山東省德州市夏津縣2023_2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期9月月考試題含解析

這是一份山東省德州市夏津縣2023_2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期9月月考試題含解析，共26頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
1. 已知點坐標為，點坐標為，以線段為直徑的圓的半徑是（）
A. B. C. 4D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】利用兩點距離公式求線段的長，即可得半徑.
【詳解】由題意知，，
以線段為直徑的圓的半徑是．
故選：A
2. 平行六面體中，，則（）
A. 1B. 2C. 3D. －1
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)平行六面體的性質(zhì)結(jié)合向量的運算即可得出答案.
【詳解】因為平行六面體的六個面均為平行四邊形，
則，，，
則，
而，，則，
則，
即，
故選：B.
3. 若三條直線相交于同一點，則點到原點的距離d的最小值是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由直線過直線與得交點可得，再由兩點間的距離公式求出d的最小值.
【詳解】聯(lián)立，解得，
把代入，得，，
點到原點的距離
，
當且僅當時取等號．
點到原點的距離的最小值為．
故選：D．
4. 如圖，在三棱錐中，點為底面的重心，點是線段上靠近點的三等分點，過點的平面分別交棱，，于點，，，若，，，則（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由空間向量基本定理，用表示，由D，E，F(xiàn)，M四點共面，可得存在實數(shù)，使，再轉(zhuǎn)化為，由空間向量分解的唯一性，分析即得解.
【詳解】由題意可知，
因為D，E，F(xiàn)，M四點共面，所以存在實數(shù)，使，
所以，
所以，
所以，
所以．
故選：D
5. 已知直線的方程為，則直線的傾斜角范圍是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用直線斜率與傾斜角的關(guān)系即可求解.
【詳解】由直線的方程為，
所以，
即直線的斜率，由.
所以，又直線的傾斜角的取值范圍為，
由正切函數(shù)的性質(zhì)可得：直線的傾斜角為.
故選：B
6. 下列四個命題中，正確命題的個數(shù)是（）
①若是空間的一個基底，則對任意一個空間向量，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使得；
②若兩條不同直線的方向向量分別是，則；
③若是空間的一個基底，且，則四點共面；
④若兩個不同平面的法向量分別是，且，則．
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】對于①和③，由共面向量定理判斷；對于②，根據(jù)直線方向向量的定義分析判斷；對于④，由平行平面的充要條件可判斷.
【詳解】若 是空間的一個基底，則對任意一個空間向量，
存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使得 ，
由空間向量基本定理知，正確；
若兩條不同直線的方向向量分別是，則 ，
由方向向量的定義知正確；
若 是空間的一個基底，且 ，
則，即，
由空間向量共面定理知四點共面，正確；
若兩個不同平面的法向量分別是 ，且 ，
易得不成立，所以不成立.
故選：C
7. 阿波羅尼斯是古希臘著名的數(shù)學(xué)家，對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，阿波羅尼斯圓就是他的研究成果之一，指的是：已知動點M與兩定點Q，P的距離之比，那么點的軌跡就是阿波羅尼斯圓．已知動點的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為，定點為軸上一點，且，若點，則的最小值為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)點的軌跡方程可得，結(jié)合條件可得，即得.
【詳解】設(shè)，，所以，
又，所以．
因為且，所以，
整理可得，
又動點M的軌跡是，
所以，解得，
所以，又，
所以，因為，
所以的最小值為．
故選：C．
8. 如圖，長方體中為線段上的動點，則以下結(jié)論中不正確的是（）
A. 當時，直線與平面所成角的正弦值為
B. 當時，若平面的法向量記為，則
C. 當時，二面角的余弦值為
D. 若，則
【答案】A
【解析】
【分析】構(gòu)建空間直角坐標系，根據(jù)各項給定條件，應(yīng)用向量的坐標運算求相關(guān)線段對應(yīng)向量，應(yīng)用向量法求線面角、二面角判斷A、C，由向量數(shù)量積的坐標運算判斷B、D.
