考試時(shí)間：120分鐘；命題組：數(shù)學(xué)強(qiáng)基課程教研組
注意事項(xiàng)：
1．答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息
2．請(qǐng)將答案正確填寫在答題卡上
第I卷（選擇題）
一、單選題（每道題5分，共40分）
1．設(shè)集合，若是的子集，把中的所有數(shù)的和稱為的“容量”（規(guī)定空集的容量為0），若的容量為奇（偶）數(shù)，則稱為的奇（偶）子集，命題①：的奇子集與偶子集個(gè)數(shù)相等；命題②：當(dāng)時(shí)，的所有奇子集的容量之和與所有偶子集的容量之和相等，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．命題①和命題②都成立B．命題①和命題②都不成立
C．命題①成立，命題②不成立D．命題①不成立，命題②成立
2．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，為偶函?shù)，為奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，.若，則（ ）
A．B．0C．D．
3．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）（|x﹣1|+|x﹣2|﹣3），若x∈R，f（x﹣a）＜f（x），則a的取值范圍是（ ）
A．a(chǎn)＜3B．﹣3＜a＜3C．a(chǎn)＞6D．﹣6＜a＜6
4．函數(shù)的定義域?yàn)镈,若對(duì)于任意的,當(dāng)時(shí),都有,則稱函數(shù)在D上為非減函數(shù).設(shè)函數(shù)在上為非減函數(shù),且滿足以下三個(gè)條件:①；②；③.則等于
A．B．C．D．
5．已知定義在上的函數(shù)滿足：對(duì)任意實(shí)數(shù)，均有，則下列結(jié)論中，錯(cuò)誤的是（ ）
A．存在使且
B．可能為常數(shù)函數(shù)
C．若，則
D．若，且時(shí)，，則解集為
6．已知函數(shù)是R上的偶函數(shù)，對(duì)于都有成立，且，當(dāng)，且時(shí)，都有．則給出下列命題：
①；②函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸為；
③函數(shù)在上為嚴(yán)格減函數(shù)；④方程在上有4個(gè)根；
其中正確的命題個(gè)數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．已知定義域?yàn)镽的函數(shù)fx,gx滿足：，，且，則下列說(shuō)法不正確的是（ ）
A．B．是奇函數(shù)
C．若，則D．是奇函數(shù)
8．定義區(qū)間的長(zhǎng)度均為，多個(gè)區(qū)間并集的長(zhǎng)度為各區(qū)間長(zhǎng)度之和，例如，的長(zhǎng)度．用表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，記，其中．設(shè)，當(dāng)時(shí)，不等式解集的區(qū)間長(zhǎng)度為，則實(shí)數(shù)k的最小值為（ ）．
A．B．C．6D．7
二、多選題（每道題6分，共18分，不選、錯(cuò)選不得分，漏選可得部分分）
9．已知定義在上的函數(shù)滿足，當(dāng)，時(shí)，.下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．
C．是奇函數(shù)D．在上單調(diào)遞增
10．任取集合的個(gè)非空子集，定義為記所得的個(gè)值之和為，則（ ）
A．與的奇偶性相同B．是的一個(gè)倍數(shù)
C．的最小值為D．的最大值為
11．函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且它的最小正周期是，已知，．下列四個(gè)判斷中，正確的有（ ）
A．當(dāng)時(shí)，的值只有0或
B．當(dāng)時(shí)，函數(shù)既有對(duì)稱軸又有對(duì)稱中心
C．對(duì)于給定的正整數(shù)，存在，使得成立
D．當(dāng)時(shí)，對(duì)于給定的正整數(shù)，不存在且，使得成立
第II卷（非選擇題）
三、填空題（每道題5分，共15分）
12．已知x，y∈R，且滿足4x+y+2xy+1=0，則x2+y2+x+4y的最小值是 .
