第五單元專練篇·12：含圓的陰影部分圖形面積“拓展版”2024-2025學(xué)年六年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)典型例題系列（原卷版+解析版）人教版-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、圖形計(jì)算。
1．求下圖陰影部分的面積。（單位：米。）

【答案】6平方米
【分析】觀察圖形可知，陰影部分面積＝直徑是3米的圓的面積一半＋直徑是4米的圓的面積一半＋底是3米，高是4米的三角形面積－直徑是5米的圓的面積一半，根據(jù)圓的面積公式：面積＝π×半徑2，三角形面積公式：面積＝底×高÷2，代入數(shù)據(jù)，即可解答。
【詳解】3.14×（3÷2）2÷2＋3.14×（4÷2）2÷2＋3×4÷2－3.14×（5÷2）2÷2
＝3.14×1.52÷2＋3.14×22÷2＋12÷2＋3.14×2.52÷2
＝3.14×2.25÷2＋3.14×4÷2＋6＋3.14×6.25÷2
＝3.5325＋6.28＋6－9.8125
＝6（平方米）
陰影部分的面積是6平方米。
2．求涂色部分的面積。

【答案】30.5cm2
【分析】
如上圖，空白1的面積是長(zhǎng)方形面積減半徑為6的圓的面積的；涂色部分面積是半徑為8厘米圓的面積的減去空白1的面積。長(zhǎng)方形面積＝長(zhǎng)×寬，圓的面積＝半徑×半徑×3.14，將數(shù)值代入計(jì)算即可。
【詳解】空白1的面積：
6×8－3.14×62÷4
＝48－28.26
＝19.74（cm2）
涂色部分的面積：
3.14×82÷4－19.74
＝50.24－19.74
＝30.5（cm2）
【點(diǎn)睛】本題考查了圓的面積與長(zhǎng)方形面積的應(yīng)用。將不規(guī)則的空白1面積轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形面積減圓面積的，是解答本題的關(guān)鍵。
3．求陰影部分的面積。（單位：厘米）

【答案】28.5平方厘米
【分析】如下圖，連接BD。陰影①和陰影②的面積和＝以BC為直徑的半圓面積－△BDC的面積；陰影③的面積＝以AB為半徑的圓面積的－△ABD的面積；用陰影①和陰影②的面積和加上陰影③的面積即可求出圖中陰影部分的面積。因?yàn)椤鰽BC是等腰直角三角形，所以△BDC和△ABD是完全一樣的等腰直角三角形，即△BDC的面積和△ABD的面積相等，都等于△ABC面積的一半。

【詳解】[3.14×（10÷2）2÷2－10×10÷2÷2]＋[3.14×102×－10×10÷2÷2]
＝[3.14×52÷2－100÷2÷2]＋[3.14×100×－100÷2÷2]
＝[3.14×25÷2－25]＋[314×－25]
＝[78.5÷2－25]＋[39.25－25]
＝[39.25－25]＋[39.25－25]
＝14.25＋14.25
＝28.5（平方厘米）
4．計(jì)算下圖中陰影部分的面積。單位（厘米）
【答案】22.26平方厘米
【分析】連接正方形的對(duì)角線，則陰影部分的面積等于半徑為6厘米的圓的面積的減去底和高都為6厘米的三角形的面積，再加上底為4厘米，高為6厘米的三角形的面積即可，根據(jù)圓的面積公式：S＝πr2，三角形的面積公式：S＝ah÷2，據(jù)此進(jìn)行計(jì)算即可。
【詳解】如圖：
3.14×62×－6×6÷2＋4×6÷2
＝3.14×62×－36÷2＋24÷2
＝3.14×36×－36÷2＋24÷2
＝28.26－18＋12
＝10.26＋12
＝22.26（平方厘米）
5．計(jì)算陰影部分的周長(zhǎng)和面積。
（1）
（2）
【答案】（1）周長(zhǎng)：47.lcm
面積：78.5cm2
（2）周長(zhǎng)：22.28cm
面積：12.56cm2
