1．用“五點(diǎn)法”作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖
(1)在正弦函數(shù)y＝sin x，x∈[0,2π]的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：(0,0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)．
(2)在余弦函數(shù)y＝cs x，x∈[0,2π]的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：(0,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)．
2．正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)(下表中k∈Z)
3．對(duì)稱性與周期性
(1)正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對(duì)稱中心、相鄰兩對(duì)稱軸之間的距離是eq \f(1,2)個(gè)周期，相鄰的對(duì)稱中心與對(duì)稱軸之間的距離是eq \f(1,4)個(gè)周期．
(2)正切曲線相鄰兩對(duì)稱中心之間的距離是eq \f(1,2)個(gè)周期．
4．奇偶性
若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，則
(1)f(x)為偶函數(shù)的充要條件是φ＝eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)．
(2)f(x)為奇函數(shù)的充要條件是φ＝kπ(k∈Z)．
一、單選題
1．（2024高三上·廣東汕頭·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，如果，則的值是（ ）
A．-10B．8C．-8D．-7
【答案】B
【解析】令，由奇函數(shù)定義可知，化簡(jiǎn)計(jì)算可求得結(jié)果.
【詳解】令,則，
所以，由可知，，即，
，
故選：B.
【點(diǎn)睛】本題考查奇函數(shù)性質(zhì)，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.
2．（2024·江西鷹潭·一模）已知的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到函數(shù)的圖象，且的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】化簡(jiǎn)，根據(jù)三角函數(shù)圖象的平移變換可得的表達(dá)式，結(jié)合其性質(zhì)，求得的表達(dá)式，即可求得答案.
【詳解】由題意可得，
故，由于的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，
則為偶函數(shù)，故,即，
故的最小值為，
故選：B
3．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知，，是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，且的最小值為，若將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由已知得函數(shù)的周期，求出，再利用圖像的平移變換規(guī)律寫出函數(shù)平移后的解析式，再利用函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，列出等式即可得到結(jié)果.
【詳解】由題意知函數(shù)的最小正周期，則，得，.
將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象，
要使該圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則，，所以，，
又，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為．
故選：A
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：先根據(jù)正切函數(shù)圖象的特征求出函數(shù)的最小正周期，進(jìn)而求出，然后根據(jù)函數(shù)圖象的平移變換得到平移后的函數(shù)圖象的解析式，最后利用正切函數(shù)圖象的對(duì)稱中心建立方程求解即可，考查學(xué)生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.
4．（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，若對(duì)滿足的，總有的最小值等于，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象平移規(guī)律可得函數(shù)的圖象，由、設(shè)，則，分別利用、，求出可得答案.
【詳解】函數(shù)的周期為，
將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，
可得，
由可知，兩個(gè)函數(shù)的最大值與最小值的差為2，且，
不妨設(shè)，則，即在時(shí)取得最小值，
由于，此時(shí)，不合題意；，此時(shí)，
當(dāng)時(shí)，滿足題意.
故選：C.
5．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得函數(shù)的圖象，則的單調(diào)遞增區(qū)間為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先由圖象平移變換得到，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)求出的單調(diào)遞增區(qū)間.
【詳解】將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，
得到，即的圖象，
令，，
解得，，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，.
故選：C.
6．（2024高三下·河南·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的函數(shù)的部分圖象如圖所示，則不等式的解集為（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由函數(shù)圖象可求出的解析式，向右平移個(gè)單位可得的解析式，利用余弦函數(shù)的圖象解不等式即可.
【詳解】設(shè)函數(shù)的圖象向左平移單位長(zhǎng)度后得到的函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為，由圖可知，函數(shù)的圖象的最小正周期為，
所以，
所以，
由，得，，，
所以，，取，得，
所以，所以，
所以由，得，即，
所以，，即，，
所以不等式的解集為（），
故選：C
【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛：圖象變換的兩種方法的區(qū)別，由的圖象，利用圖象變換作函數(shù)的圖象，要特別注意：當(dāng)周期變換和相位變換的先后順序不同時(shí)，原圖象沿x軸的伸縮量的區(qū)別．先平移變換再周期變換(伸縮變換)，平移的量是|φ|個(gè)單位，而先周期變換(伸縮變換)再平移變換，平移的量是個(gè)單位．
7．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若將的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則實(shí)數(shù)的最小值為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先根據(jù)題意寫出平移后的解析式后，根據(jù)三角函數(shù)的奇偶性可得.
【詳解】的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，變?yōu)?br>，
因的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，
所以為偶函數(shù)，
所以，,
即，,
因，所以，
故當(dāng)時(shí)，實(shí)數(shù)取得最小值為，
故選：B
8．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則“，”是“為偶函數(shù)”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】由余弦函數(shù)的性質(zhì)，分別驗(yàn)證充分性與必要性即可.
【詳解】函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，為偶函數(shù)，所以充分性成立；
為偶函數(shù)時(shí)，，解得，不能得到，所以必要性不成立.
故“，”是“為偶函數(shù)”的充分不必要條件.
故選：A
9．（2024·云南昆明·一模）已知函數(shù)，若存在，使得方程有三個(gè)不等的實(shí)根，，且，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
利用輔助角公式變形為，畫出圖像，找到兩函數(shù)交點(diǎn)位置，求出結(jié)果即可.
【詳解】，最小正周期為，
作出的圖像，

可知當(dāng)時(shí)，有三個(gè)根，
所以，
即或，
解得根分別為，
又因?yàn)椋?br>所以，
故選：B.
10．（2024·四川遂寧·一模）函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，將該函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則的最小值是（ ）
A．B．C．3D．
【答案】A
【分析】由求，再根據(jù)平移變換求出平移后的解析式，然后根據(jù)對(duì)稱性即可求解.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，
所以，
又，所以，
將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，
所得函數(shù)圖象的解析式為，
因?yàn)榈暮瘮?shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
所以，得，
因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取得最小值.
故選：A
11．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)為奇函數(shù)，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分0在定義域內(nèi)和0不在定義域內(nèi)兩種情況進(jìn)行討論即可求得答案.
【詳解】若0在定義域內(nèi)，由時(shí)，得，；
若0不在定義域內(nèi)，由時(shí)，無意義，得．
綜上，．
故選：C．
二、多選題
12．（2024·海南?？凇つM預(yù)測(cè)）已知函數(shù)（）的圖象與函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心完全相同，且在上，有極小值，則（ ）
A．B．
C．函數(shù)是偶函數(shù)D．在上單調(diào)遞增
【答案】AD
【分析】根據(jù)函數(shù)與的最小正周期相同，求得，經(jīng)驗(yàn)證求得，再求出值，再對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐項(xiàng)驗(yàn)證.
【詳解】由題意，函數(shù)與的最小正周期相同，則，且.
當(dāng)時(shí)，，其一個(gè)對(duì)稱中心為，
也是的一個(gè)對(duì)稱中心，
所以，所以，，
又，所以，
所以，，，有極大值，無極小值，不合題意；
當(dāng)時(shí)，，其一個(gè)對(duì)稱中心為，
也是的一個(gè)對(duì)稱中心，
所以，所以，，
又，所以，
所以，，，有極小值，滿足題意.
