1、以專題復(fù)習(xí)為主。如選擇題、填空題的專項練習(xí)，要把握準(zhǔn)確度和時間的安排。
2、重視方法思維的訓(xùn)練。對初中數(shù)學(xué)所涉及的函數(shù)思想、方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、整體思想等數(shù)學(xué)思想方法，要通過典型試題的訓(xùn)練。
3、拓寬思維的廣度，培養(yǎng)多角度、多維度思考問題的習(xí)慣。將專項復(fù)習(xí)中的共性習(xí)題串連起來，通過一題多解，積極地探求解決問題的最優(yōu)解法。
專題29 最值模型之瓜豆模型（原理）直線軌跡型
動點軌跡問題是中考和各類模擬考試的重要題型，學(xué)生受解析幾何知識的局限和思維能力的束縛，該壓軸點往往成為學(xué)生在中考中的一個坎，致使該壓軸點成為學(xué)生在中考中失分的集中點。掌握該壓軸題型的基本圖形，構(gòu)建問題解決的一般思路，是中考專題復(fù)習(xí)的一個重要途徑。本專題就最值模型中的瓜豆原理（動點軌跡為直線型）進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。
【模型解讀】
瓜豆原理：若兩動點到某定點的距離比是定值，夾角是定角，則兩動點的運動路徑相同。
動點軌跡基本類型為直線型和圓弧型，本專題受教學(xué)進(jìn)程影響，估只對瓜豆原理中的直線型軌跡作講解。
主動點叫瓜，從動點叫豆，瓜在直線上運動，豆也在直線_上運動；瓜在圓周上運動，豆的軌跡也是圓。
古人云：種瓜得瓜，種豆得豆．“種”圓得圓，“種”線得線，謂之“瓜豆原理”。
模型1、運動軌跡為直線
1）如圖，P是直線BC上一動點，連接AP，取AP中點Q，當(dāng)點P在BC上運動時，Q點軌跡是？

解析：當(dāng)P點軌跡是直線時，Q點軌跡也是一條直線．
理由：分別過A、Q向BC作垂線，垂足分別為M、N，在運動過程中，因為AP=2AQ，所以QN始終為AM的一半，即Q點到BC的距離是定值，故Q點軌跡是一條直線．
2）如圖，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ為定值，當(dāng)點P在直線BC上運動時，求Q點軌跡？

解析：當(dāng)AP與AQ夾角固定且AP:AQ為定值的話，P、Q軌跡是同一種圖形。
理由：當(dāng)確定軌跡是線段的時候，可以任取兩個時刻的Q點的位置，連線即可，比如Q點的起始位置和終點位置，連接即得Q點軌跡線段。
【最值原理】動點軌跡為一條直線時，利用“垂線段最短”求最值。
1）當(dāng)動點軌跡已知時可直接運用垂線段最短求最值；
2）當(dāng)動點軌跡未知時，先確定動點軌跡，再垂線段最短求最值。
3）確定動點軌跡的方法（重點）
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①當(dāng)某動點與定直線的端點連接后的角度不變時，該動點的軌跡為直線；
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②當(dāng)某動點到某條直線的距離不變時，該動點的軌跡為直線；
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③當(dāng)一個點的坐標(biāo)以某個字母的代數(shù)式表示時，若可化為一次函數(shù)，則點的軌跡為直線；
④觀察動點運動到特殊位置時，如中點，端點等特殊位置考慮；
⑤若動點軌跡用上述方法不都合適，則可以將所求線段轉(zhuǎn)化（常用中位線、矩形對角線、全等、相似）為其他已知軌跡的線段求最值。
例1．（2022·湖南湘西·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M為BC的中點，H為AB上一點，過點C作CG∥AB，交HM的延長線于點G，若AC＝8，AB＝6，則四邊形ACGH周長的最小值是（ ）

A．24B．22C．20D．18
【答案】B
【分析】通過證明△BMH≌△CMG可得BH＝CG，可得四邊形ACGH的周長即為AB+AC+GH，進(jìn)而可確定當(dāng)MH⊥AB時，四邊形ACGH的周長有最小值，證明四邊形ACGH為矩形可得HG的長，進(jìn)而可求解．
【詳解】∵CG∥AB，∴∠B＝∠MCG，∵M(jìn)是BC的中點，∴BM＝CM，
在△BMH和△CMG中，，∴△BMH≌△CMG（ASA），∴HM＝GM，BH＝CG，
∵AB＝6，AC＝8，∴四邊形ACGH的周長＝AC+CG+AH+GH＝AB+AC+GH＝14+GH，
∴當(dāng)GH最小時，即MH⊥AB時四邊形ACGH的周長有最小值，
∵∠A＝90°，MH⊥AB，∴GH∥AC，∴四邊形ACGH為矩形，∴GH＝8，
∴四邊形ACGH的周長最小值為14+8＝22，故選：B．
【點睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，確定GH的值是解題的關(guān)鍵．
例2．（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）如圖，是邊長為的等邊三角形，點為高上的動點．連接，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到．連接，，，則周長的最小值是 ．