13．已知函數(shù)由下表給出：
其中等于在，，，，中所出現(xiàn)的次數(shù)，則 ； ．
14．設(shè)集合S，T都至少含有兩個(gè)元素，且S，T同時(shí)滿足：條件1：對(duì)任意，若，則；條件2：對(duì)任意，若，則．給出下列說(shuō)法：
①若S只有2個(gè)元素，則這2個(gè)元素互為相反數(shù)；
②若S只有2個(gè)元素，則必有3個(gè)元素；
③若S只有2個(gè)元素，則可能有4個(gè)元素；
④存在含有3個(gè)元素的集合S，滿足有4個(gè)元素．
其中所有正確說(shuō)法的序號(hào)是 ．
四、解答題（前四題每題15分，最后一題17分）
15．排序不等式：設(shè)為兩組實(shí)數(shù)，是的任一排列，那么即“反序和≤亂序和≤順序和”．當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，反序和等于順序和．
(1)設(shè)為實(shí)數(shù)，是的任一排列，則乘積的值不會(huì)超過(guò)_______．
(2)設(shè)是n個(gè)互不相同的正整數(shù)，求證：
(3)有10人各拿一只水桶去接水，設(shè)水龍頭注滿第個(gè)人的水桶需要分鐘，假定這些各不相同．問(wèn)只有一個(gè)水龍頭時(shí)，應(yīng)如何安排10人的順序，使他們等候的總時(shí)間最少？這個(gè)最少的總時(shí)間等于多少？
16．設(shè)集合B是集合An＝{1，2，3，……，3n﹣2，3n﹣1，3n}，n∈N*的子集．記B中所有元素的和為S（規(guī)定：B為空集時(shí)，S＝0）．若S為3的整數(shù)倍，則稱B為An的“和諧子集”．求：
（1）集合A1的“和諧子集”的個(gè)數(shù)；
（2）集合An的“和諧子集”的個(gè)數(shù)．
17．某旅游勝地欲開發(fā)一座景觀山，從山的側(cè)面進(jìn)行勘測(cè)，迎面山坡線由同一平面的兩段拋物線組成，其中所在的拋物線以為頂點(diǎn)、開口向下，所在的拋物線以為頂點(diǎn)、開口向上，以過(guò)山腳（點(diǎn)）的水平線為軸，過(guò)山頂（點(diǎn)）的鉛垂線為軸建立平面直角坐標(biāo)系如圖（單位：百米）．已知所在拋物線的解析式，所在拋物線的解析式為
（1）求值，并寫出山坡線的函數(shù)解析式；
（2）在山坡上的700米高度（點(diǎn)）處恰好有一小塊平地，可以用來(lái)建造索道站，索道的起點(diǎn)選擇在山腳水平線上的點(diǎn)處，（米），假設(shè)索道可近似地看成一段以為頂點(diǎn)、開口向上的拋物線當(dāng)索道在上方時(shí)，索道的懸空高度有最大值，試求索道的最大懸空高度；
（3）為了便于旅游觀景，擬從山頂開始、沿迎面山坡往山下鋪設(shè)觀景臺(tái)階，臺(tái)階每級(jí)的高度為20厘米，長(zhǎng)度因坡度的大小而定，但不得少于20厘米，每級(jí)臺(tái)階的兩端點(diǎn)在坡面上（見圖）．試求出前三級(jí)臺(tái)階的長(zhǎng)度（精確到厘米），并判斷這種臺(tái)階能否一直鋪到山腳，簡(jiǎn)述理由？
18．對(duì)于函數(shù),,設(shè)區(qū)間是上的一個(gè)子集,對(duì)于區(qū)間上任意的,,,當(dāng)時(shí),如果總有,則稱函數(shù)是區(qū)間上的函數(shù).
(1)判斷下列函數(shù)是否是定義域上的函數(shù):①,②;
(2)已知定義域上的嚴(yán)格增函數(shù)也是定義域上的函數(shù),試問(wèn):是否是定義域上的函數(shù)?若是,請(qǐng)給出證明;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)若函數(shù)為區(qū)間上的函數(shù),證明:對(duì)于任意的,和任意的,總有.
19．已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的定義域和值域；
(2)設(shè)，求的最大值；
(3)對(duì)于（2）中的，若在上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
參考答案：
1．A
【難度】0.15
【分析】設(shè)為的奇子集，構(gòu)造集合，得到奇子集與偶子集個(gè)數(shù)相等，①正確；
計(jì)算奇子集容量之和是，等于偶子集的容量之和，得到②正確，判斷得到答案.
【詳解】設(shè)為的奇子集，令，則是偶子集
是奇子集到偶子集的一一對(duì)應(yīng)，且每個(gè)偶子集，均恰有一個(gè)奇子集，
與之對(duì)應(yīng)，故的奇子集與偶子集個(gè)數(shù)相等，所以①正確；
對(duì)任一，含的子集共有個(gè)，用上面的對(duì)應(yīng)方法可知，在時(shí)，這個(gè)子集中有一半是奇子集，在時(shí)，由于，將上邊的1換成3，同樣可得其中有一半是奇子集，于是計(jì)算奇子集容量之和是，根據(jù)上面所說(shuō)，這也是偶子集的容量之和，兩者相等，所以當(dāng)時(shí)，的所有奇子集的容量之和與所有偶子集的容量之和相等，即命題②正確，
故應(yīng)選.
【點(diǎn)睛】本題考查了集合的新定義問(wèn)題，構(gòu)造集合是解題的關(guān)鍵.