，，A項(xiàng)正確，B項(xiàng)不正確；
，不是偶函數(shù)，C項(xiàng)不正確；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞增，D項(xiàng)正確.
故選：AD
13．（2024·廣東潮州·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)，的最小正周期為，且過點(diǎn)，則下列正確的有（ ）
A．在單調(diào)遞減
B．的一條對(duì)稱軸為
C．的周期為
D．把函數(shù)的圖象向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位得到函數(shù)的解析式為
【答案】AB
【分析】利用輔助角公式將函數(shù)化簡(jiǎn)，根據(jù)周期求出，再根據(jù)函數(shù)過點(diǎn)求出，即可得到函數(shù)解析式，再根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可.
【詳解】根據(jù)輔助角公式得．
最小正周期為，，，即．
函數(shù)過點(diǎn)，，
，則．
當(dāng)時(shí)．即．
令，則，
當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，故A正確．
令，則，
當(dāng)時(shí)，的一條對(duì)稱軸為，故B正確．
因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，
則的周期為且，故C錯(cuò)誤．
函數(shù)的圖象向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位得到函數(shù)的解析式為，故D錯(cuò)誤．
故選：AB．
14．（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，則（ ）
A．的最大值為2
B．是偶函數(shù)
C．在上單調(diào)遞增
D．把的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
【答案】AB
【分析】依題意可求出，從而可得，結(jié)合函數(shù)的圖象性質(zhì)逐一判斷即可.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，
所以，解得，
所以，其最大值為2，故A正確；
令，
定義域?yàn)?，?br>所以即是偶函數(shù)，故B正確；
時(shí)，，在單調(diào)遞增，
在單調(diào)遞減，故C錯(cuò)誤；
把的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)
的圖象，
因?yàn)椋?br>所以的圖象不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故D錯(cuò)誤.
故選：AB
15．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則下列說法正確的有（ ）
A．若，則
B．將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象關(guān)于軸對(duì)稱
C．函數(shù)的最小正周期為
D．若在上有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為
【答案】ABD
【分析】對(duì)A：必有一個(gè)最大值和一個(gè)最小值可求；對(duì)B：求出平移后函數(shù)解析式判斷是否為偶函數(shù)；對(duì)C：化簡(jiǎn)后求周期；對(duì)D：求出的范圍，數(shù)據(jù)正弦曲線的圖象列出滿足的不等式并求解.
【詳解】由，故必有一個(gè)最大值和一個(gè)最小值，
則為半個(gè)周期長(zhǎng)度，故正確；
由題意的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，B正確；
的最小正周期為C錯(cuò)誤.
，在上有且僅在3個(gè)零點(diǎn)，
結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)知：，則，D正確；
故選：ABD
16．（2024高三上·海南·期末）已知函數(shù)，，恒成立，在上單調(diào)，則（ ）
A．
B．將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象
C．
D．若函數(shù)在上有5個(gè)零點(diǎn)，則
【答案】AB
【分析】由題意求出，可判斷A；由三角函數(shù)的平移變化可判斷B；求出可判斷C；令，即與的圖象有5個(gè)交點(diǎn)，畫出與的圖象即可判斷D.
【詳解】因?yàn)?，所以是函?shù)的一個(gè)零點(diǎn)，所以①，
又因?yàn)閷?duì)恒成立，所以時(shí)取得最小值，
即②，則①減②可得：，
又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)，所以，
則，結(jié)合，所以，
所以，，
則，，又因?yàn)椋?br>所以，故A正確；
所以，
將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到，故B正確；
，故C錯(cuò)誤；
函數(shù)在上有5個(gè)零點(diǎn)，令，
即與的圖象有5個(gè)交點(diǎn)，畫出與的圖象如下，

，，
由圖可知，當(dāng)時(shí)，與的圖象有5個(gè)交點(diǎn)，
即函數(shù)在上有5個(gè)零點(diǎn),故D錯(cuò)誤.
故選：AB
17．（2024高三上·山東德州·階段練習(xí)）聲音是由物體振動(dòng)產(chǎn)生的聲波，純音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，我們聽到的聲音是由純音合成的，稱之為復(fù)合音.若一個(gè)復(fù)合音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，則下列結(jié)論不正確的是（ ）
A．是偶函數(shù)B．的最小正周期為
C．在區(qū)間上單調(diào)遞增D．的最小值為1
【答案】BC
【分析】由奇函數(shù)的定義即可判斷A；容易驗(yàn)證π是函數(shù)的周期，進(jìn)而判斷B；
當(dāng)時(shí)，用輔助角公式將函數(shù)化簡(jiǎn)，即可判斷C；
先考慮時(shí)，再分和兩種情況，求出函數(shù)的最小值，再根據(jù)函數(shù)的周期，即可求出函數(shù)在R上的最小值.
【詳解】因?yàn)?，，所以是偶函?shù)，A正確；顯然是周期函數(shù)，
因?yàn)椋訠錯(cuò)誤；因?yàn)楫?dāng)時(shí)，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，C錯(cuò)誤；
因?yàn)?br>當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，
同理：當(dāng)時(shí)，，
由B中解答知，是的周期，所以的最小值為1，D正確.
故選：BC.
18．（2024高三上·江蘇無錫·期中）已知函數(shù)，下列敘述正確的有（ ）
A．的周期為2π；B．是偶函數(shù)；
C．在區(qū)間上單調(diào)遞減；D．x1，x2∈R，
【答案】BC
【分析】AB選項(xiàng)，可以分別研究與的奇偶性和周期性，從而判斷的周期性和奇偶性；C選項(xiàng)，在區(qū)間上，化簡(jiǎn)整理得到，，進(jìn)而得到在區(qū)間的單調(diào)性；D選項(xiàng)可以取特殊值代入，證明其不成立.
【詳解】是偶函數(shù)，不是周期函數(shù)，是偶函數(shù)，是周期函數(shù)，最小正周期為，故不是周期函數(shù)，A錯(cuò)誤，B正確；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，在次區(qū)間上單調(diào)遞減，故在區(qū)間上單調(diào)遞減，C正確；
當(dāng)時(shí)，，，，即，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：BC
19．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）聲音是由于物體的振動(dòng)產(chǎn)生的能引起聽覺的波，我們聽到的聲音多為復(fù)合音．若一個(gè)復(fù)合音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．的一個(gè)周期為B．的最小值為
C．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱D．在區(qū)間上有3個(gè)零點(diǎn)
【答案】ACD
【分析】A代入周期的定義，即可判斷；
B分別比較兩個(gè)函數(shù)分別取得最小值的值，即可判斷；
C代入對(duì)稱性的公式，即可判斷；
D根據(jù)零點(diǎn)的定義，解方程，即可判斷.
【詳解】選項(xiàng)A：
故的一個(gè)周期為，A正確.
選項(xiàng)B：
，當(dāng)，時(shí)，取得最小值，
，當(dāng)，時(shí)即，時(shí)，取得最小值，
所以兩個(gè)函數(shù)不可能同時(shí)取得最小值，所以的最小值不是，故B錯(cuò)誤.
