浙江省寧波市五校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

考生須知：
1．本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．
2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級(jí)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)并填涂相應(yīng)數(shù)字．
3．所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效．
4．考試結(jié)束后，只需上交答題紙．
選擇題部分
一、選擇題：本題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是正確的．
1. 下列直線中，傾斜角最大的是（）
A B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出各選項(xiàng)中的直線傾斜角，再比較大小即得.
【詳解】直線的斜率為，傾斜角為；直線的斜率為，傾斜角為，
直線的斜率為，傾斜角為；直線的斜率為，傾斜角為，
顯然直線的傾斜角最大.
故選：C
2. 已知點(diǎn)，且四邊形是平行四邊形，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為．結(jié)合平行四邊形的一組對(duì)邊平行且相等的性質(zhì)和空間向量的相等向量的計(jì)算即可求解.
【詳解】設(shè)設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為，
由題意得
，
因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅危裕?br>所以，解得，
故選：A
3. 如圖，平行六面體中，E為BC的中點(diǎn)，，，，則（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量的線性運(yùn)算求解即得.
【詳解】在平行六面體中，E為BC的中點(diǎn)，
所以.
故選：B
4. 如圖，這是一個(gè)落地青花瓷，其中底座和瓶口的直徑相等，其外形被稱為單葉雙曲面，可以看成是雙曲線的一部分繞其虛軸所在直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面.若該花瓶橫截面圓的最小直徑為，最大直徑為，雙曲線的離心率為，則該花瓶的高為（）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由關(guān)系以及離心率、可得雙曲線方程，進(jìn)一步代入即可求解.
【詳解】由該花瓶橫截面圓的最小直徑為，有，
又由雙曲線的離心率為，有，
可得雙曲線的方程為，代入，可得，故該花瓶的高為.
故選：B.
5. 若直線與直線互相垂直，則的最小值為（）
A. B. 3C. 5D.
【答案】C
【解析】
【分析】由兩直線垂直得關(guān)系后轉(zhuǎn)化為函數(shù)求解，
【詳解】因?yàn)橹本€與直線互相垂直，
所以，化簡(jiǎn)得，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，所以的最小值為5，
故選：C
6. 已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在上，，則的離心率為（）
A. B. C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】，根據(jù)條件表示出，，則可表示出，進(jìn)而可得離心率.
【詳解】如圖，令，由，得，
又，則，
即，又由，得，
，
故選：D.

7. 已知雙曲線的離心率為，圓與的一條漸近線相交，且弦長不小于2，則的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)雙曲線的離心率可得漸近線方程為，利用點(diǎn)到直線距離公式，結(jié)合圓的弦長公式可得：，運(yùn)算求解即可.
【詳解】設(shè)雙曲線的半焦距為，
則，解得：，
且雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，所以雙曲線的漸近線為，
因?yàn)閳A的圓心為，半徑，
可知圓關(guān)于軸對(duì)稱，不妨取漸近線為，即，
則圓心到漸近線的距離，可得：.
又因?yàn)閳A與雙曲線的一條漸近線相交弦長為，
由題意可得：，解得：.
綜上可得：的取值范圍是.
故選：B
8. 已知曲線，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）
A. 曲線與直線無公共點(diǎn)
B. 曲線關(guān)于直線對(duì)稱
C. 曲線與圓有三個(gè)公共點(diǎn)
D. 曲線上的點(diǎn)到直線的最大距離是
【答案】D
【解析】
【分析】分類討論方程表示曲線的類型，畫出曲線的圖象，再逐項(xiàng)判斷.
【詳解】當(dāng)時(shí)，曲線方程為，表示圓的一部分，
當(dāng)時(shí)，曲線方程為，表示焦點(diǎn)在x軸上的等軸雙曲線的一部分，
當(dāng)時(shí)，曲線方程為，表示焦點(diǎn)在x軸上的等軸雙曲線的一部分，
其圖象如圖所示：