2．C
【難度】0.15
【分析】由為偶函數(shù)，為奇函數(shù)得到，故函數(shù)的周期，結(jié)合得到，由得，從而求出，采用賦值法求出，，再使用求出的的周期，賦值法得到.
【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，
用代替得：，
因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，
故①，
用代替得：②，
由①② 得：，
所以函數(shù)的周期，
所以，即，
因?yàn)?，令得：，故?br>，解得：，
所以時(shí)，，
因?yàn)椋?br>令，得，
其中，所以，
因?yàn)椋?br>令得：，即，
因?yàn)?，所以?br>因?yàn)椋?br>令得：，
故，
.
故選：C
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：抽象函數(shù)的對(duì)稱性和周期性：
若，則函數(shù)關(guān)于中心對(duì)稱，
若，則函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，
若函數(shù)關(guān)于軸對(duì)稱，關(guān)于中心對(duì)稱，則函數(shù)的周期為，
若函數(shù)關(guān)于軸對(duì)稱，關(guān)于軸對(duì)稱，則函數(shù)的周期為，
若函數(shù)關(guān)于中心對(duì)稱，關(guān)于中心對(duì)稱，則函數(shù)的周期為.
3．C
【難度】0.15
【分析】當(dāng)時(shí),分類討論求得函數(shù)的解析式,再利用函數(shù)在定義R上的奇函數(shù)求出函數(shù)在整個(gè)定義域上的解析式并畫出圖像,然后由條件結(jié)合圖像轉(zhuǎn)化為解得的取值范圍.
【詳解】由題意時(shí),,
當(dāng)時(shí),;
當(dāng)時(shí),;
當(dāng)x>2時(shí),,
由因?yàn)楹瘮?shù)為定義R上的奇函數(shù),所以可得函數(shù)解析式為:
,由此可得圖像如圖所示:
由題意時(shí),恒成立,則得函數(shù)的圖像恒在函數(shù)的圖像下面, 則由圖像可得,解得,即滿足要求的得取值范圍為.
故選:C.
【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值函數(shù)解析式的求解,函數(shù)奇偶性的應(yīng)用,數(shù)形結(jié)合的思想解決不等式恒成立的問(wèn)題,屬于難題.
4．D
【難度】0.15
【解析】根據(jù)題設(shè)條件可得以及，從而可得和，根據(jù)時(shí),都有可得，從而可求的值后可得的值.
【詳解】∵函數(shù)在上為非減函數(shù)，
①，③，
令，得；令，得.
又∵②，∴.
令，得，∴.
令，得;
令，得.
∵當(dāng)時(shí)，都有，
∴，∴.
∴.
故選：D.
【點(diǎn)睛】本題考查抽象函數(shù)的函數(shù)值的計(jì)算，注意根據(jù)不等關(guān)系求確定的值，一般用“夾逼”的方法（如），本題考查運(yùn)算求解能力，屬于難題.
5．A
【難度】0.15
【分析】對(duì)于A，運(yùn)用反證法思路，假設(shè)存在，對(duì)，賦值推翻假設(shè)；對(duì)于B，由A結(jié)論，設(shè)，推出此時(shí)必有即得常數(shù)函數(shù)；對(duì)于C，賦值，易得；對(duì)于D，先由條件推導(dǎo)函數(shù)為R上增函數(shù)，再由賦值得替代題設(shè)不等式，將其轉(zhuǎn)化為，求得或，最后利用函數(shù)的單調(diào)性即可求得.
【詳解】對(duì)于A，假設(shè)存在使且，則必有,
而對(duì)任意的，若取，
則，
顯然產(chǎn)生矛盾，故假設(shè)不成立，即A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，由A可得恒成立，若存在使，
則，
此時(shí)， ，故 B正確；
對(duì)于C，令，則有，
因，故得，即，故C正確；
對(duì)于D，由展開整理得，，
任取，，則，
依題意，，
又由上分析，因知函數(shù)不是常數(shù)函數(shù)，則必有恒成立，
于是由，
則得 ，即為R上的增函數(shù).
因，則，
即得，
于是等價(jià)于，
設(shè)，則得，解得或，
即得或，
又，由C項(xiàng)知，，因?yàn)镽上的增函數(shù)，可得或，
即不等式解集為,故D正確.
故選：A.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題關(guān)鍵是賦值法，利用題設(shè)隱含信息為突破口，如由“可能為常數(shù)函數(shù)”推得后續(xù)選項(xiàng)中的“恒成立”，由“時(shí)，”推導(dǎo)出函數(shù)的單調(diào)性，以及利用賦值替換后求解抽象不等式，都有一定的技巧性.
