AB.
C. D.
2. 已知圓：，圓：，則與的位置關(guān)系是（）
A. 外切B. 內(nèi)切C. 外離D. 相交
3. 在空間直角坐標(biāo)系中，已知，，則點到直線的距離為（）
A. B. C. D.
4. 已知直線和以，為端點的線段相交，則實數(shù)的取值范圍為（）
A. B.
C. 或D. 或
5. 我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬．如圖，四棱錐為陽馬，平面，且，若，則（）
A. B.
C. D.
6. 已知在一個二面角的棱上有兩個點、，線段、分別在這個二面角的兩個面內(nèi)，并且都垂直于棱，，，，，則這個二面角的度數(shù)為（ ）
AB. C. D.
7. 如圖，橢圓中心在坐標(biāo)原點，焦點在x軸上，A1，A2，B1，B2為橢圓的頂點，F(xiàn)2為右焦點，延長B1F2與A2B2交于點P，若∠B1PB2為鈍角，則該橢圓離心率的取值范圍是
A. B.
C. D.
8. 閱讀材料：空間直角坐標(biāo)系中，過點且一個法向量為平面的方程為，閱讀上面材料，解決下面問題：已知平面的方程為，直線是兩平面與的交線，則直線與平面所成角的正弦值為（）
A. B. C. D.
二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分．部分選對的得2分，有選錯的得0分）
9. 下列說法正確的是（）
A. 若空間中的，，，滿足，則，，三點共線
B. 空間中三個向量，，，若，則，，共面
C. 對空間任意一點和不共線的三點，，，若，則，，，四點共面
D. 設(shè)是空間的一組基底，若，，則不能為空間的一組基底
10. 在正方體中，下列結(jié)論正確的是（）．
A. B. 平面
C. 直線與所成的角為D. 二面角的大小為
11. 已知P是雙曲線C：上任意一點，，是雙曲線的兩個頂點，設(shè)直線，的斜率分別為，，若恒成立，且實數(shù)的最大值為1，則下列說法正確的是（ ）
A. 雙曲線的方程為
B. 雙曲線的離心率為
C. 函數(shù)的圖象恒過雙曲線C的一個焦點
D. 設(shè)，分別是雙曲線的左、右焦點，若的面積為，則
12. 已知為坐標(biāo)原點，為拋物線的焦點，過點的直線交于、兩點，直線、分別交于、，則（）
A. 的準(zhǔn)線方程為B.
C. 的最小值為D. 的最小值為
三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）
13. 已知空間向量兩兩夾角均為，其模均為1，則__________.
14. 若直線與曲線有公共點，則的取值范圍是______.
15. 已知雙曲線C漸近線方程為，兩頂點間的距離為6，則該雙曲線C的方程是__________．
16. 已知菱形邊長為2，，沿對角線將折起到的位置，當(dāng)時，二面角的大小為________，此時三棱錐的外接球的半徑為_____
四、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
17. 已知直線經(jīng)過
（1）當(dāng)直線的傾斜角為45°時，求直線的方程；
（2）當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等時，求直線的方程.
18. 已知圓：和圓：.
（1）若直線過點，且被圓截得的弦長為4，求的方程：
（2）求圓與圓公共弦的長.
19. 如圖，四棱錐中，底面ABCD是正方形，底面ABCD，且，M，N分別PC，AB為的中點．
（1）證明：平面PAD；
（2）求平面MNB與平面NBC的夾角．
20. 已知一條曲線C在y軸右邊，C上每一點到點的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都是1．
(1)求曲線C的方程；
(2)過點F且斜率為k的直線l與C交于A，B兩點，，求直線l的方程．
21. 邊長為4的正方形所在平面與半圓弧所在平面垂直，四邊形是半圓弧的內(nèi)接梯形，且.
（1）證明：平面平面；
（2）設(shè)，且二面角與二面角的大小都是，當(dāng)點在棱（包含端點）上運動時，求直線和平面所成角的正弦值的取值范圍.
22. 已知橢圓經(jīng)過點，離心率為.
（1）求曲線的方程；
（2）設(shè)直線與曲線交于兩點，點為中點，與曲線的另一個交點為，設(shè)，試求出的值.