【分析】（1）根據(jù)上圖可知，陰影部分的周長(zhǎng)＝半徑為10厘米的圓的周長(zhǎng)的＋直徑為10厘米的圓的周長(zhǎng)；通過(guò)旋轉(zhuǎn)后得出陰影部分的面積正好是半徑為10厘米的圓的面積的；
（2）通過(guò)觀察上圖發(fā)現(xiàn)：兩個(gè)陰影部分都是半徑為4厘米的扇形并且圓心角的和180°－90°＝90°，90°÷360°＝，那么它們的周長(zhǎng)的和是半徑為4厘米圓周長(zhǎng)的＋4個(gè)半徑；面積和為：整圓面積的，據(jù)此解答。
【詳解】（1）周長(zhǎng)：
3.14×10×2×＋3.14×10
＝31.4×2×＋31.4
＝15.7＋31.4
＝47.l（cm）
面積：3.14×102×
＝314×
＝78.5（cm2）
（2）周長(zhǎng)：3.14×4×2×＋4×4
＝12.56×2×＋16
＝6.28＋16
＝22.28（cm）
面積：3.14×42×
＝50.24×
＝12.56（cm2）
【點(diǎn)睛】是明確弄清楚陰影部分的面積可以由哪些圖形的面積和或差求解。
6．梯形的面積是54cm2，求下圖中陰影部分的面積。（單位：cm）
【答案】14.13平方厘米
【分析】梯形的高等于半圓的直徑，梯形的高＝梯形的面積×2÷上下底之和，陰影部分的面積＝半徑為梯形高的圓面積的－直徑為梯形高的圓的，據(jù)此解答。
【詳解】54×2÷（8＋10）
＝108÷18
＝6（厘米）
3.14×62×－3.14×（6÷2）2×
＝3.14×9－3.14×4.5
＝14.13（平方厘米）
7．求下圖中陰影部分面積。
【答案】257
【分析】圖中圓的面積減去菱形的面積能得到四周四個(gè)陰影部分的面積，有2個(gè)陰影部分在平行四邊形內(nèi)部，所以求出的面積除以2，再加上平行四邊形面積減去菱形面積即可求出陰影部分面積。
【詳解】圓內(nèi)部陰影部分面積的：
3.14×－20×20÷2
＝3.14×100－200
＝114
114÷2＝57
平行四邊形內(nèi)部陰影部分面積：
20×20－20×20÷2
＝400－200
＝200
陰影部分面積：200＋57＝257
故陰影部分的面積為257。
【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的面積，同時(shí)要注意平行四邊形中的陰影部分面積包含了2個(gè)圓四周的陰影部分面積。
8．計(jì)算下圖中陰影部分的面積。
【答案】107平方厘米
【分析】沿虛線剪拼如下：
由圖可知陰影部分面積＝半圓面積－三角形面積。
【詳解】3.14×（20÷2）2÷2－（20÷2）×（20÷2）÷2
＝3.14×50－100÷2
＝157－50
＝107（平方厘米）
【點(diǎn)睛】本題主要考查陰影部分的面積，解題的關(guān)鍵是通過(guò)剪拼轉(zhuǎn)化原圖。
9．求陰影部分的面積。（單位：分米）
【答案】88.32平方分米；19.44平方分米
【分析】如圖：

第一題觀察圖可知，由于②是等腰三角形，一個(gè)底角是30°，由此即可求出圓心角；①＋②的面積相當(dāng)于一個(gè)圓心角為120°，直徑是24分米的扇形面積，②的面積相當(dāng)于底是（24÷2）分米、高是10.4分米的三角形面積，根據(jù)三角形的面積公式，用（24÷2）×10.4÷2即可求出②的面積，根據(jù)扇形的面積公式，用3.14×（24÷2）2×即可求出扇形的面積，最后用扇形的面積減去②的面積，即可求出陰影部分的面積。
第二題陰影部分的面積＝一個(gè)上底為4分米、下底為12分米、高為4分米的梯形面積－一個(gè)半徑是4分米的圓面積的，根據(jù)梯形的面積＝（上底＋下底）×高÷2，用（4＋12）×4÷2即可求出梯形的面積，用3.14×42×即可求出圓面積的是多少，最后將兩部分相減，即可求出陰影部分的面積。
【詳解】（24÷2）×10.4÷2
＝12×10.4÷2
＝62.4（平方分米）
3.14×（24÷2）2×