【答案】/
【分析】根據(jù)題意，證明，進(jìn)而得出點在射線上運動，作點關(guān)于的對稱點，連接，設(shè)交于點，則，則當(dāng)三點共線時，取得最小值，即，進(jìn)而求得，即可求解．
【詳解】解：∵為高上的動點．∴
∵將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到．是邊長為的等邊三角形，
∴∴
∴，∴點在射線上運動，如圖所示，

作點關(guān)于的對稱點，連接，設(shè)交于點，則
在中，，則，
則當(dāng)三點共線時，取得最小值，即
∵，，∴∴
在中，,
∴周長的最小值為，故答案為：．
【點睛】本題考查了軸對稱求線段和的最值問題，等邊三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)與判定以及軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
例3．（2023·河南洛陽·統(tǒng)考一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，，，，點E在線段BC上運動（含B、C兩點）．連接AE，以點A為中心，將線段AE逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到AF，連接DF，則線段DF長度的最小值為______．
【答案】
【分析】以AB為邊向右作等邊△ABG，作射線GF交AD于點H，過點D作DM⊥GH于M．利用全等三角形的性質(zhì)證明∠AGF＝60°，得出點F在平行于AB的射線GH上運動，求出DM即可．
【詳解】解：如圖，以AB為邊向右作等邊△ABG，作射線GF交AD于點H，過點D作DM⊥GH于M．

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠B＝60°，∴∠BAD＝120°，
∵△ABG是等邊三角形，∴∠BAG＝∠EAF＝60°，BA＝GA，EA＝FA，
∴∠BAE＝∠FAG，∴△BAE≌△GAF（SAS），∴∠B＝∠AGF＝60°，
∴點F在平行于AB的射線GH上運動，
∵∠HAG＝∠AGF＝60°，∴△AHG是等邊三角形，
∴AB＝AG＝AH＝6，∴DH＝AD﹣AH＝4，
∵∠DHM＝∠AHG＝60°，∴DM＝DH?sin60°，
根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)點F與M重合時，DF的值最小，最小值為，故答案為：．
【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，本題的突破點是證明點F的在射線GH上運動，屬于中考填空題中的壓軸題．
例4．（2022·山東泰安·統(tǒng)考二模）如圖，矩形的邊，E為上一點，且，F(xiàn)為邊上的一個動點，連接，若以為邊向右側(cè)作等腰直角三角形，連接，則的最小值為（ ）
A．B．C．3D．
【答案】B
【分析】過點G作GH⊥AB于H，過點G作MN∥AB，由“AAS”可證△GEH≌△EFA，可得GH＝AE＝1，可得點G在平行AB且到AB距離為1的直線MN上運動，則當(dāng)F與D重合時，CG有最小值，即可求解．
【詳解】解：如圖，過點G作GH⊥AB于H，過點G作MN∥AB，
∵四邊形ABCD是矩形，AB＝，BC＝3，∴∠B＝90°，CD＝，AD＝3，
∵AE＝1，∴BE＝，∵∠GHE＝∠A＝∠GEF＝90°，
∴∠GEH＋∠EGH＝90°，∠GEH＋∠FEA＝90°，∴∠EGH＝∠FEA，
又∵GE＝EF，∴△GEH≌△EFA（AAS），∴GH＝AE＝1，
∴點G在平行AB且到AB距離為1的直線MN上運動，
∴當(dāng)F與D重合時，CG有最小值，此時AF＝EH＝3，
∴CG的最小值＝，故選B．
【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，確定點G的運動軌跡是本題的關(guān)鍵．
例5．（2023·陜西·西安市八年級期末）預(yù)備知識：(1)在一節(jié)數(shù)學(xué)課上，老師提出了這樣一個問題：隨著變量t的變化，動點在平面直角坐標(biāo)系中的運動軌跡是什么？
一番深思熟慮后，聰明的小明說：“是一條直線”，老師問：“你能求出這條直線的函數(shù)表達(dá)式嗎？”
小明的思路如下：設(shè)這條直線的函數(shù)表達(dá)式為，
將點代入得：，整理得
∵t為任意實數(shù)，等式恒成立，∴， ∴，
∴這條直線的函數(shù)表達(dá)式為
請仿照小明的做法，完成問題：隨著變量t的變化，動點在平面直角坐標(biāo)系中的運動軌跡是直線l，求直線l的函數(shù)表達(dá)式．
問題探究：(2)如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，且，，則點C的坐標(biāo)為_________．
結(jié)論應(yīng)用：(3)如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，Q是直線上的一個動點，連接，過點P作，且，連接，求線段的最小值．
【答案】(1)直線l的函數(shù)表達(dá)式為;(2)點C（-7，3）；(3)OQ′最小值為．
【分析】（1）利用待定系數(shù)法將點P代入解析式，利用恒等性質(zhì)得出，，求出直線解析式即可；（2）設(shè)C點坐標(biāo)為（m，n）過C作CE垂直x軸于E，過B作BF⊥x軸于F，證明△CAE≌△ABF（AAS）得出CE=AF，EA=FB，根據(jù)點B（5，9）點A（2，0）求出點F（5，0）即可；
（3）過Q作QG⊥x軸于G，過Q′作Q′H⊥x軸于H，先證△QPG≌△PQ′H（AAS），設(shè)Q（a，）分三種情況，當(dāng)a≤1時，點Q′（，1 - a）OQ′=，當(dāng)1≤a≤4，點Q′（，1-a），OQ′=，當(dāng)a≥4時，點Q′（，1-a）OQ′=，求出每種情況的最小值，然后比較大小即可．
【解析】(1)解：設(shè)這條直線的函數(shù)表達(dá)式為，將點代入得：，整理得，∵t為任意實數(shù)，等式恒成立，∴，，
∴，，∴這條直線的函數(shù)表達(dá)式為，
∴隨著變量t的變化，動點在平面直角坐標(biāo)系中的運動軌跡是直線l，
直線l的函數(shù)表達(dá)式為．
(2)解:設(shè)C點坐標(biāo)為（m，n）過C作CE垂直x軸于E，過B作BF⊥x軸于F，∴∠ECA+∠CAE=90°，
∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠CAE+∠FAB=90°，∴∠ECA=∠FAB，
在△CAE和△ABF中，，∴△CAE≌△ABF（AAS），∴CE=AF，EA=FB，
∵點B（5，9）點A（2，0），∴點F（5，0）∴n=5-2=3;2-m=9,∴m=-7,∴點C（-7，3）；