泰安一中新校區(qū)2023～2024學(xué)年第一學(xué)期高二年級
12月份學(xué)情診斷數(shù)學(xué)試題
2023.12
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 數(shù)列的一個通項公式為
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分別觀察各項的符號、絕對值即可得出．
【詳解】數(shù)列1，-3，5，-7，9，…的一個通項公式．
故選C．
【點睛】本題考查了球數(shù)列的通項公式的方法，屬于基礎(chǔ)題．
2. 已知圓：，圓：，則與的位置關(guān)系是（）
A. 外切B. 內(nèi)切C. 外離D. 相交
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)方程確定出圓心和半徑，然后根據(jù)圓心距和半徑的關(guān)系進行判斷.
【詳解】因為的圓心為，半徑，的圓心為，半徑，
所以，
所以，
所以與兩圓相交，
故選：D.
3. 在空間直角坐標(biāo)系中，已知，，則點到直線的距離為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由題可求在方向上的投影數(shù)量，進而點到直線的距離為，即求.
【詳解】∵，，，
∴，
∴，
∴在方向上的投影數(shù)量為，
∴點到直線的距離為.
故選：C.
4. 已知直線和以，為端點的線段相交，則實數(shù)的取值范圍為（）
A. B.
C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)直線方程得到恒過定點，利用坐標(biāo)得到，，然后結(jié)合圖象可得的取值范圍.
【詳解】
直線恒過定點，且，，由圖可知，或.
故選：C.
5. 我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬．如圖，四棱錐為陽馬，平面，且，若，則（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)向量線性運算，以為基底表示出，從而確定的取值.
【詳解】，，
，
，，，.
故選：A.
6. 已知在一個二面角的棱上有兩個點、，線段、分別在這個二面角的兩個面內(nèi)，并且都垂直于棱，，，，，則這個二面角的度數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
設(shè)這個二面角的度數(shù)為，由題意得，從而得到，由此能求出結(jié)果.
【詳解】解：設(shè)這個二面角的度數(shù)為，
由題意得，
，
，
解得，
∴，
∴這個二面角的度數(shù)為，
故選：C.
【點睛】本題考查利用向量的幾何運算以及數(shù)量積研究面面角，屬于中檔題.
7. 如圖，橢圓的中心在坐標(biāo)原點，焦點在x軸上，A1，A2，B1，B2為橢圓的頂點，F(xiàn)2為右焦點，延長B1F2與A2B2交于點P，若∠B1PB2為鈍角，則該橢圓離心率的取值范圍是
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】過作直線的垂線，題意說明射線在直線上方，由此可得的不等關(guān)系（利用直線與軸交點得出不等式），從而可得離心率的范圍．
【詳解】設(shè)直線l為過且與垂直的直線，易知則直線l的斜率為，
而，則該直線l的方程為，所以該直線與x軸的交點坐標(biāo)為，要使得為鈍角，則說明直線在直線l上方，故滿足，結(jié)合，得到得，結(jié)合解得.
故選：C.
【點睛】本題考查求橢圓離心率的范圍，解題關(guān)鍵是利用過與直線垂直的直線與射線關(guān)系得出不等式．
8. 閱讀材料：空間直角坐標(biāo)系中，過點且一個法向量為的平面的方程為，閱讀上面材料，解決下面問題：已知平面的方程為，直線是兩平面與的交線，則直線與平面所成角的正弦值為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意求平面的法向量與直線l的方向向量，利用空間向量求線面夾角.
【詳解】因為平面的方程為，
所以平面的法向量可取，
同理平面的法向量可取，
平面的法向量可取，
設(shè)直線的方向向量，
則，令，則，
則直線l與平面所成角的正弦值為
.
