè)立兩個(gè)車站E，F(xiàn)，則的最小值為_(kāi)_____公里．
例8．（2023下·陜西西安·九年級(jí)校考階段練習(xí)）問(wèn)題探究
將幾何圖形按照某種法則或規(guī)則變換成另一種幾何圖形的過(guò)程叫做幾何變換．旋轉(zhuǎn)變換是幾何變換的一種基本模型．經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)，往往能使圖形的幾何性質(zhì)明白顯現(xiàn)．題設(shè)和結(jié)論中的元素由分散變?yōu)榧?，相互之間的關(guān)系清楚明了，從而將求解問(wèn)題靈活轉(zhuǎn)化．

問(wèn)題提出：如圖1，是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，P為內(nèi)部一點(diǎn)，連接、、，求的最小值．
方法分析：通過(guò)轉(zhuǎn)化，把由三角形內(nèi)一點(diǎn)發(fā)出的三條線段（星型線）轉(zhuǎn)化為兩定點(diǎn)之間的折線（化星為折），再利用“兩點(diǎn)之間線段最短”求最小值（化折為直）．
問(wèn)題解決：如圖2，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，連接，記與交于點(diǎn)，易知．由，可知為正三角形，有．
故．因此，當(dāng)共線時(shí)，有最小值是．
學(xué)以致用：(1)如圖3，在中，為內(nèi)部一點(diǎn)，連接，則的最小值是________．(2)如圖4，在中，為內(nèi)部一點(diǎn)，連接，求的最小值．
課后專項(xiàng)訓(xùn)練
1.（2022·宜賓·中考真題）如圖，和都是等腰直角三角形，，點(diǎn)D是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），DE與AC交于點(diǎn)F，連結(jié)CE．下列結(jié)論：①；②；③若，則；④在內(nèi)存在唯一一點(diǎn)P，使得的值最小，若點(diǎn)D在AP的延長(zhǎng)線上，且AP的長(zhǎng)為2，則．其中含所有正確結(jié)論的選項(xiàng)是（ ）
A．①②④B．①②③C．①③④D．①②③④
2．（2023·成都實(shí)外九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在中，，P是內(nèi)一點(diǎn)，求的最小值為_(kāi)_____．
3．（2023·廣東廣州·一模）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)P是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，作PD⊥BC于點(diǎn)D，線段AD上存在一點(diǎn)Q，當(dāng)QA+QB+QC的值取得最小值，且AQ=2時(shí)，則PD=________．
4．（2019·湖北武漢·中考真題）問(wèn)題背景：如圖，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，與交于點(diǎn)，可推出結(jié)論：
問(wèn)題解決：如圖，在中，，，．點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離和的最小值是___________

