能用向量法解決異面直線、直線與平面所成角的問(wèn)題，并能描述解決這一類問(wèn)題的程序，體會(huì)向量法在研究空間角問(wèn)題中的作用.
1.異面直線所成的角若異面直線l1，l2所成的角為θ，其方向向量分別是u，v，則cs θ＝|cs〈u，v〉|＝_______.
判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)兩直線的方向向量所成的角就是兩條直線所成的角.(　 　)(2)直線的方向向量和平面的法向量所成的角就是直線與平面所成的角.(　 　)
(4)直線的方向向量為u，平面的法向量為n，則線面角θ滿足sin θ＝cs〈u，n〉.(　 　)
A.30° B.60° C.120° D.150°
2.已知直線l1的方向向量s1＝(1,0,1)與直線l2的方向向量s2＝(－1,2，－2)，則直線l1和l2所成角的余弦值為
因?yàn)閟1＝(1,0,1)，s2＝(－1,2，－2)，
3.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，BC＝CA＝CC1，則BM與AN所成角的余弦值為
因?yàn)椤螦OD＝2∠BOD，且∠AOD＋∠BOD＝π，
連接CO，則CO⊥平面ABD，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB，OC所在直線分別為y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)異面直線AD與BC所成的角為θ，
用向量法求異面直線所成的角的一般步驟(1)建立空間直角坐標(biāo)系.(2)用坐標(biāo)表示兩異面直線的方向向量.(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值.
跟蹤訓(xùn)練1　(1)有公共邊的△ABC和△BCD均為等邊三角形，且所在平面互相垂直，則異面直線AB和CD所成角的余弦值為_____.
設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為2.取BC的中點(diǎn)O，連接OA，OD.因?yàn)椤鰽BC和△BCD所在平面互相垂直，所以O(shè)A，OC，OD兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OD，OC，OA所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
設(shè)異面直線AB和CD所成的角為θ，
以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系(圖略)，正方體的棱長(zhǎng)為2，則A1(2,0,2)，D1(0,0,2)，E(0,2,1)，A(2,0,0)，
(1)證明：BD⊥PA；[切入點(diǎn)：由等腰梯形ABCD的性質(zhì)求BD長(zhǎng)](2)求PD與平面PAB所成的角的正弦值.[關(guān)鍵點(diǎn)：建立空間直角坐標(biāo)系求法向量]
利用空間向量求線面角的解題步驟
(1)若G是DP的中點(diǎn)，求證：AG⊥BD；
顯然，向量n＝(1,0,0) 是平面ABCD的一個(gè)法向量.
設(shè)GB與平面ABCD所成的角為θ，
2.在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1，則AC1與平面BB1C1C所成角的正弦值為
4.(2023·滄州模擬)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P是C1D1的中點(diǎn)，則異面直線AP與BA1所成角的余弦值為
方法一　設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，取CC1的中點(diǎn)Q，連接PQ，AD1，AC，AQ，∵P是C1D1的中點(diǎn)，∴PQ∥CD1∥A1B，故∠APQ就是AP與BA1所成的角或其補(bǔ)角，
方法二　設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，以DA，DC，DD1分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則A(2,0,0)，P(0,1,2)，A1(2,0,2)，B(2,2,0)，
5.(2023·招遠(yuǎn)市第二中學(xué)模擬)若正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都相等，D是A1C1的中點(diǎn)，則直線AD與平面B1DC所成角的正弦值為
取AC的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)n＝(x，y，z)為平面B1DC的法向量，
令z＝1，得n＝(0,2,1)，設(shè)直線AD與平面B1DC所成的角為α，則
以A為原點(diǎn)，在平面ABC內(nèi)作垂直于AC的射線為x軸，以射線AC為y軸，射線AP為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
由x軸⊥平面PAC得平面PAC的一個(gè)法向量為n＝(1,0,0)，設(shè)直線PB與平面PAC所成的角為α，
9.如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°.
(1)求證：BD⊥平面PAC；
(2)若PA＝AB，求PB與AC所成角的余弦值.
設(shè)AC∩BD＝O.因?yàn)椤螧AD＝60°，PA＝AB＝2，
設(shè)PB與AC所成的角為θ，則
10.如圖，在三棱柱ABC －A1B1C1中，各棱長(zhǎng)均相等.D，E，F(xiàn)分別為棱AB，BC，A1C1的中點(diǎn).
(1)證明：EF∥平面A1CD；
(2)若三棱柱ABC－A1B1C1為直棱柱，求直線BC與平面A1CD所成角的正弦值.
