【第一篇】專題解讀篇
【第二篇】目錄導(dǎo)航篇
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc27497" 【考點(diǎn)一】圓與長(zhǎng)方形的拼切轉(zhuǎn)化問題（圓面積推導(dǎo)公式） PAGEREF _Tc27497 \h 4
\l "_Tc29980" 【考點(diǎn)二】圓的面積 PAGEREF _Tc29980 \h 9
\l "_Tc31710" 【考點(diǎn)三】已知周長(zhǎng)，求圓的面積 PAGEREF _Tc31710 \h 11
\l "_Tc7547" 【考點(diǎn)四】半圓的面積 PAGEREF _Tc7547 \h 13
\l "_Tc29353" 【考點(diǎn)五】半圓的面積與生活實(shí)際應(yīng)用 PAGEREF _Tc29353 \h 15
\l "_Tc29180" 【考點(diǎn)六】圓與正方形、長(zhǎng)方形的等長(zhǎng)轉(zhuǎn)化問題 PAGEREF _Tc29180 \h 17
\l "_Tc12447" 【考點(diǎn)七】周長(zhǎng)相等，圓面積最大 PAGEREF _Tc12447 \h 20
\l "_Tc21333" 【考點(diǎn)八】含圓的陰影圖形面積大小比較 PAGEREF _Tc21333 \h 22
\l "_Tc20991" 【考點(diǎn)九】半徑、直徑和周長(zhǎng)、面積的三種關(guān)系其一：倍數(shù)關(guān)系 PAGEREF _Tc20991 \h 30
\l "_Tc22922" 【考點(diǎn)十】半徑、直徑和周長(zhǎng)、面積的三種關(guān)系其二：比例關(guān)系 PAGEREF _Tc22922 \h 33
\l "_Tc20609" 【考點(diǎn)十一】半徑、直徑和周長(zhǎng)、面積的三種關(guān)系其三：增長(zhǎng)變化關(guān)系 PAGEREF _Tc20609 \h 38
\l "_Tc14920" 【考點(diǎn)十二】長(zhǎng)方形中的最大圓 PAGEREF _Tc14920 \h 41
\l "_Tc27298" 【考點(diǎn)十三】外方內(nèi)圓 PAGEREF _Tc27298 \h 43
\l "_Tc17268" 【考點(diǎn)十四】外圓內(nèi)方 PAGEREF _Tc17268 \h 45
\l "_Tc8846" 【考點(diǎn)十五】外方內(nèi)圓與外圓內(nèi)方綜合＊ PAGEREF _Tc8846 \h 49
\l "_Tc4865" 【考點(diǎn)十六】圓面積的實(shí)際應(yīng)用其一：鐘表指針問題 PAGEREF _Tc4865 \h 52
\l "_Tc30998" 【考點(diǎn)十七】圓面積的實(shí)際應(yīng)用其二：相遇問題 PAGEREF _Tc30998 \h 54
\l "_Tc15994" 【考點(diǎn)十八】圓環(huán)的面積其一：整圓環(huán) PAGEREF _Tc15994 \h 58
\l "_Tc28050" 【考點(diǎn)十九】圓環(huán)的面積其二：半圓環(huán) PAGEREF _Tc28050 \h 62
【第三篇】典型例題篇
【考點(diǎn)一】圓與長(zhǎng)方形的拼切轉(zhuǎn)化問題（圓面積推導(dǎo)公式）。
【方法點(diǎn)撥】
把一個(gè)圓割成一個(gè)近似的長(zhǎng)方形，割拼成的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)相當(dāng)于圓周長(zhǎng)的一半，用字母πr表示，寬相當(dāng)于圓的半徑，用字母r表示，因?yàn)殚L(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬，所以圓的面積=πr2。
【典型例題1】基礎(chǔ)型。
把圓按下圖所示的順序逐步細(xì)分，拼成長(zhǎng)方形的樣子。這樣細(xì)分下去，圓的面積就是a和b的積。從圖中可以看出：

(1)a是圓的( )。
(2)b是圓的( )。
(3)如果a＝2厘米，這個(gè)圓的面積為( )。
【答案】(1)半徑
(2)周長(zhǎng)的一半
(3)12.56平方厘米
【分析】根據(jù)題圖可知，一個(gè)圓被平均分成的份數(shù)越多，拼成的圖形越接近長(zhǎng)方形。長(zhǎng)方形的寬a就是圓的半徑，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)b就是圓周長(zhǎng)的一半。根據(jù)“S＝πr2”求出圓的面積即可。
【詳解】（1）a是圓的半徑。
（2）b是圓的周長(zhǎng)的一半。
（3）3.14×42＝12.56（平方厘米）
【點(diǎn)睛】熟練掌握?qǐng)A面積的推導(dǎo)過程是解答本題的關(guān)鍵。
【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】
把一個(gè)圓平均分成若干份，正好可以拼成寬為4cm的長(zhǎng)方形，這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是( )cm，原來圓的面積是( )cm2。
【答案】 12.56 50.24
【分析】已知把一個(gè)圓剪拼成一個(gè)近似的長(zhǎng)方形，那么長(zhǎng)方形的長(zhǎng)等于圓的周長(zhǎng)的一半，寬等于圓的半徑；根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式C＝2πr，圓的面積公式S＝πr2，代入數(shù)據(jù)計(jì)算求解。
【詳解】2×3.14×4÷2＝12.56（cm）
3.14×42
＝3.14×16
＝50.24（cm2）
這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是12.56cm，原來圓的面積是50.24cm2。
【點(diǎn)睛】本題考查圓的面積公式推導(dǎo)過程的應(yīng)用，明確把一個(gè)圓剪拼成一個(gè)近似長(zhǎng)方形時(shí)，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬與圓的周長(zhǎng)、半徑的關(guān)系是解題的關(guān)鍵。
【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】
將一個(gè)圓沿半徑剪開，拼成一個(gè)近似的長(zhǎng)方形（如下圖），圓的面積是( )cm2。

【答案】12.56
【分析】將一個(gè)圓沿半徑剪開，拼成一個(gè)近似的長(zhǎng)方形，這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)相當(dāng)于圓的周長(zhǎng)的一半，根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式：C＝2πr，據(jù)此求出圓的半徑，再根據(jù)圓的面積公式：S＝πr2，據(jù)此計(jì)算即可。
【詳解】6.28÷3.14＝2（cm）
3.14×22＝3.14×4＝12.56（cm2）
則圓的面積是12.56cm2。
【點(diǎn)睛】本題考查圓的周長(zhǎng)和面積，熟記公式是解題的關(guān)鍵。
【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】
如圖，將一個(gè)圓形紙片等分成若干份，拼成一個(gè)近似的長(zhǎng)方形，周長(zhǎng)比原來圓周長(zhǎng)多8厘米，圓形紙片的半徑是( )厘米，這張圓形紙片的面積是( )平方厘米。

【答案】 4 50.24
【分析】根據(jù)圓面積公式的推導(dǎo)過程可知，把一個(gè)圓平均分成若干份，沿半徑剪開，再拼成一個(gè)近似長(zhǎng)方形，這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)等于圓周長(zhǎng)的一半，寬等于圓的半徑，拼成的長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)比圓的周長(zhǎng)增加了兩條半徑的長(zhǎng)度，據(jù)此可以求出圓的半徑，再根據(jù)圓的面積公式： ；把數(shù)據(jù)代入公式解答。
【詳解】8÷2＝4（厘米）
3.14×42
＝3.14×16
＝50.24（平方厘米）
圓形紙片的半徑是4厘米，這張圓形紙片的面積是50.24平方厘米。
【點(diǎn)睛】此題考查的目的是理解掌握?qǐng)A面積公式的推導(dǎo)過程及應(yīng)用，圓的周長(zhǎng)的意義及應(yīng)用。
【典型例題2】拓展型。
把圓剪開，拼成一個(gè)近似的長(zhǎng)方形，長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為41.4cm，這個(gè)圓的面積是( )。
【答案】78.5平方厘米/78.5cm2
【分析】將圓剪開拼接成一個(gè)近似的長(zhǎng)方形，，如圖所示，長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)＝圓的周長(zhǎng)＋兩個(gè)半徑，據(jù)此等量關(guān)系列方程求出圓的半徑，再代入圓的面積公式即可。
【詳解】解：設(shè)圓的半徑為r厘米。
2×3.14×r＋2r＝41.4
6.28r＋2r＝41.4
8.28r＝41.4
8.28r÷8.28＝41.4÷8.28
r＝5
圓的面積：
3.14×52
＝3.14×25
＝78.5（平方厘米）
這個(gè)圓的面積是78.5平方厘米。
【點(diǎn)睛】此題考查圓的面積公式，明確圓拼接成長(zhǎng)方形周長(zhǎng)會(huì)多兩個(gè)半徑是解題的關(guān)鍵。
【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】
把一個(gè)圓切割后拼成一個(gè)近似的長(zhǎng)方形，這個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為24.84厘米，原來這個(gè)圓的面積是( )平方厘米。
【答案】28.26
【分析】把一個(gè)圓剪開后拼成一個(gè)近似的長(zhǎng)方形，這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)就等于這個(gè)圓的周長(zhǎng)的一半，寬相當(dāng)于圓的半徑，據(jù)此先求出圓的半徑，再根據(jù)圓的面積公式計(jì)算即可
【詳解】解：設(shè)圓的半徑為r，則長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是πr，寬是r。
πr＋r＝24.84÷2
4.14r＝12.42
r＝3
3.14×32＝28.26（平方厘米）
則原來這個(gè)圓的面積是28.26平方厘米。
【點(diǎn)睛】考查了圓的周長(zhǎng)和圓的面積公式的推導(dǎo)，注意圓的周長(zhǎng)是拼成近似的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)的2倍。
【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】
把一個(gè)圓沿著半徑剪開，再拼成一個(gè)近似的長(zhǎng)方形（如右圖）。已知這個(gè)近似長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是24.84厘米，這個(gè)圓的面積是( )平方厘米。（π取3.14）
【答案】28.26
【分析】把一個(gè)圓形紙片剪開后，拼成一個(gè)寬等于半徑，面積相等的近似長(zhǎng)方形。這個(gè)近似長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)就比圓的周長(zhǎng)多了圓半徑的2倍，可求出圓的半徑，然后根據(jù)圓面積公式求出面積即可。
【詳解】圓的半徑是：
24.84÷（2＋3.14×2）
＝24.84÷（2＋6.28）
＝24.84÷8.28
＝3（厘米）
圓的面積是：
3.14×32
＝3.14×9
＝28.26（平方厘米）
【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)圓面積公式求圓面積以及把一個(gè)圓形剪開，拼成一個(gè)近似長(zhǎng)方形，解答此題應(yīng)注意這個(gè)近似長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)，就比圓的周長(zhǎng)多了圓半徑的2倍的知識(shí)。
【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】
如下圖，把一個(gè)圓等分后拼成一個(gè)近似長(zhǎng)方形，這個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是33.12厘米，那么這個(gè)圓的面積是( )平方厘米。
【答案】50.24
【分析】把圓等分后拼成一個(gè)近似長(zhǎng)方形，長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是圓形周長(zhǎng)加直徑，由此算出圓的半徑，代入圓的面積公式即可算出。
【詳解】設(shè)圓的半徑為r厘米
2r＋2πr＝33.12
解：2r＋2×3.14r＝33.12
2r＋6.28r＝33.12
8.28r＝33.12
r＝33.12÷8.28
r＝4
圓的面積：3.14×42
＝3.14×16
