浙江省衢州五校聯(lián)盟2024-2025學年高二上學期期中聯(lián)考數(shù)學試題（Word版附解析）-試卷下載-教習網(wǎng)

考生須知：
1．本卷共4頁滿分150分，考試時間120分鐘.
2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準考證號并填涂相應數(shù)字.
3．所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效.
4．考試結(jié)束后，只需上交答題紙.
選擇題部分
一、選擇題：本題共8個小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 已知集合，，則（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由正弦函數(shù)的值域得到集合，二次根式定義得到集合，再由集合交集的定義得到結(jié)果.
【詳解】∵，∵，∴
∴，
故選：A
2. 設(shè)復數(shù)滿足，則的虛部為（）
A. 2B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】運用除法運算進行復數(shù)化簡，再根據(jù)虛部概念判斷.
【詳解】復數(shù)滿足，則.
則的虛部為?2.
故選：B.
3. 已知直線的一個方向向量為，則直線的傾斜角為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根據(jù)方向向量求出直線的斜率，再求出傾斜角.
【詳解】已知直線的一個方向向量為，根據(jù)直線方向向量與斜率的關(guān)系，直線的斜率. 因為直線的斜率，且，所以.
故選：A.
4. “”是方程“表示雙曲線”的（）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)雙曲線方程求出的取值范圍使得方程表示雙曲線，然后再判斷與這個取值范圍的關(guān)系.
【詳解】要使方程表示雙曲線，則.
解不等式，可得.
當時，不一定滿足，例如當時，方程不表示雙曲線；
而當方程表示雙曲線時，一定有，那么一定滿足.
所以是方程表示雙曲線的必要不充分條件.
故選：B.
5. 已知，則（）
A. B. C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】首先利用誘導公式將已知條件化簡，求出的值，再將所求式子利用二倍角公式化簡，最后將的值代入化簡后的式子進行計算.
【詳解】根據(jù)誘導公式，，則，即.
根據(jù)二倍角公式，則.
將其分子分母同時除以得到，進一步化為.
把代入上式，可得.
故選：C.
6. 已知正四面體的棱長為1，動點在平面上運動，且滿足，則的值為（）
A. B. C. 0D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】由四點共面推得，再以為基底進行向量運算可得.
【詳解】動點在平面上運動，且不共線，
則存在實數(shù)，使.
即，
所以.
又，不共面，
由空間向量基本定理可知，故，
解得.即.
因為四面體正四面體，且棱長為.
所以，.
所以
.
故選：C.
7. 已知事件滿足，則（）
A. 若與相互獨立，則B. 若與互斥，
C. 若，則與相互對立D. 若，則
【答案】D
【解析】
【分析】A項，相互獨立事件同時發(fā)生概率乘法公式可得；B項，由互斥定義可知兩事件不可能同時發(fā)生即可判斷；C項，不能判斷是否互斥與對立；D項，由可得.
【詳解】選項A，若A與B相互獨立，則 A與相互獨立，
所以，故A錯誤；
選項B，若A與B互斥，則不可能同時發(fā)生，
即，故B錯誤；
選項C，若，則由于不確定C與B是否互斥，
所以無法確定兩事件是否對立，如拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，觀察試驗的結(jié)果，
設(shè)事件“出現(xiàn)奇數(shù)點”；事件“出現(xiàn)點數(shù)不大于”，
則，
但事件并不互斥，也不對立，故C錯誤；
選項D，若，則，
則，故D正確
故選：D.
8. 設(shè)，若存在，使為偶函數(shù)，則可能的值為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用函數(shù)的奇偶性與三角函數(shù)的對稱性質(zhì)，結(jié)合兩個偶函數(shù)的積函數(shù)的性質(zhì)，選出滿足題意的選項即可.
【詳解】由函數(shù)，.
則是偶函數(shù)，
因為不可能是奇函數(shù)，
由兩函數(shù)解析式可知，若和都是偶函數(shù)，滿足題意.
要使為偶函數(shù)，
則，即，
當時，，
函數(shù)為偶函數(shù)，要使為偶函數(shù)，
只需為偶函數(shù)即可.
