第I卷（選擇題）
一、單選題（本大題共8小題，共40分.在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）
1. 已知集合，則（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)交集的知識(shí)求得.
【詳解】集合是自然數(shù)集，所以
故選：B
2. 定義域在R上的函數(shù)y＝f(x)的值域?yàn)閇a，b]，則函數(shù)y＝f(x＋a)的值域?yàn)? )
A. [2a，a＋b]B. [0，b－a]C. [a，b]D. [－a，a＋b]
【答案】C
【解析】
【詳解】令，∵，則，∴函數(shù)與是同一個(gè)函數(shù)；
∴的值域?yàn)?br>故選C
3. 已知，，，則，，的大小關(guān)系為（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷的范圍可得答案.
【詳解】,
故，
故選：D.
4. 已知函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ?br>AB. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由函數(shù)的定義域是可求出，令代替，可得，即可求出的定義域.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域是
由，得，
所以的定義域是，
由
得.
所以的定義域?yàn)?故選：A
【點(diǎn)睛】本題主要考查了抽象函數(shù)的定義域，屬于中檔題 .
5. 我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有以下問題：“今有人合伙買羊，每人出5錢，差45錢；每人出7錢，差3錢.問合伙人數(shù)?羊價(jià)各是多少.”由此可推算，羊價(jià)為（）
A. 24錢B. 165錢C. 21錢D. 150錢
【答案】D
【解析】
【分析】設(shè)合伙人的人數(shù)為n，由題意列方程即可解得.
【詳解】設(shè)合伙人的人數(shù)為n，由題意列方程得：，解得：n=21，
羊價(jià)為：.
故選：D
6. 若方程的兩實(shí)根中一個(gè)小于，另一個(gè)大于，則的取值范圍是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】設(shè)，根據(jù)二次函數(shù)的零點(diǎn)分布可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】由可得，
令，由已知可得，解得，
故選：A.
7. 函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】令，求得函數(shù)的定義域，本題即求在定義域內(nèi)的單調(diào)減區(qū)間．利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得在定義域內(nèi)的單調(diào)減區(qū)間．
【詳解】解：令，求得，故函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>本題即求在內(nèi)的減區(qū)間．
利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得在內(nèi)的減區(qū)間為，
即函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，
故選B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查根式函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，難度不大，但要注意，求單調(diào)區(qū)間，一定要先求函數(shù)定義域．
8. 已知冪函數(shù)與的部分圖像如圖所示，直線，與，的圖像分別交于A，B，C，D四點(diǎn)，且，則（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】表示出，由冪函數(shù)的圖象可得，從而得，，再由，代入化簡(jiǎn)計(jì)算，即可求解出答案.
【詳解】由題意，，，根據(jù)圖象可知，當(dāng)時(shí)，，，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，可?
故選：B
二、多選題（本大題共4小題，共20.0分.在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）
9. 下列命題為真命題的是（）
A. ，
B. 當(dāng)時(shí)，，
C. 是函數(shù)為奇函數(shù)的充要條件
D. “”是“”的充要條件
【答案】AB
【解析】
【分析】根據(jù)判別式判斷A、B；應(yīng)用奇函數(shù)的性質(zhì)判斷C；解不等式求解集判斷D.
【詳解】A：由，故，為真；
B：由題設(shè)，故，為真；
C：對(duì)于奇函數(shù)，顯然不存在，必要性不成立，為假；
D：由，而恒成立，
所以，故必要性成立，充分性不成立，為假.
故選：AB
10. 若，則下列不等式中恒成立的有（）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，結(jié)合基本不等式進(jìn)行逐一判斷即可.
【詳解】A：因?yàn)?，所以恒成立?br>B：當(dāng)時(shí)，顯然成立，但是不成立，
C：因?yàn)椋?br>（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即時(shí)取等號(hào)），所以本選項(xiàng)符合題意；
D：因?yàn)?，所以（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即或時(shí)取等號(hào)），所以本選項(xiàng)符合題意，
故選：ACD
11. 下列判斷錯(cuò)誤的是（）
A. 方程組的解集為
B.
C. 的最小值為
D. 如果，那么
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)集合的運(yùn)算，不等式的性質(zhì)等逐項(xiàng)判斷即可.
【詳解】對(duì)于A，方程組的解集為點(diǎn)集，應(yīng)該是，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B,，故B正確；
對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，如果，則，那么，故D正確；
故選：AC
12. 已知函數(shù)，其中，下列結(jié)論正確的是（）
A. 存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)為奇函數(shù)
B. 存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)為偶函數(shù)
C. 當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為，
D. 當(dāng)時(shí)，若方程有三個(gè)不等實(shí)根，則
【答案】ACD
【解析】
【分析】A、B利用奇偶性定義及解析式判斷是否存在實(shí)數(shù)使或；C、D寫出的分段函數(shù)性質(zhì)，結(jié)合參數(shù)a的范圍，應(yīng)用二次函數(shù)的性質(zhì)判斷單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而確定時(shí)方程根的情況求參數(shù)范圍.