選項(xiàng)C：
，
，
所以，
所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，C正確，
選項(xiàng)D：
，
得，或，
得，或，，
故區(qū)間中的根為，，，
故D正確.
故選：ACD
20．（2024高三上·河南三門峽·期末）已知函數(shù)滿足：，，則（ ）
A．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱B．函數(shù)是偶函數(shù)
C．函數(shù)在上單調(diào)遞減D．函數(shù)的值域?yàn)?br>【答案】AD
【分析】化簡(jiǎn)后結(jié)合題意可得的取值集合，再結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可得.
【詳解】，
由，故，
即，
由，故，
即，
則有，即，
故、、、，
當(dāng)時(shí)，，
由函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，
故的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故A正確；
，
由為奇函數(shù)，故函數(shù)為奇函數(shù)，故B錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，，
取時(shí)，即，
函數(shù)并不單調(diào)遞減，故C錯(cuò)誤；
由，故，
故D正確.
故選：AD.
21．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，，且有兩個(gè)零點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．當(dāng)時(shí)，B．
C．若，則D．
【答案】ACD
【分析】A選項(xiàng)，作單位圓，利用面積得到；BC選項(xiàng)，畫出，，且與的函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合判斷BC選項(xiàng)；D選項(xiàng)，由，推出，根據(jù)零點(diǎn)范圍可得符號(hào)判斷.
【詳解】A選項(xiàng)，設(shè)，作出單位圓，與軸交于點(diǎn)，則，
過點(diǎn)作垂直于軸，交射線于點(diǎn)，連接，
由三角函數(shù)定義可知，，
設(shè)扇形的面積為，則，即，故，
當(dāng)時(shí)，有不等式，A正確；
B選項(xiàng)，畫出，，且與的函數(shù)圖象，如下：
可以看出，，故，B不正確；
C選項(xiàng)，的最小正周期為，由圖象可知，故，C正確；
D選項(xiàng)，由，
，
因?yàn)椋?，故?br>而，
但，且在為增函數(shù)，
故，故，D正確．
故選：ACD．
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：處理函數(shù)零點(diǎn)問題思路：（1）利用方程思想，如一次函數(shù)，二次函數(shù)等，可令函數(shù)值為0，直接進(jìn)行求解；
（2）轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題來解決；
（3）研究函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理來進(jìn)行求解.
22．（2024·全國(guó)）已知函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則（ ）
A．在區(qū)間單調(diào)遞減
B．在區(qū)間有兩個(gè)極值點(diǎn)
C．直線是曲線的對(duì)稱軸
D．直線是曲線的切線
【答案】AD
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)逐個(gè)判斷各選項(xiàng)，即可解出．
【詳解】由題意得：，所以，，
即，
又，所以時(shí)，，故．
對(duì)A，當(dāng)時(shí)，，由正弦函數(shù)圖象知在上是單調(diào)遞減；
對(duì)B，當(dāng)時(shí)，，由正弦函數(shù)圖象知只有1個(gè)極值點(diǎn)，由，解得，即為函數(shù)的唯一極值點(diǎn)；
對(duì)C，當(dāng)時(shí)，，，直線不是對(duì)稱軸；
對(duì)D，由得：，
解得或,
從而得：或,
所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率為，
切線方程為：即．
故選：AD．
三、填空題
23．（2024高三·全國(guó)·課后作業(yè)）函數(shù)（）的圖像的相鄰兩支截直線所得線段長(zhǎng)為，則的值是 .
【答案】
【分析】根據(jù)正切型函數(shù)的周期公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)（）的圖像的相鄰兩支截直線所得線段長(zhǎng)為，
所以該函數(shù)的最小正周期為，
因?yàn)?，所以，即?br>因此，
故答案為：
24．（2024高三下·江西鷹潭·階段練習(xí)）函數(shù)的最小正周期是 ．
【答案】
【分析】根據(jù)二倍角公式以及輔助角公式化簡(jiǎn)，即可由周期公式求解.
【詳解】所以最小正周期為，
故答案為：
25．（2024·四川遂寧·三模）已知函數(shù)，，，且，則=
【答案】/0.5
【分析】利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)解析式為，分析可知函數(shù)的最小正周期為，利用正弦型函數(shù)的周期公式即可求得的最小值.
【詳解】因?yàn)?br>，另外，，且，
所以，函數(shù)的最小正周期滿足，則，
所以，，故當(dāng)時(shí)，取最小值.
故答案為：
26．（2024高三下·上海松江·階段練習(xí)）已知函數(shù)，則函數(shù)的最小正周期是 ．
【答案】
【分析】根據(jù)三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，進(jìn)而可得函數(shù)的最小正周期.
【詳解】，故，
故答案為：．
27．（2024·上?！つM預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的最小正周期是，則 .
【答案】4
【分析】根據(jù)三角恒等變換化簡(jiǎn)三角函數(shù)，然后利用周期計(jì)算公式列方程，解方程即可求值
【詳解】，
所以最小正周期是，所以.
故答案為：4
28．（2024·陜西咸陽(yáng)·一模）設(shè)函數(shù)相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，，則的最小值為 ．
【答案】/
【分析】根據(jù)給定的條件，求出函數(shù)的周期，進(jìn)而求出，再利用最值求出的表達(dá)式作答.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，則函數(shù)的周期，
，又，因此，即，
所以當(dāng)時(shí)，.
故答案為：
29．（2024高三上·上海浦東新·階段練習(xí)）函數(shù)的最小正周期為 .
【答案】
【分析】根據(jù)二倍角公式，結(jié)合周期公式求解即可.
【詳解】解：，
所以，其最小正周期為.
故答案為：
30．（2024高三上·內(nèi)蒙古·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)（，，是常數(shù)，，）．若在區(qū)間上具有單調(diào)性，且，則的最小正周期為 ．
【答案】/
【分析】根據(jù)單調(diào)性、對(duì)稱性來求得的最小正周期.
【詳解】在區(qū)間上具有單調(diào)性，區(qū)間的長(zhǎng)度為，
區(qū)間的長(zhǎng)度為，
由于，
所以的一條對(duì)稱軸為，其相鄰一個(gè)對(duì)稱中心為，即，
所以.
故答案為：
31．（2024高三·全國(guó)·對(duì)口高考）設(shè)函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，若，則 .
【答案】
【分析】先根據(jù)對(duì)稱性列方程，再根據(jù)范圍確定結(jié)果
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，
所以，所以，所以
因?yàn)椋詴r(shí)，.
故答案為：
32．（2024·河南開封·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，那么的最小值為 ．
【答案】
【分析】代入余弦函數(shù)的零點(diǎn)滿足的公式判斷即可.
【詳解】的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，，即，令，可得的最小值為．
故答案為：
33．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象.若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則的最小值為 .
【答案】
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象平移結(jié)論求得，再根據(jù)的圖象關(guān)于關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，列方程即可求解.
【詳解】由題可得，
的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，
所以，解得，
，故的最小值為.
故答案為：.