由恒成立，
即對任意恒成立，
（不合題意，舍去），
或，.
可得，，即，
取可得，故C正確，其余選項不存在，使其成立.
故選：C.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯或不選的得0分．
9. 已知圓與圓交于兩點，則（）
A. 兩圓半徑相同B. 兩圓有3條公切線
C. 直線的方程是D. 線段的長度是
【答案】AD
【解析】
【分析】由圓的方程得到圓心和半徑，由此判斷A選項正確；由圓心距和半徑的關(guān)系得到圓與圓的位置關(guān)系知道公切線條數(shù)，判斷B選項錯誤；兩個方程作差即可得到交點弦的方程，判斷C錯誤；由垂徑定理求得線段長，判斷D選項正確.
【詳解】，，所以A選擇正確；
，，∴，兩個圓相交，所以有2條公切線，B選項錯誤；
兩個方程相減得，C選項錯誤；
垂徑定理可得，∴，D選項正確；
故選：AD.
10. 已知樣本數(shù)據(jù)是兩兩不同的四個自然數(shù)，且樣本的平均數(shù)為4，方差為5，則該樣本數(shù)據(jù)中（）
A. 眾數(shù)為4B. 上四分位數(shù)為6C. 中位數(shù)為4D. 最小值為1
【答案】BCD
【解析】
【分析】我們可以根據(jù)這兩個公式列出關(guān)于的方程，再結(jié)合數(shù)據(jù)是自然數(shù)以及各個選項的特點進行分析判斷.
【詳解】已知樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，根據(jù)平均數(shù)公式，可得.又已知方差為，根據(jù)方差公式，
則. 展開結(jié)合，
則，則即，則.開方則.
不妨設(shè)，則，
（1）當時，，，顯然無解.
（2）當時，，，則，開方則.再討論：
令，顯然無滿足題意自然數(shù)解.
令，顯然無滿足題意自然數(shù)解.
（3）當時，，，則，開方則.再討論：
令，顯然無滿足題意自然數(shù)解.
令，顯然滿足題意自然數(shù)解.
（4）當時，，，則，開方則.又，則，顯然無滿足題意自然數(shù)解.
（5）當時，，，則，開方則.又，則顯然無滿足題意自然數(shù)解.
綜上所得，滿足題意得自然數(shù)解只有：.
分析各個選項.
眾數(shù)：眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多數(shù)，這里數(shù)據(jù)兩兩不同，沒有眾數(shù)，所以A選項錯誤.
上四分位數(shù)：，即，所以上四分位數(shù)為，B選項正確.
中位數(shù)：將數(shù)據(jù)從小到大排序為，中位數(shù)為. C選項正確
最小值：最小值為，D選項正確.
故選：BCD.
11. 數(shù)學家伯努利仿照橢圓的定義，找到了一種新的曲線：伯努利雙紐線．他是這樣定義雙紐線的：設(shè)兩個定點，動點到的距離之積為的點的軌跡．則下列說法正確的是（）
A. 雙紐線有對稱中心和對稱軸B. 雙紐線方程是
C. 的最大值為D. 面積的最大值為
【答案】ABD
【解析】
【分析】運用對稱性驗證即可；求曲線方程，需要根據(jù)距離公式建立等式；求的最大值以及面積的最大值則可以根據(jù)基本不等式和根據(jù)已有的條件和相關(guān)數(shù)學知識進行分析推導.
【詳解】對于A，因為，關(guān)于原點對稱，設(shè)點是雙紐線上的點，
那么點關(guān)于原點對稱點到，的距離之積與到，的距離之積相同.
關(guān)于軸，設(shè)在雙紐線上，點關(guān)于軸對稱的點到，的距離之積與到，的距離之積相同，所以雙紐線有對稱中心和對稱軸，A選項正確.
對于B，設(shè)，，.
因為，所以.
展開可得.
進一步展開.
令，則，即.
將代回得.
展開.
整理得，B選項正確.
對于C，由均值不等式.
已知，所以，當且僅當時取等號，
的最小值為，C選項錯誤.