＝50.24（平方厘米）
【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵是知道圓的周長(zhǎng)與近似長(zhǎng)方形周長(zhǎng)關(guān)系，求出圓的半徑，解答問題。
【考點(diǎn)二】圓的面積。
【方法點(diǎn)撥】
圓的面積S=πr2。
【典型例題】
一個(gè)圓的直徑是，它的周長(zhǎng)是( )，面積是( )。
【答案】 6.28 3.14
【分析】圓的周長(zhǎng)＝πd，圓的面積＝πr2，據(jù)此解答。
【詳解】3.14×2＝6.28（cm）
3.14×（2÷2）2
＝3.14×1
＝3.14（cm2）
則它的周長(zhǎng)是6.28cm，面積是3.14cm2。
【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】
半徑是5米的圓形鼓樓中心盤，它的周長(zhǎng)是( )米，面積是( )平方米。
【答案】 31.4 78.5
【分析】根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式：周長(zhǎng)＝π×半徑×2，圓的面積公式：面積＝π×半徑2，代入數(shù)據(jù)，即可求出周長(zhǎng)和面積。
【詳解】3.14×5×2
＝15.7×2
＝31.4（米）
3.14×52
＝3.14×25
＝78.5（平方米）
半徑是5米的圓形鼓樓中心盤，它的周長(zhǎng)是31.4米，面積是78.5平方米。
【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】
一個(gè)圓的直徑是6厘米，半徑是( )厘米，周長(zhǎng)是( )厘米，面積是( )平方厘米。
【答案】 3 18.84 28.26
【分析】根據(jù)半徑＝直徑÷2，圓的周長(zhǎng)公式：C＝πd，圓的面積公式：S＝πr2，據(jù)此代入數(shù)值進(jìn)行計(jì)算即可。
【詳解】6÷2＝3（厘米）
3.14×6＝18.84（厘米）
3.14×32
＝3.14×9
＝28.26（平方厘米）
則一個(gè)圓的直徑是6厘米，半徑是3厘米，周長(zhǎng)是18.84厘米，面積是28.26平方厘米。
【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】
一個(gè)圓的半徑是2厘米，它的直徑是( )厘米，周長(zhǎng)是( )厘米，面積是( )平方厘米。
【答案】 4 12.56 12.56
【分析】在同一個(gè)圓內(nèi)，直徑是半徑的2倍，如果圓的半徑是2厘米，則直徑是（2×2）厘米，根據(jù)圓周長(zhǎng)公式：C＝2πr＝πd，用3.14×2×2即可求出圓周長(zhǎng)，根據(jù)圓面積公式：S＝πr2，用3.14×22即可求出圓面積。
【詳解】2×2＝4（厘米）
3.14×2×2＝12.56（厘米）
3.14×22
＝3.14×4
＝12.56（平方厘米）
一個(gè)圓的半徑是2厘米，它的直徑是4厘米，周長(zhǎng)是12.56厘米，面積是12.56平方厘米。
【考點(diǎn)三】已知周長(zhǎng)，求圓的面積。
【方法點(diǎn)撥】
已知圓的周長(zhǎng)，先求出圓的半徑，再根據(jù)圓的面積公式求面積。
【典型例題】
如果要畫一個(gè)周長(zhǎng)是6.28dm的圓，圓規(guī)兩腳間的距離是( )dm，所畫圓的面積是( )dm2。
【答案】 1 3.14
【分析】
圓規(guī)兩腳間的距離即為圓的半徑，根據(jù)C＝2πr，則r＝C÷2÷π，再根據(jù)圓的面積S＝πr2，代入數(shù)據(jù)即可算出圓的面積。
【詳解】6.28÷2÷3.14
＝3.14÷3.14
＝1（dm）
3.14×12＝3.14（dm2）
圓規(guī)兩腳間的距離是1dm，所畫圓的面積是3.14dm2。
【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】
用一根長(zhǎng)12.56cm的鐵絲圍成一個(gè)最大的圓，圓的周長(zhǎng)是( )厘米，圓的面積是( )平方厘米。
【答案】 12.56 12.56
【分析】
這根鐵絲的長(zhǎng)度就是圓的周長(zhǎng)；根據(jù)圓的周長(zhǎng)C＝2πr，那么r＝C÷π÷2，圓的面積公式：S＝πr2，把數(shù)據(jù)代入公式即可解答。
【詳解】12.56÷3.14÷2
＝4÷2
＝2（厘米）
3.14×22
＝3.14×4
＝12.56（平方厘米）
所以，用一根長(zhǎng)12.56cm的鐵絲圍成一個(gè)最大的圓，圓的周長(zhǎng)是12.56厘米，圓的面積是12.56平方厘米。
【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】
劉師傅有一根長(zhǎng)15.7cm的鐵絲，將它彎成一個(gè)最大的圓形鐵環(huán)，它的半徑是( )cm，圓的面積是( )cm2。
【答案】 2.5 19.625
【分析】鐵絲長(zhǎng)度相當(dāng)于圓的周長(zhǎng)，根據(jù)圓的半徑＝周長(zhǎng)÷圓周率÷2，圓的面積＝圓周率×半徑的平方，列式計(jì)算即可。
【詳解】15.7÷3.14÷2＝2.5（cm）
3.14×2.52
＝3.14×6.25
＝19.625（cm2）
它的半徑是2.5cm，圓的面積是19.625cm2。
【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】
用圓規(guī)畫一個(gè)周長(zhǎng)為25.12厘米的圓，圓規(guī)兩腳間的距離應(yīng)取( )厘米，所畫圓的面積是( )平方厘米。
【答案】 4 50.24
【分析】圓周長(zhǎng)＝2πr，那么將圓周長(zhǎng)除以2再除以3.14，即可求出半徑，即圓規(guī)兩腳間的距離。圓面積＝πr2，將半徑的值代入圓面積公式中，即可求出它的面積。
【詳解】25.12÷2÷3.14＝4（厘米）
3.14×42＝50.24（平方厘米）
所以，圓規(guī)兩腳間的距離應(yīng)取4厘米，所畫圓的面積是50.24平方厘米。
【考點(diǎn)四】半圓的面積。
【方法點(diǎn)撥】
半圓的面積：S半圓=πr2÷2。
【典型例題】
一個(gè)半圓半徑為3厘米，它的面積是( )平方厘米，周長(zhǎng)是( )厘米。
【答案】 14.13 15.42
【分析】根據(jù)半圓的面積、半圓周長(zhǎng)的意義，半圓的面積等于該圓面積的一半，半圓的周長(zhǎng)等于該圓周長(zhǎng)的一半加上一條直徑的長(zhǎng)度，根據(jù)半圓的面積公式：S＝πr2÷2，半圓的周長(zhǎng)公式：C＝πr＋2r，把數(shù)據(jù)代入公式解答。
【詳解】3.14×32÷2
＝3.14×9÷2
＝28.26÷2
＝14.13（平方厘米）
3.14×3＋3×2
＝9.42＋6
＝15.42（厘米）
則它的面積是14.13平方厘米，周長(zhǎng)是15.42厘米。
【點(diǎn)睛】此題主要考查半圓的面積公式、半圓的周長(zhǎng)公式的靈活運(yùn)用，關(guān)鍵是熟記公式。
【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】
直徑是4厘米的半圓，它的周長(zhǎng)是( )，面積是( )。
【答案】 10.28厘米/10.28cm 6.28平方厘米/6.28cm2
【分析】周長(zhǎng)是指封閉圖形一周的長(zhǎng)度，據(jù)此得出半圓的周長(zhǎng)＝圓周長(zhǎng)的一半＋直徑，根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式C＝πd求解；
半圓的面積＝圓的面積÷2，根據(jù)圓的面積公式S＝πr2求解。
【詳解】半圓的周長(zhǎng)：
3.14×4÷2＋4
＝6.28＋4
＝10.28（厘米）
半圓的面積：
3.14×（4÷2）2÷2
＝3.14×4÷2
＝6.28（平方厘米）
直徑是4厘米的半圓，它的周長(zhǎng)是10.28厘米，面積是6.28平方厘米。
【點(diǎn)睛】本題考查圓的周長(zhǎng)、圓的面積公式的運(yùn)用，掌握半圓的周長(zhǎng)、半圓的面積的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵。
【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】
把一張周長(zhǎng)是18.84dm的圓形紙片對(duì)折成半圓，這個(gè)半圓的周長(zhǎng)是( )dm，面積是( )dm2。
【答案】 15.42 14.13
【分析】由圓的周長(zhǎng)可知：，據(jù)此用18.84÷3.14÷2求出圓的半徑；再根據(jù)半圓的周長(zhǎng)求出這個(gè)半圓的周長(zhǎng)，即3.14×3＋2×3；根據(jù)圓的面積求出圓的面積，再用圓的面積÷2求出半圓的面積，即3.14×32÷2。
【詳解】18.84÷3.14÷2
＝6÷2
＝3（dm）
3.14×3＋2×3
＝9.42＋6
＝15.42（dm）
3.14×32÷2
＝3.14×9÷2
＝28.26÷2
＝14.13（dm2）
所以這個(gè)半圓的周長(zhǎng)是15.42dm，面積是14.13dm2。
【點(diǎn)睛】解決此題時(shí)應(yīng)注意半圓的周長(zhǎng)并不等于圓周長(zhǎng)的一半。
【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】
一個(gè)周長(zhǎng)為20.56 cm的半圓，它半徑是( )cm，面積是( )cm2。
【答案】 4 25.12
【分析】半圓周長(zhǎng)＝πr＋2r，所以半圓的半徑＝半圓的周長(zhǎng)÷（π＋2）；半圓的面積＝πr2÷2，據(jù)此列式計(jì)算。
【詳解】20.56÷（3.14＋2）
＝20.56÷5.14
＝4（cm）
3.14×42÷2
＝3.14×16÷2
＝25.12（cm2）
一個(gè)周長(zhǎng)為20.56 cm的半圓，它半徑是4cm，面積是25.12cm2。
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵是掌握并靈活運(yùn)用半圓的周長(zhǎng)和面積公式。
【考點(diǎn)五】半圓的面積與生活實(shí)際應(yīng)用。
【方法點(diǎn)撥】
半圓的面積：S半圓=πr2÷2。
【典型例題】
李奶奶用15.7米長(zhǎng)的籬笆靠墻圍成一個(gè)半圓形的菜園，這個(gè)菜園的面積是( )。
解析：
15.7÷3.14＝5（米）
3.14××52÷2
＝3.14×25÷2
＝39.25（平方米）
【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】
李奶奶家的養(yǎng)雞場(chǎng)（如圖），一面靠墻，一面用竹籬笆圍成半圓，它的半徑是6m。
（1）修這個(gè)養(yǎng)雞場(chǎng)用了多長(zhǎng)的竹籬笆？
（2）李奶奶要擴(kuò)建這個(gè)養(yǎng)雞場(chǎng)，把它的半徑增加2m。養(yǎng)雞場(chǎng)的面積會(huì)增加多少？
解析：
（1）3.14×6×2÷2
＝18.84×2÷2
＝18.84（米）
答：修這個(gè)養(yǎng)雞場(chǎng)用了18.84米的竹籬笆。
（2）3.14×（6＋2）2÷2－3.14×62÷2
＝3.14×32－3.14×18
＝3.14×14
＝43.96（平方米）
答：養(yǎng)雞場(chǎng)的面積會(huì)增加43.96平方米。
【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】
東東家有一個(gè)一面靠墻，另一面用籬笆圍成的半圓形養(yǎng)雞場(chǎng)，這個(gè)半圓的直徑是8米，籬笆長(zhǎng)多少米？雞場(chǎng)占地多少平方米？
解析：籬笆長(zhǎng)12.56米，雞場(chǎng)占地50.24平方米。
【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】
王奶奶用78.5米長(zhǎng)的籬笆靠墻圍成了一個(gè)半圓形的養(yǎng)雞場(chǎng)。這個(gè)養(yǎng)雞場(chǎng)的占地面積是多少平方米？
解析：
r＝78.5÷3.14＝25（米）
3.14×252÷2＝981.25（平方米）
答：這個(gè)養(yǎng)雞場(chǎng)的占地面積是981.25平方米。
【考點(diǎn)六】圓與正方形、長(zhǎng)方形的等長(zhǎng)轉(zhuǎn)化問題。
【方法點(diǎn)撥】
用同一根鐵絲圍成正方形、正方形或圓，周長(zhǎng)不變，以此求面積。
【典型例題1】等長(zhǎng)轉(zhuǎn)化其一。
一根鐵絲圍成了一個(gè)邊長(zhǎng)7.85厘米的正方形（接頭不計(jì)），如果把這根鐵絲圍成最大的圓（接頭不計(jì)），圓的周長(zhǎng)是( )厘米，圓的面積是( )平方厘米。
【答案】 31.4 78.5
【分析】用一根鐵絲圍成了一個(gè)正方形，那么鐵絲的長(zhǎng)度等于正方形的周長(zhǎng)；根據(jù)正方形的周長(zhǎng)＝邊長(zhǎng)×4，求出這根鐵絲的長(zhǎng)度；
又用這根鐵絲圍成最大的圓，那么圓的周長(zhǎng)等于這根鐵絲的長(zhǎng)度，根據(jù)r＝C÷π÷2，求出圓的半徑，再根據(jù)圓的面積S＝πr2，即可求出圓的面積。
【詳解】正方形的周長(zhǎng)（圓的周長(zhǎng)）：
7.85×4＝31.4（厘米）
圓的半徑：
31.4÷3.14÷2＝5（厘米）
圓的面積：
3.14×52
＝3.14×25
＝78.5（平方厘米）