A. 因?yàn)槭堑容S雙曲線的漸近線，曲線與直線無公共點(diǎn)，故正確；
B. 將方程中的互換后方程不變，所以曲線關(guān)于直線對(duì)稱，故正確；
C. 圓的圓心為，
又，即當(dāng)時(shí)，
曲線與圓相切，所以有三個(gè)公共點(diǎn)，故正確；
D. 作與直線平行的直線與曲線切于點(diǎn)上的點(diǎn)到直線的最大距離是，故錯(cuò)誤；
故選：D
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 已知向量，則下列結(jié)論正確的是（）
A. 若，則B. 若，則
C. 的最大值2D. 為鈍角，則
【答案】AB
【解析】
【分析】A.利用空間向量垂直坐標(biāo)運(yùn)算求解；B.利用空間向量共線坐標(biāo)運(yùn)算求解；C.利用空間向量的模的坐標(biāo)運(yùn)算求解；D. 若為鈍角，由且，不反向共線求解.
【詳解】A.若，則，解得，故正確；
B.當(dāng)或時(shí)，不平行，
所以時(shí)，有，解得，故正確；
C. ，無最大值，故錯(cuò)誤；
D. 若鈍角，則，且，不反向共線，
解得且，故錯(cuò)誤；
故選：AB
10. 如圖所示，在棱長為2的正方體中，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是（）
A. 平面平面
B. 的最小值為
C. 若是的中點(diǎn)，則到平面的距離為
D. 若直線與所成角的余弦值為，則
【答案】ABC
【解析】
【分析】A. 利用面面垂直的判定定理判斷；B.由，且為定值判斷；C.轉(zhuǎn)化為到直線的距離，利用等面積法求解判斷；D.利用空間向量的夾角公式求解判斷.
【詳解】A. 因?yàn)槠矫妫移矫?，所以平面平面，故正確；
B.因?yàn)椋覟槎ㄖ?，所以，故正確；
C. 因?yàn)槠矫嫫矫妫业狡矫妫?br>所以到平面的距離即為到直線的距離，
又，，解得，故正確；
D.當(dāng)時(shí)，，
則，故錯(cuò)誤；
故選：ABC
11. 中國結(jié)是一種手工編織工藝品，其外觀對(duì)稱精致，符合中國傳統(tǒng)裝飾的習(xí)俗和審美觀念，中國結(jié)有著復(fù)雜曼妙的曲線，其中的八字結(jié)對(duì)應(yīng)著數(shù)學(xué)曲線中的雙紐線．已知在平面直角坐標(biāo)系中，到兩定點(diǎn)距離之積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是雙紐線．若是曲線上一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）
A. 曲線上有且僅有1個(gè)點(diǎn)滿足
B. 曲線經(jīng)過5個(gè)整點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）
C. 若直線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為
D. 曲線上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離都不超過3
【答案】ACD
【解析】
【分析】由題意得，設(shè)，結(jié)合題意計(jì)算可判斷A；令，，得的范圍可判斷B；將直線與曲線方程聯(lián)立，根據(jù)方程的解可判斷C；由曲線的方程可得，根據(jù)可判斷D.
【詳解】設(shè)Px,y，則，
化簡(jiǎn)得，
將代入可得，
所以曲線，
對(duì)于A，若點(diǎn)滿足，則在垂直平分線上，則，
設(shè)，則，解得，
故只有原點(diǎn)滿足，故A正確；
對(duì)于B，令，解得或，即曲線經(jīng)過，
結(jié)合圖象，得，
令，得，
令，得，
因此，結(jié)合圖象曲線只能經(jīng)過3個(gè)整點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，直線與曲線一定有公共點(diǎn)，
若直線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，
所以，整理得無非零實(shí)數(shù)解，
，解得，故C正確；
對(duì)于D，可得，
所以曲線上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，
即都不超過3，故D正確.
故選：ACD.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：相關(guān)點(diǎn)代入法求軌跡方程的方法：
一般情況下，所求點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，依賴于另外一個(gè)或多個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，可以通過對(duì)這些點(diǎn)設(shè)坐標(biāo)來尋找代換關(guān)系.
（1）求誰設(shè)誰，設(shè)所求點(diǎn)的坐標(biāo)為；
（2）所依賴的點(diǎn)稱之為“參數(shù)點(diǎn)”，設(shè)為等；
（3）“參數(shù)點(diǎn)”滿足某個(gè)（些）方程，可供代入；
（4）尋找所求點(diǎn)與“參數(shù)點(diǎn)”之間的坐標(biāo)關(guān)系，反解參數(shù)值；
（5）代入方程，消去參數(shù)值.
非選擇題部分
12. 點(diǎn)到直線的距離最大值是____________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)直線過定點(diǎn)，得到，進(jìn)而得到答案.
【詳解】由題意得，直線過定點(diǎn)，則，
如圖所示，當(dāng)直線與直線垂直時(shí)，
此時(shí)點(diǎn)到直線的距離最大值，且最大值為.
故答案為：.
13. 如圖，在三棱錐中，已知平面，，，則向量在向量上的投影向量為___________（用向量來表示）.