(3)解：過Q作QG⊥x軸于G，過Q′作Q′H⊥x軸于H，
∵∠QPQ′=90°，∠QGP=∠Q′HP=90°，∴∠QPG+∠Q′PH=90°，∠Q′PH+∠HQ′P=90°，∴∠QPG=∠HQ′P，
在△QPG和△PQ′H中，，∴△QPG≌△PQ′H（AAS），∴PG=Q′H，QG=PH，
∵Q是直線上的一個動點，設(shè)Q（a，），
當(dāng)a≤1時，∴QG=PH=，PG= QH=1 - a，∴點Q′（，1 - a），
∵OQ′=，
∵時，OQ′隨a的增大而減小，當(dāng)a=1時最小OQ′=，
當(dāng)1≤a≤4，∴QG=PH=，PG= QH= a-1，∴點Q′（，1-a），
∵OQ′=，∵，a=2時，OQ′最小=，

當(dāng)a≥4時，∴QG=PH=，PG= QH= a-1，∴點Q′（，1-a），
∵OQ′=，∵，a＞2時，OQ′隨a的增大而增大，
a=4時，OQ′最小=， ∵＞3＞，∴OQ′最小值為．
【點睛】本題考查待定系數(shù)法求直線解析式，恒等式性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，勾股定理，函數(shù)的最值，分類思想的運用，掌握待定系數(shù)法求直線解析式，恒等式性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，勾股定理，函數(shù)的最值，分類思想的運用是解題關(guān)鍵．
例6．（2023·河南新鄉(xiāng)·統(tǒng)考一模）如圖，在菱形中，，E、F分別是邊上的動點，連接，G、H分別為的中點，連接．若的最小值為3，則的長為__________．
【答案】
【分析】連接，利用中位線的性質(zhì)，要使最小，只要最小，當(dāng)時，最小為6，由確定為等腰直角三角形，得出，由勾股定理得：求出即可．
【詳解】解：連接，∵，分別為，的中點，∴，且，
要使最小，只要最小，當(dāng)時，最小，
∵的最小值為3，∴，∵，∴，
∴，∴，
∵四邊形是菱形，∴．故答案為：．
【點睛】本題考查動點圖形中的中位線，菱形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理應(yīng)用問題，掌握中位線的性質(zhì)，菱形性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
例7．（2023·四川雅安·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，．P為邊上一動點，作于點D，于點E，則的最小值為 ．

【答案】
【分析】連接，利用勾股定理列式求出，判斷出四邊形是矩形，根據(jù)矩形的對角線相等可得，再根據(jù)垂線段最短可得時，線段的值最小，然后根據(jù)直角三角形的面積公式列出方程求解即可．
【詳解】解：如圖，連接，