方法一　設(shè)A1B1的中點(diǎn)為O，連接OC1，OD，因?yàn)槿庵鵄BC－A1B1C1為直棱柱，所以O(shè)D⊥平面A1B1C1，所以O(shè)D⊥OC1，OD⊥OA1.又△A1B1C1為等邊三角形，所以O(shè)C1⊥A1B1.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA1，OD，OC1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
設(shè)平面A1CD的法向量為n＝(x，y，z)，
令x＝2，得n＝(2,1,0).設(shè)直線BC與平面A1CD所成的角為θ，
方法二　因?yàn)榈酌鍭BC是正三角形，D為AB的中點(diǎn)，所以CD⊥AB，又AA1⊥CD，AA1∩AB＝A，AA1，AB?平面A1ABB1，所以CD⊥平面A1ABB1.如圖，在平面A1ABB1內(nèi)，過(guò)點(diǎn)B作BG⊥A1D，交A1D的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接CG，則BG⊥平面A1CD，所以∠BCG為直線BC與平面A1CD所成的角.
11.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)E是棱B1C1的中點(diǎn)，點(diǎn)F是線段CD1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).有以下三個(gè)命題：①異面直線AC1與B1F所成的角是定值；②三棱錐B－A1EF的體積是定值；③直線A1F與平面B1CD1所成的角是定值.其中真命題的個(gè)數(shù)是A.3 B.2 C.1 D.0
12.(多選)關(guān)于正方體ABCD－A1B1C1D1，下列說(shuō)法正確的是A.直線AC1⊥平面A1BDB.若平面A1BD與平面AB1D1的交線為l，則l與AD所成的角為45°
如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則A1(2,0,2)，B(2,2,0)，D(0,0,0)，
設(shè)平面A1BD的法向量為n＝(x，y，z)，
令x＝－1，則y＝z＝1，即n＝(－1,1,1)，
∵A(2,0,0)，C1(0,2,2)，
則直線AC1⊥平面A1BD，故A正確；結(jié)合圖形可知，平面A1BD與平面AB1D1的交線l即為直線MN，M(1,0,1)，N(2,1,1)，
∴l(xiāng)與AD所成的角為45°，故B正確；
如圖，取棱CC1的中點(diǎn)E，連接PC1，QC1，PE，BE，∵P，E分別為棱DD1，CC1的中點(diǎn)，則PE∥DC且PE＝DC，又∵AB∥DC且AB＝DC，則PE∥AB且PE＝AB，∴四邊形ABEP為平行四邊形，則AP∥BE，∵Q，E分別為棱BB1，CC1的中點(diǎn)，則C1E∥BQ且C1E＝BQ，
∴四邊形BEC1Q為平行四邊形，則BE∥C1Q，∴AP∥C1Q，同理可證，AQ∥C1P，∴經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，P，Q的平面截此正方體所得截面圖形為平行四邊形AQC1P，
13.若在三棱柱ABC－A1B1C1中，∠A1AC＝∠BAC＝60°，平面A1ACC1⊥平面ABC，AA1＝AC＝AB，則異面直線AC1與A1B所成角的余弦值為____.
取x＝a，則m＝(a，－a，－1)，
15.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H，K，L分別是棱AB，BB1，B1C1，C1D1，D1D，DA的中點(diǎn)，則直線A1C與平面EFGHKL所成角的大小為_____；若P，Q是六邊形EFGHKL邊上兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線D1B與直線PQ所成的最小角為θ，則sin θ的值為_____.
(1)求點(diǎn)C到平面C1MN的距離；
∴AB⊥AC，∵平面ABC⊥平面ACC1A1，平面ABC∩平面ACC1A1＝AC，AB?平面ABC，∴AB⊥平面ACC1A1，又CM?平面ACC1A1，∴AB⊥CM，∵M(jìn)，N分別為AA1，BB1的中點(diǎn)，∴MN∥AB.∴CM⊥MN，
在Rt△AMC和Rt△MA1C1中，∵AM＝A1M＝4，AC＝A1C1＝4，
∵M(jìn)N∩C1M＝M，MN，C1M?平面MNC1，∴CM⊥平面C1MN，
(2)試確定動(dòng)點(diǎn)P的位置，使直線MP與平面BB1C1C所成角的正弦值最大.
∵AA1⊥平面ABC，由(1)得AB，AC，AA1兩兩垂直，以A為原點(diǎn)，以AB，AC，AA1所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則A(0,0,0)，B(3,0,0)，C(0,4,0)，C1(0,4,8)，M(0,0,4)，B1(3,0,8)，
設(shè)平面BB1C1C的法向量為n1＝(x1，y1，z1)，
設(shè)直線MP與平面BB1C1C所成的角為θ，
若m＝0，sin θ＝0，此時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)A重合；

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