1. 復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
【答案】A
【解析】，其在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，
故選：A.
2. 若集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因?yàn)?，?br>所以不成立，，故CD錯(cuò)誤，
則，，故A錯(cuò)誤，B正確，
故選：B.
3. 拋物線的準(zhǔn)線方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
所以拋物線的準(zhǔn)線方程為．
故選：B
4. 等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】設(shè)的公比為，則，從而，
則，
故選：D.
5. 函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由，得，，
則的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，即，
令，得，令，得，
則該切線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為，
故選：C.
6. 如圖，側(cè)面展開圖為扇形AOD的圓錐和側(cè)面展開圖為扇環(huán)ABCD的圓臺(tái)的體積相等，且，則（ ）
A. 2B. C. 4D. 8
【答案】A
【解析】設(shè)側(cè)面展開圖為扇形的圓錐的底面半徑為r，高為h，
則該圓錐的體積.
側(cè)面展開圖為扇形的圓錐的底面半徑為，高為，
則該圓錐的體積.
由題可知，從而.
故選：A.
7. 已知正項(xiàng)等差數(shù)列滿足，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，所以，，
則，所以，從而，
故，
故選：C.
8. 已知是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，．若，則的取值范圍為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】當(dāng)時(shí)，顯然恒成立．
當(dāng)時(shí)，可以理解為將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的的圖象始終在的圖象的下方（或重合）．
當(dāng)時(shí)，由的圖象可知，
，則，解得；

當(dāng)時(shí)，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：

由圖可知，函數(shù)在R上為增函數(shù)，
對(duì)任意的x∈R且時(shí)，，恒成立.
綜上所述，的取值范圍為．
故選：A.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 某地發(fā)起“尋找綠色合伙人——低碳生活知識(shí)競(jìng)賽”活動(dòng)，從參賽選手的答卷中隨機(jī)抽取了份，將得分（滿分100分）進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆纸M（每組為左閉右開的區(qū)間），畫出如圖所示的頻率分布直方圖，且競(jìng)賽成績(jī)落在內(nèi)的人數(shù)為10，則（ ）
A.
B.
C. 估計(jì)參賽選手得分的平均分低于70分（同組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）
D. 估計(jì)參賽選手得分的中位數(shù)在內(nèi)
【答案】ABD
【解析】對(duì)于A、B，由，
得，則，故A，B正確；
對(duì)于C，估計(jì)參賽選手得分的平均分為x，
則，故C不正確；
對(duì)于D，因?yàn)椋?br>所以估計(jì)參賽選手得分的中位數(shù)在內(nèi)，故D正確．
故選：ABD.
10. 已知函數(shù)，則（ ）
A. 為奇函數(shù)B. 的最小正周期為
C. 的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D. 的最大值為
【答案】AD
【解析】，恒成立，
則函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>則，所以為奇函數(shù)，A正確．
，所以的最小正周期不是，B不正確．
，
所以的圖象不關(guān)于直線對(duì)稱，C不正確，
，
顯然，為函數(shù)的一個(gè)周期，且，
由C可知，函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，
當(dāng)x∈0,π時(shí)，，
由，
設(shè)，則在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)取得最小值，
得，所以，當(dāng)，即時(shí)取得最大值，
當(dāng)時(shí)，，所以的最大值為，D正確．
故選：AD
11. 雙紐線的圖形輪廓像阿拉伯?dāng)?shù)字中的“8”．如圖，曲線是雙紐線，關(guān)于曲線，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A.
B. 上存點(diǎn)，使得
C. 上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值為
D. 若直線與恰有一個(gè)公共點(diǎn)，則的取值范圍為
【答案】ACD
【解析】由圖可知，點(diǎn)在C上，所以，A正確，
設(shè)曲線C上任一點(diǎn)Px,y，由，
可得，，
即C上不存在點(diǎn)，使得，B不正確,
方程可化為，
令，得，
由，可得，
即，等號(hào)成立，故C上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值為，C正確．
直線與C均經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則直線與C除原點(diǎn)外無(wú)其他公共點(diǎn)．
聯(lián)立方程組整理得．
當(dāng)時(shí)，方程僅有一解，滿足題意，
當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，方程恒成立，即恒有一解，
當(dāng)時(shí)，方程化簡(jiǎn)得，
即當(dāng)時(shí)，方程無(wú)解，滿足題意，綜上，，解得或，D正確．
故選：ACD
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 若兩個(gè)單位向量，滿足，則________．
【答案】
【解析】由，得，
因?yàn)?，為單位向量?br>所以，則，
故答案為：.
13. 甲、乙、丙等人站成一排，要求甲、乙不站在丙的同一側(cè)，則不同的站法共有_______種．
【答案】
【解析】先站甲、乙、丙人，共有種不同的站法，
再站剩余人，先將1人排到甲、乙、丙3人之間的空位中，
最后將剩余的1人排到前面4人之間的空位中，
共有種不同的站法，
根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的站法共有種．
故答案：40
14. 已知，，且，則的最小值為________
【答案】
【解析】由，
得，
則，
則.
因?yàn)椋?，則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
從而.
又，
所以當(dāng)取得最大值時(shí)，取得最小值，且最小值為.
故答案為：.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
15. △的內(nèi)角的對(duì)邊分別為．已知．
（1）求的值；
（2）求△周長(zhǎng)的最大值．
解：（1）（方法一）因?yàn)?，，所以?br>則．
又，所以．
因?yàn)椋裕?br>又，所以，
（方法二）由余弦定理得，
因?yàn)椋?，則．
．
因?yàn)?，所以?br>（2）由（2）可得，
從而．
因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，
從而，則周長(zhǎng)的最大值為3．
16. 某商場(chǎng)為了吸引顧客，邀請(qǐng)顧客憑借消費(fèi)金額參與抽獎(jiǎng)活動(dòng)．若抽中金獎(jiǎng)，則可獲得15元現(xiàn)金；若抽中銀獎(jiǎng)，則可獲得5元現(xiàn)金．已知每位顧客每次抽中金獎(jiǎng)和銀獎(jiǎng)的概率分別為和，且每次中獎(jiǎng)情況相互獨(dú)立．現(xiàn)有甲、乙兩位顧客參與該商場(chǎng)的抽獎(jiǎng)活動(dòng)，其中甲有2次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，乙有1次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)．
（1）求甲抽獎(jiǎng)獲得的現(xiàn)金金額大于乙抽獎(jiǎng)獲得的現(xiàn)金金額的概率；
（2）記甲、乙兩人抽獎(jiǎng)獲得的現(xiàn)金總金額為，求的分布列與期望．
解：（1）若甲抽中2次銀獎(jiǎng)，
則由甲抽獎(jiǎng)獲得的現(xiàn)金金額大于乙抽獎(jiǎng)獲得的現(xiàn)金金額，
可知乙也得抽中銀獎(jiǎng)，此時(shí)概率．
若甲至少抽中1次金獎(jiǎng)，
則甲抽獎(jiǎng)獲得的現(xiàn)金金額一定大于乙抽獎(jiǎng)獲得的現(xiàn)金金額，
此時(shí)概率．
故甲抽獎(jiǎng)獲得的現(xiàn)金金額大于乙抽獎(jiǎng)獲得的現(xiàn)金金額的概率．
（2）記甲、乙兩人抽獎(jiǎng)獲得的現(xiàn)金金額分別為，則．
由題可知，，，
，，
則，，，．
的分布列為
．
17. 如圖，在多面體中，平面，平面平面，，，為等腰直角三角形，且，，