【答案】
【解析】
【分析】寫出表達(dá)式，求出，即可得出向量在向量上的投影向量.
【詳解】由題意，
在三棱錐中，已知平面，
,
∵面，
∴，
在中，，，
∴,
，
∴向量在向量上的投影向量為：
，
故答案為：.
14. 我國南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家祖暅提出了計(jì)算體積的祖暅原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異”，其意思可描述為：夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等．如圖，陰影部分是由雙曲線與它的漸近線以及直線所圍成的圖形，將此圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周，得到一個(gè)旋轉(zhuǎn)體，則這個(gè)旋轉(zhuǎn)體的體積為________．

【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，可得旋轉(zhuǎn)體垂直于軸的截面是圓環(huán)，求出圓環(huán)面積，利用祖暅原理求出旋轉(zhuǎn)體體積作答.
【詳解】雙曲線的漸近線為，設(shè)直線交雙曲線及其漸近線分別于，及，，如圖，

由，得，
由，得,
線段，繞軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)旋轉(zhuǎn)體的一個(gè)截面，
它是一個(gè)圓環(huán)，其內(nèi)徑，外徑，

此圓環(huán)面積為
因此此旋轉(zhuǎn)體垂直于軸的任意一截面面積都為，旋轉(zhuǎn)體的高為，而底面圓半徑為，高為的圓柱垂直于軸的任意一截面面積都為，
由祖暅原理知，此旋轉(zhuǎn)體的體積等于底面圓半徑為，高為的圓柱的體積為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用祖暅原理求幾何體的體積，找到一個(gè)等高的可求體積的幾何體，并將它們放置于兩個(gè)平行平面間，再探求出被平行于兩個(gè)平行平面的任意一平面所截，截面面積相等是解題的關(guān)鍵.
四、解答題：本題共5神墻小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 已知直線，直線l過點(diǎn)且與垂直.
（1）求直線l的方程；
（2）設(shè)l分別與交于點(diǎn)A，B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求過三點(diǎn)A，B，O的圓的方程.
【答案】（1）；
（2）（或）；
【解析】
【分析】（1）利用直線垂直可求得斜率為，由點(diǎn)斜式方程可得結(jié)果；
（2）分別求出兩直線交點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出圓的一般方程代入計(jì)算即可求得圓的方程.
【小問1詳解】
由題意可得的斜率為，
可得直線l的斜率為，由點(diǎn)斜式方程可得，
即直線；
【小問2詳解】
聯(lián)立直線l和方程，解得；
聯(lián)立直線l和方程，解得；
如下圖所示：
設(shè)過三點(diǎn)A，B，O的圓的方程為，
將三點(diǎn)坐標(biāo)代入可得，解得，
可得圓的方程為（或）.
16. 如圖，在三棱柱中，四邊形是邊長為4的菱形，，點(diǎn)為棱上動(dòng)點(diǎn)（不與、重合），平面與棱交于點(diǎn)．

（1）求證：；
（2）已知，求直線與平面所成角的正弦值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由線線平行得到線面平行，再由線面平行性質(zhì)得到線線平行；
（2）由三線合一，勾股定理逆定理得到兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面的法向量，從而利用線面角的向量公式求出答案.
【小問1詳解】
∵，
且平面，平面，
∴平面，
又∵平面，且平面平面，
∴；
【小問2詳解】
連結(jié)，取中點(diǎn)，連結(jié)，

在菱形中，°，
∴△是等邊三角形，
又∵為中點(diǎn)，∴，，
同理，又∵，
∴，
∴，
又，∴，
故兩兩垂直，
以點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
∴，
∴，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，所以，令，則，
故，又∵，
設(shè)與平面所成角為，
∴，
所以直線與平面所成角的正弦值為．
17. 已知雙曲線的離心率為，實(shí)軸長為6，A為雙曲線C的左頂點(diǎn)，設(shè)直線l過定點(diǎn)，且與雙曲線C交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）證明：直線AE與AF的斜率之積為定值．
【答案】（1）
（2）證明見詳解
【解析】
【分析】（1）由實(shí)軸長為6，得，由離心率為，得，再由得，即可得到雙曲線C的方程；
（2）設(shè)，，直線，直線與雙曲線聯(lián)立方程得，根據(jù)韋達(dá)定理得，，根據(jù)斜率公式得，最后代入化簡(jiǎn)計(jì)算即可得證.
【小問1詳解】
因?yàn)殡p曲線的實(shí)軸長為6，所以，
因?yàn)殡p曲線的離心率為，所以，解得，
由，得，則C的方程為．
【小問2詳解】