【詳解】在長方體中，以點D為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，
則，
當時，為的中點，則，故，
而為平面的一個法向量，若直線與平面所成角為，
則，故A錯誤；
當時，，
設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，
，
所以，故B正確；
當時，，
，，
設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，
又平面，則是平面的一個法向量，所以
由圖知：二面角的平面角為銳角，則其余弦值為，故C正確；
設(shè)，故，
若，故，故D正確；
故選：．
二、多選題（本大題共4小題，共20.0分.在每小題有多項符合題目要求）
9. 三條直線構(gòu)成三角形，則a的取值可以是（）
A. B. 1C. 2D. 3
【答案】CD
【解析】
【分析】易得直線與2都經(jīng)過原點，直線不經(jīng)過原點，則要滿足三條直線構(gòu)成三角形，只需直線與另兩條直線不平行即可，進而可得出答案.
【詳解】解：直線與2都經(jīng)過原點，
而無論為何值，直線都不經(jīng)過原點，
因此，要滿足三條直線構(gòu)成三角形，只需直線與另兩條直線不平行，
所以.
故選：CD.
10. 已知，，且與夾角為鈍角，則x的取值可以是（ ）
A. -2B. 1C. D. 2
【答案】BD
【解析】
【分析】根據(jù)題意得出且與不共線，根據(jù)數(shù)量積公式列出不等式并排除兩個向量反向時的值，即可判斷得出答案.
【詳解】由題意得，且與不共線，則，
即，解得，若與共線，則，即，得，與反向
需要舍去，所以的取值范圍為且，所以B和D選項正確，A和C選項錯誤，
故選：BD.
11. 以下四個命題表述正確的是（）
A. 直線（）必過定點
B. 圓（）上有且僅有4個點到直線的距離都等于1，則
C. 曲線與曲線恰有三條公切線
D. 已知圓，點P為直線上一動點，過點P向圓C引兩條切線，，A，B為切點，四邊形面積的最小值為
【答案】BD
【解析】
【分析】A.直線過定點，所以A錯誤；
B.圓心O到直線l的距離為，故，所以B正確；
C.，兩圓相離，故有4條公切線，所以C錯誤；
D.當垂直直線時，四邊形面積最小. 此時四邊形面積，所以D正確.
【詳解】A.由題得，所以直線過定點，所以A錯誤；
B.圓心O到直線l的距離為，故圓上有且僅有4個點到直線l的距離為1，則，所以B正確；
C.圓，的圓心為，，半徑，，，兩圓相離，故有4條公切線，所以C錯誤；
D.當垂直直線時，四邊形面積最小.此時，，，四邊形面積，所以D正確.
故選：BD
12. 如圖，在直三棱柱中，是直角三角形，且為的中點，點是棱上的動點，點是線段上的動點，則下列結(jié)論正確的是（）
A. 異面直線與所成角的余弦值是
B. 三棱柱的外接球的表面積是
C. 當點是線段的中點時，三棱錐的體積是
D. 的最小值是2
【答案】AC
【解析】
【分析】由空間向量的坐標運算判斷A，由棱柱的外接球半徑與球的表面積公式判斷B，
由線面平行關(guān)系與棱錐的體積公式判斷C，在平面中，數(shù)形結(jié)合求的最小值后判斷．
【詳解】解：在直三棱柱中，是直角三角形，且，則，
則建立以為坐標原點，以、、所在直線分別為軸、軸、軸的空間直角坐標系，如圖所示：
則，，，，
對于：，，
，
故異面直線與所成角的余弦值是，故A正確；
對于：將直三棱柱補成直四棱柱，
可得三棱柱的外接球就是直四棱柱的外接球，
外接球半徑，
故三棱柱的外接球的表面積是，故B錯誤；
對于：連接，則是中點，
點是線段的中點，
，
平面，是棱上的動點，
點到平面的距離就是點到平面的距離，
又
，故C正確；
對于：由選項C得是的中點，
則平面，平面，平面，
在中，，，且，
在平面中，建立以為原點，以為軸，以為軸，建立平面直角坐標系，如圖所示：
則，，，，
過作直線的對稱點，當時，
此時的值最小，且為，也就是點到軸的距離，
設(shè)，可得的中點坐標為，
直線的方程為，即，
，解得，的最小值是，故D錯誤，
故選：．
三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）
13. 如圖，已知四棱柱的底面為平行四邊形，為棱的中點，，，與平面交于點，則________.
