一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 直線的傾斜角為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因?yàn)樵撝本€的斜率為，
所以它的傾斜角為.
故選：A.
2. 如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為1，以D為原點(diǎn)，以為單位正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系，則平面的一個(gè)法向量是（ ）
A. 1,1,1B.
C. D.
【答案】A
【解析】由題意，，，，
，，
設(shè)是平面的一個(gè)法向量，
則有，令，得，，
.
故選：A.
3. 已知向量，，向量在向量上的投影向量為 （ ）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由題意可知，，
所以向量在向量上的投影向量為.
故選：A
4. 圓的圓心和半徑分別是（ ）
A. ，1B. ，3
C. ，2D. ，2
【答案】C
【解析】由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，得圓心為，半徑為2.
故選：C.
5. 將直線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到直線，則的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】直線的方程為，其斜率為，
設(shè)直線的斜率為，，
．
由題意可知，，，
的方程為：，即．故選：B
6. 空間中有三點(diǎn)，，，則點(diǎn)P到直線MN的距離為（ ）
A. B. C. 3D.
【答案】A
【解析】因?yàn)?，所以的一個(gè)單位方向向量為.
因?yàn)?，故?
所以點(diǎn)到直線的距離為.
故選：A
7. 古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名，他發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)、的距離之比為定值的點(diǎn)所形成的圖形是圓，后來，人們將這個(gè)圓以他的名字命名,稱為阿波羅尼斯圓,簡(jiǎn)稱阿氏圓.已知在平面直角坐標(biāo)系中,，.點(diǎn)滿足，設(shè)點(diǎn)所構(gòu)成的曲線為，下列結(jié)論不正確的是（ ）
A. 的方程為
B. 在上存在點(diǎn)，使得到點(diǎn)的距離為3
C. 在上存在點(diǎn)，使得
D. 上的點(diǎn)到直線的最小距離為1
【答案】C
【解析】對(duì)A：設(shè)點(diǎn)Px,y，
∵，則，整理得，
故C的方程為，故A正確；
對(duì)B：的圓心，半徑為，
∵點(diǎn)到圓心的距離，
則圓上一點(diǎn)到點(diǎn)的距離的取值范圍為，
而，故在C上存在點(diǎn)D，使得D到點(diǎn)的距離為9，故B正確；
對(duì)C：設(shè)點(diǎn)Mx,y，∵，則，
整理得，
∴點(diǎn)M的軌跡方程為，是以為圓心，半徑的圓，
又，則兩圓內(nèi)含，沒有公共點(diǎn)，
∴在C上不存在點(diǎn)M，使得，C不正確；
對(duì)D：∵圓心到直線的距離為，
∴C上的點(diǎn)到直線的最小距離為，故D正確；
故選：C.
8. 已知，是直線上兩動(dòng)點(diǎn)，且，點(diǎn)，，則的最小值為（ ）
A. B. C. D. 12
【答案】A
【解析】不妨設(shè)點(diǎn)在點(diǎn)的左邊，因直線的傾斜角為，
且，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，
則，
記，
則可將理解為點(diǎn)到的距離之和，
即點(diǎn)到直線的距離之和，依題即需求距離之和的最小值.
如圖，作出點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn),則，
連接，交直線于點(diǎn),則即的最小值，
且,
故的最小值為.
故選：A.
二、多選題：本題共3小題，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 已知，若過定點(diǎn)的動(dòng)直線：和過定點(diǎn)的動(dòng)直線：交于點(diǎn)（與，不重合），則以下說法正確的是（ ）
A. 點(diǎn)的坐標(biāo)為2,1B.
C. D. 的最大值為5
【答案】ABC
【解析】因?yàn)榭梢赞D(zhuǎn)化為，
故直線恒過定點(diǎn)，故A選項(xiàng)正確；
又因?yàn)椋?，即恒過定點(diǎn)，
由 和, 滿足，
所以, 可得, 故B選項(xiàng)正確；
所以, 故C選項(xiàng)正確；
因?yàn)? 設(shè)為銳角,
則, ，
所以,
所以當(dāng)時(shí), 取最大值, 故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.
故選：ABC.