設(shè)，，因?yàn)橹本€過定點(diǎn)B?2,0，顯然直線l不垂直于軸，則設(shè)直線，
聯(lián)立方程組，消去x得，
由，得，
則，，
因?yàn)锳為雙曲線C的左頂點(diǎn)，所以，
直線AE的斜率，直線AF的斜率，
所以
，
即直線AE與AF的斜率之積為定值．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問的關(guān)鍵在于設(shè)出直線l的方程，然后直曲聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，代入的表達(dá)式，化簡(jiǎn)即可得到定值.
18. 如圖，在四棱錐中，是等邊三角形，平面平面，，，M是棱PC上的點(diǎn)，且，.
（1）求證：平面PAD；
（2）設(shè)二面角的大小為，若，求的值.
【答案】（1）證明見解析
（2）或
【解析】
【分析】（1）由余弦定理計(jì)算后由勾股定理逆定理證明，取的中點(diǎn)，連結(jié)，由面面垂直得線面垂直，從而得線線垂直，然后可得證題設(shè)線面垂直；
（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求二面角，從而求出值．
【小問1詳解】
因?yàn)椋?br>所以，，
在中，，，由余弦定理得，
，
所以，
即，，
取的中點(diǎn)，連結(jié)，因?yàn)槭堑冗吶切?，所以?br>又因?yàn)槠矫嫫矫妫?br>平面平面，平面PAD，
所以平面，
又因?yàn)槠矫妫?br>所以.
又因?yàn)?，，平面?br>所以平面.
【小問2詳解】
取的中點(diǎn)N，連結(jié)，則，所以，
以為原點(diǎn)，的方向分別為x軸，y軸，z軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，
，
又，設(shè)平面MBD的一個(gè)法向量為n=x,y,z，
則即，
當(dāng)時(shí)，平面平面，不合題意；
當(dāng)時(shí)，令，得平面的法向量為，
易知平面的一個(gè)法向量為，
由于平面與平面所成角的余弦值為，
故有，
解得或.
19. 已知橢圓，點(diǎn)為橢圓短軸的上端點(diǎn)，為橢圓上異于點(diǎn)的任一點(diǎn)，若點(diǎn)到點(diǎn)距離的最大值僅在點(diǎn)為短軸的另一端點(diǎn)時(shí)取到，則稱此橢圓為“圓橢圓”，已知．
（1）若，判斷橢圓是否為“圓橢圓”；
（2）若橢圓是“圓橢圓”，求的取值范圍；
（3）若橢圓是“圓橢圓”，且取最大值，為關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，也異于點(diǎn)，直線、分別與軸交于、兩點(diǎn)，試問以線段為直徑的圓是否過定點(diǎn)？證明你的結(jié)論．
【答案】（1）是（2）
（3）是，證明見解析
【解析】
【分析】（1）設(shè)Px,y，計(jì)算，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到答案；
（2）由（1）的方法判斷，可得時(shí)，函數(shù)值達(dá)到最大，分別討論二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)是否滿足條件得出的取值范圍；
（3）法一：設(shè)，則，計(jì)算直線方程得到，，根據(jù)得到答案.法二：設(shè)x0≠0，計(jì)算直線方程得到，，再根據(jù)得到答案.
【小問1詳解】
由題意得橢圓方程為，所以，
設(shè)，則
，
二次函數(shù)開口向下，對(duì)稱軸為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以時(shí)，函數(shù)取最大值，此時(shí)為橢圓的短軸的另一個(gè)端點(diǎn)，
∴橢圓“圓橢圓”；
【小問2詳解】
因?yàn)闄E圓方程為，，設(shè)，，
則，，
由題意得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，函數(shù)值達(dá)到最大，
①當(dāng)開口向上時(shí)，滿足（與矛盾，舍去）；
②當(dāng)開口向下時(shí)，滿足，
綜上可得的取值范圍為．
【小問3詳解】
法—：由（2）可得，則橢圓方程為，
由題意：設(shè)且，
則，則直線：，則，
則直線，則，
若為直徑的圓過定點(diǎn)，由對(duì)稱性知在軸上，∴設(shè)則，且,
∴，，
則，解得，
所以得定點(diǎn)．
法二：橢圓方程：，設(shè)x0≠0，
則，
所以，，
若為直徑的圓過定點(diǎn)，由對(duì)稱性知在軸上，
∴設(shè)，則，又，，
所以， ∵，解得，
所以得定點(diǎn).
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：處理定點(diǎn)問題的三個(gè)常用策略：
（1）引進(jìn)參數(shù)法：引進(jìn)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或動(dòng)線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，通過等量關(guān)系代入化簡(jiǎn)變形，分析研究出變化的量與參數(shù)無關(guān)，從而找到定點(diǎn)；
（2）特殊到一般法：根據(jù)動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)線的特殊情況探索出定點(diǎn)，再證明存在著動(dòng)態(tài)變化中不受變量影響的該定點(diǎn)；
（3）定位分析法：先根據(jù)幾何性質(zhì)（如：圖形對(duì)稱性、點(diǎn)線相對(duì)性、動(dòng)態(tài)趨勢(shì)等）探索出定點(diǎn)大致位置，從而確定證明方向再加以證明.

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