6．D
【難度】0.15
【分析】對(duì)于①，令代入已知等式可求出，再結(jié)合其為偶函數(shù)可得f3=0，從而可求出函數(shù)的周期為6，利用周期可求得結(jié)果；對(duì)于②，由為偶函數(shù)，結(jié)合周期為6分析判斷；對(duì)于③，由當(dāng)，且時(shí)，都有，可得y=fx在上為嚴(yán)格增函數(shù)，再結(jié)合其為偶函數(shù)及周期為6分析判斷；對(duì)于④，由f3=0，的周期為6，及函數(shù)的單調(diào)性分析判斷.
【詳解】①：對(duì)于任意，都有成立，
令，則，解得，
又因?yàn)槭荝上的偶函數(shù)，所以f3=0，
所以，所以函數(shù)的周期為6，
所以，
又由，故；故①正確；
②：由（1）知的周期為6，
又因?yàn)槭荝上的偶函數(shù)，所以，
而的周期為6，所以，，
所以：，
所以直線是函數(shù)y=fx的圖象的一條對(duì)稱軸．故②正確；
③：當(dāng)，且時(shí)，都有．
所以函數(shù)y=fx在上為嚴(yán)格增函數(shù)，
因?yàn)槭荝上的偶函數(shù)，所以函數(shù)y=fx在上為嚴(yán)格減函數(shù)，
而的周期為6，所以函數(shù)y=fx在上為嚴(yán)格減函數(shù)．故③正確；
④：f3=0，的周期為6，所以，
又在先嚴(yán)格遞減后嚴(yán)格遞增，所以在上除端點(diǎn)外不存在其他零點(diǎn)，
所以在和上各有一個(gè)零點(diǎn)，
所以函數(shù)y=fx在上有四個(gè)零點(diǎn)．故④正確；
故選：D．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查抽象函數(shù)的奇偶性，對(duì)稱性，單調(diào)性和周期性，解題的關(guān)鍵是利用賦值法求出f3=0，從而可得，得到周期為6，然后結(jié)合周期性和奇偶性分析判斷，考查分析問(wèn)題的能力，屬于較難題.
7．D
【難度】0.15
【分析】B選項(xiàng)，根據(jù)得到，故為奇函數(shù)；A選項(xiàng)，由B可知，賦值得到，故；D選項(xiàng)，由得到，D正確；C選項(xiàng)，化簡(jiǎn)得到，結(jié)合，求出，得到.
【詳解】B選項(xiàng)，由得，
所以，故是奇函數(shù)，故B正確；
A選項(xiàng)，由是奇函數(shù)得，令，
由可得，
又，得，故A正確；
D選項(xiàng)，由得，所以，故是偶函數(shù)，所以D錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，由題意得
，
令得，
當(dāng)時(shí)，，
故，，依次求出，
，所以C正確．
故選：D
【點(diǎn)睛】賦值法處理抽象函數(shù)，是解決抽象函數(shù)問(wèn)題的關(guān)鍵，需要賦值法求出一些關(guān)鍵函數(shù)值，并結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和奇偶性定義進(jìn)行求解.
8．B
【難度】0.15
【分析】根據(jù)的定義將化為，對(duì)，，…，依次討論，求解不等式直到滿足解集的區(qū)間長(zhǎng)度為，從而可求得最小值.
【詳解】，，
即，
當(dāng)時(shí),，上式可化為，∴，其區(qū)間長(zhǎng)度為；
當(dāng) 時(shí),，上式可化為，∴；
當(dāng) 時(shí),，上式可化為，∴；
當(dāng) 時(shí),，上式可化為，∴；
當(dāng) 時(shí),，上式可化為，∴；
當(dāng) 時(shí),，上式可化為，∴，其區(qū)間長(zhǎng)度為；
當(dāng) 時(shí),，上式可化為，∴，其區(qū)間長(zhǎng)度為；
當(dāng) 時(shí),，上式可化為，∴，其區(qū)間長(zhǎng)度為；
所以當(dāng) 時(shí), 不等式的解集為；
∴當(dāng)時(shí)，不等式解集的區(qū)間長(zhǎng)度為 ，
所以實(shí)數(shù)k的最小值為.
故選：B
【點(diǎn)睛】函數(shù)新定義的題目，解題關(guān)鍵點(diǎn)是圍繞著新定義的概念和運(yùn)算進(jìn)行分析.
9．ACD
【難度】0.15
【分析】利用賦值法得到，由此判斷出的奇偶性.利用賦值法求得，進(jìn)而求得，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，計(jì)算的符號(hào)來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性.
【詳解】令，可得.
令，可得.因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以.
令，可得.
因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，.
又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，.
令，可得，①
所以，兩式相加可得.
令，可得.②
①-②可得，
化簡(jiǎn)可得，所以是奇函數(shù)，C正確.