圓的周長(zhǎng)是31.4厘米，面積是78.5平方厘米。
【點(diǎn)睛】本題考查正方形的周長(zhǎng)、圓的周長(zhǎng)、圓的面積公式的靈活運(yùn)用，明確用一根鐵絲圍成一個(gè)圖形，鐵絲長(zhǎng)度等于這個(gè)圖形的周長(zhǎng)。
【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】
一根鐵絲可以圍成一個(gè)邊長(zhǎng)為1.57dm的正方形，如果用這根鐵絲圍成一個(gè)圓形，那么這個(gè)圓形的面積是( )dm2。
【答案】0.19625
【分析】根據(jù)題意，圍成正方形的周長(zhǎng)即是圍成圓的周長(zhǎng)，可根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式：C＝2πr，進(jìn)行計(jì)算即可得到圍成圓的半徑的長(zhǎng)度，然后根據(jù)圓的面積公式，列式解答即可得到答案。
【詳解】1.57÷3.14÷2
＝0.5÷2
＝0.25（dm）
3.14×0.252
＝3.14×0.0625
＝0.19625（平方分米）
【點(diǎn)睛】此題主要考查的是圓的周長(zhǎng)和面積公式的應(yīng)用。
【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】
兩根同樣長(zhǎng)的鐵絲分別圍成一個(gè)正方形和一個(gè)圓，已知正方形的邊長(zhǎng)是6.28厘米，圓的半徑是( )厘米，面積是( )平方厘米。
【答案】 4 50.24
【分析】用6.28×4求出正方形的周長(zhǎng)，也是圓的周長(zhǎng)，再根據(jù)“r＝c÷π÷2”、“s＝πr2”求出圓的半徑和面積即可。
【詳解】6.28×4÷3.14÷2
＝25.12÷3.14÷2
＝4（厘米）；
3.14×42＝50.24（平方厘米）
【點(diǎn)睛】明確正方形和圓的周長(zhǎng)相等是解答本題的關(guān)鍵，熟練掌握的圓的周長(zhǎng)和面積公式。
【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】
用一根長(zhǎng)15.7厘米的鐵絲圍成一個(gè)正方形，正方形的面積是( )平方厘米；如果用這根鐵絲圍成一個(gè)圓，這個(gè)圓的面積是( )平方厘米。
【答案】15.405625，19.625
【詳解】試題分析：（1）用一根長(zhǎng)15.7厘米的鐵絲圍成一個(gè)正方形，這個(gè)正方形的周長(zhǎng)就是15.7厘米，用它除以4，求出這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，再根據(jù)正方形的面積公式，求出它面積，
（2）用一根長(zhǎng)15.7厘米的鐵絲圍成一個(gè)圓，這個(gè)圓的周長(zhǎng)就是15.7，用它除以2，再除以π，求出這個(gè)圓的半徑，再根據(jù)圓的面積公式求出圓的面積．
解：（1）15.7÷4=3.925（厘米），
3.925×3.925=15.405625（平方厘米）．
（2）15.7÷2÷3.14=2.5（厘米），
3.14×2.52=3.14×6.25=19.625（平方厘米）．
故答案為15.405625，19.625．
點(diǎn)評(píng)：本題的關(guān)鍵是求出這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)和圓的半徑，再根據(jù)正方形和圓的面積公式進(jìn)行解答．
【典型例題2】等長(zhǎng)轉(zhuǎn)化其二。
一根鐵絲剛好能圍成一個(gè)長(zhǎng)8厘米，寬4.56厘米的長(zhǎng)方形。如果將這根鐵絲圍成一個(gè)圓，這個(gè)圓的面積有多少平方厘米？
【答案】50.24平方厘米
【分析】長(zhǎng)方形周長(zhǎng)＝（長(zhǎng)＋寬）×2，據(jù)此先求出長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)，即圍成圓的周長(zhǎng)。將圓的周長(zhǎng)除以2再除以圓周率3.14，求出圓的半徑。圓的面積S＝πr2，將數(shù)據(jù)代入其中，求出圍成圓的面積。
【詳解】（8＋4.56）×2
＝12.56×2
＝25.12（厘米）
25.12÷2÷3.14
＝12.56÷3.14
＝4（厘米）
3.14×42＝50.24（平方厘米）
答：這個(gè)圓的面積有50.24平方厘米。
【點(diǎn)睛】本題考查了圓的周長(zhǎng)和面積，熟記圓的周長(zhǎng)和面積公式是解題的關(guān)鍵。
【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】
一段鐵絲剛好能圍成一個(gè)長(zhǎng)10.5厘米、寬2.06厘米的長(zhǎng)方形，用同樣長(zhǎng)的鐵絲圍成一個(gè)最大的圓，這個(gè)圓的面積是多少平方厘米？
【答案】50.24平方厘米
【分析】通過長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)＝（長(zhǎng)＋寬）×2，代入長(zhǎng)和寬的數(shù)據(jù)，求出鐵絲的長(zhǎng)度，再根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式：C＝，可得r＝C÷2÷，代入數(shù)據(jù)，求出圓的半徑之后，根據(jù)圓的面積公式：S＝即可求出這個(gè)圓的面積。
【詳解】（10.5＋2.06）×2
＝12.56×2
＝25.12（厘米）
25.12÷2÷3.14＝4（厘米）
3.14×4×4＝50.24（平方厘米）
答：這個(gè)圓的面積是50.24平方厘米。
【點(diǎn)睛】此題的解題關(guān)鍵是抓住鐵絲的長(zhǎng)度不變，靈活運(yùn)用長(zhǎng)方形和圓的周長(zhǎng)公式，最后再利用圓的面積公式求出結(jié)果。
【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】
一根鐵絲圍成一個(gè)長(zhǎng)10cm，寬5.7cm的長(zhǎng)方形，用這根鐵絲再圍成一個(gè)最大的圓形，這個(gè)圓形的面積是多少?
【答案】78.5cm2
【詳解】(10+5.7)×2÷2÷3.14=5(cm)
3.14×=78.5(cm2)
【考點(diǎn)七】周長(zhǎng)相等，圓面積最大。
【方法點(diǎn)撥】
周長(zhǎng)相等的圖形（長(zhǎng)方形、正方形、圓）中，圓的面積最大。
【典型例題】
有一根628厘米長(zhǎng)的鐵絲，如果用它正好圍成一個(gè)長(zhǎng)方形（長(zhǎng)和寬自己確定），面積是多少？要圍成一個(gè)正方形，面積是多少？圍成圓呢？圍成的圖形中，哪種面積最大？
【答案】22800平方厘米，24649平方厘米，31400平方厘米，圓的面積最大
【詳解】試題分析：周長(zhǎng)一定，分別依據(jù)長(zhǎng)方形、正方形和圓的周長(zhǎng)公式求出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，正方形的邊長(zhǎng)，圓的半徑，進(jìn)而分別求出其面積．
解：長(zhǎng)方形：628÷2=314（厘米），
假設(shè)長(zhǎng)為200厘米，則寬為114厘米，其面積是200×114=22800（平方厘米），
正方形：628÷4=157（厘米），其面積為157×157=24649平方厘米），
圓：628÷2π=100（厘米），其面積為3.14×1002=31400（平方厘米），
答：長(zhǎng)方形的面積是22800平方厘米，正方形的面積是24649平方厘米，圓的面積是31400平方厘米；由以上可知圓的面積最大．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查長(zhǎng)方形、正方形及圓的面積公式，將數(shù)據(jù)代入公式即可．
【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】
用三根同樣長(zhǎng)的鐵絲分別圍成一個(gè)圓、一個(gè)長(zhǎng)方形和一個(gè)正方形，其中( )的面積最大。
【答案】圓
【分析】根據(jù)題意可知，鐵絲的長(zhǎng)度是圍成圖形的周長(zhǎng)，此題用舉例法解答，先假設(shè)正方形、長(zhǎng)方形和圓形的周長(zhǎng)都是16米，分別求出圓、正方形、長(zhǎng)方形的面積，然后比較大小即可。
【詳解】假設(shè)正方形、長(zhǎng)方形和圓形的周長(zhǎng)都是16米，
則圓的面積為：π×（）2≈20.38（平方米）；
正方形的邊長(zhǎng)為：16÷4＝4（米），面積為：4×4＝16（平方米）；
長(zhǎng)方形長(zhǎng)、寬越接近，面積越大，就取長(zhǎng)為5米、寬為3米，面積為：5×3＝15（平方米），
當(dāng)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬最接近時(shí)面積也小于16平方米；
所以周長(zhǎng)相等的正方形、長(zhǎng)方形和圓形，圓面積最大。
【點(diǎn)睛】所以周長(zhǎng)相等，圓面積＞正方形面積＞長(zhǎng)方形面積。
【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】
把一根24分米長(zhǎng)的鐵絲平均截成3段，一段圍成正方形，一段圍成長(zhǎng)方形，另一段圍成一個(gè)圓，其中，( )面積最大，( )面積最小。
【答案】圓；長(zhǎng)方形
【詳解】試題分析：由題意得：三種圖形的周長(zhǎng)相等，是24÷3=8（分米），分別計(jì)算出面積，再比較大?。?br>解：①正方形面積為：（8÷4）×（8÷4）=4（平方分米）；
②長(zhǎng)方形長(zhǎng)與寬的和是：8÷2=4（分米），面積最大為：1×3=3（平方分米）；
③圓的半徑為：8÷2÷3.14≈1.3（分米），圓的面積為：3.14×1.32=5.3066（平方分米）；
所以：3＜4＜5.3066，即圓的面積最大，長(zhǎng)方形的面積最小．
故答案為圓；長(zhǎng)方形．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查正方體、長(zhǎng)方形、圓的面積計(jì)算，明確它們的周長(zhǎng)相等時(shí)，圓的面積最大，長(zhǎng)方形面積最?。?br>【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】
把一根24分米長(zhǎng)的鐵絲平均截成3段，一段圍成正方形，一段圍成長(zhǎng)方形，另一段圍成一個(gè)圓．其中，( )面積最大，( )面積最小。
【答案】圓；長(zhǎng)方形
【詳解】試題分析：由題意得：三種圖形的周長(zhǎng)相等，是24÷3=8（分米），分別計(jì)算出面積，再比較大小．
解：①正方形面積為：（8÷4）×（8÷4）=4（平方分米）；
②長(zhǎng)方形長(zhǎng)與寬的和是：8÷2=4（分米），面積最大為：1×3=3（平方分米）；
③圓的半徑為：8÷2÷3.14≈1.3（分米），圓的面積為：3.14×1.32=5.3066（平方分米）；
所以：3＜4＜5.3066，即圓的面積最大，長(zhǎng)方形的面積最?。?br>故答案為圓；長(zhǎng)方形．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查正方體、長(zhǎng)方形、圓的面積計(jì)算，明確它們的周長(zhǎng)相等時(shí)，圓的面積最大，長(zhǎng)方形面積最?。?br>【考點(diǎn)八】含圓的陰影圖形面積大小比較。
【方法點(diǎn)撥】
當(dāng)不同位置的圓半徑或直徑相等時(shí)，面積也相等。
【典型例題1】其一。
觀察下邊兩個(gè)圖形中的陰影部分，它們周長(zhǎng)和面積的大小關(guān)系是( )。
A．周長(zhǎng)和面積都相等B．周長(zhǎng)和面積都不相等C．周長(zhǎng)不相等，面積相等
【答案】C
【分析】觀察圖形可知，左圖中兩個(gè)完全一樣的半圓可以組成一個(gè)圓；左圖陰影部分的周長(zhǎng)＝圓的周長(zhǎng)＋正方形的兩條邊長(zhǎng)，左圖陰影部分的面積＝正方形的面積－圓的面積；
右圖中4個(gè)完全一樣的圓可以組成一個(gè)圓；右圖陰影部分的周長(zhǎng)＝圓的周長(zhǎng)，右圖陰影部分的面積＝正方形的面積－圓的面積；通過觀察可知，左右正方形的邊長(zhǎng)相等，圓直徑相等，所以左右兩邊的陰影部分面積相等，左邊陰影部分的周長(zhǎng)大于右邊陰影部分的周長(zhǎng)。
【詳解】通過分析可知，兩個(gè)圖形中陰影部分圖形的面積相等，周長(zhǎng)不相等，第一個(gè)圖形中陰影部分的周長(zhǎng)多出兩條邊長(zhǎng)。
故答案為：C
【點(diǎn)睛】本題采用轉(zhuǎn)化的方法，把不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形就可以找到解答的方法。
【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】
在下圖兩個(gè)邊長(zhǎng)相等的正方形中，涂色部分比較，( )。

A．周長(zhǎng)相等，面積不相等B．周長(zhǎng)和面積都相等C．面積相等，周長(zhǎng)不相等
【答案】C
