一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．集合的真子集的個數(shù)是（ ）
A．3B．4C．7D．8
2．已知是非零實數(shù)，則下列不等式中恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
3．函數(shù)的定義域是（ ）
A．B．C．D．
4．函數(shù)是上是減函數(shù)，那么下述式子中正確的是（ ）
A．B．
C．D．以上關(guān)系均不確定
5．已知函數(shù)，若，則的最大值和最小值分別是（ ）
A．B．C．D．3，1
6．若，，，則（ ）
A．B．C．D．
7．計算：（ ）
A．B．C．0D．1
8．若函數(shù)且為常數(shù)在（為常數(shù)）上有最小值，則在上（ ）
A．有最大值12B．有最大值6
C．有最小值D．有最小值
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9．下列說法正確的是（ ）
A．的一個必要條件是
B．若集合中只有一個元素，則．
C．“”是“一元二次方程有一正一負(fù)根”的充要條件
D．已知集合，則滿足條件的集合的個數(shù)為4
10．下列說法不正確的是（ ）
A．若的定義域為，則的定義域是
B．函數(shù)的定義域是
C．函數(shù)，是奇函數(shù)
D．若集合中只有一個元素，則
11．下列說法正確的是（ ）
A．方程的解集為
B．不等式的解集為
C．已知正數(shù)，滿足，則的最小值為9
D．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12．已知函數(shù)，的值域為，則的取值范圍是 ．
13．寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②的函數(shù)： ．
①；②
14．
四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟.
15．（13分）已知關(guān)于的不等式．
(1)若的解集為，求實數(shù)，的值；
(2)當(dāng)時，求關(guān)于的不等式的解集．
16．（15分）已知函數(shù).
(1)當(dāng)，求函數(shù)的值域.
(2)若任意，使得恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
17．（17分）已知定義域為的函數(shù)滿足：對任意的，，都有，當(dāng)時，．
(1)判斷函數(shù)的奇偶性并證明；
(2)判斷函數(shù)的單調(diào)性并證明；
(3)若，對任意的，關(guān)于的不等式在區(qū)間內(nèi)有解，求實數(shù)的取值范圍．
18．（15分）已知定義域是R的函數(shù)是奇函數(shù).
(1)求的值；
(2)若對于任意，不等式恒成立，求k的范圍.
19．（17分）已知函數(shù)，.
(1)求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間;
(2)若函數(shù)在區(qū)間的最小值為，求實數(shù)a的值;
(3)證明的圖象是軸對稱圖形.
數(shù)學(xué)參考答案
1．A
【分析】化簡集合得出集合中元素個數(shù)即可求解.
【詳解】由題知，所以集合的真子集的個數(shù)是．
故選：A.
2．B
【分析】AD選項可以通過取特殊值使得式子不成立，從而排除錯誤選項；C選項通過基本不等式得到的結(jié)果可以取等號與題目不符也排除；B選項討論的取值范圍，當(dāng)時顯然成立，當(dāng)時通過構(gòu)造二次函數(shù)，由函數(shù)單調(diào)性得到函數(shù)值為正，從而證明結(jié)論.
【詳解】A選項，當(dāng)時，顯然不成立；
B選項，當(dāng)時，顯然恒成立，當(dāng)時，，
令，在上單調(diào)遞增且，即，
又∵當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，∴
即，∴恒成立；
C選項，∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)取等號，故不恒成立；
D選項，當(dāng)時，顯然不成立.
故選：B.
3．B
【分析】將函數(shù)變形為，在根據(jù)函數(shù)定義域有意義求解即可．
【詳解】因為，
所以，則，
所以的定義域為．
故選：B
4．A
【分析】先判斷和的大小關(guān)系，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出結(jié)論.
【詳解】對進行變形可得.
因為任何數(shù)的平方都大于等于，那么，即.
因為函數(shù)在上是減函數(shù)，且.
根據(jù)減函數(shù)的性質(zhì)，自變量越大函數(shù)值越小，所以.
故選：A.
5．B
【分析】利用換元法，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【詳解】由，得到，令，
則，對稱軸，
當(dāng)時，取得最大值，最大值為，
當(dāng)時，取得最小值，最小值為，
所以的最大值和最小值分別是.
故選：B．
6．D
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調(diào)性，即可求解．
【詳解】，在上單調(diào)遞增，
，
故，所以，
，在上單調(diào)遞增，
，故，即，所以．
故選：D
7．D
【分析】根據(jù)指數(shù)和對數(shù)運算求得正確答案.
【詳解】

.
故選：D.
8．A
【分析】構(gòu)造函數(shù)，證明函數(shù)為奇函數(shù)，利用奇函數(shù)的性質(zhì)可得最大值，由得解.
【詳解】設(shè)，
因為，所以的定義域為，關(guān)于原點對稱，
，
即為奇函數(shù)，且，
因為在上有最小值，所以在上有最小值，
由奇函數(shù)的對稱性知，在上有最大值，
所以在上有最大值，
故選：A
9．CD
【分析】根據(jù)充分條件定義可知A錯誤，對參數(shù)是否為零進行分類討論可得或，即B錯誤；利用韋達定理可判斷C正確，由可得是集合的子集，可得D正確.
【詳解】對于A，易知能推出，因此的一個充分條件是，即A錯誤；
對于B，若集合中只有一個元素，當(dāng)時滿足題意；
當(dāng)時，需滿足，可得，因此可得或，即B錯誤；
對于C，由可知一元二次方程的判別式，
即該方程有兩根，且兩根之積，即兩根異號，可知充分性成立；
若一元二次方程有一正一負(fù)根，可知兩根之積為負(fù)，
即，也即，即必要性成立，所以C正確；
對于D，由可知是集合的子集，
所以集合可以是，共4個，即D正確.