34．（2024高三上·江西吉安·期末）記函數(shù)（）的最小正周期為，且的圖象關(guān)于對(duì)稱，當(dāng)取最小值時(shí)， .
【答案】/
【分析】根據(jù)對(duì)稱軸可得，可得（），結(jié)合題意可得的最小值為4，即可求，代入運(yùn)算求解.
【詳解】由的圖象關(guān)于對(duì)稱，則，，
∴（），
又∵，
∴當(dāng)，的最小值為4，
此時(shí)，，
∴.
故答案為：.
35．（2024·四川瀘州·一模）寫出滿足條件“函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱”的的一個(gè)值 ．
【答案】（答案不唯一，滿足即可）
【分析】以為整體，結(jié)合余弦函數(shù)的對(duì)稱軸運(yùn)算求解.
【詳解】由題意可得：，則，
當(dāng)時(shí)，.
故答案為：.
36．（2024高三上·全國(guó)·階段練習(xí)）已知函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸為．若,則的最大 ．
【答案】
【分析】先根據(jù)對(duì)稱軸求出的表達(dá)式，再結(jié)合范圍求最大值
【詳解】由題知.
所以
因?yàn)?所以當(dāng)取最大值
故答案為：
37．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）曲線的一個(gè)對(duì)稱中心為 （答案不唯一）.
【答案】（答案不唯一）
【分析】首先化簡(jiǎn)函數(shù)，再根據(jù)正切函數(shù)的對(duì)稱中心公式求解.
【詳解】，
令或，
則或，
令，則.所以函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心是.
故答案為：（答案不唯一）.
38．（2024·河北·一模）函數(shù)的最小值為 .
【答案】/
【分析】根據(jù)二倍角公式化簡(jiǎn)，即可求解最值.
【詳解】因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，此時(shí)的最小值為.
故答案為：
39．（2024·湖北襄陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)的最小值為，則常數(shù)的一個(gè)取值為 .（寫出一個(gè)即可）
【答案】（答案不唯一）.
【分析】化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，由條件結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)求常數(shù)的一個(gè)取值即可.
【詳解】可化為，
所以，
設(shè)，
則，設(shè)，
則，
因?yàn)楹瘮?shù)的最小值為，
所以，，
所以或，其中，
故答案為：（答案不唯一）.
40．（2024高三·全國(guó)·對(duì)口高考）的最小值為 .
【答案】
【分析】利用二倍角公式、輔助角化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式為，由此求得函數(shù)的最小值．
【詳解】，
所以當(dāng)，時(shí)，取得最小值.
故答案為：．
41．（2024·上海嘉定·三模）若關(guān)于的方程在上有實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
【答案】
【分析】利用二倍角公式及輔助角公式化簡(jiǎn)，結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)判定值域即可.
【詳解】原方程
等價(jià)于
即函數(shù)，在上有交點(diǎn)，
∵，∴，，故，
則.
故答案為：
42．（2024·江西鷹潭·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的值域?yàn)? ．
【答案】
【分析】用余弦的二倍角公式轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求值域.
【詳解】因?yàn)椋?br>又，所以，則，
即函數(shù)的值域?yàn)?
故答案為：.
43．（2024高一下·四川成都·階段練習(xí)）已知函數(shù)，，則函數(shù)的值域?yàn)? ．
【答案】
【分析】根據(jù)的范圍，得的范圍，數(shù)形結(jié)合可得的范圍，從而可得函數(shù)的值域.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，
則，所以，
所以函數(shù)的值域?yàn)?
故答案為：
44．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，，則的最小值為 .
【答案】
【分析】先利用三角恒等變換將函數(shù)表達(dá)式化簡(jiǎn)為正弦型函數(shù)，再求函數(shù)最小值即可.
【詳解】
.
因?yàn)?，所以，所以?br>所以，即函數(shù)的最小值為.
故答案為：.
45．（2024高三·安徽亳州·階段練習(xí)）已知函數(shù)，該函數(shù)的最大值為 ．
【答案】
【分析】化簡(jiǎn)函數(shù)，令且，則，求得，得出函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性與極值，即可求解.
【詳解】由題意，函數(shù)，
令且，則，
從而， 令，解得或，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減．
因?yàn)?，，所以的最大值?
故答案為：.
46．（2024高三下·江蘇蘇州·開學(xué)考試）設(shè)角、均為銳角，則的范圍是 ．
【答案】
【分析】
由將函數(shù)化為，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的最小值，再由柯西不等式求出函數(shù)的最大值，即可得出答案.
【詳解】因?yàn)榻?、均為銳角，所以的范圍均為，
所以，
所以
因?yàn)椋?br>所以，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，
令，，，
所以.
則的范圍是：.
故答案為：
47．（2024·陜西咸陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的值域是 .
【答案】
【分析】利用二倍角公式表示，配方，結(jié)合的范圍進(jìn)行求解.
【詳解】因?yàn)?br>又因?yàn)?
所以當(dāng)時(shí),取得最小值 -1 ,
當(dāng)時(shí),取得最大值 2 , 故的值域是.
故答案為：
48．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）設(shè)、且，求的取值范圍是 .
【答案】
【分析】解法一：利用條件，將轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，進(jìn)而可確定的范圍．
解法二：由得，設(shè)，則，再結(jié)合余弦函數(shù)及二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.
【詳解】解法一：，
，可得．
，
令，，
顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，即，
的取值范圍是．
解法二：由得，設(shè)，即，
則
令，，，，顯然在上單調(diào)遞增，
所以，即，
所以的取值范圍是.
故答案為：
49．（2024高一下·遼寧·期中）函數(shù)的最大值為 ．
【答案】2
【分析】由題知，，進(jìn)而得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，再求最大值即可.
【詳解】解：，其中，，.
∵，，
∴，
∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
∵
∴當(dāng)時(shí)，取得最大值．
故答案為：
50．（2024高一·全國(guó)·課后作業(yè)）函數(shù)的值域?yàn)? .
【答案】
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求解.
【詳解】設(shè)，因?yàn)椋傻茫?br>因?yàn)檎泻瘮?shù)在上的值域?yàn)椋?br>即函數(shù)在的值域?yàn)?
故答案為：.
51．（2024·江西·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的最大值為 ．
【答案】/
【分析】分子分母同時(shí)除以，然后使用基本不等式可得.
【詳解】解：∵，∴，由題意得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故的最大值為．
故答案為：
52．（2024·全國(guó)）關(guān)于函數(shù)f（x）=有如下四個(gè)命題：
①f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．
②f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．
③f（x）的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱．
④f（x）的最小值為2．
其中所有真命題的序號(hào)是 ．
【答案】②③
【分析】利用特殊值法可判斷命題①的正誤；利用函數(shù)奇偶性的定義可判斷命題②的正誤；利用對(duì)稱性的定義可判斷命題③的正誤；取可判斷命題④的正誤.綜合可得出結(jié)論.