【詳解】由，顯然當(dāng)時(shí)有，但不存在實(shí)數(shù)使，A正確，B錯(cuò)誤；
且在處連續(xù)，當(dāng)時(shí)，易知：在上遞增，遞減，上遞增，C正確；
由解析式，當(dāng)時(shí)在上遞增，遞減，上遞增，
又，，要使有三個(gè)不等實(shí)根，即與有三個(gè)交點(diǎn)，
所以，又，可得，D正確.
故選：ACD
第II卷（非選擇題）
三、填空題（本大題共小題，共分）
13. 已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，分別在1的兩側(cè)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____
【答案】
【解析】
【分析】由題意知，列出不等式組求解即可.
【詳解】函數(shù)開口向上，
由題意知，解得.
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，函數(shù)的零點(diǎn)，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.
14. 已知函數(shù)（且）的圖像過點(diǎn)，其反函數(shù)的圖像過點(diǎn)，則的值為___________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象所過的點(diǎn)代入列式求解.
【詳解】函數(shù)（且）的圖像過點(diǎn)，反函數(shù)的圖像過點(diǎn)，可得原函數(shù)的圖像過，所以，所以的值為.
故答案為：
15. 已知，若方程有四個(gè)根，，，且，則的取值范圍是___________.
【答案】
【解析】
【分析】作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象知，，得，
將已知轉(zhuǎn)化為求的范圍，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.
【詳解】由題意，作出函數(shù)的圖象，如圖所示，
因?yàn)榉匠逃兴膫€(gè)根，，，且，則
由圖象可知，，，
又，可得，則
則，
由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)知在上單調(diào)遞增，
，即
即的取值范圍是.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查了函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，其中解答中作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象和對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵，著重考查數(shù)形結(jié)合思想，以及推理與運(yùn)算能力.
16. 設(shè)．
（1）當(dāng)時(shí)，f（x）的最小值是_____；
（2）若f（0）是f（x）的最小值，則a的取值范圍是_____．
【答案】 ①. ②. [0，]
【解析】
【分析】（1）先求出分段函數(shù)的每一段的最小值，再求函數(shù)的最小值；（2）對(duì)分兩種情況討論，若a＜0，不滿足條件．若a≥0，f（0）＝a2≤2，即0≤a，即得解.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）＝（x）2≥（）2，
當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＝x22，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取等號(hào)，
則函數(shù)的最小值為，
（2）由（1）知，當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)f（x）≥2，此時(shí)的最小值為2，
若a＜0，則當(dāng)x＝a時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值為f（a）＝0，此時(shí)f（0）不是最小值，不滿足條件．
若a≥0，則當(dāng)x≤0時(shí)，函數(shù)f（x）＝（x﹣a）2為減函數(shù)，
則當(dāng)x≤0時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值為f（0）＝a2，
要使f（0）是f（x）的最小值，則f（0）＝a2≤2，即0≤a，
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是[0，]
【點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)最值的求法，考查分段函數(shù)的圖象和性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.
四、解答題（本大題共6小題，共72分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
17. 已知函數(shù).
（1）若，求的值；
（2）求函數(shù)的值域.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)解析式代入求解即可；
（2）換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求值域即可得解.
【小問1詳解】
因?yàn)椋?br>若，則，
令，則方程為，
解得或（舍去），
所以，解得.
【小問2詳解】
因?yàn)椋?br>令，則，
所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，
故的值域.
18. 已知，命題，；命題，使得.
（1）若p是真命題，求a的最大值；
（2）若p，q一個(gè)為真命題，一個(gè)為假命題，求a的取值范圍；
【答案】（1）1； （2）.
【解析】
【分析】（1）先求出的范圍，利用全稱命題為真命題即可求得；（2）先求出命題q為真時(shí)a的取值范圍，進(jìn)而分類討論：i.p真q假時(shí)和ii. p假q真時(shí)分別求出對(duì)應(yīng)a的取值范圍即可求解.
【小問1詳解】
記，由在單調(diào)遞增，所以.
要使命題，為真命題，只需，即a的最大值為1.
【小問2詳解】
命題，使得為真命題，則，解得：或.
i.p真q假時(shí)，只需，所以；
ii. p假q真時(shí)，只需或，所以；
所以或.