故選：A
二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分．部分選對的得2分，有選錯的得0分）
9. 下列說法正確的是（）
A. 若空間中的，，，滿足，則，，三點共線
B. 空間中三個向量，，，若，則，，共面
C. 對空間任意一點和不共線的三點，，，若，則，，，四點共面
D. 設(shè)是空間的一組基底，若，，則不能為空間的一組基底
【答案】ABC
【解析】
【分析】根據(jù)向量的線性運算可判斷A，根據(jù)向量的共面定理可判斷B、C、D．
【詳解】對于A，根據(jù)向量的線性運算，若空間中的，，，滿足，則，即，則，，三點共線，故A正確；
對于B，因為，則共線，則根據(jù)共面向量的定義可得，，，共面，故B正確；
對于C，對空間任意一點和不共線的三點，，，若，又，則，，，四點共面，故C正確；
對于D，若，，共面，則，則共面，與是空間的一組基底矛盾，所以，，不共面，所以能為空間的一組基底，故D錯誤，
故選：ABC．
10. 在正方體中，下列結(jié)論正確的是（）．
A. B. 平面
C. 直線與所成的角為D. 二面角的大小為
【答案】BCD
【解析】
【分析】A.通過確定四邊形是矩形，不是正方形來判斷；B.通過來判斷；C.通過為直線與所成的角來判斷；D.通過為二面角的平面角來判斷.
【詳解】對于A：明顯四邊形是矩形，但不是正方形，故其對角線不垂直，即錯誤，A錯誤；
對于B：明顯，且平面，平面，故平面，B正確；
對于C：因為，則即為直線與所成的角，
又為等邊三角形，所以，即直線與所成的角為，C正確；
對于D：因為面，則為二面角的平面角，又，所以二面角的大小為，D正確；
故選：BCD.
11. 已知P是雙曲線C：上任意一點，，是雙曲線的兩個頂點，設(shè)直線，的斜率分別為，，若恒成立，且實數(shù)的最大值為1，則下列說法正確的是（ ）
A. 雙曲線的方程為
B. 雙曲線的離心率為
C. 函數(shù)的圖象恒過雙曲線C的一個焦點
D. 設(shè)，分別是雙曲線左、右焦點，若的面積為，則
【答案】AC
【解析】
【分析】
可設(shè)代入雙曲線的方程，結(jié)合不等式恒成立的思想，以及基本不等式求得，進而得到雙曲線的方程和離心率，以及焦點，即可判斷選項、、的正誤，再由焦點三角形的面積公式和雙曲線的對稱性，即可判斷的正誤.
【詳解】由題意知，設(shè)，則，即
可得，，
所以，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
實數(shù)的最大值為1，所以，解得，
可得雙曲線的方程為，則，所以離心率，故正確，錯誤，
雙曲線的焦點為，
函數(shù)圖象恒過雙曲線的焦點，故正確，
由的面積為和雙曲線的對稱性可知，在雙曲線的左支或右支上，
所以錯誤，由排除法判斷錯誤，
故選：
【點睛】本題主要考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查不等式恒成立問題的解法和函數(shù)圖像的特點，以及直線和雙曲線的關(guān)系，屬于中檔題.
12. 已知為坐標(biāo)原點，為拋物線的焦點，過點的直線交于、兩點，直線、分別交于、，則（）
A. 的準(zhǔn)線方程為B.
C. 最小值為D. 的最小值為
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用拋物線的方程求出準(zhǔn)線方程，可判斷A選項；設(shè)出直線的方程，將該直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，結(jié)合韋達定理結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算可判斷B選項；利用拋物線的焦半徑以及基本不等式可判斷C選項；利用韋達定理結(jié)合基本不等式可判斷D選項.
【詳解】對于A選項，對于拋物線，，可得，
所以，拋物線的準(zhǔn)線方程為，A對；
對于B選項，若直線與軸重合，此時，直線與拋物線只有一個公共點，不合乎題意，
設(shè)直線的方程為，設(shè)點、，
聯(lián)立，可得，，
所以，，，
則，則，B對；
對于C選項，，
當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，故的最小值為，C錯；
對于D選項，設(shè)點、，
設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，
判別式為，由韋達定理可得，，同理可得，
，同理可得，，
所以，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，
所以，的最小值為，D對.
故選：ABD.
三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）
13. 已知空間向量兩兩夾角均為，其模均為1，則__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用空間向量數(shù)量積的運算法則計算即得.
【詳解】單位向量兩兩夾角均為，則，
所以
.
故答案為：
14. 若直線與曲線有公共點，則的取值范圍是______.