＝3.14×122×
＝3.14×144×
＝150.72（平方分米）
150.72－62.4＝88.32（平方分米）
第一題陰影部分的面積是88.32平方分米。
（4＋12）×4÷2
＝16×4÷2
＝32（平方分米）
3.14×42×
＝3.14×16×
＝12.56（平方分米）
32－12.56＝19.44（平方分米）
第二題陰影部分的面積是19.44平方分米。
10．求下面圖形中涂色部分的面積（單位：厘米）
【答案】25.12平方厘米；48平方厘米
【分析】圓環(huán)面積＝大圓面積－小圓面積，根據(jù)S＝πr2，將數(shù)值代入計(jì)算；
將原圖割補(bǔ)后如圖所示：
涂色部分的面積＝梯形的面積，根據(jù)梯形面積＝（上底＋下底）×高÷2，將數(shù)值代入計(jì)算即可。
【詳解】圓環(huán)面積：
3.14×（6÷2）2－3.14×（2÷2）2
＝3.14×9－3.14
＝25.12（平方厘米）
梯形涂色面積：
（6＋10）×6÷2
＝16×6÷2
＝48（平方厘米）
11．求圖中陰影部分的周長(zhǎng)。

【答案】27.98cm；4.71cm
【分析】由圖可知，陰影部分的周長(zhǎng)＝半徑為4cm的半圓弧＋半徑為3cm的半圓?。?＋2，根據(jù)圓的周長(zhǎng)＝2r，代入即可求解；
由圖可知，陰影部分周長(zhǎng)＝直徑為1cm的圓的周長(zhǎng)＋半徑為1cm的圓弧長(zhǎng)度，根據(jù)圓的周長(zhǎng)＝2r＝，代入即可求解。
【詳解】2×3.14×4÷2＋2×3.14×3÷2＋4＋3－（4－3）
＝6.28×4÷2＋6.28×3÷2＋4＋3－1
＝25.12÷2＋18.84÷2＋4＋3－1
＝12.56＋9.42＋4＋3－1
＝21.98＋4＋3－1
＝25.98＋3－1
＝28.98－1
＝27.98（cm）
3.14×1＋2×3.14×1÷4
＝3.14＋6.28÷4
＝3.14＋1.57
＝4.71（cm）
12．求下面圖形中涂色部分的面積。（單位：厘米）
【答案】39.25cm2；36 cm2
【分析】第一個(gè)圖形的陰影部分面積，觀察圖形可知，陰影部分面積就是直徑為5厘米的圓的面積的一半×4，根據(jù)圓的面積公式：π×半徑2，代入數(shù)據(jù)即可解答；第二個(gè)陰影部分面積，觀察圖形可知，用底邊為12cm，高為12cm的三角形面積減去底邊為12cm，高為6cm三角形面積，根據(jù)三角形面積公式：底×高÷2，即可解答。
【詳解】3.14×（10÷2÷2）2÷2×4
＝3.14×2.52÷2×4
＝3.14×6.25÷2×4
＝19.625÷2×4
＝9.8125×4
＝39.25（cm2）
12×12÷2－12×（12÷2）÷2
＝144÷2－12×6÷2
＝72－72÷2
＝72－36
＝36（cm2）
二、解決問(wèn)題。
13．如圖，圓環(huán)的面積是141.3平方厘米，那么陰影部分的面積是多少平方厘米？
【答案】45平方厘米
【分析】如圖：陰影部分的面積等于大正方形的面積減去小正方形的面積，大正方形的面積=大圓的半徑×大圓的半徑＝大圓半徑的平方，小圓的面積=小圓的半徑×小圓的半徑＝小圓半徑的平方，設(shè)大圓半徑為R，小圓半徑為r，則圓環(huán)面積為π（R2－r2）＝141.3（平方厘米），據(jù)此用圓環(huán)的面積除以π即可解答。
【詳解】設(shè)大圓半徑為R，小圓半徑為r。
則圓環(huán)面積為：π（R2－r2）＝141.3（平方厘米）
R2－r2
＝141.3÷3.14
＝45（平方厘米）
答：陰影部分的面積是45平方厘米。
【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵是將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為兩個(gè)正方形的面積差。再結(jié)合圓環(huán)的面積公式解答。