由，可得：
，B錯(cuò)誤.
由可得解得，A正確.
令，可得.
令，則.
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，
所以，即，
所以在0,+∞上單調(diào)遞增.
因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以在R上單調(diào)遞增，D正確.
故選：ACD
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性，首先要在函數(shù)定義域的給定區(qū)間內(nèi)，任取兩個(gè)數(shù)，且，然后通過(guò)計(jì)算的符號(hào)，如果，則在給定區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果，則在給定區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.
10．ACD
【難度】0.15
【分析】根據(jù)題意，可知，當(dāng)，則時(shí)，，所以，若改變集合中的一個(gè)，使，則，即的值由增大為，因此，中每增加一對(duì)集合的交集非空，則的值增加2，從而可判斷A，B，C；又由定義可知，，取，則，即，可判斷選項(xiàng)D.
【詳解】由定義知，當(dāng)時(shí)，，則，故，
顯然取的單元素子集，則時(shí)，，所以，
考慮的情況下，若改變集合中的一個(gè)，
使，則，如取，
則，即的值由增大為，
因此，中每增加一對(duì)集合的交集非空，則的值增加2，
故與具有相同的奇偶性，但不一定是的倍數(shù)；
又由定義可知，，
若對(duì)任意的，
如取，則，即.
故選：ACD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：采用從最特殊的當(dāng)時(shí)，，則，故，再取的單元素子集，則時(shí)，，所以求得的最小值，再次基礎(chǔ)上，若改變集合中的一個(gè)，可得到的變化規(guī)律，從而得解.
11．BC
【難度】0.15
【分析】A選項(xiàng)，，當(dāng)時(shí)，，，求出的值域?yàn)椋M(jìn)而得到，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，由于為平移得到，故的最小正周期也為，故只需研究即可，當(dāng)時(shí)，，，推出關(guān)于軸對(duì)稱，結(jié)合為奇函數(shù)，得到關(guān)于對(duì)稱，同理可得也滿足要求，B正確；C選項(xiàng)，推出的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故，分為偶數(shù)和為奇數(shù)兩種情況，得到C正確；D選項(xiàng)，先得到函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，在C選項(xiàng)基礎(chǔ)上，得到時(shí)，，此時(shí)，D錯(cuò)誤.
【詳解】選項(xiàng)A，當(dāng)時(shí)，，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
故時(shí)，的值域?yàn)椋?br>又為奇函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)椋?br>故，
為平移得到，故的最小正周期也為，
故函數(shù)的最小正周期為，
故函數(shù)值域?yàn)?，故A錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)，由于為平移得到，故的最小正周期也為，故只需研究即可，
當(dāng)時(shí)，，，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，
故，由于為連續(xù)函數(shù)，
故，故的圖象在上關(guān)于直線對(duì)稱，
又為奇函數(shù)，最小正周期為，結(jié)合圖象可知，在圖象在R上關(guān)于直線對(duì)稱，
所以，
令，則，
將用替換，有，故，
所以關(guān)于軸對(duì)稱，
又為奇函數(shù)，故，
所以，又，
故，
故，
故關(guān)于對(duì)稱，所以既有對(duì)稱軸，又有對(duì)稱中心，
當(dāng)時(shí)，同理可得既有對(duì)稱軸，又有對(duì)稱中心，B正確；
C選項(xiàng)，取，則，
由于為奇函數(shù)，故，
又的最小正周期為，故，
即，即，
故的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，
由B選項(xiàng)知，的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，
所以，，
所以，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，所以，C正確；
D選項(xiàng)，由于，所以成立，
，故，
即，
故在上，
又的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且最小正周期為，
故函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，
所以，而成立，
所以，故存在成立，D錯(cuò)誤.
故選：BC
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：函數(shù)的對(duì)稱性：
若，則函數(shù)關(guān)于中心對(duì)稱，
若，則函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，
12．
【難度】0.15
【解析】將已知整理為，令2，得，即可將所求最值的關(guān)于xy的表達(dá)式轉(zhuǎn)化為mn的表達(dá)式，整理后由均值不等式可求得最小值.
【詳解】因?yàn)?x+y+2xy+1=0，則4x+y+2xy+2=1，即
令2，所以
所以x2+y2+x+4y
由均值不等式，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)
所以x2+y2+x+4y的最小值為.
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查利用均值不等式求最值，屬于難題.
13． 0 5
【難度】0.15
【分析】假設(shè)k＝4出現(xiàn)次數(shù)大于等于1次，即的值大于等于1，推出矛盾，由此得＜1，＝0，同理可得，由此可得，從而討論可得，于是可以得到，∈{1，2}，分類討論即可得出答案.