【答案】
【解析】
【分析】
曲線表示圓心為，半徑為半圓，畫出圖象，結(jié)合點到直線的距離公式，得出的取值范圍.
【詳解】由，解得
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得出，即
曲線可化為，
所以該曲線表示圓心為，半徑為的半圓
因為直線與曲線有公共點，所以它位于之間，如下圖所示
當(dāng)直線運動到時，過，代入得：
當(dāng)直線運動到時，此時與曲線相切
則，解得或（舍）
要使得直線與曲線有公共點，則
故答案為：
【點睛】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題.
15. 已知雙曲線C漸近線方程為，兩頂點間的距離為6，則該雙曲線C的方程是__________．
【答案】或
【解析】
【分析】分焦點位置討論，設(shè)出雙曲線方程，然后根據(jù)條件列式求解即可.
【詳解】當(dāng)雙曲線的焦點在軸上時，設(shè)雙曲線C的方程為，
則，解得，
雙曲線C的方程為；
當(dāng)雙曲線的焦點在軸上時，設(shè)雙曲線C的方程為，
則，解得，
雙曲線C的方程為；
綜上：該雙曲線C的方程是或.
故答案為：或
16. 已知菱形邊長為2，，沿對角線將折起到的位置，當(dāng)時，二面角的大小為________，此時三棱錐的外接球的半徑為_____
【答案】 ①. ②. ##
【解析】
【分析】作出輔助線，求出為二面角的平面角，由余弦定理求出，再作出輔助線，找到球心位置，利用半徑相等列出方程，求出球的半徑.
【詳解】因為菱形邊長為2，，
所以為等邊三角形，
取的中點，連接，
則⊥，⊥，且，
故為二面角的平面角，
因為，由余弦定理得，
故，
取的中心，故，
設(shè)三棱錐的球心為，則⊥平面，
過點作⊥平面，則點在的延長線上，且，
故，則，
設(shè)三棱錐外接球半徑為，
過點作⊥于點，連接，則，
，設(shè)，
則，
故，解得，
故，
故答案為：，
【點睛】解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接的問題時，解題的關(guān)鍵是確定球心的位置．對于外切的問題要注意球心到各個面的距離相等且都為球半徑；對于球的內(nèi)接幾何體的問題，注意球心到各個頂點的距離相等，解題時要構(gòu)造出由球心到截面圓的垂線段、小圓的半徑和球半徑組成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半徑
四、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
17. 已知直線經(jīng)過
（1）當(dāng)直線的傾斜角為45°時，求直線的方程；
（2）當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等時，求直線的方程.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）由直線的傾斜角為45°時，求得斜率為，結(jié)合點斜式方程，即可求解；
（2）當(dāng)直線過原點時，得到；當(dāng)直線不過原點時，設(shè)方程為，代入點，求得，即可求解.
【小問1詳解】
由題意，直線的傾斜角為45°時，可得直線的斜率為，
又由直線經(jīng)過，所以直線的方程為，即直線的方程為.
【小問2詳解】
當(dāng)直線過原點時，因為直線經(jīng)過，可得直線方程為，即；
當(dāng)直線不過原點時，可設(shè)直線的方程為，
因為直線過點，可得，解得，所以直線的方程為.
綜上所述，直線的方程為或.
18. 已知圓：和圓：.
（1）若直線過點，且被圓截得的弦長為4，求的方程：
（2）求圓與圓的公共弦的長.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）先求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，由此求得，再分類討論直線斜率存在的情況，利用點線距離公式即可求得直線的方程；
（2）先由圓心距判斷得兩圓相交，再由圓的一般方程相減得到公共弦方程，由此利用弦長公式即可求得公共弦長.
【小問1詳解】
由得，故圓的圓心為，半徑為，
設(shè)圓心到直線的距離為，由弦長公式得，故，
若直線斜率不存在，則，此時圓心到直線的距離為，符合題意；
若直線斜率存在，設(shè)直線方程為，即，
故，解得，則直線方程為，
所以直線得方程為或.
【小問2詳解】
因為圓：，所以圓的圓心為，，
所以，，
故，即圓與圓相交，
聯(lián)立，兩式相減得公共弦方程為，
所以圓心到公共弦的距離為，
又因為，所以公共弦長為.