5．（2023·重慶·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，△ABC中，∠BAC＝30°且AB＝AC，P是底邊上的高AH上一點(diǎn)．若AP+BP+CP的最小值為2，則BC＝_____．
6．（2023·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，四邊形 是菱形，B=6，且∠ABC=60° ，M是菱形內(nèi)任一點(diǎn)，連接AM，BM，CM，則AM+BM+CM 的最小值為_(kāi)_______．
7．（2023·陜西·二模）已知，如圖在中，，，，在內(nèi)部有一點(diǎn)D，連接DA、DB、DC．則的最小值是__________．
8．（2023·山東·九年級(jí)專題練習(xí)）已知：到三角形3個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)稱為該三角形的費(fèi)馬點(diǎn)．如果是銳角（或直角）三角形，則其費(fèi)馬點(diǎn)P是三角形內(nèi)一點(diǎn)，且滿足．（例如：等邊三角形的費(fèi)馬點(diǎn)是其三條高的交點(diǎn)）．若，P為的費(fèi)馬點(diǎn)，則_________；若，P為的費(fèi)馬點(diǎn)，則_________．
9．（2021·山東濱州·中考真題）如圖，在中，，，．若點(diǎn)P是內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)___________．
10．（2021·遼寧丹東·中考真題）已知：到三角形3個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)稱為該三角形的費(fèi)馬點(diǎn)．如果是銳角（或直角）三角形，則其費(fèi)馬點(diǎn)P是三角形內(nèi)一點(diǎn)，且滿足．（例如：等邊三角形的費(fèi)馬點(diǎn)是其三條高的交點(diǎn)）．若，P為的費(fèi)馬點(diǎn)，則_________；若，P為的費(fèi)馬點(diǎn)，則_________．
11．（2023·江蘇·九年級(jí)階段練習(xí)）探究題
(1)知識(shí)儲(chǔ)備：①如圖1，已知點(diǎn)P為等邊△ABC外接圓的弧BC上任意一點(diǎn)．求證：PB+PC=PA．
②定義：在△ABC所在平面上存在一點(diǎn)P，使它到三角形三頂點(diǎn)的距離之和最小，則稱點(diǎn)P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，此時(shí)PA+PB+PC的值為△ABC的費(fèi)馬距離．
(2)知識(shí)遷移：我們有如下探尋△ABC(其中∠A，∠B，∠C均小于120°)的費(fèi)馬點(diǎn)和費(fèi)馬距離的方法：如圖2，在△ABC的外部以BC為邊長(zhǎng)作等邊△BCD及其外接圓，根據(jù)(1)的結(jié)論，易知線段____的長(zhǎng)度即為△ABC的費(fèi)馬距離．
(3)知識(shí)應(yīng)用：①如圖3所示的△ABC（其中均小于），，現(xiàn)取一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到三點(diǎn)的距離之和最小，求最小值；
②如圖4，若三個(gè)村莊構(gòu)成Rt△ABC，其中．現(xiàn)選取一點(diǎn)P打水井，使P點(diǎn)到三個(gè)村莊鋪設(shè)的輸水管總長(zhǎng)度最小，畫(huà)出點(diǎn)P所對(duì)應(yīng)的位置，輸水管總長(zhǎng)度的最小值為_(kāi)_______．（直接寫(xiě)結(jié)果）
12．（2020·重慶中考真題）如圖，在中，，，點(diǎn)D是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，把AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到AE，連接CE，DE．點(diǎn)F是DE的中點(diǎn)，連接CF．
（1）求證：；（2）如圖2所示，在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)時(shí)，分別延長(zhǎng)CF，BA，相交于點(diǎn)G，猜想AG與BC存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你猜想的結(jié)論；
（3）在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，在線段AD上存在一點(diǎn)P，使的值最小．當(dāng)?shù)闹等〉米钚≈禃r(shí)，AP的長(zhǎng)為m，請(qǐng)直接用含m的式子表示CE的長(zhǎng)．
13．（2023·河北·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xy中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，2)，點(diǎn)在軸的正半軸上，，OE為△BOD的中線，過(guò)B、兩點(diǎn)的拋物線與軸相交于、兩點(diǎn)（在的左側(cè)）.（1）求拋物線的解析式；（2）等邊△的頂點(diǎn)M、N在線段AE上，求AE及的長(zhǎng)；（3）點(diǎn)為△內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的最小值,以及取得最小值時(shí)，線段的長(zhǎng).
14．（2023·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝6，AC＝4，P為平面內(nèi)一點(diǎn)，求最小值
15．（2023·福建三明·八年級(jí)期中）【問(wèn)題背景】17世紀(jì)有著“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”美譽(yù)的法國(guó)律師皮耶·德·費(fèi)馬，提出一個(gè)問(wèn)題：求作三角形內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)，使它到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小后來(lái)這點(diǎn)被稱之為“費(fèi)馬點(diǎn)”．
如圖，點(diǎn)是內(nèi)的一點(diǎn)，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到，則可以構(gòu)造出等邊，得，，所以的值轉(zhuǎn)化為的值，當(dāng)，，，四點(diǎn)共線時(shí)，線段的長(zhǎng)為所求的最小值，即點(diǎn)為的“費(fèi)馬點(diǎn)”．
(1)【拓展應(yīng)用】如圖1，點(diǎn)是等邊內(nèi)的一點(diǎn)，連接，，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到．①若，則點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離是___；②當(dāng)，，時(shí)，求的大?。?2)如圖2，點(diǎn)是內(nèi)的一點(diǎn)，且，，，求的最小值．
16．（2023·江蘇·蘇州八年級(jí)期中）背景資料：在已知所在平面上求一點(diǎn)P，使它到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小.這個(gè)問(wèn)題是法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬1640年前后向意大利物理學(xué)家托里拆利提出的，所求的點(diǎn)被人們稱為“費(fèi)馬點(diǎn)”．如圖1，當(dāng)三個(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)P在內(nèi)部，當(dāng)時(shí)，則取得最小值．
(1)如圖2，等邊內(nèi)有一點(diǎn)P，若點(diǎn)P到頂點(diǎn)A、B、C的距離分別為3，4，5，求的度數(shù)，為了解決本題，我們可以將繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到處，此時(shí)這樣就可以利用旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段、、轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，從而求出_______；
知識(shí)生成：怎樣找三個(gè)內(nèi)角均小于120°的三角形的費(fèi)馬點(diǎn)呢？為此我們只要以三角形一邊在外側(cè)作等邊三角形并連接等邊三角形的頂點(diǎn)與的另一頂點(diǎn)，則連線通過(guò)三角形內(nèi)部的費(fèi)馬點(diǎn)．請(qǐng)同學(xué)們探索以下問(wèn)題．(2)如圖3，三個(gè)內(nèi)角均小于120°，在外側(cè)作等邊三角形，連接，求證：過(guò)的費(fèi)馬點(diǎn)．(3)如圖4，在中，，，，點(diǎn)P為的費(fèi)馬點(diǎn)，連接、、，求的值．(4)如圖5，在正方形中，點(diǎn)E為內(nèi)部任意一點(diǎn)，連接、、，且邊長(zhǎng)；求的最小值．

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