對于D，設(shè)，根據(jù)三角形面積公式.
因為，所以.
因為最大值為，所以的最大值為，D選項正確.
故選；ACD.
非選擇題部分
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 已知點為拋物線的焦點，則點坐標為______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)拋物線方程和焦點坐標公式計算.
【詳解】已知點為拋物線的焦點，則焦點在x軸上，
則,由拋物線焦點坐標公式知道點坐標為.
故答案為：.
13. 若關(guān)于的方程有解，則的取值范圍是______．
【答案】
【解析】
【分析】利用三角換元轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問題求解可得
【詳解】令，則，
則，即.
方程有解，
可轉(zhuǎn)化為，
即關(guān)于的方程，有解.
設(shè)，，
則，
則當即時，
取最大值，；
當即時，
取最小值，；
則的值域為，
要使有解，則的取值范圍是.
故答案為：.
14. 棱長為2的正方體中，為內(nèi)一點，且，則的最小值為______．
【答案】
【解析】
【分析】連接與平面交于點，可得平面，從而可得點在圓上，結(jié)合圓的性質(zhì)可得的最小值，以及的值，即可得結(jié)果.
【詳解】如圖，連接與平面交于點，
因為為正方形，則，
又因為平面，平面，則，
且，平面，則平面，
由平面，則，
同理可得：，且，平面，
所以平面，
因為，且為邊長為的等邊三角形，
即，解得，
又因為，則，
且的內(nèi)切圓半徑，外接圓半徑，
即，可知點在以為圓心，半徑為的圓上（且在內(nèi)），
當且僅當點在線段上時，取到最小值，
又因為，可得，
所以的最小值為.
故答案為：.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是求得，分析可知點在以為圓心，半徑為的圓上（且在內(nèi)），結(jié)合圓的性質(zhì)分析求解.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟
15. 已知直線．
（1）若直線與直線平行，求的值；
（2）若圓關(guān)于直線的對稱圖形為曲線，直線過點，求曲線截直線所得的弦長的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)兩直線平行可得出關(guān)于實數(shù)的等式與不等式，即可解得實數(shù)的值；
（2）求出圓的標準方程，分析可知，當時，圓心到直線的距離最大，此時，圓截直線的弦長最短，利用勾股定理可求得弦長的最小值.
【小問1詳解】
因為直線與直線平行，
則，解得.
【小問2詳解】
圓關(guān)于直線的對稱圖形為曲線是圓，
圓的圓心為，半徑為，
設(shè)圓心，直線的斜率為，
由題意可得，解得，
所以，圓的標準方程為，
因為，所以，點在圓內(nèi)，
當時，圓心到直線的距離取最大值，且，
所以，圓截直線的弦長的最小值為.
16. 在平面四邊形中，，點在上且滿足，且
（1）求；
（2）若，求四邊形周長的最大值
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）在中，由正弦定理，，求解得和.
（2）由（1）結(jié)合已知求得，令，，由余弦定理及基本不等式可求出的最大值，即可求出四邊形周長的最大值.
【小問1詳解】
在中，由正弦定理得：，
又，則，于是．
【小問2詳解】
依題意，，
則，有，，
則，在中，，
令，在中，由余弦定理得，
于是，解得，當且僅當時取等號，
所以四邊形周長的最大值為.
17. 已知四棱錐的底面為等腰梯形，，

（1）求證：平面；
（2）若四棱錐的體積為，求二面角的平面角的余弦值
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
分析】（1）過點作，根據(jù)角度關(guān)系證明，結(jié)合可證明平面；
（2）方法一：根據(jù)四棱錐的體積先計算出四棱錐的高，然后建立空間直角坐標系分別求解出平面和平面的法向量，根據(jù)法向量夾角的余弦值求解出二面角的平面角的余弦值；方法二：通過三垂線作法先找到二面角的平面角，然后結(jié)合線段長度求解出二面角的平面角的余弦值.
【小問1詳解】
過點作交于點，如下圖所示，

四邊形為等腰梯形，，
，所以，即，即，
又平面，
平面.