綜上所述：a的取值范圍為.
19. 已知集合是函數(shù)的定義域，集合是不等式（）的解集，：，：.
（1）求集合，集合；
（2）若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）利用分式根式有意義及一元二次不等式的解法即可求解；
（2）將是的充分不必要條件轉(zhuǎn)為真子集關(guān)系，利用真子集的定義即可求解.
【小問1詳解】
因?yàn)椋?br>∴，即，解得，
∴，
∵（），
∴，解得或，
∴
【小問2詳解】
∵是的充分不必要條件，
∴，，
令，則，
∴且等號(hào)不同時(shí)成立，解得，
∴實(shí)數(shù)取值范圍是.
20.
已知函數(shù)，
（1）求函數(shù)的定義域；
（2）判斷函數(shù)的奇偶性，并給予證明；
（3）求不等式的解集.
【答案】（1）；（2）函數(shù)為奇函數(shù)；（3）.
【解析】
【分析】（1）真數(shù)位置大于0，得到的取值范圍；（2）得到，然后判斷與的關(guān)系，從而得到函數(shù)的奇偶性；（3）根據(jù)題意得到關(guān)于的不等式，從而得到的解集.
【詳解】解：（1）真數(shù)部分大于零，即解不等式，
解得,
函數(shù)的定義域?yàn)?
（2）函數(shù)為奇函數(shù)，
證明：由第一問函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>，
所以函數(shù)為奇函數(shù).
（3）解不等式，
即
即，
從而有，
所以.
不等式的解集為.
【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的定義域，奇偶性，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解不等式，屬于簡(jiǎn)單題.
21. 某商場(chǎng)新進(jìn)一批成本為8400元的商品，如果每斤商品賣80元，可以賣出100斤.現(xiàn)在商場(chǎng)要進(jìn)行商品促銷活動(dòng)，經(jīng)調(diào)查，每斤商品的價(jià)格降低元，可以多賣出斤商品.
（1）若要使這批商品不虧本，求的取值范圍；
（2）設(shè)利潤(rùn)的參照率，求利潤(rùn)的參照率的最大值及這時(shí)的商品價(jià)格.
（參考數(shù)據(jù)）
【答案】（1）； （2）利參照率的最大值為，商品價(jià)格為元.
【解析】
【分析】（1）設(shè)每斤商品的價(jià)格降低元，可得商品售出斤，得出不等式，即可求解；
（2）設(shè)商品的價(jià)格降低元，得出利潤(rùn)的參照率的表達(dá)式，結(jié)合基本不等式求得最小值，即可得到答案.
【詳解】（1）設(shè)每斤商品的價(jià)格降低元，可得商品售出斤，
所以銷售收入為元，
令，即，
即，解得，
所以要使這批商品不虧本，求的取值范圍為.
（2）設(shè)商品的價(jià)格降低元，
可得利潤(rùn)為，
所以利潤(rùn)的參照率
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立，
所以利潤(rùn)的參照率的最大值為，這時(shí)的商品價(jià)格為元.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問題，其中解答中認(rèn)真審題，結(jié)合題意，求得利潤(rùn)的參照率的表達(dá)式，結(jié)合基本不等式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.
22. 已知關(guān)于的不等式.
（1）是否存在實(shí)數(shù)，使不等式對(duì)任意恒成立，并說明理由；
（2）若不等式對(duì)于恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）若不等式對(duì)有解，求的取值范圍.
【答案】（1）不存在實(shí)數(shù)，理由見解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】將轉(zhuǎn)化為，
（1）討論和時(shí)的情況；
（2），顯然該函數(shù)單調(diào)，所以只需即可.
（3）討論當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，如何對(duì)有解，其中，，均為一元二次不等式，結(jié)合一元二次函數(shù)圖象求解即可.
【小問1詳解】
原不等式等價(jià)于，
當(dāng)時(shí)，，即，不恒成立；
當(dāng)時(shí)，若不等式對(duì)于任意實(shí)數(shù)恒成立，
則且，無解；
綜上，不存在實(shí)數(shù)，使不等式恒成立.
【小問2詳解】
設(shè)，
當(dāng)時(shí)，恒成立，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，
解得即，
所以的取值范圍是.
【小問3詳解】
若不等式對(duì)有解，
等價(jià)于時(shí)，有解.
令，
當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)顯然在有解；
當(dāng)時(shí)，時(shí)，結(jié)合一元二次函數(shù)圖象，顯然有解；
當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸為，，
時(shí)，有解，
結(jié)合一元二次函數(shù)圖象，易得：或，
解得或（無解），
又∵，
;
綜上所述，的取值范圍為.

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