10 已知圓：，直線：（），則（ ）
A. 直線l恒過定點(diǎn)
B. 當(dāng)時(shí)，圓上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1
C. 直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)
D. 圓與圓恰有三條公切線
【答案】ACD
【解析】對(duì)于A，直線 ，所以，
令，解得，所以直線恒過定點(diǎn)，故A正確；
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，直線為：，
則圓心到直線的距離為，，
所以圓上只有2個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，因?yàn)橹本€過定點(diǎn)，所以，
所以定點(diǎn)在圓內(nèi)，則直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，故C正確；
對(duì)于D，由圓的方程可得，，
所以圓心為，半徑為，
此時(shí)兩圓圓心距為，
所以兩圓位置關(guān)系為外切，則兩圓恰有三條公切線，故D正確.
故選：ACD.
11. 如圖,在平行六面體中,已知,，E為棱上一點(diǎn)，且，則（ ）
A.
B. 直線與所成角的余弦值為
C. 平面
D. 直線與平面所成角為
【答案】ABD
【解析】不妨設(shè)則.
對(duì)于A，因,
故
，故，故A正確；
對(duì)于B，因，,則，
，
設(shè)直線與所成角為，則故B正確；
對(duì)于C，因
，
即與不垂直，故不與平面垂直，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，因，,
因，，
則有因平面，故平面，
即平面的法向量可取為，又，
設(shè)直線與平面所成角為，
因，，，
則，因，故，故D正確.
故選：ABD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 已知空間向量，，，若，，共面，則的最小值為__________．
【答案】
【解析】因?yàn)椋?，共面?br>所以，
即，
即，解得，
所以，
所以，
所以最小值為，
故答案為：.
13. 費(fèi)馬點(diǎn)是指三角形內(nèi)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)，當(dāng)三角形三個(gè)內(nèi)角均小于時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)與三個(gè)頂點(diǎn)連線正好三等分費(fèi)馬點(diǎn)所在的周角，即該點(diǎn)所對(duì)三角形三邊的張角相等，均為，根據(jù)以上性質(zhì)，已知，為 內(nèi)一點(diǎn)，記，則的最小值為______.
【答案】
【解析】設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，由，
可得，且為銳角三角形，
所以費(fèi)馬點(diǎn)在線段上，如圖所示，設(shè)，
則為頂角是的等腰三角形，可得，
又由，
則，
所以的最小值為.
故答案為：.
14. 已知正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為，高為2，點(diǎn)是其表面上的動(dòng)點(diǎn)，該棱柱內(nèi)切球的一條直徑是，則的取值范圍是__________.
【答案】
【解析】因?yàn)檎庵牡走呴L(zhǎng)為，如圖，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，
所以，得到，又正三棱柱的高為2，
所以棱柱的內(nèi)切球的半徑為，與上下底面有兩個(gè)切點(diǎn)且切點(diǎn)為上下底面的中心，
又是該棱柱內(nèi)切球的一條直徑，如圖，取上下底面的兩個(gè)切點(diǎn)，設(shè)為，
則
，
又點(diǎn)是正三棱柱表面上的動(dòng)點(diǎn)，
當(dāng)與（或）重合時(shí)，的值最小，此時(shí)，
由對(duì)稱性知，當(dāng)為正三棱柱的頂點(diǎn)時(shí)，的值最大，
連接，并延長(zhǎng)交于，則，
此時(shí)，得到，
則的取值范圍是.
故答案為：
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
15. 已知圓，過作直線圓交于點(diǎn)．
（1）求證：是定值；
（2）若點(diǎn)．求的值．
解：（1）若直線的斜率不存在，則，
則，所以；
若直線的斜率存在，設(shè)，
，消去，得，
，又，
所以.
綜上，為定值.
（2）易知直線的斜率存在，
由（1）知，
所以，
得，
由，得，
所以.