∵，∴，
∵于點D，于點E，，∴四邊形是矩形，∴，
由垂線段最短可得時，線段的值最小，此時線段的值最小，
此時，，代入數(shù)據(jù)：，
∴，∴的最小值為，故答案為：．
【點睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，垂線段最短的性質(zhì)，勾股定理，判斷出時，線段的值最小是解題的關(guān)鍵．
例8．（2023·安徽合肥·?？家荒＃┤鐖D，中，，，點D是邊上一動點，以點A為旋轉(zhuǎn)中心，將順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，若，則的長的最小值為（ ）
A．B．C．1D．
【答案】A
【分析】在上取一點K，使得，連接，，然后證明出，然后根據(jù)垂線段最短得到當(dāng)時，的值最小，最后利用角直角三角形的性質(zhì)求解即可．
【詳解】如圖所示，在上取一點K，使得，連接，，
∵，，∴，，∴，
又∵，，∴，∴，∴當(dāng)時，的值最小，
∵，，，∴，
∴，∴．∴的長的最小值為．故選A
【點睛】此題考查了全等三角形的性質(zhì)和判斷，垂線段最短，角直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點．
課后專項訓(xùn)練
1．（2021·四川廣元·中考真題）如圖，在中，，，點D是邊的中點，點P是邊上一個動點，連接，以為邊在的下方作等邊三角形，連接．則的最小值是（ ）
A．B．1C．D．
【答案】B
【分析】以CD為邊作等邊三角形CDE，連接EQ，由題意易得∠PDC=∠QDE，PD=QD，進(jìn)而可得△PCD≌△QED，則有∠PCD=∠QED=90°，然后可得點Q是在QE所在直線上運動，所以CQ的最小值為CQ⊥QE時，最后問題可求解．
【詳解】解：以CD為邊作等邊三角形CDE，連接EQ，如圖所示：
∵是等邊三角形，∴，
∵∠CDQ是公共角，∴∠PDC=∠QDE，∴△PCD≌△QED（SAS），
∵，，點D是邊的中點，
∴∠PCD=∠QED=90°，，∴點Q是在QE所在直線上運動，
∴當(dāng)CQ⊥QE時，CQ取的最小值，∴，∴；故選B．
【點睛】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)、含30°直角三角形的性質(zhì)及最短路徑問題，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)、含30°直角三角形的性質(zhì)及最短路徑問題是解題的關(guān)鍵．
2．（2023上·福建廈門·九年級?？计谥校┤鐖D，長方形中，，，E為上一點．且，F(xiàn)為邊上的一個動點．連接，將繞著點E順時針旋轉(zhuǎn)到的位置，其中點B、點F的對應(yīng)點分別為點H、點G，連接和，則的最小值為（ ）．

A．B．3C．D．
【答案】C
【分析】如圖，將線段繞點E順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接交于J．首先證明，推出點G的在射線上運動，推出當(dāng)時，的值最小，證明四邊形是矩形，進(jìn)一步推出，則，即可得到的最小值為．
【詳解】解：如圖，將線段繞點E順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接交于J．

∵四邊形是矩形，∴，
∵，∴，
∵，∴，∴，
∴點G的在射線上運動，∴當(dāng)時，的值最小，
∵，∴，∴，
∴，∴四邊形是矩形，
∴，∴，∴，
∴，∴，∴的最小值為．故選：C．
【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)與判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，垂線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形得到動點運動的軌跡，屬于中考填空題中的壓軸題．
3.（2023上·江蘇揚州·九年級校聯(lián)考期中）如圖，正方形的邊長為4，點是正方形對角線所在直線上的一個動點，連接，以為斜邊作等腰（點，，按逆時針排序），則長的最小值為（ ）

A．B．C．4D．
【答案】D
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)和題干給定的是以為斜邊作等腰直角三角形，證明，得到進(jìn)一步證明，得到，由正方形的性質(zhì)得點H為的中點，有點F在的垂直平分線上運動，當(dāng)點F與點H重合時，的值最?。?br>【詳解】解：連接交于點G，連接并延長交于點H，如圖，

∵四邊形是正方形，∴，，，
∵是以為斜邊作等腰直角三角形，∴，，，
∵，∴，∵，∴，∴，則，
∵，∴，∴，
∴，則，∴，
∵點G為正方形對角線的交點，∴點H為的中點，∴點F在的垂直平分線上運動，
∵，∴當(dāng)點F與點H重合時，的值最小，此時．
即長的最小值為2．故答案選：D．
【點睛】此題考查正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)和垂線段最短，利用相似的邊長比證明對應(yīng)三角形邊長的相似比，并找到點的運動軌跡是解題的關(guān)鍵．
4．（2023上·河北保定·九年級校考期中）如圖，在中，，且，點D是斜邊上的一個動點，過點D分別作于點M，于點N，連接，點O為的中點，則線段的最小值為（ ）

A．B．5C．D．
【答案】C
【分析】由勾股定理求出的長，再證明四邊形是矩形，可得，根據(jù)垂線段最短可得當(dāng)時，的值最小，再利用三角形面積求出，可得，即可解決問題．
【詳解】解：如圖，連接，

，且，，，
，，，
四邊形是矩形，，，當(dāng)時，的值最小，
此時，，，的最小值為，故選：C．
【點睛】本題主要考查了矩形的判定和性質(zhì)、勾股定理、三角形面積、垂線段最短，關(guān)鍵是掌握矩形的對角線相等．
5．（2023上·山西臨汾·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，點，分別是，邊上的動點，連結(jié)，，分別是，的中點，則的最小值為（ ）