14．如圖，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是8厘米，寬是6厘米，求陰影部分的面積。
【答案】30.5平方厘米
【分析】如圖所示，陰影部分的面積＝以8厘米為半徑的圓的面積－空白①的面積，而空白①的面積＝長(zhǎng)方形的面積－以6厘米為半徑的圓的面積，據(jù)此根據(jù)長(zhǎng)方形的面積＝長(zhǎng)×寬，圓的面積＝πr2，代入數(shù)據(jù)即可求解。
【詳解】如圖：
（平方厘米）
（平方厘米）
答：陰影部分的面積是30.5平方厘米。
【點(diǎn)睛】需要仔細(xì)觀察圖示，能夠從復(fù)雜的圖示中提取出有效的信息。
15．如圖：（1）是一個(gè)直徑是12厘米的半圓，AB是直徑。如圖（2）所示，讓A點(diǎn)不動(dòng)，把整個(gè)半圓逆時(shí)針轉(zhuǎn)60°，此時(shí)B點(diǎn)移動(dòng)到C點(diǎn)。請(qǐng)問(wèn)：圖中陰影部分的面積是多少平方厘米？（π取3.14）
【答案】75.36平方厘米
【分析】陰影部分的面積等于整個(gè)圖形的面積減去半圓的面積，整個(gè)圖形的面積等于一個(gè)半圓的面積加上一個(gè)圓心角為60°的扇形的面積，所以陰影部分的面積等于圓心角為60°的扇形的面積，這個(gè)扇形的半徑等于半圓的直徑，即。12厘米
【詳解】
＝
＝75.36（平方厘米）
答：圖中陰影部分的面積是75.36平方厘米。
【點(diǎn)睛】本題考查了不規(guī)則圖形的面積的計(jì)算方法，把不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形來(lái)計(jì)算是常用的方法。
16．求陰影部分的面積，如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是4厘米，E、F、G、H是正方形各邊上的中點(diǎn)，請(qǐng)計(jì)算四個(gè)扇形的弧圍成的陰影部分面積。
【答案】8平方厘米
【分析】如下圖箭頭所示移動(dòng)陰影部分，這樣陰影部分的面積＝正方形的面積－4個(gè)等腰直角三角形的面積，根據(jù)正方形的面積＝邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)，三角形的面積＝底×高÷2，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可求解。
【詳解】
（平方厘米）
答：四個(gè)扇形的弧圍成的陰影部分面積是8平方厘米。
17．如圖，三角形ABC是等腰直角三角形，D是半圓周的中點(diǎn)，已知AB＝BC＝10厘米，那么陰影部分的面積是多少？
【答案】32.125平方厘米
【分析】如下圖，作出輔助線，使四邊形BEDO是一個(gè)邊長(zhǎng)等于圓的半徑的正方形；
則陰影部分的面積＝直角三角形AED的面積－正方形BEDO的面積＋圓的面積；
根據(jù)三角形的面積公式S＝ah÷2，正方形的面積公式S＝a2，圓的面積S＝πr2，代入數(shù)據(jù)計(jì)算求解。
【詳解】OB、OD、BE、ED：10÷2＝5（厘米）
直角三角形AED的面積：
（10＋5）×5÷2
＝15×5÷2
＝37.5（平方厘米）
正方形BEDO的面積：
5×5＝25（平方厘米）
圓的面積：
3.14×52×
＝3.14×25×
＝19.625（平方厘米）
陰影部分的面積：
37.5－25＋19.625
＝12.5＋19.625
＝32.125（平方厘米）
答：陰影部分的面積是32.125平方厘米。
【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是做出合適的輔助線，把圖形進(jìn)行相應(yīng)的轉(zhuǎn)換，分析出陰影部分的面積是由哪些圖形的面積相加或相減得到，利用圖形的面積公式求解。