16. 如圖，在空間幾何體中，四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，平面，，且∥∥．
（1）求證：四點(diǎn)共面；
（2）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面所成角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
解：（1）因?yàn)槠矫嫫矫妫?br>所以．
因?yàn)樗倪呅问钦叫?，所以，所以兩兩垂直?br>則以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：
根據(jù)題意，得．
所以．
因?yàn)椋?br>所以共面，
又有公共點(diǎn)，
所以四點(diǎn)共面．
（2）存在，理由如下：
，則，
設(shè)m=x1,y1,z1為平面的法向量，
則，即，令，
得平面的一個(gè)法向量為．
假設(shè)線段上存在點(diǎn)，
使得平面與平面所成角的余弦值為，
令，
則，
設(shè)n=x2,y2,z2為平面的法向量，
則，
即，
令，得平面一個(gè)法向量為．
設(shè)平面與平面所成角為，
則．
化簡(jiǎn)整理，得，
因?yàn)椋裕?br>所以在線段上存在一點(diǎn)，使得平面與平面所成角的余弦值為，此時(shí)．
17. 已知為圓C：上任意一點(diǎn)，
（1）求的最大值和最小值；
（2）求的最大值和最小值．
解：（1）由題可知，
設(shè),得直線，
該直線與圓有交點(diǎn)即可，所以
圓心到直線的距離要小于等于半徑即可，
有解得
即
所以的最大值為，最小值為
（2）
顯然表示點(diǎn)Mx,y到點(diǎn)的距離的平方，
即
已知Mx,y在圓上，所以
顯然，
所以
所以
所以
所以
所以的最大值為，最小值為.
18. 我國(guó)漢代初年成書的《淮南子畢術(shù)》中記載：“取大鏡高懸，置水盆于下，則是四鄰矣.”這是我國(guó)古代人民利用平面鏡反射原理的首個(gè)實(shí)例，體現(xiàn)了傳統(tǒng)文化中的數(shù)學(xué)智慧.而英國(guó)化學(xué)家、物理學(xué)家享利·卡文迪許從鏡面反射現(xiàn)象中得到靈感，設(shè)計(jì)了卡文迪許扭秤實(shí)驗(yàn)測(cè)量計(jì)算出了地球的質(zhì)量，他從而被稱為第一個(gè)能測(cè)出地球質(zhì)量的人.已知圓的半徑為3，圓心在直線位于第一象限的部分上，一條光線沿直線入射被軸反射后恰好與圓相切.
（1）直接寫出的反射光線所在直線的方程；
（2）求圓的方程；
（3）點(diǎn)是圓與軸的公共點(diǎn)，一條光線從第一象限入射后與圓相切于點(diǎn)，并與軸交于點(diǎn)，其在點(diǎn)處被直線反射后沿著軸負(fù)方向傳播，此時(shí)的面積恰好為，求直線的方程.
解：（1）設(shè)的反射光線所在直線上任意點(diǎn)為，則該點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱點(diǎn)在直線上，所以的反射光線所在直線的方程為.
（2）設(shè)點(diǎn)，而圓與直線相切，且圓半徑為3，
則，
即，
整理得或，又點(diǎn)在第一象限，
即，因此，點(diǎn)，
所以圓的方程為.
（3）由（2）知，點(diǎn)到軸距離為3，即軸與圓相切于點(diǎn)，
由一條光線從第一象限入射后與圓相切于點(diǎn)，并與軸交于點(diǎn)，得點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，
設(shè)，則，
連接，，
，
，
又，
整理得，解得，即點(diǎn)，
直線的斜率為，由光的反射性質(zhì)知，，則直線的斜率為，
直線的方程為，即.
19. 如圖，在四棱錐中，底面為矩形，底面，，是的中點(diǎn)．

（1）求證：平面；
（2）求平面與平面夾角的余弦值；
（3）在棱上是否存在一點(diǎn)，使直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求出求線段的長(zhǎng)；若不存在，說明理由．
解：（1）連接，交于點(diǎn)，連接，
點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，
所以,平面,平面，
所以平面；

（2）如圖，以向量，，為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
即，，，則，
設(shè)平面的法向量，則，
令得，所以平面的法向量，
平面的一個(gè)法向量為，
設(shè)平面和平面的夾角為，
則，
所以平面和平面的夾角的余弦值為；

（3）由（2）知，，，，
，，，
，
由（2）知平面的法向量，
設(shè)直線與平面的夾角為，
則
整理得，解得或
故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，
則的長(zhǎng)為或．

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