一、選擇題
1．已知,,若,則實(shí)數(shù)的值為( )
A.B.C.D.2
2．是被長(zhǎng)為1的正方體的底面上一點(diǎn),則的取值范圍是( )
A.B.C.D.
3．已知向量,,則在向量上的投影向量為( )
A.B.C.D.
4．在棱長(zhǎng)為2的正方體中,E,F分別為棱,的中點(diǎn),G為棱上的一點(diǎn),且,則點(diǎn)G到平面的距離為( )
A.B.C.D.
5．已知四棱錐，底面ABCD為平行四邊形，M，N分別為棱BC，PD上的點(diǎn)，，.設(shè)，，，則以為一組基表示為( )
A.B.C.D.
6．在四面體OABC中,空間的一點(diǎn)M滿(mǎn)足.若,,共面,則( )
A.B.C.D.
7．已知向量,,則的最小值為( )
A.B.C.D.
8．“長(zhǎng)太息掩涕兮,哀民生之多艱”,端陽(yáng)初夏,粽葉飄香,端午是一大中華傳統(tǒng)節(jié)日.小瑋同學(xué)在當(dāng)天包了一個(gè)具有藝術(shù)感的肉粽作紀(jì)念,將粽子整體視為一個(gè)三棱錐,肉餡可近似看作它的內(nèi)切球（與其四個(gè)面均相切的球,圖中作為球O）.如圖:已知粽子三棱錐中,,H、I、J分別為所在棱中點(diǎn),D、E分別為所在棱靠近P端的三等分點(diǎn),小瑋同學(xué)切開(kāi)后發(fā)現(xiàn),沿平面CDE或平面HIJ切開(kāi)后,截面中均恰好看不見(jiàn)肉餡.則肉餡與整個(gè)粽子體積的比為( ).
A.B.C.D.
二、多項(xiàng)選擇題
9．如圖,在棱長(zhǎng)為的正方體中,E為的中點(diǎn),F為的中點(diǎn),如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系,則下列說(shuō)法正確的是( )
A.
B.向量與所成角的余弦值為
C.平面AEF的一個(gè)法向量是
D.點(diǎn)F到平面AEF的距離為
10．在正三棱柱中，，點(diǎn)P滿(mǎn)足，則下列說(shuō)法正確的是( )
A.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P在棱上
B.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P到平面的距離為定值
C.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P在以，的中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段上
D.當(dāng)，時(shí)，平面
11．布達(dá)佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達(dá)?芬奇方磚在正六邊形上畫(huà)了具有視覺(jué)效果的正方體圖案,如圖1,把三片這樣的達(dá)?芬奇方磚拼成圖2的組合,這個(gè)組合再轉(zhuǎn)換成圖3所示的幾何體.若圖3中每個(gè)正方體的棱長(zhǎng)為1,則( )
A.
B.直線CQ與平面所成角的正弦值為
C.點(diǎn)到直線CQ的距離是
D.異面直線CQ與BD所成角的余弦值為
三、填空題
12．正三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為2,底面邊長(zhǎng)為1,M是BC的中點(diǎn).在直線上求一點(diǎn)N,當(dāng)CN的長(zhǎng)為_(kāi)_______時(shí),使.
13．四棱錐中,底面ABCD,底面ABCD是正方形,且,,F是的重心,則PG與平面PAD所成角的正弦值為_(kāi)_______.
14．坡屋頂是我國(guó)傳統(tǒng)建筑造型之一,蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)元素.安裝燈帶可以勾勒出建筑輪那,展現(xiàn)造型之美.如圖,某坡屋頂可視為一個(gè)五面體,其中兩個(gè)面是全等的等腰梯形,兩個(gè)面是全等的等腰三角形.若,,且等腰梯形所在平面、等腰三角形所在平面與平面ABCD的夾角的正切值均為,則該五面體的所有棱長(zhǎng)之和為_(kāi)_______.
四、解答題
15．如圖,在長(zhǎng)方體中,,,點(diǎn)E在棱AB上移動(dòng).
（1）當(dāng)點(diǎn)E在棱AB的中點(diǎn)時(shí),求平面與平面所成的夾角的余弦值;
（2）當(dāng)AE為何值時(shí),直線與平面所成角的正弦值最小,并求出最小值.
16．如圖所示,直三棱柱中,,,,M,N分別是,的中點(diǎn).
(1)求BN的長(zhǎng);
(2)求的值.
(3)求證：BN⊥平面.
17．如圖,在四棱維中,平面平面ABCD,,,,,,.
（1）求直線PB與平面PCD所成角的正切值;
（2）在PA上是否存在點(diǎn)M,使得平面PCD?若存在,求的值;若不存在,說(shuō)明理由.