【分析】假設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2厘米，通過觀察可知，第一個(gè)陰影部分的周長(zhǎng)＝2厘米的邊長(zhǎng)×2＋直徑是2厘米的圓周長(zhǎng)的×2，第二個(gè)陰影部分的周長(zhǎng)＝直徑是2厘米的圓周長(zhǎng)的×4，第一個(gè)陰影部分的面積＝一個(gè)邊長(zhǎng)是2厘米的正方形的面積－直徑是2厘米的圓面積的×2，第二個(gè)陰影部分的面積＝一個(gè)邊長(zhǎng)是2厘米的正方形的面積－直徑是2厘米的圓面擁的×4，根據(jù)正方形的面積＝邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)、圓的周長(zhǎng)＝πd和圓的面積＝πr2求解，再比較即可。
【詳解】假設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2厘米，
第一個(gè)陰影部分的周長(zhǎng)：2×2＋3.14×2××2
＝4＋6.28××2
＝4＋6.28
＝10.28（厘米）
第二個(gè)陰影部分的周長(zhǎng)：3.14×2××4
＝3.14×2
＝6.28（厘米）
10.28＞6.28
第一個(gè)陰影部分的面積：2×2－3.14×（2÷2）2××2
＝4－3.14×1
＝4－3.14
＝0.86（平方厘米）
第二個(gè)陰影部分的面積：2×2－3.14×（2÷2）2××4
＝4－3.14×1××4
＝4－3.14
＝0.86（平方厘米）
0.86＝0.86
所以兩個(gè)邊長(zhǎng)相等的正方形中，陰影部分的周長(zhǎng)不相等，面積相等。
故答案為：C
【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】
如圖，比較兩個(gè)正方形中的陰影部分，周長(zhǎng)、面積的大小關(guān)系為( )。
A．面積不相等，周長(zhǎng)相等B．周長(zhǎng)不相等，面積相等
C．周長(zhǎng)和面積都不相等D．周長(zhǎng)和面積都相等
【答案】B
【分析】觀察圖形可知，兩個(gè)圖形的空白部分都可以組成一個(gè)圓，且圓的直徑等于正方形的邊長(zhǎng)。
左圖陰影部分的周長(zhǎng)＝圓的周長(zhǎng)，右圖陰影部分的周長(zhǎng)＝圓的周長(zhǎng)＋正方形的4條邊長(zhǎng)；因?yàn)閮蓚€(gè)圖形圓的周長(zhǎng)相等，那么左圖陰影部分的周長(zhǎng)小于右圖陰影部分的周長(zhǎng)。
兩個(gè)圖形的陰影部分的面積＝正方形的面積－圓的面積，因?yàn)閮蓚€(gè)圖形的正方形面積相等，圓的面積也相等，所以兩個(gè)圖形陰影部分的面積相等。
可以設(shè)兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為2cm，根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式C＝πd，圓的面積公式S＝πr2，正方形的面積公式S＝a2，代入數(shù)據(jù)計(jì)算解答。
【詳解】設(shè)兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)都是2cm。
左圖陰影部分的周長(zhǎng)：
3.14×2＝6.28（cm）
右圖陰影部分的周長(zhǎng)：
3.14×2＋2×4
＝6.28＋8
＝14.28（cm）
6.28≠14.28，陰影部分的周長(zhǎng)不相等。
左圖陰影部分的面積：
2×2－3.14×（2÷2）2××4
＝4－3.14×12××4
＝4－3.14
＝0.86（cm2）
右圖陰影部分的面積：
2×2－3.14×（2÷2）2××2
＝4－3.14×12××2
＝4－3.14
＝0.86（cm2）
0.86＝0.86，陰影部分的面積相等。
綜上所述，兩個(gè)正方形中的陰影部分周長(zhǎng)、面積的大小關(guān)系為：周長(zhǎng)不相等，面積相等。
故答案為：B
【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】
如圖所示，兩個(gè)正方形大小相同，關(guān)于兩個(gè)圖形陰影部分的說法正確的是( )。
A．周長(zhǎng)不相等，面積相等B．周長(zhǎng)和面積都不相等
C．周長(zhǎng)相等，面積不相等D．周長(zhǎng)和面積都相等
【答案】B
【分析】左圖陰影部分的周長(zhǎng)等于4個(gè)圓的周長(zhǎng)（即一個(gè)圓的周長(zhǎng)），右圖陰影部分的周長(zhǎng)等于2個(gè)半圓的周長(zhǎng)加2條直徑的長(zhǎng)度，所以兩個(gè)圖形陰影部分的周長(zhǎng)不相等；左圖陰影部分的面積＝正方形的面積－4個(gè)圓的面積（即一個(gè)圓的面積），右圖陰影部分的面積＝兩個(gè)半圓的面積（即一個(gè)圓的面積），所以兩個(gè)圖形陰影部分的面積也不相等。
【詳解】由分析可知，兩個(gè)圖形陰影部分的周長(zhǎng)和面積都不相等；
故答案為：B
【典型例題2】其二。
從甲、乙兩張完全相同的正方形紙上剪下一些圓形紙片（如下圖），兩塊正方形紙剩余的面積相比，( )。
A．甲剩余的面積大B．乙剩余的面積大C．甲和乙剩余的面積一樣大
【答案】C
【分析】觀察圖形可知，甲剩余的面積＝正方形的面積－空白圓的面積，乙剩余的面積＝正方形的面積－4個(gè)空白小圓的面積之和。正方形的面積＝邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)，圓的面積＝πr2。設(shè)正方形的邊長(zhǎng)是a，用含有字母的式子分別表示正方形和圓的面積，繼而求出兩塊正方形紙剩下的面積。據(jù)此解答。
【詳解】設(shè)正方形的邊長(zhǎng)是a。
甲剩下的面積：a2－π×（）2
＝a2－π×
＝a2－πa2
乙剩下的面積：a2－π×（）2×4
＝a2－π××4
＝a2－πa2
甲和乙剩下的面積都是a2－πa2，則兩塊正方形紙剩余的面積相比，甲和乙剩余的面積一樣大。
故答案為：C
【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】
如圖，用甲乙兩塊完全相同的正方形鐵皮切割圓形鐵片，兩塊正方形鐵皮剩余的面積相比，( )。
A．甲剩余的面積大B．乙剩余的面積大C．一樣大
【答案】C
【分析】通過觀察圖形可知，甲圖中每個(gè)圓的直徑等于正方形邊長(zhǎng)的，乙圖中每個(gè)圓的直徑等于正方形邊長(zhǎng)的，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a，根據(jù)正方形的面積公式：S＝a2，圓的面積公式：S＝πr2，正方形面積減去所有切割圓的面積等于剩余鐵皮面積，把數(shù)據(jù)分別代入公式求出甲、乙剩余鐵皮的面積，然后進(jìn)行比較即可。
【詳解】設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a，則甲圖中每個(gè)圓的直徑為a，半徑為a÷2＝a。
乙圖中每個(gè)圓的直徑為a，半徑為a。
甲圖剩余鐵皮的面積：
a2－π×（a）2×9
＝a2－π×a2×9
＝a2－πa2
乙圖剩余鐵皮的面積：
a2－π×（a）2×16
＝a2－π×a2×16
＝a2－πa2
甲、乙正方形剩余鐵皮面積都是a2－，所以甲、乙剩余鐵皮的面積一樣大。
故答案為：C。
【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】
從兩個(gè)相同規(guī)格的正方形鐵皮上分別剪下不同規(guī)格的圓（如圖），剩下的鐵皮面積相比較( )。
A．圖1大B．圖2大C．相等D．無法比較
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，可以設(shè)兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)都是4cm；
圖1：圓的直徑等于正方形的邊長(zhǎng)，剩下的鐵皮面積＝正方形的面積－圓的面積；
圖2：圓的直徑等于正方形的邊長(zhǎng)÷2，剩下的鐵皮面積＝正方形的面積－4個(gè)圓的面積；
根據(jù)正方形的面積公式S＝a2，圓的面積公式S＝πr2，代入數(shù)據(jù)計(jì)算，分別求出兩個(gè)圖形剩下的鐵皮的面積，再比較，得出結(jié)論。
【詳解】設(shè)兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)都是4cm；
圖1剩下鐵皮的面積：
4×4－3.14×（4÷2）2
＝16－3.14×22
＝16－3.14×4
＝16－12.56
＝3.44（cm2）
圖2剩下鐵皮的面積：
4×4－3.14×（4÷2÷2）2×4
＝16－3.14×12×4
＝16－12.56
＝3.44（cm2）
3.44＝3.44，所以兩個(gè)圖形剩下的鐵皮面積相等。
故答案為：C
【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】
從三張同樣大小的正方形鐵皮中，分別按下面的三種方式剪出不同規(guī)格的圓片。剪完圓片后，哪張鐵皮剩下的廢料多？( )
A．第一張B．第二張C．第三張D．一樣多
【答案】D
【分析】假設(shè)正方形的邊長(zhǎng)是12厘米，第一張圖圓的直徑等于正方形的邊長(zhǎng)，第二張圖每個(gè)小圓的直徑等于正方形邊長(zhǎng)的，第三張圖中每個(gè)小圓的直徑等于正方形邊長(zhǎng)的；據(jù)此用12÷2即可求出第一張圖圓的半徑，把正方形邊長(zhǎng)看作單位“1”，根據(jù)分?jǐn)?shù)乘法的意義，用12×÷2即可求出第二張圖每個(gè)小圓的半徑，用12×÷2即可求出第三張圖每個(gè)小圓的半徑，再根據(jù)圓面積公式：S＝πr2，最后分別計(jì)算每個(gè)圖所有圓的面積或面積和，比較大小即可。
【詳解】假設(shè)正方形的邊長(zhǎng)是12厘米，
第一張圖：12÷2＝6（厘米）
3.14×62
＝3.14×36
＝113.04（平方厘米）
第二張圖：12×÷2＝2（厘米）
3.14×22×9
＝3.14×4×9
＝3.14×36
＝113.04（平方厘米）
第三張圖：12×÷2＝1.5（厘米）
3.14×1.52×16
＝3.14×2.25×16
＝3.14×36
＝113.04（平方厘米）
剪去的面積相等，所以剩下的廢料的面積也相等。
三張鐵皮剩下的廢料一樣多。
故答案為：D
【點(diǎn)睛】解答本題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確分析出每個(gè)圓的直徑與正方形邊長(zhǎng)之間的關(guān)系。
【考點(diǎn)九】半徑、直徑和周長(zhǎng)、面積的三種關(guān)系其一：倍數(shù)關(guān)系。
【方法點(diǎn)撥】
在同一個(gè)圓里，半徑擴(kuò)大或縮小多少倍，直徑和周長(zhǎng)也擴(kuò)大或縮小相同的倍數(shù)，面積擴(kuò)大倍數(shù)的平方倍。
【典型例題1】倍數(shù)關(guān)系其一。
圓的半徑擴(kuò)大3倍，它的面積就擴(kuò)大( )，周長(zhǎng)就擴(kuò)大( )倍。
【答案】 9倍 3
【詳解】略
【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】
一個(gè)圓的半徑擴(kuò)大4倍，周長(zhǎng)擴(kuò)大( )倍，面積擴(kuò)大( )倍。
【答案】 4 16
【分析】一個(gè)圓的半徑擴(kuò)大到原來的幾倍，周長(zhǎng)也擴(kuò)大到原來的幾倍；面積擴(kuò)大倍數(shù)是半徑擴(kuò)大倍數(shù)的平方，據(jù)此解答即可。
【詳解】一個(gè)圓的半徑擴(kuò)大到原來的4倍，周長(zhǎng)也擴(kuò)大到原來的4倍，面積擴(kuò)大到原來的16倍。
【點(diǎn)睛】明確半徑、周長(zhǎng)和面積之間擴(kuò)大倍數(shù)之間的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵。
【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】
一個(gè)圓的周長(zhǎng)擴(kuò)大5倍，它的直徑擴(kuò)大到原來的( )倍，面積擴(kuò)大到原來的( )倍。
【答案】 5 25
【解析】略
【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】
一個(gè)圓的半徑擴(kuò)大a倍，直徑擴(kuò)大( )倍，周長(zhǎng)擴(kuò)大( )倍，面積擴(kuò)大( )倍。
【答案】 a a a2
【分析】假設(shè)圓原來的半徑為2，則擴(kuò)大后圓的半徑為2a，直徑由原來的4變?yōu)?a，周長(zhǎng)由原來的4π變?yōu)?aπ，面積由π×22＝4π變?yōu)棣小粒?a）2＝4πa2，由此解答即可。
【詳解】一個(gè)圓的半徑擴(kuò)大a倍，直徑擴(kuò)大a倍，周長(zhǎng)擴(kuò)大a倍，面積擴(kuò)大a2倍。
【點(diǎn)睛】本題采用了假設(shè)法，假設(shè)法使題目變得具體化，簡(jiǎn)單化。
【典型例題2】倍數(shù)關(guān)系其二。
大圓的半徑是小圓的半徑的2倍，則小圓周長(zhǎng)是大圓周長(zhǎng)的( )，大圓面積是小圓面積的( )倍。
【答案】 4
【分析】根據(jù)半徑的倍數(shù)等于周長(zhǎng)的倍數(shù)，倍數(shù)×倍數(shù)是面積之間的倍數(shù)，據(jù)此分析。
【詳解】2×2＝4，大圓的半徑是小圓的半徑的2倍，則小圓周長(zhǎng)是大圓周長(zhǎng)的，大圓面積是小圓面積的4倍。
【點(diǎn)睛】圓的周長(zhǎng)＝πd＝2πr，圓的面積＝πr2。
【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】