18．如圖，兩陰影部分的面積分別是S1、S2，S1－S2＝2.44平方厘米。求圖中扇形所在圓的半徑。
【答案】4厘米
【分析】根據(jù)圖形可知，兩個(gè)陰影部分的面積分別是S1，S2，由于S1－S2＝2.44平方厘米；說(shuō)明上面陰影部分面積比下面陰影部分面積多2.44平方厘米，由于空白部分加上S2是扇形的面積，空白部分加S1是長(zhǎng)方形面積，那么可知長(zhǎng)方形面積比扇形面積多了2.44平方厘米，根據(jù)長(zhǎng)方形面積公式：面積＝長(zhǎng)×寬；代入數(shù)據(jù)，求出長(zhǎng)是3厘米，寬是5厘米的長(zhǎng)方形的面積；再用長(zhǎng)方形的面積減去2.44平方厘米，求出扇形的面積，再乘4，就是這個(gè)扇形所在圓的面積，再根據(jù)圓的面積公式：面積＝π×半徑2，即可求半徑。
【詳解】（3×5－2.44）×4÷3.14
＝（15－2.44）×4÷3.14
＝12.56×4÷3.14
＝50.24÷3.14
＝16（平方厘米）
4×4＝16，扇形所在圓的半徑是4厘米。
答：圖中扇形所在圓的半徑是4厘米。
【點(diǎn)睛】解答本題的關(guān)鍵明確長(zhǎng)方形面積減去兩個(gè)陰影部分的面積的差就是扇形的面積，再根據(jù)長(zhǎng)方形面積公式和圓的面積公式進(jìn)行解答。
19．小明家客廳的地面想用一種形狀像圖1，尺寸規(guī)格為1.2米×1.2米的方磚鋪貼。設(shè)計(jì)師在研究設(shè)計(jì)效果圖時(shí)，把其中一塊方磚畫在了邊長(zhǎng)為6厘米的正方形圖紙上（如圖1）。
（1）方磚中的陰影圖案可以由圖2通過(guò)（）運(yùn)動(dòng)得到。
（2）正方形圖紙（圖1）的比例尺是（）。
（3）若這個(gè)客廳的地面長(zhǎng)是7.2米，寬是4.8米。地面鋪好后（縫隙忽略不計(jì)），陰影圖案部分的面積一共占多少平方米？（π取3.14）
【答案】（1）旋轉(zhuǎn)和平移
（2）1∶20
（3）19.6992平方米
【分析】（1）旋轉(zhuǎn)的特征：圖形旋轉(zhuǎn)后，形狀和大小都沒(méi)有發(fā)生變化，只是位置發(fā)生了變化；在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形上的所有點(diǎn)都按照某個(gè)方向作相同距離移動(dòng)的圖形運(yùn)動(dòng)叫做平移。平移后圖形的位置改變，形狀、大小、方向不變；由此可知，方磚中的陰影圖案可以由圖2通過(guò)旋轉(zhuǎn)和平移運(yùn)動(dòng)得到。
（2）根據(jù)圖上距離∶實(shí)際距離＝比例尺進(jìn)行解答。
（3）圖2的實(shí)際面積＝兩個(gè)半徑為1.2÷2＝0.6（米）、圓心角是90°扇形面積－邊長(zhǎng)0.6米正方形的面積，每塊地磚陰影圖案面積＝圖2實(shí)際面積×4；客廳地磚陰影圖案部分的面積＝每塊地磚陰影圖案面積×地磚的塊數(shù)；地磚的塊數(shù)＝（客廳長(zhǎng)÷地磚邊長(zhǎng)）×（客廳寬÷地磚邊長(zhǎng)）。據(jù)此解答即可。
【詳解】（1）方磚中的陰影圖案可以由圖2通過(guò)旋轉(zhuǎn)和平移運(yùn)動(dòng)得到。
（2）1.2米＝120厘米
6∶120＝1∶20
所以，正方形圖紙（圖1）的比例尺是1∶20。
（3）1.2÷2＝0.6（米）
一塊方磚的陰影面積：
（3.14×0.6×0.6××2－0.6×0.6）×4
＝（1.1304×－0.36）×4
＝（0.5652－0.36）×4
＝0.2052×4
＝0.8208（平方米）
總的陰影面積：（7.2÷1.2）×（4.8÷1.2）×0.8208
＝6×4×0.8208
＝24×0.8208
＝19.6992（平方米）
答：陰影圖案部分的面積一共占19.6992平方米。