【詳解】對(duì)于命題①，，，則，
所以，函數(shù)的圖象不關(guān)于軸對(duì)稱，命題①錯(cuò)誤；
對(duì)于命題②，函數(shù)的定義域?yàn)?，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
，
所以，函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，命題②正確；
對(duì)于命題③，，
，則，
所以，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，命題③正確；
對(duì)于命題④，當(dāng)時(shí)，，則，
命題④錯(cuò)誤.
故答案為：②③.
【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性以及最值的求解，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.
53．（2024·四川樂山·一模）函數(shù) 上所有零點(diǎn)之和為 .
【答案】4
【分析】利用數(shù)形結(jié)合，將函數(shù)零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)和的交點(diǎn)問題，再利用函數(shù)的對(duì)稱性，可求零點(diǎn)的和.
【詳解】函數(shù)，即，
函數(shù)和都關(guān)于對(duì)稱，
所以函數(shù)和的交點(diǎn)也關(guān)于對(duì)稱，
如圖畫出兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間的函數(shù)圖象，
兩個(gè)函數(shù)圖象有4個(gè)交點(diǎn)，利用對(duì)稱性可知，
交點(diǎn)橫坐標(biāo)的和.
故答案為：4
54．（2024·全國(guó)）已知函數(shù)在區(qū)間有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】令，得有3個(gè)根，從而結(jié)合余弦函數(shù)的圖像性質(zhì)即可得解.
【詳解】因?yàn)椋裕?br>令，則有3個(gè)根，
令，則有3個(gè)根，其中，
結(jié)合余弦函數(shù)的圖像性質(zhì)可得，故，
故答案為：.
55．（2024·全國(guó)）記函數(shù)的最小正周期為T，若，為的零點(diǎn)，則的最小值為 ．
【答案】
【分析】首先表示出，根據(jù)求出，再根據(jù)為函數(shù)的零點(diǎn)，即可求出的取值，從而得解；
【詳解】解： 因?yàn)?，（，?br>所以最小正周期，因?yàn)椋?br>又，所以，即，
又為的零點(diǎn)，所以，解得，
因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)；
故答案為：
四、解答題
56．（2024高一上·湖北武漢·期末）函數(shù).
(1)請(qǐng)用五點(diǎn)作圖法畫出函數(shù)在上的圖象；（先列表，再畫圖）
(2)設(shè)，，當(dāng)時(shí)，試研究函數(shù)的零點(diǎn)的情況.
【答案】(1)答案見解析
(2)答案見解析
【分析】（1）將表示為分段函數(shù)的形式，然后利用列表法畫出的圖象.
（2）由轉(zhuǎn)化為與的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)，對(duì)進(jìn)行分類討論，由此求得零點(diǎn)的情況.
【詳解】（1），
按五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)列表：
描點(diǎn)并將它們用光滑的曲線連接起來如下圖所示：
（2）因?yàn)椋?br>所以的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等價(jià)于與圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，
設(shè)，，則
當(dāng)，即時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)，即時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)，即時(shí)，有0個(gè)零點(diǎn).
57．（2024·北京）設(shè)函數(shù)．
(1)若，求的值．
(2)已知在區(qū)間上單調(diào)遞增，，再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使函數(shù)存在，求的值．
條件①：；
條件②：；
條件③：在區(qū)間上單調(diào)遞減．
注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
【答案】(1).
(2)條件①不能使函數(shù)存在；條件②或條件③可解得，.
【分析】（1）把代入的解析式求出，再由即可求出的值；
（2）若選條件①不合題意；若選條件②，先把的解析式化簡(jiǎn)，根據(jù)在上的單調(diào)性及函數(shù)的最值可求出，從而求出的值；把的值代入的解析式，由和即可求出的值；若選條件③：由的單調(diào)性可知在處取得最小值，則與條件②所給的條件一樣，解法與條件②相同．
【詳解】（1）因?yàn)?br>所以，
因?yàn)?，所?
（2）因?yàn)椋?br>所以，所以的最大值為，最小值為.
若選條件①：因?yàn)榈淖畲笾禐椋钚≈禐?，所以無解，故條件①不能使函數(shù)存在；
若選條件②：因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，
所以,所以,,
所以，
又因?yàn)?，所以?br>所以，
所以，因?yàn)?，所?
所以，；
若選條件③：因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以在處取得最小值，即.
以下與條件②相同．
58．（2024·黑龍江齊齊哈爾·三模）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，其中，，且．
(1)求的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心的坐標(biāo)；
(2)若點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，求函數(shù)的表達(dá)式．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)余弦函數(shù)的對(duì)稱性，即可得出答案.
（2）由點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，可得，知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，再由和，可得，又，可得出，即可得出結(jié)果.
【詳解】（1）由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，
且，可知，
故的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心的坐標(biāo)為
（2）由點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，
有，又由，
，
可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
由函數(shù)的圖象和性質(zhì)，
有，
又，有，
將上面兩式相加，有，
有，
又由，可得，
則，
又由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，
有，可得，可得，
故．
59．（2024高一下·北京·期中） ，，，
(1)若，求的值；
(2)若函數(shù)的最小正周期為
①求的值；
②當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，不等式恒成立，求的取值范圍
【答案】(1)
(2)①；②見解析.
【分析】（1）首先代入向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式，利用三角恒等變形，化簡(jiǎn)函數(shù)，并代入求值；
（2）首先根據(jù)周期公式求，并利用三角函數(shù)的性質(zhì)求的最大值，最后轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)恒成立問題，即可求解.
【詳解】（1）依題意，
，
當(dāng)時(shí)，，
（2）①由（1）知，
最小正周期，得，
②當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)，
，當(dāng)，即時(shí)，的最大值為2，
不等式恒成立，即恒成立，
整理為，恒成立，
當(dāng)時(shí)，恒成立，
當(dāng)時(shí)，，得，
綜上可得，，
當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)，
，當(dāng)，即時(shí)，的最大值為0
不等式恒成立，即恒成立，
整理為，恒成立，
當(dāng)時(shí)，恒成立，
當(dāng)時(shí)，，得，
綜上可得，，
綜上可知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.
60．（2003·北京）已知函數(shù)，求的定義域，判斷它的奇偶性，并求其值域．
【答案】答案見解析
【分析】由已知，根據(jù)原函數(shù)，可令即求得函數(shù)定義域；然后根據(jù)定義域，判斷其是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，然后再驗(yàn)證兩者的關(guān)系，從而判斷奇偶性；根據(jù)原函數(shù)的定義域，可對(duì)分子進(jìn)行因式分解，然后化簡(jiǎn)，直接求解值域即可.
【詳解】由已知，函數(shù)，
由得，，解得，
所以函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>因?yàn)楹瘮?shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且
，
所以函數(shù)為偶函數(shù)，
又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，
，
因?yàn)椋郧遥?br>所以函數(shù)的值域?yàn)?
