1、角的概念
（1）任意角：①定義：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形；
②分類：角按旋轉(zhuǎn)方向分為正角、負(fù)角和零角．
（2）所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，構(gòu)成的角的集合是．
（3）象限角：使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限，就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限．
（4）象限角的集合表示方法：
2、弧度制
（1）定義：把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，用符號(hào)rad表示，讀作弧度．正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0．
（2）角度制和弧度制的互化：，，．
（3）扇形的弧長(zhǎng)公式：，扇形的面積公式：．
3、任意角的三角函數(shù)
（1）定義：任意角的終邊與單位圓交于點(diǎn)時(shí)，則，，．
（2）推廣：三角函數(shù)坐標(biāo)法定義中，若取點(diǎn)P是角終邊上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，則，，
三角函數(shù)的性質(zhì)如下表：
記憶口訣：三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)規(guī)律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
一、單選題
1．（2024·全國(guó)）沈括的《夢(mèng)溪筆談》是中國(guó)古代科技史上的杰作，其中收錄了計(jì)算圓弧長(zhǎng)度的“會(huì)圓術(shù)”，如圖，是以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓弧，C是AB的中點(diǎn)，D在上，．“會(huì)圓術(shù)”給出的弧長(zhǎng)的近似值s的計(jì)算公式：．當(dāng)時(shí)，（ ）
A．B．C．D．
2．（2024高三上·安徽合肥·階段練習(xí)）已知扇形的圓心角弧度為2，所對(duì)弦長(zhǎng)為6，則該扇形的面積為（ ）
A．B．C．D．
3．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，以軸的非負(fù)半軸為始邊，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則下列各式的值恒大于0的有（ ）個(gè)．
①；②；③；④．
A．0B．1C．2D．3
4．（2024·新疆·一模）已知集合，則集合的元素個(gè)數(shù)為（ ）
A．3B．2C．4D．5
5．（2024高三上·浙江·階段練習(xí)）我國(guó)魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)造性的提出了“割圓術(shù)”，劉徽認(rèn)為圓的內(nèi)接正邊形隨著邊數(shù)的無(wú)限增大，圓的內(nèi)接正邊形的周長(zhǎng)就無(wú)限接近圓的周長(zhǎng)，并由此求得圓周率的近似值．如圖當(dāng)時(shí)，圓內(nèi)接正六邊形的周長(zhǎng)為，故，即．運(yùn)用“割圓術(shù)”的思想，下列估算正確的是（ ）

A．時(shí)，B．時(shí)，
C．時(shí)，D．時(shí)，
6．（2024高三上·河北邢臺(tái)·期末）已知銳角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊在軸非負(fù)半軸，現(xiàn)將角的終邊繞原點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)后，交以原點(diǎn)為圓心的單位圓于點(diǎn)，則的值為（ ）
A．B．C．D．
7．（2024高三上·遼寧·階段練習(xí)）2023年8月8日，第31屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動(dòng)會(huì)（成都世界大學(xué)生運(yùn)動(dòng)會(huì)）完美收官．在倒計(jì)時(shí)100天時(shí)，成都大運(yùn)會(huì)發(fā)布了官方體育圖標(biāo)——“十八墨寶”．這組“水墨熊貓”以大熊貓“奇一”為原型，將中國(guó)體育與中國(guó)書畫、中國(guó)國(guó)寶的融合做到了極致．“十八般武藝”造就“十八墨寶”，花式演繹十八項(xiàng)體育競(jìng)技，代表了體操、游泳、羽毛球等18個(gè)成都大運(yùn)會(huì)競(jìng)賽項(xiàng)目，深受廣大人民喜愛(ài)．其中，射箭的水墨熊貓以真實(shí)的射箭運(yùn)動(dòng)為原型，拉滿弓箭時(shí)，弓臂為圓弧形，弧中點(diǎn)到弦中點(diǎn)的距離為2cm，弦長(zhǎng)為8cm，則弓形的面積約為（參考數(shù)據(jù)：，）（ ）
A．B．C．D．
8．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）集合中的角所表示的范圍(陰影部分)是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）月牙泉，古稱沙井，俗名藥泉，自漢朝起即為“敦煌八景”之一，得名“月泉曉澈”，因其形酷似一彎新月而得名．如圖所示，某月牙泉模型的邊緣都可以看作是圓弧，兩段圓弧可以看成是的外接圓和以AB為直徑的圓的一部分，若，AB的長(zhǎng)約為，則該月牙泉模型的面積約為（ ）
A．B．
C．D．
10．（2024高三上·重慶·階段練習(xí)）“萊洛三角形”是機(jī)械學(xué)家萊洛研究發(fā)現(xiàn)的一種曲邊三角形，它在很多特殊領(lǐng)域發(fā)揮了超常的貢獻(xiàn)值．“萊洛三角形”是分別以正三角形的頂點(diǎn)為圓心，以其邊長(zhǎng)為半徑作圓弧，由這三段圓弧組成的曲邊三角形（如圖所示）．現(xiàn)以邊長(zhǎng)為4的正三角形作一個(gè)“萊洛三角形”，則此“萊洛三角形”的面積為（ ）

