注意事項：
1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.
2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版必修第一、二冊，選擇性必修第一冊第一章至第二章.
一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 直線的傾斜角為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】直線的斜率為，傾斜角為.
故選：C.
2. （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】.
故選：D.
3. 已知集合，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因為，所以
故選：C.
4. 已知直線與.若，則（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】B
【解析】由于，所以，
此時兩直線方程分別為，
不重合，符合題意，所以.
故選：B.
5. 已知向量，，.若，，共面，則（ ）
A. 11B. C. 9D. 3
【答案】A
【解析】依題意，，，共面，
所以存在，使得，
即，
所以，解得.
故選：A.
6. 直線截圓所得的弦長為（ ）
A. B. 1C. 4D. 2
【答案】D
【解析】根據(jù)題意可得圓心，圓的半徑為3，
點到直線的距離，故所求弦長為.
故選：D.
7. 芻甍是中國古代算數(shù)中的一種幾何體，是底面為矩形的屋脊狀的楔體.現(xiàn)有一個芻甍如圖所示，底面 BCDE為矩形，平面BCDE，和是全等的正三角形，，，，則異面直線AE與BD所成角的余弦值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】依題意得，，
所以
，
又，，
所以設(shè)異面直線AE與BD所成的角為，
則
故選：A
8. 已知，，若直線上存在點P，使得，則t的取值范圍為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】設(shè)，則，，
因為，所以，
即，所以點在以為圓心，4為半徑的圓上.
點在直線上，
所以直線與圓有公共點，
則，解得
故選:B.
二、選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 已知直線過定點則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. P的坐標為
B. 當時，l在y軸上的截距為
C. 若l與直線垂直，則
D. 點P在圓的外部
【答案】ABD
【解析】對于A，由題意得直線，
即，
由，解得，故A正確；
對于B，當時，直線l為，令x=0，，
所以在y軸上的截距為，故B正確；
對于C，由，解得，故C錯誤；
對于D，因為，所以點P在圓的外部，故D正確.
故選：ABD.
10. 已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，其中，，則（ ）
A. B.
C. 在上單調(diào)遞增D. 在上恰有10個零點
【答案】ABD
【解析】由圖可知，，，即，
又，則，故A正確；此時，
又，且，
則，故B正確；
此時，
當時，，
因為函數(shù)在上不單調(diào)，
所以在上不單調(diào)，故C錯誤；
當時，，
因為函數(shù)在上有10個零點，
所以在上恰有10個零點，故D正確.
故選：ABD.
11. 若平面，平面，平面，則稱點F為點E在平面內(nèi)的正投影，記為如圖，在直四棱柱中，，， 分別為，的中點，，記平面為，平面ABCD為，，（ ）

A. 若，則
B. 存在點H，使得平面
C. 線段長度的最小值是
D. 存在點H，使得
【答案】ABC
【解析】對于A：因為為直四棱柱，，所以以A為坐標原點，AD，AB，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，如圖所示，連接PQ，