函數(shù)
y＝sin x
y＝cs x
y＝tan x
圖象
定義域
R
R
{x|x≠kπ＋eq \f(π,2)}
值域
[－1,1]
[－1,1]
R
周期性
2π
2π
π
奇偶性
奇函數(shù)
偶函數(shù)
奇函數(shù)
單調(diào)遞增區(qū)間
eq \b\lc\[\rc\] (\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))
[2kπ－π，2kπ]
eq \b\lc\(\rc\) (\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))
單調(diào)遞減區(qū)間
eq \b\lc\[\rc\] (\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))
[2kπ，2kπ＋π]
對(duì)稱中心
(kπ，0)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,2)，0))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)，0))
對(duì)稱軸方程
x＝kπ＋eq \f(π,2)
x＝kπ
（一）
五點(diǎn)作圖法
（1）在正弦函數(shù)，的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：．
（2）在余弦函數(shù)，的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：．
題型1：五點(diǎn)作圖法
1-1．（2024高一下·北京·階段練習(xí)）已知函數(shù)
(1)用“五點(diǎn)作圖法”在給定坐標(biāo)系中畫出函數(shù)在上的圖像；
(2)求，的單調(diào)遞增區(qū)間；
(3)當(dāng)時(shí)，的取值范圍為，直接寫出m的取值范圍.
【答案】(1)答案見解析
(2)遞增區(qū)間為
(3)．
【分析】（1）由，計(jì)算出的取值范圍，通過列表、描點(diǎn)、連線，可作出函數(shù)在上的圖象；
（2）解不等式可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）利用（1）中的圖象結(jié)合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1）因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，
列表如下：
0
1
1
2
0
0
1
作圖如下：
（2）因?yàn)?，令，解得?br>令，解得，
所以的遞增區(qū)間為
（3），，
又，由（1）的圖象可知，，的取值范圍是．
1-2．（2024高一下·湖北·期中）要得到函數(shù)的圖象，可以從正弦函數(shù)或余弦函數(shù)圖象出發(fā)，通過圖象變換得到，也可以用“五點(diǎn)法”列表、描點(diǎn)、連線得到．
(1)由圖象變換得到函數(shù)的圖象，寫出變換的步驟和函數(shù)；
(2)用“五點(diǎn)法”畫出函數(shù)在區(qū)間上的簡(jiǎn)圖．

【答案】(1)答案見解析
(2)作圖見解析
【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)圖象變換求解即可；
（2）利用“五點(diǎn)法”畫出圖象.
【詳解】（1）步驟1：把圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象；
步驟2：把圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象；
步驟3：最后把函數(shù)的圖象的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象．
或者步驟1：步驟1：把圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象；
步驟2：把圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象；
步驟3：最后把函數(shù)的圖象的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象．
（2）因?yàn)榱斜恚?br>
（二）
函數(shù)的奇偶性
由是奇函數(shù)和是偶函數(shù)可拓展得到關(guān)于三角函數(shù)奇偶性的重要結(jié)論：
（1）若為奇函數(shù)，則；
（2）若為偶函數(shù)，則；
（3）若為奇函數(shù)，則；
（4）若為偶函數(shù)，則；
若為奇函數(shù)，則，該函數(shù)不可能為偶函數(shù)．
題型2：函數(shù)的奇偶性
2-1．（2024高一下·河南南陽(yáng)·期中）下列6個(gè)函數(shù)：①，②，③，④，⑤，⑥，其中最小正周期為π的偶函數(shù)的編號(hào)為 .
【答案】①③⑤
【分析】利用三角函數(shù)的圖象和圖象的變換可以得到各個(gè)函數(shù)的圖象，觀察圖象可得結(jié)論.
【詳解】①，②，③，④，⑤，⑥都是偶函數(shù)，
由函數(shù)的圖象如如所示，可知，，的最小正周期都是，，不是周期函數(shù)，，最小正周期為，






故答案為：①③⑤
2-2．（2024高三·廣東·學(xué)業(yè)考試）函數(shù)是（ ）
A．最小正周期為π的奇函數(shù)B．最小正周期為π的偶函數(shù)
C．最小正周期為的奇函數(shù)D．最小正周期為的偶函數(shù)
【答案】D
【分析】因?yàn)楹瘮?shù)，由奇偶函數(shù)的定義結(jié)合求周期的公式即可得出答案.
【詳解】解析：函數(shù)，
故該函數(shù)為偶函數(shù)，且它的最小正周期為.
故選：D.
2-3．（2024高三·北京海淀·專題練習(xí)）函數(shù)，則（ ）
A．若，則為奇函數(shù)B．若，則為偶函數(shù)
C．若，則為偶函數(shù)D．若，則為奇函數(shù)
【答案】B
【分析】根據(jù)選項(xiàng)中的關(guān)系，代入的解析式，對(duì)AD用特值說明不是奇函數(shù)，對(duì)BC用奇偶性的定義驗(yàn)證即可.
【詳解】的定義域?yàn)椋?br>對(duì)A：若，，若為奇函數(shù)，則，而不恒成立，故不是奇函數(shù)；
對(duì)B：若，，
，故為偶函數(shù)，B正確；
對(duì)C：若，，，故不是偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；
對(duì)D：若，，
若為奇函數(shù)，則，而不恒成立，故不是奇函數(shù)；
故選：B
2-4．（2024·貴州貴陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）使函數(shù)為偶函數(shù)，則的一個(gè)值可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)題意，化簡(jiǎn)，由為偶函數(shù)，求得，結(jié)合選項(xiàng)，即可求解.
【詳解】由，
因?yàn)闉榕己瘮?shù)，可得，所以，
令，可得.
故選：A.
2-5．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖像，若函數(shù)是偶函數(shù)，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)圖像平移得函數(shù)的解析式，由函數(shù)是偶函數(shù)，解出，可得.
【詳解】函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位，得的圖像，
又函數(shù)是偶函數(shù)，則有，，解得，；
所以.
故選：C．
2-6．（2024高三上·浙江·期末）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到一個(gè)奇函數(shù)的圖象，則的取值可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)圖象平移求得平移后的函數(shù)解析式，根據(jù)三角函數(shù)是奇函數(shù)，即可求得.
【詳解】函數(shù)為奇函數(shù)，
則，取，則．
故選：D
（三）
函數(shù)的周期性
關(guān)于三角函數(shù)周期的幾個(gè)重要結(jié)論：
（1）函數(shù)的周期分別為，．
（2）函數(shù)，的周期均為
（3）函數(shù)的周期均．
題型3：函數(shù)的周期性
3-1．（2024高三上·河北衡水·階段練習(xí)）下列函數(shù)中，最小正周期為的奇函數(shù)是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先化簡(jiǎn)各選項(xiàng)，由最小正周期的計(jì)算公式和奇、偶函數(shù)的定義對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可求出答案.
【詳解】對(duì)于A：最小正周期為，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：，最小正周期，且為奇函數(shù)，故B正確；
對(duì)于C：，最小正周期為的偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：，則，
故為偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤.
故選：B
3-2．（2024高三·全國(guó)·對(duì)口高考）函數(shù)的最小正周期是 .
【答案】
【分析】化簡(jiǎn)，求出的最小正周期，即可求出函數(shù)的最小正周期.
【詳解】因?yàn)椋?br>因?yàn)榈淖钚≌芷跒椋?br>所以函數(shù)最小正周期為.
故答案為：.