A．B．C．D．
11．（2024高三上·河北承德·期中）甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為，圓錐的高分別為和，側(cè)面積分別為和，若，則（ ）
A．2B．C．D．
12．（2024高三上·安徽·期中）扇子是引風(fēng)用品，夏令必備之物.我國(guó)傳統(tǒng)扇文化源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，是中華文化的一個(gè)組成部分.歷史上最早的扇子是一種禮儀工具，后來(lái)慢慢演變?yōu)榧{涼、娛樂(lè)、觀賞的生活用品和工藝品.扇子的種類較多，受大眾喜愛(ài)的有團(tuán)扇和折扇.如圖1是一把折扇，是用竹木做扇骨，用特殊紙或綾絹?zhàn)錾让娑瞥傻?完全打開后的折扇為扇形（如圖2），若圖2中，，分別在，上，，的長(zhǎng)為，則該折扇的扇面的面積為（ ）
圖1 圖2
A．B．C．D．
13．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）已知兩圓錐的底面積分別為、，其側(cè)面展開圖中圓心角之和為，則兩圓錐的母線長(zhǎng)之和的最小值為（ ）
A．B．C．D．
14．（2024高三上·河南·期中）已知一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)圓心角為的扇形，若該圓錐底面圓的半徑為1，則該圓錐的體積為（ ）
A．B．C．D．
15．（2024高三上·福建·期中）如圖是杭州2023年第19屆亞運(yùn)會(huì)會(huì)徽，名為“潮涌”，主體圖形由扇面、錢塘江、錢江潮頭、賽道、互聯(lián)網(wǎng)符號(hào)及象征亞奧理事會(huì)的太陽(yáng)圖形六個(gè)元素組成，集古典美和現(xiàn)代美于一體，富有東方神韻和時(shí)代氣息.其中扇面的圓心角為，從里到外半徑以1遞增，若這些扇形的弧長(zhǎng)之和為（扇形視為連續(xù)弧長(zhǎng)，中間沒(méi)有斷開），則最小扇形的半徑為（ ）

A．6B．8C．9D．12
16．（2024高三上·安徽合肥·階段練習(xí)）若扇形的周長(zhǎng)等于40cm，則扇形面積的最大值是（ ）cm2.
A．400B．200C．100D．50
17．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）甲、乙兩個(gè)圓錐的底面半徑相等，均為，側(cè)面展開圖的圓心角之和為，表面積之和為．則底面半徑的最大值為（ ）
A．B．C．D．
18．（2024高一下·河北張家口·期中）如圖，已知扇形的周長(zhǎng)為，當(dāng)該扇形的面積取最大值時(shí)，弦長(zhǎng)（ ）

