一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1．已知函數(shù)，則滿足的的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
2．年巴黎奧運(yùn)會中國代表隊(duì)獲得金牌榜第一，獎牌榜第二的優(yōu)異成績.首金是中國組合黃雨婷和盛李豪在米氣步槍混合團(tuán)體賽中獲得，兩人在決賽中次射擊環(huán)數(shù)如圖，則（ ）

A．盛李豪的平均射擊環(huán)數(shù)超過
B．黃雨婷射擊環(huán)數(shù)的第百分位數(shù)為
C．盛李豪射擊環(huán)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差小于黃雨婷射擊環(huán)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差
D．黃雨婷射擊環(huán)數(shù)的極差小于盛李豪射擊環(huán)數(shù)的極差
3．函數(shù)的部分圖象大致為（ ）
A．B．C．D．
4．若 ，且 ，則 的最大值為（ ）
A．B．C．D．
5．已知M，N分別是四面體的棱，的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段上，且，設(shè)向量，，，則（ ）
A．B．
C．D．
6．英國生物統(tǒng)計(jì)學(xué)家高爾頓設(shè)計(jì)了高爾頓釘板來研究隨機(jī)現(xiàn)象.如圖是一個(gè)高爾頓釘板的設(shè)計(jì)圖，每一黑點(diǎn)表示釘在板上的一顆釘子，它們彼此的距離均相等，上一層的每一顆釘子恰好位于下一層兩顆打子的正中間，小球每次下落，將隨機(jī)的向兩邊等概率的下落.數(shù)學(xué)課堂上，老師向?qū)W生們介紹了高爾頓釘板放學(xué)后，愛動腦的小明設(shè)計(jì)了一個(gè)不一樣的“高爾頓釘板”，它使小球在從釘板上一層的兩顆釘子之間落下后砸到下一層的釘子上時(shí)，向左下落的概率為向右下落的概率的2倍.當(dāng)有大量的小球依次滾下時(shí)，最終都落入釘板下面的5個(gè)不同位置.若一個(gè)小球從正上方落下，經(jīng)過5層釘板最終落到4號位置的概率是（ ）
A．B．C．D．
7．已知數(shù)列的首項(xiàng)，前n項(xiàng)和，滿足，則（ ）
A．B．C．D．
8．已知函數(shù)，關(guān)于的不等式有且只有三個(gè)正整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9．是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則下列說法中錯(cuò)誤的是（ ）
A．
B．的單調(diào)遞增區(qū)間為和
C．的解集為
D．的最大值為
10．下列四個(gè)命題為真命題的是（ ）.
A．在中，角所對的邊分別為，若，，，要使?jié)M足條件的三角形有且只有兩個(gè)，則
B．若向量，，則在上的投影向量為
C．已知向量，，則的最大值為
D．在中，若（），則動點(diǎn)的軌跡一定通過的重心
11．平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l過點(diǎn)2,3，與兩坐標(biāo)分別交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)三角形OAB面積為，則下列選項(xiàng)中是真命題的是（ ）
A．存在正實(shí)數(shù)m，使得滿足條件的直線直線l恰有一條．
B．存在正實(shí)數(shù)m，使得滿足條件的直線直線l恰有兩條．
C．若存在三條直線，使得三角形ABO面積為m，則．
D．若存在四條直線，使得三角形ABO面積為m，則．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12．復(fù)數(shù)（i是虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z的模為 ．
13．已知圓：，圓：，，分別是圓，上的動點(diǎn)，為軸上的動點(diǎn)，則點(diǎn)到，兩點(diǎn)的距離之和的最小值為 ．
14．，則在處的切線方程為 .
四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗(yàn)算步驟.
15．（13分）已知集合.
(1)若“”是“”的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
16．（15分）函數(shù)的部分圖象如圖所示．
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)求函數(shù)在上的值域．
17．（17分）在中，角的對邊分別為.