19. 如圖，四棱錐中，底面ABCD是正方形，底面ABCD，且，M，N分別PC，AB為的中點．
（1）證明：平面PAD；
（2）求平面MNB與平面NBC的夾角．
【答案】（1）證明見解析
（2）.
【解析】
【分析】（1）取PD的中點E，連接ME，EA，利用三角形中位線定理證明四邊形MEAN是平行四邊形，然后由線面平行判定定理可證；
（2）以A為原點，分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面法向量求解即可.
【小問1詳解】
取PD的中點E，連接ME，EA，如圖（1）所示：
因為M，E分別是PC，PD的中點，
在中，，且，
因為底面ABCD是正方形，N為AB中點，
所以，，
所以且，
故四邊形MEAN是平行四邊形，所以，
又因為平面PAD，平面PAD，
所以平面PAD.
【小問2詳解】
因為底面ABCD是正方形，底面ABCD，所以AB，AD，AP兩兩垂直，
以A為原點，分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
如圖（2）所示：
由條件可知，，，，.
設(shè)平面MNB與平面NBC的夾角為，平面MNB的法向量為，
則，取，得平面MNB的一個法向量為，
易知，平面NBC的一個法向量為，
所以，
又，所以，
即平面MNB與平面NBC的夾角為．
20. 已知一條曲線C在y軸右邊，C上每一點到點的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都是1．
(1)求曲線C的方程；
(2)過點F且斜率為k的直線l與C交于A，B兩點，，求直線l的方程．
【答案】（1）；（2）或.
【解析】
【分析】(1)根據(jù)條件有化簡得答案.
(2)有拋物線過交點的弦長公式有，然后設(shè)出直線方程與拋物線方程聯(lián)立求出代入，可計算出，得到直線方程.
【詳解】(1)設(shè)點是曲線C上任意一點，
那么點滿足：．
化簡得曲線C的方程為．
(2)由題意得，直線的方程為，
設(shè)，．
由得．
因為，故，
所以．
由題設(shè)知，解得或．
因此直線的方程為或．
【點睛】本題主要考查曲線與方程、直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題.
21. 邊長為4的正方形所在平面與半圓弧所在平面垂直，四邊形是半圓弧的內(nèi)接梯形，且.
（1）證明：平面平面；
（2）設(shè)，且二面角與二面角的大小都是，當(dāng)點在棱（包含端點）上運動時，求直線和平面所成角的正弦值的取值范圍.
【答案】（1）證明見解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）通過證明面得平面平面；
（2）根據(jù)條件求得，，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求得平面的法向量，直線和平面所成角的正弦值為，利用函數(shù)求范圍即可.
【小問1詳解】
在正方形中，
∵面面面，面面，
∴面，
∵面,∴，
∵在以為直徑的半圓上，∴，
又∵面，面，
又面，
∴面面，
【小問2詳解】
∵，∴
又∵為二面角的平面角，
∴，同理.
在梯形中，.
取的中點，以為軸正半軸，以平行于的方向為軸正半軸，以平面內(nèi)垂直于的方向為軸正半軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系：
則，設(shè)，，
則，
設(shè)平面的法向量為
則，
令，則，
設(shè)直線和平面所成角為，
則，
設(shè)，
則，
令，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
令，任意，
，
因為，所以，，，
所以，所以在上為減函數(shù)，
故，所以，
所以，
所以，
所以直線和平面所成角的正弦值的取值范圍.
22. 已知橢圓經(jīng)過點，離心率為.
（1）求曲線的方程；
（2）設(shè)直線與曲線交于兩點，點為中點，與曲線的另一個交點為，設(shè)，試求出的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由橢圓的離心率及經(jīng)過的點列方程即可得解；
（2）設(shè)，由韋達定理得、，再由平面向量數(shù)乘運算可得，代入橢圓方程運算即可得解.
【詳解】（1）由題意得，解得，的方程為；
（2）設(shè)，
將代入得，
所以，
所以，
由點為中點得，
由得，
所以，
因為在橢圓上，所以，
所以，
即，
又因為，
所以，化簡得，解得（負值舍去）.

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