則，，，，，
故，，
所以，即Q，B，N，P四點共面，
若，則，解得，A正確；
對于B：過點H作，交于點G，過點G作AB的垂線，垂足即，
過點A作的垂線，垂足即，連接，，由題意可得，
則，，，，
故，，，，
易得是平面的一個法向量，若平面，
則，即，
解得，符合題意，
所以存在點H，使得平面，B正確，
對于C：，
當時，取得最小值，最小值為，C正確.
對于D：若，則，
得，無解，所以不存在點H，使得，D錯誤.
故選：ABC.
三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知圓，則圓的半徑為_____________.
【答案】4
【解析】根據(jù)題意圓，可得圓的半徑為.
故答案為：4
13. 某校高三年級男生共600人，女生共400人，現(xiàn)按性別進行分層，用分層隨機抽樣的方法從高三年級所有學生中抽取5人組成某活動志愿者小隊，則被抽取的女生人數(shù)為_____________.若從被抽取的這5人中抽取2人作為志愿者小隊隊長，則恰有1個男隊長的概率為_____________.
【答案】①2 ②
【解析】根據(jù)題意易得被抽取的這5人中女生的人數(shù)為，則男生的人數(shù)為3，女生人數(shù)為2，
設(shè)被抽取的這5人中男生分別為A，B，C，女生分別為a，b，
則從被抽取的這5人中抽取2人的所有情況有
，，共10種情況，
其中恰有1個男隊長的情況有6種，故所求概率為.
故答案為：2；.
14. 已知球是棱長為的正四面體的內(nèi)切球，是球的一條直徑，為該正四面體表面上的動點，則的最大值為______.
【答案】
【解析】如下圖所示：
正四面體的棱長為，設(shè)其內(nèi)切球球心為點，
連接并延長交底面于點，
則為正的中心，且平面，
連接并延長交于點，則為的中點，且，
，，
因為平面，平面，則，
可得，
的面積為，
正四面體的體積為，
設(shè)正四面體的內(nèi)切球的半徑為，
則，
即，解得，
可得，
因為，，
可得，
當點位于正四面體的頂點時，取最大值，
所以.
故答案為：.
四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知的內(nèi)角的對邊分別為且.
（1）求的大小;
（2）求的面積.
解：（1）由及正弦定理可得，因為，所以，
所以，
因為，所以.
（2）由題意可得的面積為.
16. 已知在中，.
（1）求直線AB的方程;
（2）求外接圓的標準方程;
（3）過點B作的外接圓的切線，求該切線方程.
解：（1）由已知可得，
所以直線AB的方程為，即.
（2）設(shè)的外接圓的標準方程為，
則
解得
故的外接圓的標準方程為.
（3）由（2）得外接圓的圓心為.
因為，所以切線的斜率為，
故所求切線方程為，即.
17. 如圖，四邊形ABCD是正方形，AE，DF，BG都垂直于平面ABCD，且，，，M，N分別是EG，BC的中點.

（1）證明：平面ABCD.
（2）若，求點N到平面AMF的距離.
解：（1）因為，，都垂直于平面，則.
取的中點，連接，，
則，且，
所以且，所以四邊形為平行四邊形，
可得，
且平面，平面，
所以平面.
（2）連接.
以為坐標原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則A2,0,0，，，，
可得，，.
設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，則，
取，得，，可得.
故點到平面的距離.
18. 如圖，在四棱臺中，底面ABCD是正方形，，平面
（1）證明：平面
（2）求直線與平面所成角的正弦值.
（3）棱BC上是否存在一點P，使得二面角余弦值為若存在，求線段BP的長;若不存在，請說明理由.
解：（1）因為底面ABCD是正方形，
所以
又因為平面ABCD，平面ABCD，所以
因為，且，平面，
所以平面
（2）因為平面，平面，
所以，，
又底面ABCD是正方形，，故AB，AD，兩兩垂直，
以AB，AD，所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，，，，，
所以，，
設(shè)平面的法向量為，
則，
解得，令，則，
故
設(shè)直線與平面所成的角為，
則，
故直線與平面所成角的正弦值為
（3）若存在點P滿足題意，則可設(shè)點，其中，
則，
設(shè)平面的法向量為，
則，
令，則，故
易得平面的一個法向量為，
所以，解得或舍去)，
故棱BC上存在一點P，當時，二面角的余弦值為
19. 古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯，與歐幾里得、阿基米德并稱古希臘三大數(shù)學家.他的著作《圓錐曲線論》是古代數(shù)學光輝的科學成果，其中一發(fā)現(xiàn)可表述為“平面內(nèi)到兩個定點，的距離之比為定值的點的軌跡是圓”.后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.如平面內(nèi)動點到兩個定點，的距離之比為定值2，則點的軌跡就是阿氏圓，記為.
（1）求的方程；
（2）若與軸分別交于E，F(xiàn)兩點，不在軸上的點是直線上的動點，直線HE，HF與的另一個交點分別為，，證明直線MN經(jīng)過定點，并求出該定點的坐標.
解：（1）設(shè)，根據(jù)，得，
即，所以的方程為.
（2）根據(jù)圓的對稱性，不妨設(shè).
設(shè)，則，
所以直線HE的方程為，直線HF的方程為.
設(shè).
聯(lián)立方程
得，
所以，即，則，所以.
聯(lián)立方程得，
所以，即，則，所以.
當時，，
所以直線MN的方程為，化簡得，
所以直線MN過定點;
當時，，此時直線MN過定點.
綜上，直線MN過定點.

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