有大小兩個(gè)圓，大圓直徑是小圓直徑的3倍，那么大圓周長(zhǎng)是小圓周長(zhǎng)的( )倍；小圓面積是大圓面積的( )。（填幾分之幾）
【答案】 3
【分析】根據(jù)大圓的直徑是小圓直徑的3倍，可知大圓的半徑是小圓半徑的3倍，進(jìn)而代入周長(zhǎng)和面積公式，先分別求出它們的周長(zhǎng)和面積，進(jìn)而得解。
【詳解】（1）大圓周長(zhǎng)：
小圓周長(zhǎng)：
大圓周長(zhǎng)小圓周長(zhǎng)
（2）大圓面積：
小圓面積：
小圓面積是大圓面積的：
【點(diǎn)睛】考查了圓的周長(zhǎng)公式或，圓的面積公式運(yùn)用。
【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】
大圓半徑是小圓半徑的4倍，大圓周長(zhǎng)是小圓周長(zhǎng)的( )倍，小圓面積是大圓面積的( )。
【答案】 4
【詳解】小圓的周長(zhǎng)C=2πr，大圓半徑是小圓半徑的4倍，大圓的周長(zhǎng)=2π×4r，小圓的面積S=πr2，大圓半徑是小圓半徑的4倍，大圓的面積S=π×4r×4r=16πr2，由此可知答案．
【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】
大圓半徑是小圓半徑的5倍，大圓周長(zhǎng)是小圓周長(zhǎng)的( )倍，大圓面積是小圓面積的( )倍。
【答案】 5 25
【分析】由題意可知，假設(shè)小圓的半徑是1，則大圓的半徑是5，根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式C＝2πr，圓的面積公式S＝πr2，據(jù)此解答即可。
【詳解】假設(shè)小圓的半徑是1，則大圓的半徑是5，
（2π×5）÷2π
＝10π÷2π
＝5
π×52÷π×12
＝25π÷π
＝25
則大圓周長(zhǎng)是小圓周長(zhǎng)的5倍，大圓面積是小圓面積的25倍。
【點(diǎn)睛】本題考查圓的周長(zhǎng)和面積，熟記公式是解題的關(guān)鍵。
【考點(diǎn)十】半徑、直徑和周長(zhǎng)、面積的三種關(guān)系其二：比例關(guān)系。
【方法點(diǎn)撥】
1.兩個(gè)圓的半徑比等于直徑比等于周長(zhǎng)比，而面積比等于以上比的平方。
2.圓周長(zhǎng)和直徑的比是π:1，比值是π；圓周長(zhǎng)和半徑的比是2π:1，比值是2π。
【典型例題1】比例關(guān)系其一。
兩圓的半徑之比，它們的面積之比是( )，周長(zhǎng)之比是( )。
【答案】 9∶25 3∶5
【分析】圓的周長(zhǎng)，圓的面積，根據(jù)圓的周長(zhǎng)和面積公式可知，兩圓的面積之比等于半徑的平方之比，兩圓的周長(zhǎng)之比等于半徑之比，據(jù)此解答即可。
【詳解】?jī)蓤A的半徑之比 3:5 ，它們的面積之比是9∶25，周長(zhǎng)之比是3∶5。
【點(diǎn)睛】本題考查比、圓的周長(zhǎng)和面積，解答本題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A的周長(zhǎng)和面積計(jì)算公式。
【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】
兩個(gè)圓的半徑之比是4∶3，它們的直徑之比是( )，周長(zhǎng)之比是( )，面積之比是( )，如果較大的圓的周長(zhǎng)是12.56cm，則較小的圓的周長(zhǎng)是( )cm。
【答案】 4∶3 4∶3 16∶9 9.42
【分析】由題意可知，兩個(gè)圓的半徑之比是4∶3，則假設(shè)兩個(gè)圓的半徑分別為4和3，根據(jù)直徑＝半徑×2，圓的周長(zhǎng)公式：C＝πd，圓的面積公式：S＝πr2，據(jù)此求出它們的直徑之比、周長(zhǎng)之比和面積之比；根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式求出較大的圓的直徑，進(jìn)而求出較小的圓的直徑，最后求出較小的圓的周長(zhǎng)。
【詳解】假設(shè)兩個(gè)圓的半徑分別為4和3
（4×2）∶（3×2）
＝8∶6
＝（8÷2）∶（6÷2）
＝4∶3
4π∶3π＝4∶3
42π∶32π
＝16π∶9π
＝16∶9
12.56÷3.14＝4（cm）
4÷4×3
＝1×3
＝3（cm）
3.14×3＝9.42（cm）
則兩個(gè)圓的半徑之比是4∶3，它們的直徑之比是4∶3，周長(zhǎng)之比是4∶3，面積之比是16∶9，如果較大的圓的周長(zhǎng)是12.56cm，則較小的圓的周長(zhǎng)是9.42cm。
【點(diǎn)睛】本題考查比的意義，結(jié)合圓的周長(zhǎng)和面積的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵。
【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】
小圓直徑8厘米，大圓半徑6厘米，小圓和大圓直徑之比是( )；小圓和大圓周長(zhǎng)比是( )；小圓和大圓的面積比是( )。
【答案】 2∶3 2∶3 4∶9
【分析】根據(jù)d＝2r，先求出大圓的直徑，然后寫出比，化簡(jiǎn)比即可；根據(jù)兩個(gè)圓的直徑比＝周長(zhǎng)比，面積比＝直徑比的平方，據(jù)此直接寫出比即可。
【詳解】根據(jù)分析：
直徑比和周長(zhǎng)比：8∶（6×2）＝8∶12＝2∶3
面積比：（2×2）∶（3×3）＝4∶9
所以，小圓直徑8厘米，大圓半徑6厘米，小圓和大圓直徑之比是（2∶3）；小圓和大圓周長(zhǎng)比是（2∶3）；小圓和大圓的面積比是（4∶9）。
【點(diǎn)睛】此題考查了圓的周長(zhǎng)以及面積計(jì)算，關(guān)鍵熟記：兩個(gè)圓的直徑比＝周長(zhǎng)比，面積比＝直徑平方的比。
【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】
已知小圓半徑是大圓半徑的，則小圓與大圓的周長(zhǎng)之比是( )，如果小圓面積是，則大圓面積是( )。
【答案】 1∶3 28.26
【分析】已知小圓半徑是大圓半徑的，利用比與分?jǐn)?shù)之間的關(guān)系，可得小圓和大圓的半徑之比是1∶3，根據(jù)圓的周長(zhǎng)＝×2×半徑，因此兩個(gè)圓的周長(zhǎng)比等于這兩個(gè)圓的半徑比，即可求出小圓與大圓的周長(zhǎng)之比。再根據(jù)圓的面積＝，因此兩個(gè)圓的面積比等于這兩個(gè)圓的半徑的平方比，可求得小圓和大圓的面積之比是1∶9，把小圓的面積看作1份，大圓的面積看作9份，用小圓的面積除以1，求出1份量是多少，再乘9即可求出大圓的面積。
【詳解】根據(jù)分析得，小圓和大圓的半徑之比是1∶3，
所以小圓與大圓的周長(zhǎng)之比是1∶3。
小圓與大圓的面積之比是12∶32＝1∶9。
3.14÷1×9＝28.26（cm2）
即大圓面積是28.26cm2。
【點(diǎn)睛】此題主要考查比的應(yīng)用以及圓的周長(zhǎng)、面積公式的熟練運(yùn)用。
【典型例題2】比例關(guān)系其二。
如圖：大圓半徑為8厘米，小圓半徑為4厘米，則大圓與小圓的直徑之比是( )，周長(zhǎng)之比是( )，面積之比是( )。現(xiàn)在讓小圓沿著大圓的外側(cè)滾動(dòng)一周后回到原處，那么小圓的圓心移動(dòng)的長(zhǎng)度是( )厘米。
【答案】 2∶1 2∶1 4∶1 75.36
【分析】根據(jù)圓的直徑d＝2r，圓的周長(zhǎng)C＝2πr，圓的面積S＝πr2，可知兩個(gè)圓的直徑之比、周長(zhǎng)之比等于它們的半徑之比，兩個(gè)圓的面積之比等于它們的半徑的平方比。
從圖中可知，小圓的圓心移動(dòng)的長(zhǎng)度是以（8＋4）厘米為半徑的圓的周長(zhǎng)，根據(jù)圓的周長(zhǎng)C＝2πr，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可求解。
【詳解】大圓與小圓的直徑之比是8∶4＝（8÷4）∶（4÷4）＝2∶1；
大圓與小圓的周長(zhǎng)之比是8∶4＝（8÷4）∶（4÷4）＝2∶1；
大圓與小圓的面積之比是82∶42＝64∶16＝（64÷16）∶（16÷16）＝4∶1；
2×3.14×（8＋4）
＝2×3.14×12
＝75.36（厘米）
小圓的圓心移動(dòng)的長(zhǎng)度是75.36厘米。
【點(diǎn)睛】本題考查圓的直徑、周長(zhǎng)、面積公式的運(yùn)用以及比的意義、比的化簡(jiǎn)。
【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】
下圖是由一個(gè)大圓和一個(gè)小圓組成的，點(diǎn)O是大圓的圓心。小圓與大圓的半徑之比是( )，周長(zhǎng)之比是( )，面積之比是( )。
【答案】 1∶2 1∶2 1∶4
【分析】可以假設(shè)小圓的半徑為r，大圓的半徑為2r，分別求出大小圓的半徑、大小圓的周長(zhǎng)、大小圓的面積，再寫出比并化簡(jiǎn)即可。
【詳解】根據(jù)題意，設(shè)小圓的半徑為r，則大圓的半徑為2r，
小圓與大圓的半徑之比：r∶2r＝1∶2
周長(zhǎng)之比：2πr∶2π（2r）＝1∶2
面積之比：πr2∶π（2r）2＝πr2∶4πr2＝1∶4
已知小圓的直徑等于大圓的半徑，那么小圓與大圓的半徑之比是1∶2，周長(zhǎng)之比是1∶2，面積之比是1∶4。
【點(diǎn)睛】本題考查圓的周長(zhǎng)、面積公式及比的意義與化簡(jiǎn)比。
【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】
三個(gè)同心圓（如圖），已知OA：AB：BC的比是1：2：3，那么這三個(gè)圓（從小到大）的周長(zhǎng)之比是( )，面積之比是( )。
【答案】 1：3：6 1：9：36
【詳解】由分析得：這三個(gè)圓的周長(zhǎng)的比等于半徑的比，面積的比等于半徑平方的比，所以，這三個(gè)圓（從小到大）的周長(zhǎng)之比是1：3：6，面積的比是1：9：36．
故答案為1：3：6，1：9：36．
【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】
（如圖）如果大圓的半徑和小圓的直徑相等，那么大圓面積與小圓面積之比是( )。
A．2∶1B．4∶1C．D．
【答案】B
【分析】假設(shè)出小圓的半徑，大圓的半徑＝小圓的半徑×2，利用“”表示出大圓的面積和小圓的面積，最后根據(jù)比的意義求出大圓和小圓的面積比，據(jù)此解答。
【詳解】假設(shè)小圓的半徑為r厘米，則大圓的半徑為2r厘米。
小圓的面積：（平方厘米）
大圓的面積：
＝（平方厘米）
大圓的面積∶小圓的面積＝∶＝4∶1
所以，大圓面積與小圓面積之比是4∶1。
故答案為：B
【點(diǎn)睛】掌握?qǐng)A的面積計(jì)算公式和比的意義是解答題目的關(guān)鍵。
【考點(diǎn)十一】半徑、直徑和周長(zhǎng)、面積的三種關(guān)系其三：增長(zhǎng)變化關(guān)系。
【方法點(diǎn)撥】
1.周長(zhǎng)的變化：算出增加后圓的周長(zhǎng)和原來的周長(zhǎng)進(jìn)行相減得到周長(zhǎng)增加的部分。
當(dāng)一個(gè)圓的半徑增加a厘米時(shí)，它的周長(zhǎng)就增加2πa厘米；
當(dāng)一個(gè)圓的直徑增加a厘米時(shí)，它的周長(zhǎng)就增加πa厘米。
2.面積的變化：算出增加后圓的面積和原來的面積進(jìn)行相減得到面積增加的部分。
【典型例題】
一個(gè)半徑是3dm的圓，如果半徑增加1dm，那么周長(zhǎng)增加( )dm，面積增加( )dm2。
【答案】 6.28 21.98
【分析】由于半徑增加1dm，那么此時(shí)的半徑是4dm，根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式：C＝2πr，圓的面積公式：S＝πr2，把數(shù)代入公式求出半徑增加前的周長(zhǎng)和面積，再求出半徑增加后的周長(zhǎng)和面積，之后作差即可。
【詳解】當(dāng)半徑是3dm的時(shí)候
周長(zhǎng)：3.14×3×2
＝9.42×2
＝18.84（dm）
面積：3.14×32
＝3.14×9
＝28.26（dm2）
半徑增加1dm后：
3＋1＝4（dm）
周長(zhǎng)：3.14×4×2
＝12.56×2
＝25.12（dm）
面積：3.14×42
＝3.14×16
＝50.24（dm2）
則周長(zhǎng)增加：25.12－18.84＝6.28（dm）
面積增加：50.24－28.26＝21.98（dm2）
所以一個(gè)半徑為3dm的圓，如果半徑增加1dm，那么周長(zhǎng)增加6.28dm，面積增加21.98dm2。
【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的周長(zhǎng)和面積公式，應(yīng)熟練掌握它們的公式并靈活運(yùn)用。
【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】
圓的半徑由4cm增加到5cm，它的周長(zhǎng)增加( )cm，它的面積增加( )cm2。（π取3.14）
【答案】 6.28 28.26
【分析】根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式：C＝，和圓的面積公式：S＝，代入前后半徑的數(shù)據(jù)，分別求出增加前和增加后的圓的周長(zhǎng)及圓的面積，再相減即可求出增加的圓的周長(zhǎng)和增加的圓的面積。