(1)求角；
(2)若，求的值；
(3)在（2）的條件下，若邊，點(diǎn)為線段上的動點(diǎn)，點(diǎn)為線段上的動點(diǎn)，且線段平分的面積，求線段長度的最小值.
18．（15分）已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，離心率為．
(1)求橢圓和拋物線的方程；
(2)過點(diǎn)作斜率為的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，為弦的中點(diǎn)，求直線的斜率．
19．（17分）已知函數(shù).
(1)若，求的單調(diào)區(qū)間;
(2)若，求證:;
(3)若使得，求證:.
數(shù)學(xué)參考答案
1．D
【分析】首先得出為奇函數(shù)，且易知在上單調(diào)遞增，再解不等式即可.
【詳解】令
為奇函數(shù)，且易知在上單調(diào)遞增．
原不等式可轉(zhuǎn)化為，，解得．
故選：D.
2．C
【分析】根據(jù)圖表數(shù)據(jù)可直接判斷選項(xiàng)A，利用第百分位數(shù)的解法直接判斷選項(xiàng)B，根據(jù)圖表的分散程度即可判斷選項(xiàng)C，根據(jù)極差的求法直接判斷選項(xiàng)D.
【詳解】由題知，盛李豪的射擊環(huán)數(shù)只有兩次是環(huán)，次環(huán)，
其余都是環(huán)以下，所以盛李豪平均射擊環(huán)數(shù)低于，故A錯(cuò)誤；
由于，故第百分位數(shù)是從小到大排列的第個(gè)數(shù)，故B錯(cuò)誤；
由于黃雨婷的射擊環(huán)數(shù)更分散，故標(biāo)準(zhǔn)差更大，故C正確；
黃雨婷射擊環(huán)數(shù)的極差為，
盛李豪的射擊環(huán)數(shù)極差為，故D錯(cuò)誤.
故選：C
3．B
【分析】先由分母不為零確定函數(shù)的定義域，再由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和確定函數(shù)為奇函數(shù)，最后討論和時(shí)的正負(fù)可得結(jié)果；
【詳解】由可得函數(shù)的定義域?yàn)?，且?br>因?yàn)椋詾槠婧瘮?shù)．
因?yàn)椋?br>所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，排除A，C，D，
故選：B.
4．C
【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡，再由二倍角公式及基本不等式求解.
【詳解】因?yàn)?，由誘導(dǎo)公式可得，
所以，
由知，，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號成立.
所以 的最大值為.
故選：C
5．C
【分析】根據(jù)給定的幾何體，利用空間向量線性運(yùn)算求解即得.
【詳解】在四面體中，分別為的中點(diǎn)，且，
所以
.
故選：C
6．A
【分析】向左下落的概率為向右下落的概率的2倍，所以向左下落的概率為，向右下落的概率為，在下落過程中除去第一次，剩下四次始終保證向左一次，向右三次才能最終落到4號位置.由二項(xiàng)分布的概念計(jì)算概率即可.
【詳解】向左下落的概率為向右下落的概率的2倍.
所以向左下落的概率為，向右下落的概率為，
若第一次向左下落，則下落的過程中剩下的四次中向左一次，向右三次才能最終落到4號位置，
故此時(shí)概率為：，
若第一次向右下落，則下落的過程中剩下的四次中向左一次，向右三次才能最終落到4號位置，
故此時(shí)概率為：，
故經(jīng)過5層釘板最終落到4號位置的概率是.
故選：A
7．C
【分析】根據(jù)得到，兩式相減得到，求出即可求解.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>兩式相減得，
所以，所以，
所以，所以，
所以.
故選：C.
8．D
【分析】根據(jù)題意，求導(dǎo)可得，即可得到當(dāng)時(shí)，恒成立，將原不等式化簡可得，然后分與討論，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.
【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)镽，求導(dǎo)得，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
則，而，故當(dāng)時(shí)，恒成立，
不等式，
當(dāng)時(shí)，或，由，得，
原不等式的整數(shù)解有無數(shù)個(gè)，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，或，由，得，無正整數(shù)解，
因此原不等式有且只有3個(gè)正整數(shù)解，等價(jià)于不等式有且只有3個(gè)正整數(shù)解，
3個(gè)正整數(shù)解只能是，因此，即，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選：D.