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)，其中，用、、表示向量、、，利用共面向量的基本定理可知存在、使得，由空間向量基本定理可得出關(guān)于、、的方程組，即可解得實數(shù)的方程組，即可解得實數(shù)的值.
【詳解】設(shè)，其中，
，
，，
因為、、、四點共線，則向量、、共面，
由共面向量定理可知，存在、使得，
即
，
所以，，解得.
故答案為：.
14. 如圖所示，三個邊長為的等邊三角形有一條邊在同一直線上，邊上有100個不同的點，記，，則___________.
【答案】7200
【解析】
【分析】以A為原點，所在直線為x軸，建立直角坐標系，得到的坐標，然后求得直線的方程，根據(jù)在直線上，得到，運用向量的數(shù)量積的坐標運算即可.
【詳解】如圖所示：
以A為原點，所在直線為x軸，建立直角坐標系，
則，
直線的方程為，
設(shè)，則，即，
所以，
所以.
故答案為：7200
【點睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積的坐標運算，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運算求解的能力，屬于中檔題.
15. 如圖，已知菱形所在的平面與所在的平面互相垂直，且．則平面與平面所成的銳二面角的余弦值為_________．
【答案】
【解析】
【分析】以為坐標原點聯(lián)立空間直角坐標系，利用平面與平面的法向量求解兩個平面所成銳二面角的余弦值.
【詳解】取中點，連接，在菱形中，所以是正三角形，所以，
又因為平面平面，平面平面，平面，
所以平面，平面，所以，
又因為，，平面，
所以平面.
如圖建立空間直角坐標系，則，，，，，
設(shè)平面的法向量為，，，
由，取，
設(shè)面的法向量是，，，
則由，即，則令，得，
所以，
所以平面與平面所成的銳二面角的余弦值是.
故答案為: ．
16. 如圖，已知圓內(nèi)切于圓，直線分別交圓、于、兩點（、在第一象限內(nèi)），過點作軸的平行線交圓于、兩點，若點既是線段的中點，又是線段的三等分點，那么的值為___________.
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)圓、圓別交軸的正半軸于點、，連接、，分析出點為線段的中點，可得出，，利用相交弦定理可求得的值，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求得的值.
【詳解】設(shè)圓、圓分別交軸的正半軸于點、，連接、，則，，
設(shè)直線的傾斜角為，則，
為的中點，則為的中點，則，故，即，
，
設(shè)線段交軸于點，則為的中點，
因為，故，
易知軸，則，故，
由相交弦定理可得，即，
所以，，故，所以，，
，解得.
故答案為：.
四、解答題（本大題共6小題，共70.0分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
17. 已知空間三點，，.
（1）求以、為邊的平行四邊形的面積；
（2）若，且分別與、垂直，求向量的坐標.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）首先求出，的坐標，再根據(jù)向量數(shù)量積的定義求出夾角的余弦值，從而根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出夾角的正弦值，再根據(jù)面積公式計算可得；
（2）設(shè)，依題意得到方程組，解得即可；
【小問1詳解】
解：因為，，，所以，，
所以，，，
，
∴，
∴平行四邊形面積為.
【小問2詳解】
解：設(shè)，則，①
∵，，所以，
∴，②
，③
由①②③解得，，或，，
∴或.
18. 已知的頂點，邊上的高所在直線為，邊上的中線所在直線為為的中點．
（1）求點的坐標；
（2）求過點且在軸和軸上的截距相等的直線的方程．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）由得直線的方程，與聯(lián)立求得的坐標，得的坐標；
（2）按直線是否過原點分類討論，求出直線的方程.