【詳解】2×3.14×5－2×3.14×4
＝31.4－25.12
＝6.28（cm）
3.14×52－3.14×42
＝3.14×25－3.14×16
＝78.5－50.24
＝28.26（cm2）
即圓的周長(zhǎng)增加6.28cm，它的面積增加28.26cm2。
【點(diǎn)睛】此題的解題關(guān)鍵是靈活運(yùn)用圓的周長(zhǎng)和圓的面積公式解決實(shí)際的問題。
【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】
一個(gè)圓的半徑是6m，周長(zhǎng)是( )m，面積是( )m2；如果這個(gè)圓的半徑增加1m，則周長(zhǎng)增加( )m，面積增加( )m2。
【答案】 37.68 113.04 6.28 40.82
【分析】根據(jù)“”“”分別求出這個(gè)圓的周長(zhǎng)和面積，以及半徑增加后圓的周長(zhǎng)和面積，最后求出它們的差，據(jù)此解答。
【詳解】2×3.14×6
＝6.28×6
＝37.68（m）
3.14×62
＝3.14×36
＝113.04（m2）
6＋1＝7（m）
2×3.14×7－37.68
＝6.28×7－37.68
＝43.96－37.68
＝6.28（m）
3.14×72－113.04
＝3.14×49－113.04
＝153.86－113.04
＝40.82（m2）
所以，一個(gè)圓的半徑是6m，周長(zhǎng)是37.68m，面積是113.04m2；如果這個(gè)圓的半徑增加1m，則周長(zhǎng)增加6.28m，面積增加40.82m2。
【點(diǎn)睛】熟練掌握并靈活運(yùn)用圓的周長(zhǎng)和面積的計(jì)算公式是解答題目的關(guān)鍵。
【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】
用籬笆圍一個(gè)半圓形養(yǎng)雞場(chǎng)，一面靠墻，籬笆長(zhǎng)15.7米。如果將養(yǎng)雞場(chǎng)半徑增加1米，需要增加圍欄( )米，則面積增加( )平方米。
【答案】 3.14 17.27
【分析】先用15.7×2求出整圓的周長(zhǎng)，然后算出養(yǎng)雞場(chǎng)原來的半徑，再算出增加1米后的半徑以及籬笆長(zhǎng)度，和之前的籬笆長(zhǎng)相減，求出增加的圍欄長(zhǎng)度；分別根據(jù)增加前后的半徑求出半圓的面積，最后把它們相減求出增加的面積即可。
【詳解】原來半徑：
15.7×2÷2÷3.14
＝15.7÷3.14
＝5（米）
后來半徑：
5＋1＝6（米）
后來籬笆長(zhǎng)：
6×2×3.14÷2
＝6×3.14
＝18.84（米）
增加的圍欄長(zhǎng)度：
18.84－15.7＝3.14（米）
增加的面積：
3.14×6×6÷2－3.14×5×5÷2
＝3.14×18－3.14×12.5
＝56.52－39.25
＝17.27（平方米）
如果將養(yǎng)雞場(chǎng)半徑增加1米，需要增加圍欄3.14米，則面積增加17.27平方米。
【點(diǎn)睛】靈活運(yùn)用圓的周長(zhǎng)和面積公式是解題的關(guān)鍵。
【考點(diǎn)十二】長(zhǎng)方形中的最大圓。
【方法點(diǎn)撥】
在長(zhǎng)方形內(nèi)畫最大的圓，圓的直徑等于長(zhǎng)方形的寬。
【典型例題】
在一張長(zhǎng)6cm，寬4cm的長(zhǎng)方體紙上畫一個(gè)最大的圓，那么圓規(guī)兩腳間的距離是( )厘米；所畫圓的面積是( )平方厘米。
【答案】 2 12.56
【分析】根據(jù)題意可知，在這張長(zhǎng)方形紙上畫一個(gè)最大的圓，這個(gè)圓的直徑等于長(zhǎng)方形的寬，所以圓規(guī)兩腳間的距離是（4÷2）厘米，根據(jù)圓的面積公式：S＝r2，把數(shù)據(jù)代入公式解答。
【詳解】4÷2＝2（厘米）
3.14×22
＝3.14×4
＝12.56（平方厘米）
圓規(guī)兩腳間的距離是2厘米，所畫圓的面積是12.56平方厘米。
【點(diǎn)睛】考查圓的特點(diǎn)以及圓的面積計(jì)算，重點(diǎn)是能夠熟練掌握?qǐng)A的面積計(jì)算方法。
【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】
在一塊長(zhǎng)8分米、寬6分米的長(zhǎng)方形鐵板上，剪掉一個(gè)最大的圓，剩下部分的面積是( )平方分米。
【答案】19.74
【分析】長(zhǎng)方形里剪掉一個(gè)最大的圓，圓的直徑＝長(zhǎng)方形的寬，長(zhǎng)方形面積＝長(zhǎng)×寬，圓的面積＝πr2，長(zhǎng)方形面積－圓的面積＝剩下部分的面積，據(jù)此列式計(jì)算。
【詳解】8×6－3.14×（6÷2）2
＝48－3.14×32
＝48－3.14×9
＝48－28.26
＝19.74（平方分米）
剩下部分的面積是19.74平方分米。
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵是掌握并靈活運(yùn)用長(zhǎng)方形和圓的面積公式，理解長(zhǎng)方形和圓之間的關(guān)系。
【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】
在長(zhǎng)8cm，寬0.6dm的長(zhǎng)方形紙上畫一個(gè)最大的圓，這個(gè)圓的周長(zhǎng)是( )cm，面積是( )cm2。
【答案】 18.84 28.26
【分析】在長(zhǎng)方形中畫一個(gè)最大的圓，則這個(gè)圓的直徑相當(dāng)于長(zhǎng)方形的寬，根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式：C＝πd，圓的面積公式：S＝πr2，據(jù)此進(jìn)行計(jì)算即可。
【詳解】0.6dm＝6cm
3.14×6＝18.84（cm）
3.14×（6÷2）2
＝3.14×9
＝28.26（cm2）
則這個(gè)圓的周長(zhǎng)是18.84cm，面積是28.26cm2。
【點(diǎn)睛】本題考查圓的周長(zhǎng)和面積，明確這個(gè)圓的直徑相當(dāng)于長(zhǎng)方形的寬是解題的關(guān)鍵。
【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】
在一張長(zhǎng)8cm、寬6cm的長(zhǎng)方形紙板中畫出一個(gè)最大的圓，這個(gè)圓的半徑是( )cm，周長(zhǎng)是( )cm，面積是( )cm2。
【答案】 3 18.84 28.26
【分析】以長(zhǎng)方形的寬為直徑的圓是長(zhǎng)方形中最大的圓，在同圓或等圓中，半徑是直徑的，直徑是半徑的2倍，利用“”求出圓的周長(zhǎng)，利用“”求出圓的面積，據(jù)此解答。
【詳解】半徑：6÷2＝3（cm）
周長(zhǎng)：2×3.14×3
＝6.28×3
＝18.84（cm）
面積：3.14×32＝28.26（cm2）
所以，這個(gè)圓的半徑是3cm，周長(zhǎng)是18.84cm，面積是28.26cm2。
【點(diǎn)睛】理解最大圓的直徑等于長(zhǎng)方形的寬，并掌握?qǐng)A的周長(zhǎng)和面積計(jì)算公式是解答題目的關(guān)鍵。
【考點(diǎn)十三】外方內(nèi)圓。
【方法點(diǎn)撥】
在正方形里面畫最大的圓，圓的直徑等于正方形的邊長(zhǎng)，圓的面積與正方形面積比為π:4。
【典型例題】
如圖，在一張邊長(zhǎng)10cm的正方形紙上剪下一個(gè)最大的圓，這個(gè)圓的面積是( )，剩余部分的面積是( )。
【答案】 78.5 21.5
【分析】由題意可知：這個(gè)最大圓的直徑應(yīng)該等于正方形的邊長(zhǎng)，正方形的邊長(zhǎng)已知，于是利用圓的面積＝πr2，即可求出圓的面積；再用正方形的面積減去圓的面積，即可求出剩余部分的面積。
【詳解】3.14×（10÷2）2
＝3.14×25
＝78.5（平方厘米）
這個(gè)圓的面積是78.5平方厘米。
10×10－78.5
＝100－78.5
＝21.5（平方厘米）
余下部分的面積是21.5平方厘米。
【點(diǎn)睛】此題主要考查學(xué)生正方形與圓面積的計(jì)算能力，解答此題的關(guān)鍵是明白：正方形中最大圓的直徑應(yīng)該等于正方形的邊長(zhǎng)，即可求得圓面積和余下的面積。
【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】
在一個(gè)面積為40平方厘米的正方形里，剪下一個(gè)最大的圓，圓的面積是( )平方厘米。
【答案】31.4
【分析】由題意可知，從正方形中剪下一個(gè)最大的圓，則該圓的直徑相當(dāng)于正方形的邊長(zhǎng)，圓的半徑的平方等于正方形的面積的，再根據(jù)圓的面積公式：S＝πr2，據(jù)此計(jì)算即可。
【詳解】40×＝10（平方厘米）
3.14×10＝31.4（平方厘米）
則圓的面積是31.4平方厘米。
【點(diǎn)睛】本題考查圓的面積，明確圓的半徑的平方等于正方形的面積的是解題的關(guān)鍵。
【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】
在一張周長(zhǎng)20分米的正方形上剪下一個(gè)最大的圓，則剩余部分的面積是( )平方分米。
【答案】5.375
【分析】周長(zhǎng)20分米的正方形的邊長(zhǎng)是5分米，則這個(gè)最大的圓的直徑就是5分米，據(jù)此利用圓的面積公式求出這個(gè)最大的圓的面積，再用正方形的面積減去圓的面積即可。
【詳解】20÷4＝5（分米）
5×5－3.14×（5÷2）2
＝25－3.14×6.25
＝25－19.625
＝5.375（平方分米）
剩余部分的面積是5.375平方分米。
【點(diǎn)睛】解答此題的關(guān)鍵是：弄清楚陰影部分的面積可以由哪些圖形的面積的和或差求得，再利用面積公式計(jì)算即可解答問題。
【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】
數(shù)學(xué)課上，小明用邊長(zhǎng)8cm的正方形紙，小華用邊長(zhǎng)10cm的正方形紙，各剪了一個(gè)最大的圓，小明和小華所剪的圓的周長(zhǎng)之比是( )，面積之比是( )。
【答案】 4∶5 16∶25
【分析】正方形的邊長(zhǎng)為圓的直徑，根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式：可知，圓的周長(zhǎng)之比等于半徑之比；根據(jù)圓的面積公式：可知，圓的面積之比等于半徑的平方之比。
【詳解】小明剪的圓的半徑為：8÷2＝4（cm），小華剪的圓的半徑為：10÷2＝5（cm）；
所以小明和小華所剪的圓的周長(zhǎng)之比為：4∶5；小明和小華所剪的圓的面積之比為：＝16∶25
【點(diǎn)睛】此題考查的是圓的面積公式和圓的周長(zhǎng)公式。
【考點(diǎn)十四】外圓內(nèi)方。
【方法點(diǎn)撥】
在圓里面畫最大的正方形，圓的直徑等于正方形的對(duì)角線的長(zhǎng)，圓的面積與正方形的面積比為π:2。
【典型例題】
在一個(gè)圓內(nèi)畫一個(gè)最大的正方形，這個(gè)正方形的面積是72平方厘米，那么這個(gè)圓的面積是( )平方厘米，周長(zhǎng)是( )厘米。
【答案】 113.04 37.68
【分析】在一個(gè)圓內(nèi)畫一個(gè)最大的正方形，如圖，正方形的對(duì)角線＝圓的直徑，設(shè)圓的半徑是r厘米，根據(jù)2r×r×2÷2＝正方形面積，確定r，再根據(jù)圓的面積＝πr2，圓的周長(zhǎng)＝2πr，求出圓的面積和周長(zhǎng)。
【詳解】解：設(shè)圓的半徑是r厘米。
2r×r×2÷2＝72
2r×r＝72
2r×r÷2＝72÷2
r×r＝36
r＝6
3.14×62
＝3.14×36
＝113.04（平方厘米）
2×3.14×6＝37.68（厘米）
這個(gè)圓的面積是113.04平方厘米，周長(zhǎng)是37.68厘米。
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵是掌握并靈活運(yùn)用圓的周長(zhǎng)和面積公式。
【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】
把一個(gè)圓形紙片折成一個(gè)最大的正方形，這個(gè)正方形的對(duì)角線長(zhǎng)8cm，那么這個(gè)圓形紙片的面積是( )平方厘米，折起來的部分的面積是( )平方厘米。
【答案】 50.24 18.24
【分析】把一個(gè)圓形紙片折成一個(gè)最大的正方形，這個(gè)正方形的對(duì)角線＝圓的直徑，根據(jù)圓的面積＝πr2，求出圓形紙片的面積；圓的面積－正方形面積＝折起來的面積，正方形的面積＝兩個(gè)三角形面積和，據(jù)此列式計(jì)算。
【詳解】3.14×（8÷2）2
＝3.14×42
＝3.14×16
＝50.24（平方厘米）
50.24－8×（8÷2）÷2×2
＝50.24－8×4÷2×2
＝50.24－32
＝18.24（平方厘米）
這個(gè)圓形紙片的面積是50.24平方厘米，折起來的部分的面積是18.24平方厘米。
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵是掌握并靈活運(yùn)用圓的面積公式，靈活計(jì)算正方形面積。
【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】
在一個(gè)周長(zhǎng)是18.84厘米的圓內(nèi)畫一個(gè)最大的正方形，這個(gè)正方形的面積是( )平方厘米，這個(gè)正方形的面積與這個(gè)圓的面積最簡(jiǎn)單整數(shù)比是( )∶( )。