9．AC
【分析】先依據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)求出解析式，再利用二次函數(shù)性質(zhì)求解單調(diào)區(qū)間判斷B，利用單調(diào)性結(jié)合
偶函數(shù)的性質(zhì)判斷A，舉反例判斷C，利用二次函數(shù)的性質(zhì)分區(qū)間求最值判斷D即可.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，因?yàn)槭嵌x在上的偶函數(shù)，
所以，而當(dāng)時(shí)，，
故此時(shí)，故的解析式如下，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，由二次函數(shù)性質(zhì)得在上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，由二次函數(shù)性質(zhì)得在上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減，
綜上可得的單調(diào)遞增區(qū)間為和，故B正確，
由偶函數(shù)性質(zhì)得，而在上單調(diào)遞減，
所以，故，故A錯(cuò)誤，
當(dāng)時(shí)，，不滿足，故C錯(cuò)誤，
當(dāng)時(shí)，由二次函數(shù)性質(zhì)得，
當(dāng)時(shí)，由二次函數(shù)性質(zhì)得，
故的最大值為，即D正確.
故選：AC
10．BCD
【分析】對于A，根據(jù)正弦定理可求得，可得，可求得取值即可判斷；對于B，直接根據(jù)投影公式計(jì)算出投影向量的值即可；對于C，由向量坐標(biāo)的模長公式代入計(jì)算，即可判斷；對于D，令邊中點(diǎn)為，則，再根據(jù)正弦定理變形即可判斷.
【詳解】對于A，根據(jù)正弦定理可求得，所以，
所以，且，可求得，故A錯(cuò)誤；
對于B，直接根據(jù)在上的投影向量，故B正確；
對于C，，
則，令，
則，
當(dāng)時(shí)，取最大值，最大值為，故C正確；
對于D，令邊中點(diǎn)為，則，再根據(jù)正弦定理，
所以，
代入到，
因此點(diǎn)的軌跡在直線上，所以點(diǎn)的軌跡經(jīng)過重心，故D正確.
故選：BCD.
11．BCD
【分析】根據(jù)直線的方程求出與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后求出的面積，作出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合，可確定的值的情況，即可判斷各選項(xiàng)的正誤.
【詳解】由題意可知：直線l的斜率存在，且不為0，
設(shè)直線，
可知直線l與軸、軸交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，
顯然，解得，
可得三角形OAB面積，
令，作出其圖象如圖所示，
由圖可知：當(dāng)時(shí)，有兩解；
當(dāng)時(shí)，有三解；
當(dāng)時(shí)，有四解；
結(jié)合選項(xiàng)可知：A錯(cuò)誤，BCD正確；
故選：BCD.
12．2
【分析】利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算化簡，再由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式求解．
【詳解】，
.
故答案為：.
13．/
【分析】根據(jù)距離的幾何意義，利用圓的幾何性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合求解．
【詳解】依題意可知的圓心坐標(biāo)為2,3，半徑，
的圓心坐標(biāo)為，半徑，
如圖所示，對于軸上的任意一點(diǎn)，由圖象可知，求的最小值，
可轉(zhuǎn)化為求的最小值．
由平面幾何的知識易知關(guān)于軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，，
當(dāng)，，共線時(shí)，取得最小值，
即取得最小值，最小值為，
所以的最小值為52-4．
故答案為：52-4．
14．
【分析】利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算，得到切線斜率，寫出切線的點(diǎn)斜式方程，化成一般式方程.
【詳解】∵，
∴，，
∴，
∴在處的切線方程為：，
整理得.
故答案為：.
15．(1)；
(2)或.
【分析】（1）解不等式化簡集合，再利用充分不必要條件的定義列式求解.
（2）由（1）的信息，利用并集的結(jié)果，結(jié)合集合的包含關(guān)系列式求解.