【點(diǎn)睛】本題的難點(diǎn)是計(jì)算圖2的面積，掌握“圖2的實(shí)際面積＝兩個(gè)半徑為1.2÷2＝0.6（米）、圓心角是90°扇形面積－邊長(zhǎng)0.6米正方形的面積”是解答本題的關(guān)鍵。
20．下面圖中的長(zhǎng)方形ABCD的長(zhǎng)BC為30厘米、寬CD為10厘米，圓O的直徑為10厘米。
圖（1）圖（2）
（1）如上圖（1）所示，圓不動(dòng)，長(zhǎng)方形以每秒2厘米的速度從左向右水平勻速平移，請(qǐng)問(wèn)圓完全被長(zhǎng)方形包含在內(nèi)的時(shí)間一共有多少秒？
（2）如上圖（2）所示，長(zhǎng)方形不動(dòng)，圓沿著長(zhǎng)方形外邊緣滾動(dòng)一周。當(dāng)圓O滾到長(zhǎng)方形的頂點(diǎn)時(shí)，需繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度（如圖示的頂點(diǎn)C）后繼續(xù)滾動(dòng)。那么圓O掃過(guò)的面積是多少平方厘米？
【答案】（1）10秒
（2）1114平方厘米
【分析】（1）當(dāng)長(zhǎng)方形ABCD平移到長(zhǎng)方形A'B'C'D'的位置時(shí)，圓完全被長(zhǎng)方形包圍在內(nèi)。此時(shí)，長(zhǎng)方形需要平移的距離是原來(lái)長(zhǎng)方形左邊到完全包含圓時(shí)左邊的距離，即30－10＝20（厘米）。已知長(zhǎng)方形以每秒2厘米的速度平移，用平移的距離除以平移的速度，即可求出平移所需的時(shí)間。
（2）圓O沿長(zhǎng)方形滾過(guò)一周掃過(guò)的面積可以分成三部分，如下圖所示：
第一部分：圓O在長(zhǎng)方形的上下兩條長(zhǎng)滾動(dòng)時(shí)，圓O掃過(guò)的面積是兩個(gè)長(zhǎng)為30厘米，寬為10厘米的長(zhǎng)方形的面積，根據(jù)長(zhǎng)方形的面積＝長(zhǎng)×寬，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可；
第二部分：圓O在長(zhǎng)方形的左右兩條寬滾動(dòng)時(shí)，圓O掃過(guò)的面積是兩個(gè)邊長(zhǎng)為10厘米的正方形的面積，根據(jù)正方形的面積＝邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可；
第三部分：圓O在繞四個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度后，圓O掃過(guò)的面積是四個(gè)半徑為10厘米的圓的面積，可以看作一個(gè)半徑為10厘米整圓的面積，根據(jù)圓的面積公式：S＝πr2，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可；
最后把這三部分的面積加在一起，即可求出O掃過(guò)的面積。
【詳解】（1）（30－10）÷2
＝20÷2
＝10（秒）
答：圓完全被長(zhǎng)方形包含在內(nèi)的時(shí)間一共有10秒。
（2）30×10×2＝600（平方厘米）
10×10×2＝200（平方厘米）
3.14×102÷4×4
＝3.14×100÷4×4
＝314÷4×4
＝314（平方厘米）
600＋200＋314＝1114（平方厘米）
答：O掃過(guò)的面積是1114平方厘米。
【點(diǎn)睛】這道題主要是分析長(zhǎng)方形的平移和圓的滾動(dòng)過(guò)程，通過(guò)作圖的方法體現(xiàn)出長(zhǎng)方形平移的距離以及圓的運(yùn)動(dòng)軌跡所形成的圖形。

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