A．12B．10C．9.6D．4.8
【答案】D
【分析】本題主要考查了三角形中位線定理，勾股定理，垂線段最短的性質(zhì)．連接，作于點H．由三角形中位線的性質(zhì)得，由垂線段最短可知當(dāng)最小，即點E與點H重合時的值最小，然后利用勾股定理求出的長即可．
【詳解】解：連接，作于點H．

∵點，分別是，邊上的動點，∴是的中位線，∴，
∴當(dāng)最小，即點E與點H重合時的值最?。O(shè)，則，
∵，∴，∴，∴的最小值為4.8．故選D．
6．（2023上·廣東廣州·九年級校考期中）如圖，正方形的邊長為4，，點E是直線上一個動點，連接，線段繞點B順時針旋轉(zhuǎn)得到，則線段長度的最小值等于（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】連接，在上截取，使，連接，過點D作于點H，證明，得出，點F在直線上運動，當(dāng)點F與H重合時，的值最小，求出最小值即可．
【詳解】解：連接，在上截取，使，連接，過點D作于點H，如圖所示：

∵四邊形是正方形，
∴，，，
∴，，∴，
∵，∴，在和中，
∴，∴，
∴點F在直線上運動，當(dāng)點F與H重合時，的值最小，
∵，，∴，故選：B．
【點睛】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，垂線段最短，直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，得出點F在直線上運動，當(dāng)點F與H重合時，的值最小，是解題的關(guān)鍵．
7．（2022·江蘇·徐州市三模）如圖，中，，，為邊上的一動點，以、為邊作，則線段的最小值為______．
【答案】
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知點在平行的線段上運動，當(dāng)時，最小，根據(jù)勾股定理即可求解．
【詳解】解：四邊形是平行四邊形，
，則點在平行的線段上運動，當(dāng)時，最小，
，則，在中，，，
，即最小值為．故答案為：．
【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，確定點的軌跡是解題的關(guān)鍵．
8．（2023上·湖北武漢·九年級校聯(lián)考期中）如圖，已知，B為上一點，于A，四邊形為正方形，P為射線上一動點，連接，將繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)得，連接，若，則的最小值為 ．

【答案】/
【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)以及垂線段最短的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等以及垂線段最短進(jìn)行解答．連接，依據(jù)構(gòu)造全等三角形，即，將的長轉(zhuǎn)化為的長，再依據(jù)垂線段最短得到當(dāng)最短時，亦最短，根據(jù)，，即可求得的長的最小值．
【詳解】解：如圖，連接，

由題意可得，∴ ，
在和中，， ∴，∴，
當(dāng)時，最短，此時也最短，
∵， ，∴，∴ ∴，
∴當(dāng)時， ，∴的最小值為．故答案為：．
9．（2023上·湖南長沙·九年級校聯(lián)考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，點C是y軸上一動點，設(shè)其坐標(biāo)為，線段繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)至線段，則點B的坐標(biāo)為 ，連接，則的最小值是 ．

【答案】
【分析】本題考查坐標(biāo)與圖形變化一旋轉(zhuǎn)，全等三角形的判定和性質(zhì)，垂線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找點的運動軌跡，屬于中考?？碱}型．
設(shè)，過點作軸，垂足為點，證明，推出，可得點的坐標(biāo)為，推出點的運動軌跡是直線，根據(jù)垂線段最短解決問題即可．
【詳解】設(shè)，過點作軸，垂足為點，

∵線段繞著點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)至線段，
∵點，點，∴點的坐標(biāo)為，∴點的運動軌跡是直線，
∵直線交軸于，交軸于，
過點作于．則，
根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)點與點重合時，的值最小，最小值為，
故答案為：；．
10．（2023上·內(nèi)蒙古呼和浩特·九年級統(tǒng)考期中）如圖，已知中，，，，，，點為直線上一動點，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接、，點在直線上且，則最小值為 ．
【答案】
【分析】首先通過證明得到，再根據(jù)垂線段最短將最小值轉(zhuǎn)化為點到的距離，最后利用面積法計算即可．
【詳解】解：，，，即，
由旋轉(zhuǎn)可知：，，，
在和中，，，
，則當(dāng)時，最小，即最小，，，，，
點到的距離為，的最小值為，故答案為：．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，面積法，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，垂線段最短，轉(zhuǎn)化思想．
11．（2023上·福建三明·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在長方形中，，，為邊上的點，且．為邊上的動點，以為邊在其右側(cè)作等腰直角三角形，．設(shè)中點為，則的最小值為 ．

【答案】
【分析】過點作于，過點作，證明，可得，可得點在平行且到距離為的直線上運動，則當(dāng)點、、共線時，有最小值，即可求解．
【詳解】解：如圖，過點作于，過點作，∴，
∵四邊形是長方形也就是矩形，，，
∴，，∴，
∵是等腰直角三角形，，∴，
∴，∴，
在和中，，∴，
∴，∴點在平行且到距離為的直線上運動，
當(dāng)點、、共線時，，則，此時有最小值，
此時，∴四邊形是長方形，
∴，∴，∴的最小值為，故答案為：．