【答案】 18 100 157
【分析】圓內(nèi)畫一個(gè)最大的正方形，正方形對(duì)角線＝圓的直徑，根據(jù)圓的直徑＝周長(zhǎng)÷π，求出圓的直徑，即正方形對(duì)角線，將正方形平均分成2個(gè)等腰直角三角形，根據(jù)三角形面積＝底×高÷2，求出正方形面積；圓的面積＝πr2，根據(jù)比的意義，寫出正方形與圓的面積比，化簡(jiǎn)即可。
【詳解】18.84÷3.14＝6（厘米）
6×（6÷2）÷2×2
＝6×3÷2×2
＝18（平方厘米）
3.14×（6÷2）2
＝3.14×32
＝3.14×9
＝28.26（平方厘米）
18∶28.26＝1800∶2826＝300∶471＝100∶157
在一個(gè)周長(zhǎng)是18.84厘米的圓內(nèi)畫一個(gè)最大的正方形，這個(gè)正方形的面積是18平方厘米，這個(gè)正方形的面積與這個(gè)圓的面積最簡(jiǎn)單整數(shù)比是100∶157。
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵是掌握并靈活運(yùn)用圓的周長(zhǎng)和面積公式以及正方形面積公式，理解比的意義，掌握化簡(jiǎn)比的方法。
【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】
如圖，在周長(zhǎng)是18.84厘米的圓內(nèi)畫一個(gè)最大的正方形，陰影部分的面積是( )平方厘米。
【答案】10.26
【分析】以圓的直徑為對(duì)角線的正方形是圓內(nèi)面積最大的正方形，連接正方形的兩條對(duì)角線，正方形被分成4個(gè)形狀相同的等腰直角三角形，先根據(jù)圓的周長(zhǎng)求出圓的半徑，再利用“”表示出圓的面積，并根據(jù)“”表示出正方形的面積，陰影部分的面積＝圓的面積－正方形的面積，據(jù)此解答。
【詳解】
18.84÷3.14÷2
＝6÷2
＝3（厘米）
3.14×32－×3×3×4
＝3.14×9－×4
＝28.26－18
＝10.26（平方厘米）
所以，陰影部分的面積是10.26平方厘米。
【點(diǎn)睛】把正方形的面積轉(zhuǎn)化為三角形的面積，并掌握?qǐng)A的周長(zhǎng)和面積計(jì)算公式是解答題目的關(guān)鍵。
【考點(diǎn)十五】外方內(nèi)圓與外圓內(nèi)方綜合。＊
【方法點(diǎn)撥】
1.外方內(nèi)圓。
在正方形里面畫最大的圓，圓的直徑等于正方形的邊長(zhǎng)，圓的面積與正方形面積比為π:4。
2.外圓內(nèi)方。
在圓里面畫最大的正方形，圓的直徑等于正方形的對(duì)角線的長(zhǎng)，圓的面積與正方形的面積比為π:2。
。
【典型例題】
如圖中，在邊長(zhǎng)是2cm的正方形內(nèi)畫一個(gè)最大的圓，再在圓里畫一個(gè)最大的正方形，那么陰影部分的面積是( )cm2。
【答案】1.14
【分析】根據(jù)題意，在邊長(zhǎng)是2cm的正方形內(nèi)畫一個(gè)最大的圓，那么這個(gè)圓的直徑等于正方形的邊長(zhǎng)，根據(jù)圓的面積公式S＝πr2，求出這個(gè)圓的面積；
在圓里畫一個(gè)最大的正方形，如下圖，用正方形的一條對(duì)角線把這個(gè)正方形平均分成2個(gè)三角形，三角形的底等于圓的直徑，三角形的高等于圓的半徑，根據(jù)三角形的面積S＝ah÷2，求出一個(gè)三角形的面積，再乘2，即是這個(gè)最大正方形的面積；
最后用圓的面積減去最大正方形的面積，即是陰影部分的面積。
【詳解】圓的半徑：2÷2＝1（cm）
圓的面積：3.14×1×1＝3.14（cm2）
圓內(nèi)最大正方形的面積：2×1÷2×2＝2（cm2）
陰影部分的面積：3.14－2＝1.14（cm2）
陰影部分的面積是1.14cm2。
【點(diǎn)睛】本題考查圓的面積、三角形面積公式的運(yùn)用，關(guān)鍵是把圓內(nèi)最大正方形的面積轉(zhuǎn)化成兩個(gè)完全一樣的三角形的面積求解。
【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】
大圓內(nèi)有一個(gè)最大的正方形，正方形內(nèi)有一個(gè)最大的圓，大圓面積和小圓面積的比是( )。
A．4∶1B．200∶157C．2∶1D．200∶43
【答案】C
【分析】觀察圖形可知，設(shè)小圓的半徑是1，正方形的邊長(zhǎng)為2，利用圓的面積公式即可表示出小圓的面積為π；假設(shè)大圓的半徑為r，根據(jù)大圓和正方形的關(guān)系，正方形的面積等于2r2，據(jù)此求出r2，進(jìn)而得出大圓的面積，然后寫出大圓面積和小圓面積的比，再化簡(jiǎn)即可。
【詳解】設(shè)小圓的半徑為1，則：
小圓的面積是：π×1×1＝π
正方形的面積是：（1＋1）2
＝22
＝4
設(shè)大圓的半徑是r，則：
2r2＝4
2r2÷2＝4÷2
r2＝2
大圓的面積是：π×r2＝2π
所以大圓面積和小圓面積的比是：
2π∶π
＝（2π÷2）∶（π÷2）
＝2∶1
故答案為：C
【點(diǎn)睛】本題主要考查了組合圖形面積的計(jì)算，根據(jù)圓中取面積最大正方形的畫法，推導(dǎo)出大圓半徑和正方形邊長(zhǎng)的關(guān)系，是本題解題的關(guān)鍵。
【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】
如圖，大圓內(nèi)畫一個(gè)最大的正方形，正方形內(nèi)畫一個(gè)最大的圓…，如此畫下去，共畫了4個(gè)圓．那么，最大的圓的面積是最小的圓的( )倍。
A．2B．4C．8D．16
【答案】C
【分析】首先設(shè)最小圓的半徑（最小正方形的邊心距）為x，然后利用構(gòu)造的等腰直角三角形表示出最大的正方形的半徑，然后根據(jù)面積的比等于半徑比的平方即可得到答案。
【詳解】如圖：設(shè)同心圓的圓心為O，
連接OA，作OC垂直于最大正方形的邊于點(diǎn)C，
設(shè)最小圓的半徑（最小正方形的邊心距）為x，
∵∠AOC=45°，
所以
∴最大圓與最小圓的面積比為：（2x）2：x2=8：1，
即最大圓的面積是最小圓的面積的8倍。
故選C。
【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形的有關(guān)計(jì)算，解題的關(guān)鍵是正確的作出輔助線構(gòu)造直角三角形并找到兩圓的半徑比。
【考點(diǎn)十六】圓面積的實(shí)際應(yīng)用其一：鐘表指針問題。
【方法點(diǎn)撥】
時(shí)針和分針可看作圓的半徑，求周長(zhǎng)或面積時(shí)，應(yīng)先分析出時(shí)針或分針走的
圈數(shù)。
【典型例題】
一個(gè)鐘表的分針長(zhǎng)10厘米，時(shí)針長(zhǎng)8厘米。從1時(shí)到2時(shí)，分針針尖走過了多少厘米？這時(shí)時(shí)針掃過的面積是多少平方厘米？（結(jié)果保留兩位小數(shù)）
【答案】62.8厘米；16.75平方厘米
【分析】從1時(shí)到2時(shí)，分針走了1圈，時(shí)針走了1大格，一共有12格；根據(jù)圓周長(zhǎng)公式：C＝2πr，用3.14×2×10即可求出分針針尖走過了多少厘米；根據(jù)題意可知，時(shí)針掃過的面積是圓面積的；根據(jù)圓面積公式：S＝πr2，用3.14×82×即可求出時(shí)針掃過的面積。
【詳解】3.14×2×10＝62.8（厘米）
3.14×82×
＝3.14×64×
≈16.75（平方厘米）
答：分針針尖走過了62.8厘米；時(shí)針掃過的面積是16.75平方厘米。
【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周長(zhǎng)公式和圓面積公式的靈活應(yīng)用，要熟練掌握相關(guān)公式。
【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】
一個(gè)掛鐘的分針長(zhǎng)12厘米，經(jīng)過15分鐘，分針尖端走過的路程是多少厘米？分針掃過內(nèi)面積是多少平方厘米？
【答案】18.84厘米；113.04平方厘米
【分析】根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)可知，分針1小時(shí)（60分鐘）轉(zhuǎn)一圈，經(jīng)過15分鐘，分針轉(zhuǎn)了四分之一圈，根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式：C＝2πr，圓的面積公式：S＝πr2，把數(shù)據(jù)代入公式解答。
【詳解】2×3.14×12÷4
＝6.28×12÷4
＝75.36÷4
＝18.84（厘米）
3.14×122÷4
＝3.14×144÷4
＝452.16÷4
＝113.04（平方厘米）
答：分針尖端走過的路程是18.84厘米，分針掃過內(nèi)面積是113.04平方厘米。
【點(diǎn)睛】此題主要考查圓的周長(zhǎng)公式、面積公式的靈活運(yùn)用，關(guān)鍵是熟記公式。
【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】
某鐘表的分針長(zhǎng)10厘米，從1時(shí)到4時(shí)，分針針尖走過了多少厘米？分針掃過的面積是多少平方厘米？
【答案】188.4厘米；942平方厘米
【分析】根據(jù)題意可知，從1時(shí)到4時(shí)，分針正好轉(zhuǎn)動(dòng)了三圈，分針走一圈，它的尖端走過的路程是一個(gè)圓，分針的長(zhǎng)度就是這個(gè)圓的半徑，根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式走一圈所走的路程，再乘3即可求出分針走過的路程；分針轉(zhuǎn)過一圈的面積，就是這個(gè)圓的面積，利用圓的面積公式求出掃一圈的面積，再乘3即可解答。
【詳解】2×3.14×10×3
＝6.28×10×3
＝188.4（厘米）
3.14×102×3
＝3.14×100×3
＝942（平方厘米）
答：分針針尖走過了188.4厘米，分針掃過的面積是942平方厘米。
【點(diǎn)睛】此題主要考查的是圓的周長(zhǎng)、面積公式的應(yīng)用。
【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】
一個(gè)鐘表的時(shí)針長(zhǎng)8厘米，分針長(zhǎng)10厘米，從中午12時(shí)到下午6時(shí)，時(shí)針掃過的面積是多少？一晝夜分針尖端走過的路程是多少？
【答案】100.48平方厘米；1507.2厘米
【分析】時(shí)針和分針的長(zhǎng)度相當(dāng)于圓的半徑，從中午12時(shí)到下午6時(shí)，時(shí)針掃過鐘面的一半，根據(jù)半圓面積＝πr2÷2，求出時(shí)針掃過的面積；一晝夜分針轉(zhuǎn)24圈，根據(jù)圓的周長(zhǎng)C＝2πr，求出轉(zhuǎn)一圈的路程，乘24即可。
【詳解】3.14×82÷2
＝3.14×64÷2
＝100.48（平方厘米）
2×3.14×10×24
＝62.8×24
＝1507.2（厘米）
答：從中午12時(shí)到下午6時(shí)，時(shí)針掃過的面積是100.48平方厘米，一晝夜分針尖端走過的路程是1507.2厘米。
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵是掌握并靈活運(yùn)用圓的周長(zhǎng)和面積公式。
【考點(diǎn)十七】圓面積的實(shí)際應(yīng)用其二：相遇問題。
【方法點(diǎn)撥】
相遇時(shí)間=路程÷速度和。
【典型例題】
一天，小軍和小芳到一個(gè)近似于圓的公園游玩，兩人突然想到一個(gè)數(shù)學(xué)問題：“這個(gè)公園的面積大約是多少平方米？”經(jīng)過探究，兩人想出了一個(gè)好辦法：兩人沿著公園的A點(diǎn)處同時(shí)出發(fā)，背向而跑，如圖。小軍的速度是164米/分鐘，小芳的速度是150米/分鐘，經(jīng)過2分鐘兩人相遇。你能按他們的辦法算出這個(gè)公園的面積嗎？試一試。
【答案】31400平方米
【分析】?jī)扇讼嘤鰰r(shí)，路程和就是圓的周長(zhǎng)。路程和＝速度和×相遇時(shí)間，據(jù)此求出路程和，即圓的周長(zhǎng)。將圓周長(zhǎng)除以2再除以3.14，求出圓的半徑。圓面積＝3.14×半徑2，據(jù)此列式求出圓的直徑，即這個(gè)公園的面積。
【詳解】（164＋150）×2
＝314×2
＝628（米）
628÷2÷3.14＝100（米）
3.14×1002＝31400（平方米）
答：這個(gè)公園的面積是31400平方米。
【點(diǎn)睛】本題考查了圓的周長(zhǎng)和面積，熟記并靈活運(yùn)用圓的周長(zhǎng)和面積公式是解題關(guān)鍵。
【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】
小明和小芳從圓形場(chǎng)地的同一地點(diǎn)出發(fā)，沿著場(chǎng)地的邊相背而行，4分鐘后兩人相遇，小明每分鐘走83米，小芳每分鐘走74米。

（1）這個(gè)圓形場(chǎng)地的直徑是多少米？
（2）它的占地面積是多少平方米？
【答案】（1）200米
（2）31400平方米
【分析】（1）已知小明、小芳的速度和兩人的相遇時(shí)間，根據(jù)“路程＝速度和×相遇時(shí)間”，即可求出這個(gè)圓形場(chǎng)地的周長(zhǎng)；