A．B．C．D．
19．（2024高三上·廣東·學(xué)業(yè)考試）已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸的正半軸，終邊過(guò)點(diǎn)（3，4)，則角的正切值為（ ）
A．B．C．D．
20．（2024高三上·重慶渝北·階段練習(xí)）已知角終邊上有一點(diǎn)，則是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
21．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊過(guò)點(diǎn)，則的值為（ ）
A．B．C．D．
22．（2024·遼寧·一模）已知角的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的最小正值為（ ）
A．B．C．D．
23．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）若角α是第二象限角，則角2α的終邊不可能在( )
A．第一、二象限B．第二、三象限
C．第三、四象限D(zhuǎn)．第一、四象限
24．（2024高三上·湖北黃岡·期中）若角滿足＝(k∈Z)，則的終邊一定在( )
A．第一象限或第二象限或第三象限
B．第一象限或第二象限或第四象限
C．第一象限或第二象限或x軸非正半軸上
D．第一象限或第二象限或y軸非正半軸上
25．（2024高一下·河南焦作·期中）已知角的終邊與的終邊重合，則的終邊不可能在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
26．（2024高一下·陜西榆林·階段練習(xí)）若角是第一象限角，則是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角
C．第一或第三象限角D．第二或第四象限角
27．（2024高一下·陜西渭南·階段練習(xí)）已知點(diǎn)是第二象限的點(diǎn)，則的終邊位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
28．（2024高三上·河南許昌·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)位于第（ ）象限
A．一B．二C．三D．四
29．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知是第二象限角，則點(diǎn)（，）所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
30．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知是第二象限角，則點(diǎn)所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
31．（2024高三下·江西·階段練習(xí)）已知點(diǎn)是角終邊上一點(diǎn)，若，則（ ）
A．B．C．D．
32．（2024高一·全國(guó)·課后作業(yè)）設(shè)，角的終邊與圓的交點(diǎn)為，那么（ ）
A．B．C．D．
33．（2024·北京豐臺(tái)·三模）已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，將繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．1
34．（2024高三·全國(guó)·對(duì)口高考）如果點(diǎn)P在角的終邊上，且，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是（ ）
A．B．C．D．
35．（2024高三下·湖南邵陽(yáng)·學(xué)業(yè)考試）已知 是角終邊上的一點(diǎn)，則（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
36．（2024高二下·廣東·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后到達(dá)點(diǎn)，若，則可以?。? ）
A．B．C．D．
37．（2024高三上·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）已知角的終邊落在第二象限，則下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
三、填空題
38．（2024高三·全國(guó)·對(duì)口高考）①若角與角的終邊相同，則與的數(shù)量關(guān)系為 ；②若角與角的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱，則與的數(shù)量關(guān)系為 ；③若角與角的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，則與的數(shù)量關(guān)系為 ；④若角與角的終邊在一條直線上，則與的數(shù)量關(guān)系為 ；⑤如果是第一象限的角，那么是第 象限的角.
39．（2024·山東）某中學(xué)開展勞動(dòng)實(shí)習(xí)，學(xué)生加工制作零件，零件的截面如圖所示．O為圓孔及輪廓圓弧AB所在圓的圓心，A是圓弧AB與直線AG的切點(diǎn)，B是圓弧AB與直線BC的切點(diǎn)，四邊形DEFG為矩形，BC⊥DG，垂足為C，tan∠ODC=，，EF=12 cm，DE=2 cm，A到直線DE和EF的距離均為7 cm，圓孔半徑為1 cm，則圖中陰影部分的面積為 cm2．
40．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知直線與圓交于，兩點(diǎn)，則劣弧所對(duì)應(yīng)的扇形的面積為 ．
41．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知扇形的周長(zhǎng)為40，則當(dāng)扇形的面積最大時(shí)，它的半徑和圓心角分別為 .
42．（2024·北京）若點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱點(diǎn)為，寫出的一個(gè)取值為 ．
43．（2024高三上·北京順義·期中）已知命題：若為第一象限角，且，則.能說(shuō)明命題為假命題的一組的值可以是 ， .
44．（2024高三上·重慶·階段練習(xí)）若扇形的半徑為2，面積為，則扇形的周長(zhǎng)為 ．
45．（2024高一·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)P，Q從點(diǎn)出發(fā)在單位圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P按逆時(shí)針?lè)较蛎棵腌娹D(zhuǎn)弧度，點(diǎn)Q按順時(shí)針?lè)较蛎棵腌娹D(zhuǎn)弧度，則P，Q兩點(diǎn)在第2019次相遇時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為 .
四、解答題
46．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知一扇形的圓心角為α，半徑為R，弧長(zhǎng)為l.
(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧長(zhǎng)l；
(2)已知扇形的周長(zhǎng)為10 cm，面積是4 cm2，求扇形的圓心角；
(3)若扇形周長(zhǎng)為20 cm，當(dāng)扇形的圓心角α為多少弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大？
47．（2024高一·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，點(diǎn)是圓上的點(diǎn).
(1)若，，求劣弧的長(zhǎng)；
(2)已知扇形的周長(zhǎng)為，求這個(gè)扇形的面積取得最大值時(shí)圓心角的大小.
48．（2024高一下·江西贛州·階段練習(xí)）已知一扇形的圓心角為，半徑為，弧長(zhǎng)為．
(1)已知扇形的周長(zhǎng)為，面積是，求扇形的圓心角；
(2)若扇形周長(zhǎng)為，當(dāng)扇形的圓心角為多少弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大？并求此扇形的最大面積．
49．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知角終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且．求的值．
三角函數(shù)
定義域
第一象限符號(hào)
第二象限符號(hào)
第三象限符號(hào)
第四象限符號(hào)
＋
＋
－
－
＋
－
－
＋
＋
－
＋
－
（一）
終邊相同的角
（1）終邊相同的角的集合的表示與識(shí)別可用列舉歸納法和雙向等差數(shù)列的方法解決．
（2）注意正角、第一象限角和銳角的聯(lián)系與區(qū)別，正角可以是任一象限角，也可以是坐標(biāo)軸角；銳角是正角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐標(biāo)軸角．
題型1：終邊相同的角
1-1．（2024高二上·安徽合肥·學(xué)業(yè)考試）下列各角中與角的終邊相同的是（ ）
A．B．C．D．
1-2．（2024高一·全國(guó)·課后作業(yè)）下列與角的終邊相同的角的表達(dá)式中正確的是（ ）
A．B．
C．D．
1-3．（2024·山東）終邊在軸的正半軸上的角的集合是（ ）
A．B．
C．D．
1-4．（2024高一·全國(guó)·專題練習(xí)）若角的終邊與角的終邊相同，則在內(nèi)與角的終邊相同的角是 .
（二）
角的象限問(wèn)題
圖象法
在平面直角坐標(biāo)系中，作出已知角并根據(jù)象限角的定義直接判斷已知角是第幾象限角
轉(zhuǎn)化法
先將已知角化為k·360°＋α(0°≤α

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專題26 數(shù)列的概念6題型分類-備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)一輪專題復(fù)習(xí)全套考點(diǎn)突破和專題檢測(cè)（解析版）

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