18．如圖1,在邊長(zhǎng)為4的菱形ABCD中,,點(diǎn)M,N分別是邊BC,CD的中點(diǎn),,.沿MN將翻折到的位置,連接PA,PB,PD,得到如圖2所示的五棱錐.
（1）在翻折過(guò)程中是否總有平面平面PAG?證明你的結(jié)論;
（2）若平面平面MNDB,線段PA上是否存在一點(diǎn)Q,使得平面QDN與平面PMN所成角的余弦值為?若存在,試確定點(diǎn)Q的位置;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
19．如圖,四棱錐中,四邊形ABCD是菱形,平面ABCD,,,E,F分別是線段BD和PC上的動(dòng)點(diǎn),且.
（1）求證:平面PAB;
（2）求直線DF與平面PBC所成角的正弦值的最大值;
（3）若直線AE與線段BC交于M點(diǎn),于點(diǎn)H,求線段CH長(zhǎng)的最小值.
參考答案
1．答案：C
解析：向量,,
若,
則,
.
故選:C.
2．答案：B
解析：如圖,以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,所在直線分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
則,,設(shè),,,,
,,
,
當(dāng)時(shí),取得最小值,
當(dāng)或1,或1時(shí),取得最大值0,
所以的取值范圍是.
故選:B.
3．答案：A
解析：向量在向量上的投影向量為
.
故選:A.
4．答案：D
解析：以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA所在直線為x軸,DC所在直線為y軸,所在直線為z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則,,,,
所以,,.
設(shè)平面的法向量為,則,
取,得,
所以點(diǎn)G到平面的距離為,
故選:D.
5．答案：D
解析：
，
即，故選D.
6．答案：D
解析：在四面體OABC中,不共面,而,
則由,,,得,所以.
故選:D
7．答案：C
解析：因?yàn)?,
所以,
當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,故的最小值為.
故選:C.
8．答案：B
解析：如圖所示,取AB中點(diǎn)為F,,
為方便計(jì)算,不妨設(shè),
由,可知,
又D、E分別為所在棱靠近P端的三等分點(diǎn),
則,
且,、,PF,平面PCF,
即平面PCF,
又平面ABC,則平面平面ABC,
設(shè)肉餡球半徑為r,,
由于H、I、J分別為所在棱中點(diǎn),且沿平面HIJ切開(kāi)后,截面中均恰好看不見(jiàn)肉餡,
則P到CF的距離,,,
又,解得:,
故,
又,
解得,,
所以:,解得,,
由以上計(jì)算可知:為正三棱錐,
故,
所以比值為.
故選:B.
9．答案：BCD
解析：由題可知,,,,,,,
所以,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤;
,,所以,故選項(xiàng)B正確;
,,記,
則,,故,,
因?yàn)?AE,平面AEF,
所以垂直于平面AEF,故選項(xiàng)C正確;
,所以點(diǎn)D到平面AEF的距離,故選項(xiàng)D正確;
故選:BCD
10．答案：BCD
解析：當(dāng)時(shí)，，故點(diǎn)P在上，故A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，因，故點(diǎn)P在棱上，因?yàn)槠矫?，所以點(diǎn)P到平面的距離為定值，故B正確；當(dāng)時(shí)，取的中點(diǎn)D，的中點(diǎn)E，則，即，又，故P在線段上，故C正確；當(dāng)，時(shí)，點(diǎn)P為的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)?，易證，，從而可得平面，從而可得，又，從而得到平面，故D正確.故選BCD.
11．答案：BC
解析：A選項(xiàng),以A為坐標(biāo)原點(diǎn),,,所在直線分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
則,,,,,,
,,,
,,,
則,A錯(cuò)誤;
B選項(xiàng),平面的法向量為,
,設(shè)直線CQ與平面所成角的大小為,
則,B正確;
C選項(xiàng),,
點(diǎn)到直線CQ的距離為,C正確;
D選項(xiàng),,
設(shè)異面直線CQ與BD所成角大小為,
則,D錯(cuò)誤.
故選:BC
12．答案：/0.125
解析：取的中點(diǎn)為,連接,AM,
由正三棱柱性質(zhì)可得,,,
因此以M為坐標(biāo)原點(diǎn),以AM,BM,所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如下圖所示:
易知,,,設(shè)CN的長(zhǎng)為a,且,可得;
易知
若,則,解得,
所以當(dāng)CN的長(zhǎng)為時(shí),使.