【點睛】本題考查長方形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，等腰直角三角形的性質(zhì)，垂線段最短，確定點的運動軌跡是解題的關(guān)鍵．
12．（2022·貴州畢節(jié)·中考真題）如圖，在中，，點P為邊上任意一點，連接，以，為鄰邊作平行四邊形，連接，則長度的最小值為_________．
【答案】##2.4
【分析】利用勾股定理得到BC邊的長度，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得知OP最短即為PQ最短，利用垂線段最短得到點P的位置，再證明利用對應(yīng)線段的比得到的長度，繼而得到PQ的長度．
【詳解】解：∵，∴，
∵四邊形APCQ是平行四邊形，∴PO＝QO，CO＝AO，
∵PQ最短也就是PO最短，∴過O作BC的垂線，
∵,∴,
∴，∴，∴，∴則PQ的最小值為，故答案為：．
【點睛】考查線段的最小值問題，結(jié)合了平行四邊形性質(zhì)和相似三角形求線段長度，本題的關(guān)鍵是利用垂線段最短求解，學(xué)生要掌握轉(zhuǎn)換線段的方法才能解出本題．
13．（2022·廣東·東莞二模）如圖，已知等腰三角形PAB，∠BAP＝45°，AB＝AP，將三角形放在平面直角坐標(biāo)系中，若點A（，0），點B在y軸正半軸上，則OP的最小值是 _____．
【答案】##
【分析】把△AOB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，使AB與線段AP重合，點O的對應(yīng)點為C，直線CP交x軸于點D，證得△ACD為等腰直角三角形，可得點P的運動軌跡在直線CP上，當(dāng)OP⊥CP時，OP最短，當(dāng)OP⊥CP時，△OPD為等腰直角三角形，然后利用等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理即可解決問題．
【詳解】解：如圖，把△AOB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，使AB與線段AP重合，點O的對應(yīng)點為點C，直線CP交x軸于點D，
則△AOB≌△ACP，∴∠BAO=∠PAC，∠C=∠AOB=90°，AC= AO=3，
∵∠BAP=45°，即∠BAO+∠PAO=45°，∴∠PAC +∠PAO=45°，即∠CAO=45°，
∴△ACD為等腰直角三角形，∴點P的運動軌跡在直線CP上，
∴當(dāng)OP⊥CP時，OP最短，當(dāng)OP⊥CP時，△OPD為等腰直角三角形，
∵△ACD為等腰直角三角形，AC=3，∴AD=AC=6，
∴OD=6-3，∴OP=3-3．即OP最小值為3-3．故答案為：．
【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是得到△ACD和△OPD為等腰直角三角形．
14．（2022·江蘇宿遷·三模）如圖在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2．D是AB上一動點，以DC為斜邊向右側(cè)作等腰Rt△DCE，使∠CED＝90°，連接BE，則線段BE的最小值為__________________．
【答案】
【分析】以AC為斜邊在AC右側(cè)作等腰直角三角形AE1C，邊E1C與AB 交于點G，連接E1E延長與AB交于點F，作BE2⊥E1F于點E2，由Rt△DCE與Rt△AE1C為等腰直角三角形，可得∠DCE＝∠CDE＝∠ACE1＝∠CAE1＝45°，于是∠ACD＝∠E1CE，因此△ACD∽△E1CE，所以∠CAD＝∠CE1E＝30°，所以E在直線E1E上運動，當(dāng)BE2⊥E1F時，BE最短，即為BE2的長．
【詳解】解：如圖，以AC為斜邊在AC右側(cè)作等腰直角三角形AE1C，邊E1C與AB 交于點G，連接E1E延長與AB交于點F，作BE2⊥E1F于點E2，連接CF，
∵Rt△DCE與Rt△AE1C為等腰直角三角形，
∴∠DCE＝∠CDE＝∠ACE1＝∠CAE1＝45°∴∠ACD＝∠E1CE
∵，∴△ACD∽△E1CE，∴∠CAD＝∠CE1E＝30°，
∵D為AB上的動點，∴E在直線E1E上運動，
當(dāng)BE2⊥E1F時，BE最短，即為BE2的長．
在△AGC與△E1GF中，∠AGC＝∠E1GF，∠CAG＝∠GE1F，
∴∠GFE1＝∠ACG＝45°∴∠BFE2＝45°，
∵∠CAD＝∠CE1E＝30°，∴點A，點C，點F，點E1四點共圓，
∴∠AE1C＝∠AFC＝90°，且∠ABC＝60°，BC＝2，∴BF＝1，
∵BF＝BE2，∴BE2＝，故答案為：．
【點睛】本題旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握含30°角和45°角的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
15．（2023·陜西師大附中三模）如圖，正方形中，，點E為邊上一動點，將點A繞點E順時針旋轉(zhuǎn)得到點F，則的最小值為__________．
【答案】
【分析】上截取，過點作交的延長線于點，證明，是等腰直角三角形，進(jìn)而根據(jù)垂線段最短即可求解．
【詳解】如圖，上截取，過點作交的延長線于點，
正方形中，，將點A繞點E順時針旋轉(zhuǎn)得到點F，
是等腰直角三角形,
在射線上運動，則是等腰直角三角形，
與點重合時，取得最小值，等于
即的最小值為故答案為：
【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，垂線段最短，求得的軌跡是解題的關(guān)鍵．
16．（2022·浙江紹興·二模）如圖，在△ABC中，AB＝5，BC=3，AC＝4，點P從A點出發(fā)沿AB運動到B點，以CP為斜邊作如圖的等腰直角三角形PQC，∠PQC＝90°，則Rt△PQC的外心運動的路徑長為 _____，BQ的最小值為 _____．