【小問1詳解】
因為，而直線：的斜率為，
所以直線的斜率為，
直線的方程為：，即，
因為點A在直線與邊上的中線的交點，
由，解得，，所以頂點的坐標，
而為線段的中點，所以的坐標
【小問2詳解】
當直線經(jīng)過原點時，設(shè)直線的方程為，
將的坐標代入可得，直線的方程為；
當直線不過原點時，設(shè)直線的方程為，
將代入可得，解得，
這時直線的方程為，
綜上所述，直線的方程為或．
19. 已知圓方程為．
（1）求過點且與圓相切的直線的方程；
（2）直線過點，且與圓交于兩點，當是等腰直角三角形時，求直線的方程．
【答案】（1）或
（2）或
【解析】
【分析】（1）斜率不存在時顯然相切，斜率存在時，設(shè)出直線的點斜式方程，由圓心到直線距離等于半徑求出，進而得解；
（2）設(shè)出直線的點斜式方程，由幾何關(guān)系得圓心到直線距離為，進而得解.
【小問1詳解】
當直線斜率不存在時，顯然與相切；
當直線斜率存在時，可設(shè)，由幾何關(guān)系可得，解得，故，即，故過點且與圓相切的直線的方程為或；
【小問2詳解】
設(shè)，可設(shè)中點為，因為是等腰直角三角形，所以，即圓心到直線距離，解得或7，故直線或，即或.
20. 如圖，在三棱柱中，側(cè)面是菱形，，是棱的中點，，點在線段上，且.
（1）求證：平面.
（2）若，平面平面，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）連接交于點，連接，結(jié)合相似可得，進而求證即可；
（2）過作，垂足為，連接，結(jié)合可得，以為原點，以，，所在直線為軸建立空間直角坐標系，進而結(jié)合法向量求解即可.
【小問1詳解】
連接交于點，連接，
因為，所以，
又，所以，所以，
又平面，平面，
所以平面.
【小問2詳解】
過作，垂足為，連接，
因為，所以為的中點，
因為平面平面，平面平面，且平面，
所以平面，
因為為正三角形，為的中點，
所以.
如圖，以為原點，以，，所在直線為軸建立空間直角坐標系，
不妨設(shè)，則，，，，，，
則，，
設(shè)平面的法向量為，
則，得，取，
平面的法向量可取，
所以，
所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為.
21. 已知圓，點P是直線上一動點，過點P作圓C的兩條切線，切點分別為A，B.
（1）若P的坐標為，求過點P的切線方程；
（2）直線與圓C交于E，F(xiàn)兩點，求的取值范圍（O為坐標原點）.
【答案】（1）或.
（2）
【解析】
【分析】（1）過點設(shè)直線方程，然后由圓心到直線距離等于半徑構(gòu)建方程，即可求出切線；
（2）聯(lián)立圓與直線，利用韋達定理構(gòu)建的函數(shù)式，再求其范圍即可.
【小問1詳解】
P的坐標為,
當斜率不存在時可設(shè)線為，
此時圓心到直線的距離，不符合切線要求，舍去；
當斜率不存在時可設(shè)線為，即，
此時圓心到直線的距離，即，
可得或，過點的切線方程為或.
【小問2詳解】
設(shè)，
聯(lián)立，消去，可得，
化簡可得：，
則，即，
解得，
由韋達定理可得，，
，
又，
.
22. 如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，平面，是棱上的一點．
（1）證明：平面平面；
（2）已知，若分別是的中點，
（?。┣簏c到平面的距離；
（ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．
【答案】（1）證明見解析
（2）（i）；（ii）
【解析】
【分析】（1）利用平面和平面垂直的判定定理證明；
（2）建立空間直角坐標系，分別求出平面和平面的法向量，再計算距離和角的正弦值.
【小問1詳解】
證明：因為平面，平面，
所以．又，，，平面，
平面，平面，
平面平面．
【小問2詳解】
（i）如圖所示，建立空間直角坐標系，
，，，，，，，
，，，，
設(shè)平面的一個法向量為，
則，即，
取，點B到平面的距離．
（ii）設(shè)平面的一個法向量為，
則，即，
取，記直線AB與平面ADE所成角θ，
則.