故答案為:
13．答案：
解析：因?yàn)榈酌鍭BCD,底面ABCD是正方形,
所以DA,DC,DP兩兩垂直,以D為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向分別為x,y,z軸的正方向,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,
則,,,,,則重心,
因而,,,
設(shè)平面PAD的一個(gè)法向量為,
則,令則,
則,
故答案為:.
14．答案：117m
解析：如圖,過(guò)E做平面ABCD,垂足為O,過(guò)E分別做,,垂足分別為G,M,
連接OG,OM,
由題意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面與底面夾角分別為和,
所以.
因?yàn)槠矫鍭BCD,平面ABCD,所以,
因?yàn)?EO,平面EOG,,
所以平面EOG,因?yàn)槠矫鍱OG,所以,
同理,,又,故四邊形OMBG是矩形,
所以由得,所以,所以,
所以在直角三角形EOG中,
在直角三角形EBG中,,,
又因?yàn)?
所有棱長(zhǎng)之和為.
故答案為:117m
15．答案：（1）
（2）當(dāng)時(shí),直線與平面所成角的正弦值最小,最小值為
解析：（1）以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
當(dāng)點(diǎn)E在棱AB的中點(diǎn)時(shí),則,,,,,
則,,,
設(shè)平面的一個(gè)法向量為,
則,令,則,,
所以平面的一個(gè)法向量為,
又平面的一個(gè)法向量為,
所以,
所以平面與平面所成的夾角的余弦值為;
（2）設(shè),
則,,,,,
則,,,,
設(shè)平面的一個(gè)法向量為,
則,令,則,
所以平面的一個(gè)法向量為,
設(shè)直線與平面所成的角為,
則,
令,
則,
當(dāng)時(shí),取得最小值,最小值為.
16．答案：(1)
(2)
(3)證明見(jiàn)解析
解析：(1)如圖,建立以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),CA、CB、所在直線分別為x軸、y軸、z軸的空間直角坐標(biāo)系.
依題意得,,
;
(2)依題意得,,,,,
,,,,,
所以;
(3)證明：,,,.
,,,
,
,
,,即,,
又平面,平面,,
平面.
17．答案：（1）
（2）存在點(diǎn)M,使得平面PCD,.
解析：（1）取AD的中點(diǎn)為O,連接PO,CO,
因?yàn)?所以,又平面平面ABCD,
平面平面,平面,
所以平面ABCD,又,所以,
,,所以,,所以,
所以以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以O(shè)C,OA,OP所在的直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,
,,,,,
所以,,,
設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為,
則,,令,則,,
所以,
設(shè)直線PB與平面PCD所成角為,
,
所以,所以,
所以直線PB與平面PCD所成角的正切值.
（2）在PA上存在點(diǎn)M,使得,
所以,所以,
所以,所以,
因?yàn)槠矫鍼CD,所以,
即,解得,
所以存在點(diǎn)M,使得平面PCD,此時(shí).
18．答案：（1）總有平面平面PAG,證明詳見(jiàn)解析
（2）存在,Q是PA的靠近P的三等分點(diǎn),理由見(jiàn)解析.
解析：（1）折疊前,因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形,所以,
由于M,N分別是邊BC,CD的中點(diǎn),所以,
所以,
折疊過(guò)程中,,,,GP,平面PAG,
所以平面PAG,
所以平面PAG,
由于平面PBD,所以平面平面PAG.
（2）存在,理由如下:
當(dāng)平面平面MNDB時(shí),由于平面平面,平面PMN,,
所以平面MNDB,由于平面MNDB,所以,
由此以G為空間坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,
依題意可知,,,,,
,,
設(shè),則,
平面PMN的法向量為,
,
設(shè)平面QDN的法向量為,
則,
故可設(shè),
設(shè)平面QDN與平面PMN所成角為,
由于平面QDN與平面PMN所成角的余弦值為,
所以,
解得,
所以當(dāng)Q是PA的靠近P的三等分點(diǎn)時(shí),平面QDN與平面PMN所成角的余弦值為.
19．答案：（1）證明見(jiàn)解析
（2）
（3）
解析：（1）由于四邊形ABCD是菱形,且,取CD中點(diǎn)G,則,
又平面ABCD,可以A為中心建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則,,,,,
所以,,,
由,
可知,,
,
易知是平面PAB的一個(gè)法向量,
顯然,且平面PAB,即平面PAB;
（2）由上可知,
設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為,則,
令,則,,
設(shè)直線DF與平面PBC所成角為,
則,
易知時(shí),,即此時(shí)取得最大值;
（3）設(shè),,
由于H,M,P共線,不妨設(shè),易知,
則有,
所以,
則,
即
記,則,
易知恒成立,所以,即單調(diào)遞減,
所以.

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