【小問2詳解】
方法一：設(shè)四棱錐的高為，
，
四邊形為平行四邊形，
，
，
又平面；
如圖，以為原點，以方向為軸正方向，建立空間直角坐標系，

，，
，，且
，
設(shè)平面的法向量為m=x,y,z，則，
取，則，，
設(shè)面法向量為n=a,b,c，則，
取，則，得，
由題意，，
設(shè)二面角夾角為是鈍角，則．
方法二：設(shè)四棱錐的高為，，
，
又平面；
又平面平面平面，
過作交延長線于，
平面平面，平面平面，平面，
平面，
平面，
過作的垂線，垂足為，連，
由于平面，
平面
平面，，
則為所求二面角的平面角的補角．

，
四邊形平行四邊形，，
，，
，，
平面，平面，
，，
設(shè)二面角的平面角為則．
18. 橢圓，動直線與橢圓相切于點，且點在第一象限．
（1）若直線的斜率為．求點的坐標；
（2）若過原點的直線與垂直，垂足為，求面積的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）設(shè)直線：，與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)直線與橢圓相切，所以方程組只有一解，可求的值，進而可得切點坐標.
（2）設(shè)直線：，根據(jù)直線與橢圓相切，可得的關(guān)系；再根據(jù)直線，得到直線的方程，聯(lián)立直線的方程，可得點坐標，表示出的面積，結(jié)合基本（均值）不等式求最大值.
【小問1詳解】
設(shè)直線：，代入橢圓，
得：
動直線與橢圓相切于點．
又因為點在第一象限，．
方程的解為，得
【小問2詳解】
如圖：
設(shè)直線交軸于
因為直線與垂直，．聯(lián)立與，得
將代入橢圓
得
動直線與橢圓相切于點得
即
當且僅當，即時取等號．面積的最大值為．
【點睛】方法點睛：圓錐曲線中有關(guān)最值的問題，通常解法有：
（1）轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的最值問題解決；
（2）有時候要經(jīng)過換元，轉(zhuǎn)化成利用基本（均值）不等式求最值；
（3）采用三角換元，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求值域；
（4）少數(shù)題目利用求導，分析函數(shù)的單調(diào)性求最值.
19. 曼哈頓距離是一個充滿神秘與奧秘的距離，常用于需要按照網(wǎng)格布局移動的場景，例如無人駕駛出租車行駛、物流配送等．在算法設(shè)計中，曼哈頓距離也常用于圖像處理和路徑規(guī)劃等問題．曼哈頓距離用于標明兩個點在空間（平面）直角坐標系上的絕對軸距總和．例如在平面直角坐標系內(nèi)有兩個點它們之間的曼哈頓距離
（1）已知點，求的值；
（2）已知平面直角坐標系內(nèi)一定點，動點滿足，求動點圍成的圖形的面積：
（3）已知空間直角坐標系內(nèi)一定點，動點滿足，若動點圍成的幾何體的體積是，求的值．
【答案】（1）5 （2）8
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)定義計算即可；
（2）設(shè)，分類討論，去絕對值即可得到正方形，后求面積；
（3）動點圍成的幾何體為八面體，每個面均為邊長的正三角形，根據(jù)公式得到體積，求m．
【小問1詳解】
．
【小問2詳解】
設(shè)，
當時，；
當時，；
當時，；
當時，．
所以動點圍成的圖形是正方形，邊長為，面積為8．
【小問3詳解】
動點圍成的幾何體為八面體，每個面均為邊長的正三角形，
其體積為．
證明如下：
不妨將平移到，處，設(shè)，
若，則，
當時，即，
設(shè)，
由，得
所以四點共面，
所以當時，在邊長為的等邊三角形內(nèi)部（含邊界），
同理可知等邊三角形內(nèi)部任意一點，均滿足．
所以滿足方程的點，
構(gòu)成的圖形是邊長為的等邊三角形內(nèi)部（含邊界）、
由對稱性可知，圍成的圖形為八面體，每個面均為邊長為的等邊三角形．
故該幾何體體積．

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