【答案】 ；
【分析】根據(jù)直角三角形的外心就是斜邊的中點，可得外心的運動路徑就是以AC、BC的中點為端點的線段；利用特殊位置，斜邊為AC、BC的情形，確定點Q的運用路徑是線段，利用垂線段最短，作出垂線段，利用三角形相似計算即可．
【詳解】 AB＝5，BC=3，AC＝4，
，，，
Rt△PQC的外心就是斜邊的中點，設(shè)AC、BC的中點分別是M、N，
外心的運動軌跡就是線段MN，即三角形ABC的中位線，，
當(dāng)點P與點A重合時，即點，此時以CA為斜邊作如圖的等腰直角三角形AQ1C，當(dāng)點P與點B重合時，即點，此時以CB為斜邊作如圖的等腰直角三角形BQ2C，為點Q的運動軌跡，
BQ的最小值為點B到的垂線段的長度，過點B作，垂足為E，
三角形AQ1C，三角形BQ2C均為等腰直角三角形，AC=4，BC=3，
，
，，
，，，
，即，解得，故答案為：；．
【點睛】本題考查了三角形中位線定理，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的外心，三角形相似的判定和性質(zhì)，垂線段最短，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，明確垂線段最短是解題的關(guān)鍵．
17．（2023·江蘇鹽城·三模）如圖，A、 B兩點的坐標(biāo)分別為（-3，0）、（-1，0），點C為y軸上一動點，以AC為邊向下作Rt，使得，，連接線段，則線段的最小值為____．
【答案】##
【分析】連接，作于，當(dāng)點運動到點時，則點運動到，求得，為動點的運動軌跡，當(dāng)運動到時，最小，據(jù)為角所對的直角邊，為斜邊即可求得答案．
【詳解】解：由題意得，連接，作于，如圖所示：
、
當(dāng)點運動到點時，則點運動到，，，
由題意可得：直線為動點的運動軌跡，當(dāng)運動到時，有最小值，
，故答案為．
【點睛】本題考查了計算線段最值的問題，根據(jù)題意，找準(zhǔn)為動點的運動軌跡，當(dāng)運動到時，有最小值是解題的關(guān)鍵．
18．（2023·重慶巴南·九年級期末）如圖，菱形ABCD的邊長為4，∠BAD＝120°，E是邊CD的中點，F(xiàn)是邊AD上的一個動點，將線段EF繞著點E順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段EF'，連接AF'、BF'，則△ABF'的周長的最小值是________________．
【答案】4+2
【分析】取AD中點G，連接EG，F(xiàn)'G，BE，作BH⊥DC的延長線于點H，利用全等三角形的性質(zhì)證明∠F'GA＝60°，點F'的軌跡為射線GF'，易得A、E關(guān)于GF'對稱，推出AF'＝EF'，得到BF'+AF'＝BF'+EF'≥BE，求出BE即可解決周長最小問題．
【詳解】解：取AD中點G，連接EG，F(xiàn)'G，BE，作BH⊥DC的延長線于點H，
∵四邊形ABCD為菱形，∴AB＝AD，
∵∠BAD＝120°，∴∠CAD＝60°，∴△ACD為等邊三角形，
又∵DE＝DG，∴△DEG也為等邊三角形．∴DE＝GE，
∵∠DEG＝60°＝∠FEF'，∴∠DEG﹣∠FEG＝∠FEF'﹣∠FEG，即∠DEF＝∠GEF'，
由線段EF繞著點E順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段EF'，所以EF＝EF'．
在△DEF和△GEF'中，，∴△DEF≌△GEF'（SAS）．
∴∠EGF'＝∠EDF＝60°，∴∠F'GA＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
則點F'的運動軌跡為射線GF'．觀察圖形，可得A，E關(guān)于GF'對稱，
∴AF'＝EF'，∴BF'+AF'＝BF'+EF'≥BE，
在Rt△BCH中，∵∠H＝90°，BC＝4，∠BCH＝60°，∴，
在Rt△BEH中，BE＝＝＝2，∴BF'+EF'≥2，
∴△ABF'的周長的最小值為AB+BF'+EF'＝4+2，故答案為：4+2．
【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)變換，菱形的性質(zhì)，解直角三角形，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形等知識，解題關(guān)鍵在于學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題．
19．（2022·河南南陽·二模）如圖所示，，，于點B，點D是線段BC上一個動點，且于點D，，連接CE，則CE長的最小值是______．
【答案】3
【分析】在BC上截取，構(gòu)造相似，可得出，過C點作CH⊥EQ可得出
即可求出CE的長
【詳解】解：在BC上截取，則，中，，
∵，∴在中，，
∴∴，，∴，
∴，∴，∴的角度固定不變，∴CH為CE的最小值．
過C點作CH⊥EQ∴∠CHQ=∠ABQ=90°
∵∴∠CQH=∠QAB∴，
∵，∴，CE的最小值是3.
【點睛】本題主要考查相似的性質(zhì)與性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
20．（2023江西九江九年級期末）（1）回歸教材：北師大七年級下冊P44，如圖1所示，點P是直線m外一點，，點O是垂足，點A、B、C在直線m上，比較線段PO，PA，PB，PC的長短，你發(fā)現(xiàn)了什么？
最短線段是______，于是，小明這樣總結(jié)：直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，______．