再根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式C＝πd可知，d＝C÷π，由此求出圓形場(chǎng)地的直徑。
（2）求它的占地面積，就是求這個(gè)圓形場(chǎng)地的面積；根據(jù)圓的面積公式S＝πr2，以及半徑r＝d÷2，代入數(shù)據(jù)計(jì)算求解。
【詳解】（1）圓的周長(zhǎng)：
（83＋74）×4
＝157×4
＝628（米）
直徑：628÷3.14＝200（米）
答：這個(gè)圓形場(chǎng)地的直徑是200米。
（2）3.14×（200÷2）2
＝3.14×10000
＝31400（平方米）
答：它的占地面積是31400平方米。
【點(diǎn)睛】（1）本題考查圓的周長(zhǎng)公式的靈活運(yùn)用，根據(jù)速度、時(shí)間、路程之間的關(guān)系求出圓的周長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵。
（2）本題考查圓的面積公式的運(yùn)用。
【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】
小明和小紅經(jīng)常到公園里的圓形露天舞臺(tái)散步。一天，他們從圓形露天舞臺(tái)邊沿同一地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿著圓形露天舞臺(tái)的邊沿背向而行，2分鐘后，兩人相遇，小明每分鐘走75米，小紅每分鐘走82米。
（1）這個(gè)圓形露天舞臺(tái)的周長(zhǎng)是多少米？
（2）這個(gè)圓形露天舞臺(tái)占地多少平方米？
【答案】（1）314米
（2）7850平方米
【分析】（1）根據(jù)題意，圓形露天舞臺(tái)的周長(zhǎng)＝兩人速度和×相遇時(shí)間，據(jù)此解答即可；
（2）根據(jù)圓形舞臺(tái)的周長(zhǎng)C＝2πr，據(jù)此求出其半徑，面積S＝πr2，代入數(shù)據(jù)解答即可。
【詳解】（1）（75＋82）×2
＝157×2
＝314（米）
答：這個(gè)圓形露天舞臺(tái)的周長(zhǎng)是314米。
（2）314÷2÷3.14
＝157÷3.14
＝50（米）
3.14×502
＝3.14×2500
＝7850（平方米）
答：這個(gè)圓形舞臺(tái)的占地面積是7850平方米。
【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】
王芳和張浩從圓形牧場(chǎng)的同一地點(diǎn)出發(fā)，沿著場(chǎng)地的邊相背而行，4分鐘后兩人相遇，王芳每分鐘走69米，張浩每分鐘走88米。
（1）這個(gè)圓形場(chǎng)地的直徑是多少米？
（2）它的占地面積是多少平方米？
【答案】（1）200米；
（2）31400平方米
【分析】（1）根據(jù)“總路程＝速度和×相遇時(shí)間”求出圓形場(chǎng)地一周的長(zhǎng)度，再利用“”求出圓形場(chǎng)地的直徑；
（2）根據(jù)直徑求出半徑，再利用“”求出圓形場(chǎng)地的占地面積，據(jù)此解答。
【詳解】（1）（69＋88）×4
＝157×4
＝628（米）
628÷3.14＝200（米）
答：這個(gè)圓形場(chǎng)地的直徑是200米。
（2）半徑：200÷2＝100（米）
3.14×1002＝31400（平方米）
答：它的占地面積是31400平方米。
【點(diǎn)睛】掌握?qǐng)A的周長(zhǎng)和面積計(jì)算公式是解答題目的關(guān)鍵。
【考點(diǎn)十八】圓環(huán)的面積其一：整圓環(huán)。
【方法點(diǎn)撥】
整圓環(huán)的面積：S=πR2-πr2。
【典型例題】
這是西周圓形圓孔錢平面圖（如圖）的面積大約是多少平方厘米？（得數(shù)保留一位小數(shù)）
【答案】5.2平方厘米
【分析】根據(jù)圖意可知，求這枚西周圓形圓孔錢（如圖）的面積大約是多少平方厘米，實(shí)際上求的就是環(huán)形的面積，根據(jù)環(huán)形面積公式：環(huán)形面積＝外圓面積－內(nèi)圓面積，把數(shù)據(jù)代入公式進(jìn)行解答。
【詳解】2.7÷2＝1.35（厘米）
0.8÷2＝0.4（厘米）
3.14×（1.352－0.42）
＝3.14×（1.8225－0.16）
＝3.14×1.6625
＝5.22025
≈5.2（平方厘米）
答：這枚西周圓形圓孔錢（如圖）的面積大約是5.2平方厘米。
【點(diǎn)睛】此題屬于環(huán)形面積的實(shí)際應(yīng)用，直接根據(jù)環(huán)形面積公式解答即可。
【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】
圓形池塘的周長(zhǎng)是25.12米（如圖），在池塘的周圍修一條2米寬的水泥路，水泥路的面積是多少平方米？
【答案】62.8平方米
【分析】由題意知：圓形池塘的半徑:：米，再利用圓環(huán)的面積公式：，將數(shù)值代入即可求得水泥路的面積。據(jù)此解答。
【詳解】
＝
＝4（米）
大圓的半徑：
（米）
＝
＝
＝62.8（平方米）
答：水泥路的面積是62.8平方米。
【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】
一個(gè)圓形花壇的直徑是50米，中間是一個(gè)直徑為30米的圓形水湖，其余地方是草坪，草坪的面積是多少平方米？如果每平方米草坪需要肥料0.8千克，給這塊草坪施肥需要肥料多少千克？
【答案】1256平方米；1004.8千克
【分析】根據(jù)圓的半徑r＝d÷2，分別求出圓形花壇的半徑R和圓形水湖的半徑r；
求草坪的面積，就是求圓環(huán)的面積，根據(jù)圓環(huán)的面積公式S環(huán)＝π（R2－r2），代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可求解；
用每平方米草坪需要肥料的質(zhì)量乘草坪的面積，即可求出給這塊草坪施肥需要肥料的總質(zhì)量。
【詳解】50÷2＝25（米）
30÷2＝15（米）
3.14×（252－152）
＝3.14×（625－225）
＝3.14×400
＝1256（平方米）
0.8×1256＝1004.8（千克）
答：草坪的面積是1256平方米，給這塊草坪施肥需要肥料1004.8多少千克。
【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】
公園要修建一個(gè)圓形花壇，花壇的直徑是40米，在花壇周邊鋪10米寬的草坪。
（1）花壇和草坪整個(gè)場(chǎng)地的占地面積是多少？
（2）如果鋪1平方米草坪需要10元，那么鋪草坪需要多少元？
【答案】（1）2826平方米
（2）15700元
【分析】（1）花壇和草坪整個(gè)場(chǎng)地是個(gè)圓，花壇直徑÷2＋草坪寬＝整個(gè)圓的半徑，根據(jù)圓的面積＝圓周率×半徑的平方，列式解答即可；
（2）草坪形狀是個(gè)圓環(huán)，花壇直徑÷2＝小圓半徑，整個(gè)圓的半徑是大圓半徑，根據(jù)圓環(huán)面積＝圓周率×（大圓半徑的平方－小圓半徑的平方），求出草坪面積，草坪面積×每平方米費(fèi)用＝需要的總錢數(shù)，據(jù)此列式解答。
【詳解】（1）40÷2＋10
＝20＋10
＝30（米）
3.14×302
＝3.14×900
＝2826（平方米）
答：花壇和草坪整個(gè)場(chǎng)地的占地面積是2826平方米。
（2）40÷2＝20（米）
3.14×（302－202）
＝3.14×（900－400）
＝3.14×500
＝1570（平方米）
1570×10＝15700（元）
答：鋪草坪需要15700元。
【考點(diǎn)十九】圓環(huán)的面積其二：半圓環(huán)。
【方法點(diǎn)撥】
半圓環(huán)的面積：S=(πR2-πr2)÷2。
【典型例題】
在一個(gè)半徑為10米的圓形噴泉周圍修一條寬3米的小路，小路一半面積鋪鵝卵石，一半面積鋪水泥。小路鋪水泥（如下圖）的面積是多少平方米？
【答案】108.33平方米
【分析】由題意可知，小圓的半徑為10米，大圓的半徑＝小圓的半徑＋環(huán)寬，利用“”表示出小路的面積，最后除以2求出小路鋪水泥的面積，據(jù)此解答。
【詳解】10＋3＝13（米）
3.14×（132－102）÷2
＝3.14×（169－100）÷2
＝3.14×69÷2
＝216.66÷2
＝108.33（平方米）
答：小路鋪水泥的面積是108.33平方米。
【點(diǎn)睛】本題主要考查環(huán)形面積公式的應(yīng)用，熟記公式是解答題目的關(guān)鍵。
【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】
如圖所示。李爺爺靠墻用籬笆圍了一塊半圓形的苗圃，半徑是4米。如果要擴(kuò)建這個(gè)苗圃，把這塊苗圃的半徑增加2米，這塊半圓形苗圃的面積增加了多少平方米？
【答案】31.4平方米
【分析】增加的面積為圓環(huán)的一半，已知現(xiàn)在的半徑為4米，半徑增加2米，則現(xiàn)在的半徑為4＋2＝6米，再根據(jù)圓環(huán)的面積公式S＝π（R2－r2），代入公式，最后除以2即可解題。
【詳解】4＋2＝6（米）
3.14×（62－42）÷2
＝3.14×（36－16）÷2
＝3.14×20÷2
＝62.8÷2
＝31.4（平方米）
答：這塊半圓形苗圃的面積增加了31.4平方米。
【點(diǎn)睛】解讀出增加的面積為圓環(huán)的一半，并掌握?qǐng)A環(huán)的面積公式是解題的關(guān)鍵。
【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】
一個(gè)半圓形花壇，一周的長(zhǎng)是35.98米。
（1）這個(gè)花壇的面積有多大？
（2）如果擴(kuò)建這個(gè)花壇，把半徑增加1米，花壇的面積增大多少？
【答案】（1）76.93平方米
（2）23.55平方米
【分析】（1）根據(jù)題意，已知半圓形花壇一周的長(zhǎng)是35.98米，也就是半圓周長(zhǎng)為35.98米；根據(jù)半圓周長(zhǎng)＝圓周長(zhǎng)的一半＋直徑，即C半圓＝πr＋2r，可知：圓的半徑r＝C半圓÷（π＋2），由此求出半圓形花壇的半徑；然后根據(jù)圓的面積公式S＝πr2，求出一個(gè)圓的面積，再除以2，即是這個(gè)的花壇的面積。
（2）如果擴(kuò)建這個(gè)花壇，把半徑增加1米，求花壇面積增大多少，就是求半圓環(huán)的面積；由上一題可知內(nèi)圓的半徑是7米，則外圓的半徑是（7＋1）米；根據(jù)圓環(huán)的面積公式S環(huán)＝π（R2－r2），求出一個(gè)圓環(huán)的面積，再除以2，即可得解。
【詳解】（1）半圓的半徑：
35.98÷（3.14＋2）
＝35.98÷5.14
＝7（米）
半圓的面積：
3.14×72÷2
＝3.14×49÷2
＝153.86÷2
＝76.93（平方米）
答：這個(gè)花壇的面積是76.93平方米。
（2）7＋1＝8（米）
3.14×（82－72）÷2
＝3.14×（64－49）÷2
＝3.14×15÷2
＝47.1÷2
＝23.55（平方米）
答：花壇的面積增大23.55平方米。
【點(diǎn)睛】本題考查半圓周長(zhǎng)計(jì)算方法的靈活運(yùn)用以及圓環(huán)面積公式的應(yīng)用。
【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】
一個(gè)半圓形花壇，一周的長(zhǎng)是35.98米。
（1）這個(gè)花壇的面積有多大？
（2）如果擴(kuò)建這個(gè)花壇，把半徑增加1米，花壇的面積增大多少？
【答案】（1）76.93平方米
（2）23.55平方米
【分析】（1）半圓周長(zhǎng)＝πr＋2r，半徑＝半圓周長(zhǎng)÷（π＋2），半圓面積＝πr2÷2，據(jù)此列式解答即可。
（2）增大的面積是圓環(huán)面積的一半，圓環(huán)面積的一半＝π（R2－r2）÷2，據(jù)此列式解答。
【詳解】（1）35.98÷（3.14＋2）
＝35.98÷5.14
＝7（米）
3.14×72÷2
＝3.14×49÷2
＝76.93（平方米）
答：這個(gè)花壇的面積有76.93平方米。
（2）7＋1＝8（米）
3.14×（82－72）÷2
＝3.14×（64－49）÷2
＝3.14×15÷2
＝23.55（平方米）
答：花壇的面積增大23.55平方米。
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵是掌握并靈活運(yùn)用圓的周長(zhǎng)、面積和圓環(huán)面積公式。
專題名稱
第五單元圓·面積篇
專題內(nèi)容
本專題包括圓的面積公式、面積的實(shí)際應(yīng)用及其他問題。
總體評(píng)價(jià)
講解建議
建議根據(jù)學(xué)生實(shí)際掌握情況和總體水平，選擇性講解部分考點(diǎn)考題。
考點(diǎn)數(shù)量
十九個(gè)考點(diǎn)。

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第五單元專練篇·10：含圓的陰影部分圖形面積“基礎(chǔ)版”2024-2025學(xué)年六年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)典型例題系列（原卷版+解析版）人教版

第五單元專練篇·10：含圓的陰影部分圖形面積“基礎(chǔ)版”2024-2025學(xué)年六年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)典型例題系列（原卷版+解析版）人教版
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