【詳解】等于在“，，，，”中所出現(xiàn)的次數(shù)，則，
若k＝4在“，，，，”中出現(xiàn)次數(shù)超過(guò)0次，不妨設(shè)出現(xiàn)1次，則＝1.
設(shè)＝4，則k＝0在“，，”這3個(gè)數(shù)中出現(xiàn)4次，矛盾，
同理k＝4在“，，，，”中出現(xiàn)過(guò)2、3、4次也不可能，
即k＝4不能出現(xiàn)，∴＝0.
同理，若k＝3出現(xiàn)次數(shù)超過(guò)0次，不妨設(shè)k＝3出現(xiàn)1次，即，
設(shè)＝3，則k＝0在“，”這2個(gè)數(shù)中出現(xiàn)3次，矛盾，
故k＝3不可能出現(xiàn)，∴.
∵，＝0，
∴k＝0在“，，，，”中至少出現(xiàn)了2次，
∴.
若＝3或4，即k＝3或k＝4出現(xiàn)了1次，則或不為0，矛盾，
∴.
∴，，，
∴，∈{1，2}，
∴“，，，，”僅有下列四種可能：
①，＝1，＝1，，，
②，＝1，＝2，，，
③，＝2，＝1，，，
④，＝2，＝2，，，
其中：①中，k＝1出現(xiàn)2次與＝1矛盾，不可能；
②滿足題意；
③k＝2出現(xiàn)2次與＝1矛盾；
④中，k＝2出現(xiàn)3次與＝2矛盾；
故僅有“，＝1，＝2，，”滿足題意，
故5.
故答案為：0；5
【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵是理清題意，在有限個(gè)數(shù)字中，從大到小討論，將不滿足題意的情形逐一排除，最后得到唯一滿足題意的組合.
14．①②
【難度】0.15
【分析】對(duì)于①由條件2知正確；
對(duì)于④：設(shè)，由條件1推出中元素，再由條件2推出的元素必在中，分析這些元素能得出不同的元素至少有4個(gè)，與有3個(gè)元素矛盾.
對(duì)于②③： ，由條件1得，若中除0外只有一個(gè)元素，由求得 ；若中還有另兩個(gè)元素，，由條件2得出中更多的元素，類似④的推斷過(guò)程，分析這些元素至少有3個(gè)不同，與中只有兩個(gè)元素矛盾；
【詳解】對(duì)于①：由條件2知，，，且，所以若S只有2個(gè)元素，則這2個(gè)元素互為相反數(shù)，故①正確；
對(duì)于④：若有3個(gè)元素，不妨設(shè)，其中，則，所以，而與為兩個(gè)互不相等的正數(shù)， a?c 與為兩個(gè)互不相等的負(fù)數(shù)，故集合中至少有4個(gè)元素，與有3個(gè)元素矛盾，故④錯(cuò)誤.
對(duì)于②③：若有2個(gè)元素，由①知集合中的2個(gè)元素必為相反數(shù)，故可設(shè).由條件1得，由于集合中至少有2個(gè)元素，故至少還有另外一個(gè)元素.
當(dāng)集合只有2個(gè)元素時(shí)，即，由條件1得，則或，故.
當(dāng)集合有多于2個(gè)元素時(shí)，不妨設(shè)，則，，由于，所以，又，故集合至少有3個(gè)元素，與S中只有兩個(gè)元素矛盾.
綜上，，故②正確，③錯(cuò)誤.
故答案為：①②.
【點(diǎn)睛】對(duì)于數(shù)學(xué)中新定義題目要仔細(xì)閱讀并理解新定義的內(nèi)涵，并根據(jù)新定義對(duì)知識(shí)進(jìn)行遷移應(yīng)用，此題中涉及集合元素個(gè)數(shù)問(wèn)題，要充要利用集合元素的互異性通過(guò)列舉法列出特例元素，以排除重復(fù)元素.
15．(1)
(2)證明見解析
(3)答案見解析
【難度】0.15
【分析】（1）設(shè)兩組數(shù)與，由“亂序和順序和”可得；
（2）設(shè)兩組數(shù)：與，由“亂序和反序和”可得；
（3）由題意求出等候總時(shí)間的表達(dá)式為，設(shè)兩組數(shù)：與，由“亂序和反序和”可得等候的最少總時(shí)間.
【詳解】（1）由題意是的任一排列，
設(shè)兩組數(shù)與，
則可看作與兩組實(shí)數(shù)的“亂序和”；
設(shè)也是的一個(gè)排列，且，
其中滿足集合.
則為與兩組實(shí)數(shù)的“順序和”，
且.
則由排序不等式：亂序和順序和，
得.
故空格處填：.