（1）證明：平面.
（2）求平面與平面的夾角的余弦值.
（1）證明：取CD的中點(diǎn)O，連接OB，OF.
因?yàn)椤鱂CD為等腰直角三角形，且，所以.
又平面平面ABCD，平面平面，平面，
所以平面ABCD，.
因?yàn)槠矫鍭BCD，
所以.
又平面，平面，
所以平面ADE，
因?yàn)?，所以?br>又，
所以四邊形ABOD為平行四邊形，則.
因平面ADE，平面ADE，
所以平面ADE，
又，平面，
所以平面平面ADE.
因?yàn)槠矫鍻BF，所以平面ADE .
（2）解：由題可知AB，AD，AE兩兩垂直，
故以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AE所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
設(shè)，則B1,0,0，，E0,0,1，，
，，
設(shè)平面的法向量為m=x1,y1,z1，
則由得，
令，得，
設(shè)平面的法向量為n=x2,y2,z2，
則由得，
令，得.
，
則平面與平面的夾角的余弦值為.
18. 已知是橢圓上的一點(diǎn)，且的離心率為，斜率存在且不過(guò)點(diǎn)的直線與相交于，兩點(diǎn)，直線與直線的斜率之積為
（1）求的方程.
（2）證明：的斜率為定值.
（3）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，若與線段（不含端點(diǎn)）相交，且四邊形的面積為，求的方程.
（1）解：由題可知，解得，，
故的方程為.
（2）證明：設(shè)的方程為，Px1,y1，.
聯(lián)立方程組
整理得，
即，則，，
，
整理得，則或，
若，則，則過(guò)點(diǎn)，不符合題意，
故，即的斜率為定值.
（3）解：由（2）可得直線，，，
因?yàn)榕c線段（不含端點(diǎn)）相交，所以，
，
點(diǎn)到的距離，
點(diǎn)到的距離，
四邊形的面積，
解得或（舍去），
故的方程為：.
19. 已知函數(shù)的定義域?yàn)?，區(qū)間，若，，則稱是在上的不動(dòng)點(diǎn)，集合為在上的不動(dòng)點(diǎn)集.
（1）求函數(shù)在上的不動(dòng)點(diǎn)集；
（2）若函數(shù)在上有且只有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍；
（3）若函數(shù)在上的不動(dòng)點(diǎn)集為，求的取值范圍.
解：（1）由，
得，
解得或，
故在0,+∞上的不動(dòng)點(diǎn)集為.
（2）方法一：由題可知，關(guān)于的方程在上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根.
即方程在只有一解.
因?yàn)槭欠匠痰慕猓?br>所以方程在上無(wú)解.
作函數(shù)和，的圖象，如下圖：
由，，所以.
當(dāng)或即或時(shí)，與，圖象只有一個(gè)交點(diǎn).
所以的取值范圍是：.
方法二：由題可知，關(guān)于的方程在上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根.
令，則.
若，則在上恒成立，φx在上單調(diào)遞增.
因?yàn)?，?br>所以φx在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，即在上有且僅有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).
若，則在上恒成立，φx在上單調(diào)遞減.
因?yàn)?，?br>所以φx在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，即在上有且僅有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).
若，易知是上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增.
因?yàn)?，，所以存在，使得?br>則當(dāng)和時(shí)，φ'x>0，φx單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，φ'x

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