【詳解】（1）由不等式，得或，
解，得，解，得，
因此或，由“”是“”的充分不必要條件，
得?，則，即，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
（2）由（1）知或，由，得，
當(dāng)時(shí)，，即，解得，滿足，
則，
當(dāng)時(shí)，或，
解，即，解得，
解，即，解得，
則或，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是或.
16．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖像可知，，即可得，代入點(diǎn)可得，即可得函數(shù)解析式；
（2）利用代入法可得值域.
【詳解】（1）由函數(shù)圖像可知，，
即，可知，
又，則，
所以，
又函數(shù)過點(diǎn)，
即，
解得，，
又，即，
所以；
（2）由（1）得，
又，，
所以，
即.
17．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等變換的知識求得.
（2）根據(jù)已知條件以及余弦定理求得.
（3）根據(jù)三角形的面積公式列方程，結(jié)合余弦定理以及基本不等式求得的最小值.
【詳解】（1）由正弦定理可知：
，，
，
，
.
（2），又，
，
.
（3）若邊由（1）（2）可知，
，
令，則，
又由余弦定理得：（當(dāng)時(shí)等號成立）,
的最小值為.

18．(1)橢圓的方程為；拋物線的方程為
(2)
【分析】（1）根據(jù)橢圓方程和離心率可得，即可得橢圓方程，根據(jù)焦點(diǎn)可得拋物線方程；
（2）設(shè)的坐標(biāo)，利用點(diǎn)差法即可得斜率.
【詳解】（1）由橢圓方程可知：，
因?yàn)?，解得?br>又因?yàn)?，所以橢圓的方程為；
可知橢圓的焦點(diǎn)為，則拋物線的焦點(diǎn)為1,0，
可得，即
所以拋物線的方程為.
（2）顯然點(diǎn)在橢圓內(nèi)，可知直線與橢圓必相交，
如圖所示：
設(shè)，中點(diǎn)為，
則，，，
因?yàn)閮牲c(diǎn)在橢圓上，
可得，兩式相減可得，
整理可得，
即，可得，
所以直線的斜率為.
19．(1)單調(diào)遞減區(qū)間是0,+∞，無增區(qū)間.
(2)證明見詳解
(3)證明見詳解
【分析】（1）利用導(dǎo)函數(shù)求得的最大值，再得到在上遞減；
（2）時(shí)函數(shù)值恒為負(fù)數(shù)，所以研究的最大值，借助導(dǎo)函數(shù)得到在區(qū)間上小于0，所以函數(shù)單減，從而得到函數(shù)值一定小于0，得證；
（3）利用導(dǎo)函數(shù)求單調(diào)區(qū)間，由此得出的所在區(qū)間，構(gòu)造直線使得與的交點(diǎn)見距離等于不等式兩邊的值，再由線段長短得出相應(yīng)結(jié)論.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，
則
令，則，
令，∵，
∴，
∴在區(qū)間上單調(diào)遞減增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
∴，
∴的單調(diào)遞減區(qū)間是，無增區(qū)間.
（2）∵，
當(dāng)時(shí)，顯然成立，
當(dāng)時(shí)，，令，
∴，
∴在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴，
∴在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴，
綜上所述，當(dāng)時(shí)，.
（3），
∴，令，則，∴在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
∵，∴.
不妨設(shè)，則，，
先證：，
易知在處的切線方程為，該切線與直線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
令，則，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，
∴當(dāng)時(shí)，圖像在下方.
∴，
∴，
再證，設(shè)，，
易知直線方程為，直線方程為，
則直線，與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，，
∴，
∵，同理可證：，
∴，類似的可以證明，
∴，即，
∴
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題不等式證明可以分別證明兩邊成立，因?yàn)槭桥c的交點(diǎn)，可以構(gòu)造其他交點(diǎn)使得線段長度等于不等式兩端的值，再證明點(diǎn)的位置，得到線段長度即可得證.

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