（2）小試牛刀：如圖2所示，中，，，．則點P為AB邊上一動點，則CP的最小值為______．
（3）嘗試應(yīng)用：如圖3所示是邊長為4的等邊三角形，其中點P為高AD上的一個動點，連接BP，將BP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°得到BE，連接PE、DE、CE．
①請直接寫出DE的最小值．②在①的條件下求的面積．
（4）拓展提高：如圖4，頂點F在矩形ABCD的對角線AC上運動，連接AE．．，，請求出AE的最小值．
【答案】（1）PO，垂線段最短；（2）；（3）①DE的最小值是1；②△BPE的面積為；（4）AE的最小值為．
【分析】（1）根據(jù)垂線段的性質(zhì)即可解答；（2）由（1）知當(dāng)PC⊥AB時，PC取得最小值，利用面積法即可求解；（3）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)前后的圖形對應(yīng)線段、對應(yīng)角相等，可證得△ABP≌△CBE，得到∠BCE=30°．得到點E在射線CE上，根據(jù)“垂線段最短”這一定理，當(dāng)∠DEC=90°時，DE最短，據(jù)此求解即可；②利用勾股定理求得EC=，即AP=，再利用勾股定理先后求得AD、PD、BP的長，即可求解；
（4）作出如圖的輔助線，先判斷出點E在直線GH上運動，根據(jù)“垂線段最短”這一定理，當(dāng)當(dāng)AE⊥GH時，AE最短，利用相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理以及三角形面積公式即可求解．
【詳解】解：（1）∵PO⊥直線m，∴從直線外一點到這條直線所作的垂線段最短．
故答案為：PO，垂線段最短；
（2）由（1）知當(dāng)PC⊥AB時，PC取得最小值，S△ABC=ACBC=ABPC，
∴PC=，即CP的最小值為，故答案為：；
（3）①由旋轉(zhuǎn)知∠PBE=60°，BP=BE，∴△PBE是等邊三角形，
∵△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，邊長為4，
∴AB=BC，∠ABC=60°，∠ABD=∠CBD=30°，BD=CD=2，
∴∠ABP=∠CBE，∴△ABP≌△CBE（SAS），∴∠BCE=∠BAD=30°；
∵點P為高AD上的一個動點，∴點E在射線CE上，
根據(jù)“垂線段最短”可知，當(dāng)DE⊥CE時，DE最短．
∵∠BCE=30°，CD=2，∴DE=CD=1，即DE的最小值是1；
②由①得CD=2，DE=1，∴CE=，∵△ABP≌△CBE，∴AP=CE，
在Rt△BDA中，AB=4，BD=2，∴AD=，∴PD=AD-AP=，∴PB=，
∴等邊三角形△PBE的高為，∴△BPE的面積為=；
（4）過點B作BH⊥AC于點H，則∠BHC=90°，
∴∠HBC+∠HCB=90°，∠ACD+∠HCB=90°，∴∠HBC=∠ACD，
∵∠EBF=∠ACD，∴∠HBC=∠EBF，此時點F與點C重合，點E與點H重合，
∵AB=3，BC=4，∴AC=，
∵S△ABC=ABBC=ACBH，∴BH=，∴AH=，

取AB中點G，過點G作GI⊥AB交AC于點I，則∠BGI=90°，∴∠GBI=∠BAC，
∵∠EBF=∠ACD=∠BAC，∴∠GBI=∠EBF，此時點F與點I重合，點E與點G重合，
頂點F在矩形ABCD的對角線AC上運動，且，

四點共圓，
∴點E在直線GH上運動，
根據(jù)“垂線段最短”這一定理，當(dāng)AE⊥GH時，AE最短，過點H作HP⊥AB于點P，
∴△APH△ABC，∴，即，
∴PH=，AP=，∴PG=AG-AP=，∴GH=，
∵S△AGH=AGPH=GHAE，∴AE=，∴AE的最小值為．
【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，垂線段最短，勾股定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，四點共圓的判定等知識，解決本題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題．

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