3-3．（2024高三上·河北·階段練習(xí)）函數(shù)的最小正周期為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)，再結(jié)合平方關(guān)系及倍角公式和余弦函數(shù)的周期性即可得解.
【詳解】解：，
所以的最小正周期．
故選：C．
3-4．（2024高三下·北京密云·期中）設(shè)函數(shù)在的圖象大致如圖所示，則的最小正周期為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)圖象先判斷出周期的大致范圍，再根據(jù)圖象過點(diǎn)可求解出，結(jié)合
與周期的關(guān)系可得結(jié)果.
【詳解】由圖象可知，，，
解得.
設(shè)函數(shù)的最小正周期為，易知，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)符合題意，此時(shí),
故選：A.
3-5．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù).則 .
【答案】
【分析】根據(jù)正弦函數(shù)值的特點(diǎn),得到，，…，再求和即可.
【詳解】由條件，可得，，…，共506組，
所以.
故答案為：1012.
（四）
函數(shù)的單調(diào)性
三角函數(shù)的單調(diào)性，需將函數(shù)看成由一次函數(shù)和正弦函數(shù)組成的復(fù)合函數(shù)，利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的單調(diào)方法轉(zhuǎn)化為解一元一次不等式．
如函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的確定基本思想是吧看做是一個(gè)整體，
如由解出的范圍，所得區(qū)間即為增區(qū)間；
由解出的范圍，所得區(qū)間即為減區(qū)間．
若函數(shù)中，可用誘導(dǎo)公式將函數(shù)變?yōu)?，則的增區(qū)間為原函數(shù)的減區(qū)間，減區(qū)間為原函數(shù)的的增區(qū)間．
對(duì)于函數(shù)的單調(diào)性的討論與以上類似處理即可．
題型4：函數(shù)的單調(diào)性
4-1．（2024·四川樂山·三模）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象的函數(shù)（ ）
A．在區(qū)間上單調(diào)遞減B．在區(qū)間上單調(diào)遞減
C．在區(qū)間上單調(diào)遞增D．在區(qū)間上單調(diào)遞增
【答案】B
【分析】結(jié)合函數(shù)的周期性可直接判斷AC，求出平移后相應(yīng)函數(shù)的解析式并化簡(jiǎn)，結(jié)合余弦函數(shù)性質(zhì)判斷BD．
【詳解】函數(shù)的最小正周期是，選項(xiàng)AC中區(qū)間長(zhǎng)度是一個(gè)周期，因此不可能單調(diào)，圖象左右平移后也不可能單調(diào)，AC錯(cuò)；
函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象的函數(shù)解析式為，
選項(xiàng)B，時(shí)，，在此區(qū)間上是減函數(shù)，B正確；
選項(xiàng)D，時(shí)，，在此區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，D錯(cuò)誤．
故選：B．
4-2．（2024·北京密云·三模）已知函數(shù)，則（ ）
A．在上單調(diào)遞減B．在上單調(diào)遞增
C．在上單調(diào)遞減D．在上單調(diào)遞增
【答案】C
【分析】利用余弦函數(shù)的二倍角公式化簡(jiǎn)得出，利用余弦型函數(shù)的單調(diào)性逐項(xiàng)判斷可得出合適的選項(xiàng).
【詳解】因?yàn)?
對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，
在上單調(diào)遞增，A錯(cuò)；
對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，
則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故B錯(cuò)；
對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，
則在上單調(diào)遞減，C對(duì)；
對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，
則在上單調(diào)遞減，故D錯(cuò).
故選：C.
4-3．（2024高一上·重慶江北·期末）的部分圖像如圖所示，則其單調(diào)遞減區(qū)間為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先利用圖象得到周期，結(jié)合圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)即可得到對(duì)應(yīng)的減區(qū)間
【詳解】由圖可得，即，
結(jié)合圖象可得到在區(qū)間中，為最高點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)為，
軸右側(cè)第一個(gè)最低點(diǎn)為，對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)為，
故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為
故選：B
4-4．（2024高一下·四川涼山·期中）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，由正切函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，列出不等式，求解即可得到結(jié)果.
【詳解】令，解得，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.
故選：C
（五）
函數(shù)的對(duì)稱性（對(duì)稱軸、對(duì)稱中心）
關(guān)于三角函數(shù)對(duì)稱的幾個(gè)重要結(jié)論；
（1）函數(shù)的對(duì)稱軸為，對(duì)稱中心為；
（2）函數(shù)的對(duì)稱軸為，對(duì)稱中心為；
（3）函數(shù)函數(shù)無對(duì)稱軸，對(duì)稱中心為；
（4）求函數(shù)的對(duì)稱軸的方法；令，得；對(duì)稱中心的求取方法；令，得
，即對(duì)稱中心為．
（5）求函數(shù)的對(duì)稱軸的方法；令得，即對(duì)稱中心為
題型5：函數(shù)的對(duì)稱性（對(duì)稱軸、對(duì)稱中心）
5-1．（2024高三·全國(guó)·課后作業(yè)）函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心的坐標(biāo)是 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根據(jù)正切型函數(shù)的對(duì)稱中心可直接求出答案.
【詳解】令，解得,則圖象的對(duì)稱中心的坐標(biāo)是．
當(dāng)時(shí)，，則是圖像的一個(gè)對(duì)稱中心．
故答案為：（答案不唯一）.
5-2．（2024·新疆喀什·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度之后關(guān)于對(duì)稱，則的最小值為 .
【答案】1
【分析】先求平移后的解析式，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.
【詳解】向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得，
因?yàn)楹瘮?shù)關(guān)于對(duì)稱，
所以，,
，，
所以的最小值為1.
故答案為：1
5-3．（2024·山東濟(jì)南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的最小正周期為，則的圖象關(guān)于（ ）
A．對(duì)稱B．對(duì)稱C．對(duì)稱D．對(duì)稱
【答案】B
【分析】先通過最小正周期求出，再根據(jù)三角函數(shù)圖像的性質(zhì)判斷對(duì)稱軸與對(duì)稱中心即可.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為，
由得，，即，
，故不是對(duì)稱軸，也不是對(duì)稱中心；
，故是對(duì)稱軸，不是對(duì)稱中心.
故選：B
5-4．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)，若，且直線為圖象的一條對(duì)稱軸，則的最小值為 ．
【答案】5
【分析】根據(jù)，可求得，再根據(jù)直線為圖象的一條對(duì)稱軸，結(jié)合正弦函數(shù)的對(duì)稱性即可求得.
【詳解】由，得，
又，解得，所以，
又直線為圖象的一條對(duì)稱軸，
則有，，化簡(jiǎn)得，，
又，故的最小值為5．
故答案為：.
5-5．（2024·貴州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，則的對(duì)稱中心為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象結(jié)合五點(diǎn)法求出，再令，即可求出的對(duì)稱中心.
【詳解】由題意可得：，可得，
所以，因?yàn)椋?br>所以，可得，所以，
由，可得，因?yàn)椋?br>所以，，所以.
令，可得，
所以對(duì)稱中心為，
故選：A.