（2）設(shè)兩組數(shù)：與.
由是n個(gè)互不相同的正整數(shù)，
設(shè)是的一個(gè)排列，且滿足，
即是這n個(gè)互不相同的正整數(shù)從小到大的排列，
因此.
又因?yàn)椋?br>故由排序不等式：亂序和反序和，
得
.
故，命題得證.
（3）由題意可知，水龍頭注滿第個(gè)人的水桶需要分鐘，
則第個(gè)人打水時(shí)，即個(gè)人都在等，需要等候總時(shí)間為，
故所有人打完水，他們等候的總時(shí)間為
.
設(shè)兩組數(shù)：與.
由假定，這些各不相同，
設(shè)為的一個(gè)排列，且，
又因?yàn)椋?br>由排序不等式：亂序和反序和，
得.
所以只有一個(gè)水龍頭時(shí)，要使他們等候的總時(shí)間最少，應(yīng)安排需要時(shí)間最少的人總是先打水，
即各人按照注滿各自水桶的時(shí)間從少至多的順序排隊(duì)打水.
等候的總時(shí)間最少為，其中為從小到大的一個(gè)順序排列.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)題意理解并正確應(yīng)用排序不等式解決問(wèn)題，關(guān)鍵有兩點(diǎn)：一是要先弄清楚排序不等式的研究對(duì)象，確定好所需研究的兩組數(shù)是哪兩組數(shù)；二是要明確或設(shè)出兩組數(shù)分別的大小排序，有“序”，才有“反序和”、“亂序和”、“順序和”的不等關(guān)系.
16．（1）4；（2）.
【難度】0.15
【解析】（1）由集合的子集可得：集合A1的“和諧子集”為：共4個(gè)；
（2）由定義的理解，分類討論的數(shù)學(xué)思想方法可得：討論集合中的“和諧子集”的情況，以新增元素3n+1，3n+2，3n+3為標(biāo)準(zhǔn)展開討論即可得解.
【詳解】解：（1）由題意有：A1＝，
則集合A1的“和諧子集”為：共4個(gè)，
故答案為：4；
（2）記An的“和諧子集”的個(gè)數(shù)等于an，即An有an個(gè)所有元素的和為3的整數(shù)倍的子集，
另記An有bn個(gè)所有元素的和為3的整數(shù)倍余1的子集，有個(gè)所有元素的和為3的整數(shù)倍余2的子集
易知：a1＝4，b1＝2，＝2，
集合An+1＝{1，2，3，……，3n﹣2，3n﹣1，3n，3n+1，3n+2，3n+3}的“和諧子集”有以下4種情況，（考查新增元素3n+1，3n+2，3n+3）
①集合集合An＝{1，2，3，……，3n﹣2，3n﹣1，3n}的“和諧子集”共an個(gè)，
②僅含一個(gè)元素的“和諧子集”共an個(gè)，
同時(shí)含兩個(gè)元素3n+1，3n+2的“和諧子集”共an個(gè)，
同時(shí)含三個(gè)元素的“和諧子集”共an個(gè)，
③僅含一個(gè)元素3n+1的“和諧子集”共cn個(gè)，
同時(shí)含兩個(gè)元素3n+1，3n+3的“和諧子集”共cn個(gè)，
④僅含一個(gè)元素3n+2的“和諧子集”共bn個(gè)，
同時(shí)含兩個(gè)元素3n+2，3n+3的“和諧子集”共bn個(gè)，
所以集合An+1的“和諧子集”共有an+1＝4an+2bn+2cn，
同理：bn+1＝4bn+2an+2cn，cn+1＝4cn+2an+2cn，
所以，所以數(shù)列是以a1﹣b1＝2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
求得：an＝bn+2n，
同理an＝cn+2n，
又an+bn+cn＝23n，
解得：
故答案為：
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：由到，“和諧子集”的確定是解題的難點(diǎn)，這里相當(dāng)于在原來(lái)的基礎(chǔ)上，把新增元素放到的子集中去，比如在的“和諧子集”中的添加元素，有四種情況：第一種，不添加，第二種，僅僅添加3（n+1），第三種，添加3n+1，3n+2，第四種三個(gè)元素全添加，而原來(lái)不是“和諧子集”的子集，添加這三個(gè)元素中的一個(gè)或幾個(gè)，也可能變成“和諧子集"，這樣就得到同樣的道理，也可以得到的表達(dá)式，通過(guò)數(shù)列的知識(shí)不難求得.
17．（1）
（2）米 （3）第一級(jí)臺(tái)階的長(zhǎng)度為厘米，第二級(jí)臺(tái)階的長(zhǎng)度為厘米，第三級(jí)臺(tái)階的長(zhǎng)度為厘米，這種臺(tái)階不能從山頂一直鋪到山腳.