故選：CD
10．ACD
【分析】對于A，根據(jù)抽象函數(shù)定義域的求解法則，求出定義域，即可判斷；
對于B，要使得分式，根式都有意義，可列出不等式組，解出不等式組，即可判斷；
對于C，由奇函數(shù)需滿足定義域關(guān)于原點對稱，即可判斷；
對于D，易得當(dāng)時，方程有唯一解.
【詳解】對于A，因為的定義域為，所以，即，
所以對于，，解得，所以的定義域是，故A不正確；
對于B，由解得，且，所以定義域為，故B正確；
對于C，因為定義域關(guān)于原點對稱不成立，所以不是奇函數(shù)，故C不正確；
對于D，由題意得方程只有一個解，顯然當(dāng)時，有唯一解，故D不正確.
故選：ACD.
11．BC
【分析】解對數(shù)方程判斷A，換元解不等式判斷B，根據(jù)“1”的變形技巧及均值不等式判斷C，取特殊值判斷D.
【詳解】選項A：，
且（真數(shù)大于0），故A錯誤；
選項B：設(shè)，則由可得
解得，又，，解得，
不等式解集為，故B正確；
選項C：因為正數(shù)，滿足，所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故C正確；
選項D：取，則，故D錯誤．
故選：BC
12．
【分析】函數(shù)中含有絕對值，討論去絕對值化成分段函數(shù)，結(jié)合函數(shù)圖象求解.
【詳解】由，
可得分段函數(shù)，
畫出對應(yīng)函數(shù)圖象：
的值域為2,4，且，,
所以的值能使得取得；
由圖可知：.
故答案為：.
13．（答案不唯一）
【分析】根據(jù)已知性質(zhì)結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)寫出一個滿足條件的函數(shù)解析式即可.
【詳解】由①，得單調(diào)遞增函數(shù)；
由②，由指數(shù)冪的運算性質(zhì)，
可設(shè)，代入性質(zhì)②得，
，
或，
單調(diào)遞增函數(shù)，
，
，的形式均可．
故答案為：（答案不唯一）
14．
【分析】根據(jù)指數(shù)冪運算、對數(shù)運算法則化簡求值即可得到結(jié)果.
【詳解】
故答案為：.
15．(1)，；
(2)答案見解析
【分析】（1）由不等式解集得到1，是方程的解，利用韋達定理得到方程組，求出，；
（2）因式分解得到，分，，三種情況，得到不等式的解集.
【詳解】（1）根據(jù)題意，的解集為，
則1，是方程的解，
由韋達定理得，故，，
解得：，；
（2）根據(jù)題意，，則有，
又由，分3種情況討論：
當(dāng)時，，解得或，
當(dāng)時，，解得，
當(dāng)時，，解得或，
綜上，當(dāng)時，不等式的解集為或，
當(dāng)時，不等式的解集為，
當(dāng)時，不等式的解集為或．
16．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)在上單調(diào)遞增，即可求解最值得解，
（2）分離參數(shù)，即可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解最值求解.
【詳解】（1）函數(shù)在上單調(diào)遞增，證明如下：
任取，,，且，
則，，
則，
，即，
函數(shù)是,上的增函數(shù),因此函數(shù)在單調(diào)遞增，
故值域為
（2）由任意，使得恒成立可得對任意，恒成立，
由（1）的證明過程可推導(dǎo)函數(shù)在單調(diào)遞減，故最小值為，故
17．(1)奇函數(shù)，證明見解析；
(2)單調(diào)遞增，證明見解析；
(3)或或.
【分析】（1）令得，令并結(jié)合奇偶性定義證明奇偶性即可；
（2）令，結(jié)合已知條件及單調(diào)性定義證明即可；
（3）根據(jù)單調(diào)性求對應(yīng)區(qū)間上值域，將問題化為在上恒成立，即可求參數(shù)范圍.
【詳解】（1）為奇函數(shù)，證明如下：
令，則，
令，則，即，
所以為奇函數(shù)，得證；
（2）單調(diào)遞增，證明如下：
令，則，且，
所以，而當(dāng)時，，
所以，故單調(diào)遞增，得證；
（3）由題設(shè)，
由（1）（2）知：在區(qū)間上單調(diào)遞增，且為奇函數(shù)，
所以的值域為，
對任意的，關(guān)于的不等式在區(qū)間內(nèi)有解，
只需，即在上恒成立，
所以，即或或.
18．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)，所以可求的值.
（2）先分析函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，把函數(shù)不等式化成代數(shù)不等式，再分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化成恒成立問題，求函數(shù)的最值即可.
【詳解】（1）因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以.
所以.
（2）因為.
隨著的增大，變大，變小，變大，變大.
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.
由.
所以在恒成立.
所以，恒成立.
因為（當(dāng)且僅當(dāng)時取“”）.
所以，即k的范圍是.
19．(1)
(2)
(3)證明見解析
【分析】（1）先求定義域，然后利用復(fù)合函數(shù)的同增異減求單調(diào)遞減區(qū)間即可；
（2）利用函數(shù)在的單調(diào)性求最值，然后計算的值即可；
（3）因為定義域關(guān)于對稱，所以如果函數(shù)的圖像是軸對稱圖形，則對稱軸必為，所以判斷成立即可.
【詳解】（1）由得，所以的定義域為，
于是
令，該函數(shù)在單調(diào)遞增，
而在上單調(diào)遞減，
所以的單調(diào)減區(qū)間為
（2），，令
當(dāng)時，，因為，則，
所以，即，所以，綜上得．
（3）證明：
所以關(guān)于直線對稱.

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