5-6．（2024高三下·上海寶山·階段練習(xí)）已知，函數(shù)，的最小正周期為，將的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖像關(guān)于軸對(duì)稱，則的值是 ．
【答案】/
【分析】由周期求出，即可求出的解析式，再根據(jù)三角函數(shù)的變換規(guī)則得到平移后的解析式，最后根據(jù)對(duì)稱性得到的值.
【詳解】，函數(shù)的最小正周期為，，．
將的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得的圖像，
根據(jù)所得圖像關(guān)于軸對(duì)稱，可得，，解得，，
又，則令，可得的值為．
故答案為：．
5-7．（2024·上海徐匯·三模）已知函數(shù)的對(duì)稱中心為，若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象共有6個(gè)交點(diǎn)，分別為，，…，，則 .
【答案】6
【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合函數(shù)圖象的對(duì)稱性，確定6個(gè)交點(diǎn)的關(guān)系即可求解作答.
【詳解】顯然函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，
依題意，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，
于是，所以.
故答案為：6
（六）
函數(shù)的定義域、值域（最值）
求三角函數(shù)的最值，通常要利用正、余弦函數(shù)的有界性，一般是通過三角變換化歸為下列基本類型處理．
（1），設(shè)，化為一次函數(shù)在上的最值求解．
（2），引入輔助角，化為，求解方法同類型（1）
（3），設(shè)，化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值求解，也可以是或型．
（4），設(shè)，則，故，故原函數(shù)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值求解．
（5）與，根據(jù)正弦函數(shù)的有界性，即可用分析法求最值，也可用不等式法求最值，更可用數(shù)形結(jié)合法求最值．這里需要注意的是化為關(guān)于或的函數(shù)求解釋務(wù)必注意或的范圍．
（6）導(dǎo)數(shù)法
（7）權(quán)方和不等式
題型6：函數(shù)的定義域、值域（最值）
6-1．（2024高一下·上海靜安·期末）函數(shù)的定義域?yàn)? ．
【答案】
【分析】定義域滿足 .
【詳解】的定義域滿足 ，即 .
故答案為：.
6-2．（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的最大值為M，最小值為m，則的值為（ ）
A．0B．2C．4D．6
【答案】B
【分析】依題意可得，令，，即可得到是奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；
【詳解】解:，令，，于是
，所以是奇函數(shù)，從而的最大值G與最小值g的和為0，而.
故選：B
6-3．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）函數(shù)對(duì)于，都有，則的最小值為（ ）.
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，分別是取得最小值和最大值時(shí)對(duì)應(yīng)自變量的取值，結(jié)合函數(shù)周期即可容易求得結(jié)果.
【詳解】∵恒成立，
∴是函數(shù)的最小值，是函數(shù)的最大值，
即、是函數(shù)的兩條對(duì)稱軸，則的最小值為.
故選：C.
【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)函數(shù)周期性求值，屬基礎(chǔ)題；注意對(duì)題干的理解.
6-4．（2024·河北邯鄲·一模）已知函數(shù)，如果存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意的實(shí)數(shù)，都有成立，則的最小值為
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】試題分析： 因?yàn)?，設(shè)的最小正周期為，則，所以的最小值為，故選C.
考點(diǎn)：三角函數(shù)的周期和最值．
6-5．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）實(shí)數(shù)滿足，則的范圍是 .
【答案】
【分析】由題可得，故由三角換元可得答案.
【詳解】.故令，.
則原式，故.
故答案為：.
6-6．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）設(shè)，則的最小值為 .
【答案】
【分析】利用換元法求解，設(shè)把轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的知識(shí)可得答案.
【詳解】設(shè)，由，得，
又由，得，
所以，
令，，
當(dāng)時(shí)，時(shí)，即當(dāng)時(shí)，
原函數(shù)取到最小值.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】此題屬于局部換元法，設(shè)后，抓住與的內(nèi)在聯(lián)系，將三角函數(shù)的值域問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域問題，使得容易求解.換元過程中一定要注意新的參數(shù)的范圍（）與對(duì)應(yīng)，否則將會(huì)出錯(cuò).本題解法中還包含了含參問題時(shí)分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，即由對(duì)稱軸與閉區(qū)間的位置關(guān)系而確定參數(shù)分兩種情況進(jìn)行討論.
一般地，在遇到題目已知和未知中含有與的和、差、積等而求三角式的最大值和最小值的題型時(shí)，即函數(shù)為，經(jīng)常用到這樣設(shè)元的換元法，轉(zhuǎn)化為在閉區(qū)間上的二次函數(shù)或一次函數(shù)的研究.
6-7．（2024高一·全國(guó)·單元測(cè)試）函數(shù)的值域?yàn)? ．
【答案】
【分析】利用通過換元將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為含未知量的函數(shù)，再解出函數(shù)的值域即為函數(shù)的值域.
【詳解】令，，
則，即，
所以，
又因?yàn)椋裕?br>即函數(shù)的值域?yàn)椋?br>故答案為：.
（七）
三角函數(shù)性質(zhì)的綜合
三角函數(shù)的性質(zhì)（如奇偶性、周期性、單調(diào)性、對(duì)稱性）中，尤為重要的是對(duì)稱性．
因?yàn)閷?duì)稱性奇偶性（若函數(shù)圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)為奇函數(shù)；若函數(shù)圖像關(guān)于軸對(duì)稱，則函數(shù)為偶函數(shù)）；對(duì)稱性周期性（相鄰的兩條對(duì)稱軸之間的距離是；相鄰的對(duì)稱中心之間的距離為；相鄰的對(duì)稱軸與對(duì)稱中心之間的距離為）；對(duì)稱性單調(diào)性（在相鄰的對(duì)稱軸之間，函數(shù)單調(diào)，特殊的，若，函數(shù)在上單調(diào)，且，設(shè)，則深刻體現(xiàn)了三角函數(shù)的單調(diào)性與周期性、對(duì)稱性之間的緊密聯(lián)系）
題型7：三角函數(shù)性質(zhì)的綜合
7-1．（2024·河北石家莊·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A．的值域?yàn)?br>B．的單調(diào)遞減區(qū)間為
C．為奇函數(shù)，
D．不等式的解集為
【答案】D
【分析】首先化簡(jiǎn)函數(shù)，再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷選項(xiàng).
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，所以，故選項(xiàng)A正確；
由得，
所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，故選項(xiàng)B正確；
所以，
所以為奇函數(shù)，故選項(xiàng)C正確；
由得，
即
所以，
所以不等式的解集為，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.
故選：D.
7-2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（ ）

A．
B．
C．不等式的解集為
D．將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后所得函數(shù)的圖象在上單調(diào)遞增
【答案】C
【分析】由圖象求出的表達(dá)式后逐一驗(yàn)證選項(xiàng)即可.
【詳解】由函數(shù)圖象可知，最小正周期為，所以，
將點(diǎn)代入，得，
又，所以，故，故A錯(cuò)誤；
所以，故B錯(cuò)誤；
令，則，所以，，解得，，
所以不等式的解集為，故C正確；
將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的圖象，令，，
解得，，
令得，因?yàn)椋蔇錯(cuò)誤.
故選：C.
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