【難度】0.15
【分析】（1）將點(diǎn)點(diǎn)B（4,4）分別代入，求出即可求得函數(shù)的解析式；
（2）由已知有索道在上方時(shí)，懸空高度
利用配方法可得=，再求最大值即可；
（3）由（1）得，在山坡線上，，，
取，分別求出，
再運(yùn)算可得各級(jí)臺(tái)階的長(zhǎng)度，再取點(diǎn)，又取，
運(yùn)算可得，即這種臺(tái)階不能一直鋪到山腳，得解.
【詳解】解：（1）將點(diǎn)B（4,4）分別代入，
解得，
故；
（2）由圖可知：，由圖觀察可得：只有當(dāng)索道在上方時(shí)，索道的懸空高度才有可能取最大值，
索道在上方時(shí)，懸空高度==，
當(dāng)時(shí)，，
故索道的最大懸空高度為米；
(3)在山坡線上，，，
①令得令，得，
所以第一級(jí)臺(tái)階的長(zhǎng)度為（百米）（厘米），
同理，令得
所以第一級(jí)臺(tái)階的長(zhǎng)度為（百米）（厘米），
所以第二級(jí)臺(tái)階的長(zhǎng)度為（百米）（厘米），
所以第三級(jí)臺(tái)階的長(zhǎng)度為（百米）（厘米），
②取點(diǎn)，又取，
則，
因?yàn)椋?br>故這種臺(tái)階不能從山頂一直鋪到點(diǎn)，從而就不能一直鋪到山腳.
【點(diǎn)睛】本題考查了分段函數(shù)解析式的求法、二次函數(shù)在區(qū)間上的最值問(wèn)題，重點(diǎn)考查了閱讀能力及運(yùn)算能力，屬中檔題.
18．(1)①是;②不是
(2)不是,理由見解析
(3)證明見解析
【難度】0.15
【分析】(1)利用作差法,結(jié)合函數(shù)的定義即可逐個(gè)判定;
(2)不是定義域上的函數(shù),由反函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)的定義即可證明;
(3)假設(shè),則,利用函數(shù)的定義化簡(jiǎn)即可得證.
【詳解】（1）①當(dāng)時(shí),
，所以①是定義域上的函數(shù);
②當(dāng)時(shí),
,所以②不是定義域上的函數(shù).
（2）不是定義域上的函數(shù),理由如下:
因?yàn)槭嵌x域上的嚴(yán)格增函數(shù),
所以當(dāng)時(shí),,即,
若原函數(shù)為增函數(shù),則反函數(shù)也是增函數(shù),即若,則,
又因?yàn)槭嵌x域上的函數(shù),即當(dāng)時(shí),總有,
所以,即當(dāng)時(shí),,
綜上所述,不是定義域上的函數(shù).
（3）證明:若對(duì)于任意的,和任意的,假設(shè),則,
因?yàn)楹瘮?shù)為區(qū)間上的函數(shù),所以,
化簡(jiǎn)得,
∵,∴,
∴,
∴,
∴.
【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是對(duì)新函數(shù)定義的理解與應(yīng)用，考查邏輯推理能力，屬于難題.
19．(1)，
(2)
(3)
【難度】0.15
【分析】（1）定義域容易求得，進(jìn)而先求出的范圍，最后求出函數(shù)的值域；
（2）求出，設(shè)，進(jìn)而討論函數(shù)，的最大值，然后討論a與定義域的位置關(guān)系，最后得出答案；
（3）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，進(jìn)而討論m為0和不為0兩種情況，最后求得答案.
【詳解】（1）由且，得．
則函數(shù)的定義域?yàn)椋?
，且，
得，則函數(shù)的值域?yàn)椋?br>（2），
令，
則，，
所以，
令，，則為函數(shù)，的最大值．
易得函數(shù)的圖象是開口向下的拋物線，且其對(duì)稱軸為直線．
①若，即，則；
②若，即，則；
③若，即，則．
綜上可得．
（3）由（2）易得．
要使在上恒成立，即使在恒成立，
所以在上恒成立．
令，，
若，則對(duì)任意恒成立；
若，則有，即，
解得或．
綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是．
【點(diǎn)睛】本題對(duì)的處理是一個(gè)難點(diǎn)，這時(shí)候需要找到三個(gè)根式之間的關(guān)系，在通過(guò)（1）問(wèn)的處理之后可以發(fā)現(xiàn)將平方可以得到，進(jìn)而通過(guò)換元法進(jìn)行處理.
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
C
D
A
D
D
B
ACD
ACD
題號(hào)
11









答案
BC









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