一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 設(shè)集合，，則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法求出集合，根據(jù)集合的特征求出集合，然后利用集合的運(yùn)算即可求解.
【詳解】集合或，
集合，
所以，則，
故選：.
2. 如圖，在平行四邊形中，為對角線的交點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，若，則（）
A. 1B. 2C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算法則，求得,進(jìn)而求得的值，進(jìn)一步計(jì)算即可.
【詳解】如圖：
因?yàn)?br>,
所以
故選：
3. 設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則是為單調(diào)遞增數(shù)列的（）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】D
【解析】
【分析】通過做差，結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷即可
【詳解】
若,則,則為單調(diào)遞減數(shù)列
所以是為單調(diào)遞增數(shù)列的不充分條件
若為單調(diào)遞增數(shù)列,則,則
即或,所以故是為單調(diào)遞增數(shù)列的不必要條件
故是為單調(diào)遞增數(shù)列既不充分也不必要條件
故選：D
4. 已知向量，，向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)投影向量的定義計(jì)算即可.
詳解】由題意易知，，
而在上的投影向量為：.
故選：B
5. 八卦是中國古老文化的深奧概念，如圖示意太極八卦圖．現(xiàn)將一副八卦簡化為正八邊形，設(shè)其邊長為，中心為O，則下列選項(xiàng)中不正確的是（）
A. B.
C. 和是一對相反向量D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算法則，準(zhǔn)確化簡、運(yùn)算，即可求解.
【詳解】對于A中，由正八邊形中，可得，
則，所以，即，
所以，所以A正確；
對于B中，由正八邊形中，可得，，
則，
所以B正確；
對于C中，由和方向相反，但長度不等，因此不是一對相反向量，所以C錯誤；
對于D中，由，可得，
所以D正確.
故選：C.
6. 阻尼器是一種以提供運(yùn)動的阻力，從而達(dá)到減振效果的專業(yè)工程裝置．深圳一高樓平安金融中心的阻尼器減震裝置，是亞洲最大的阻尼器，被稱為“鎮(zhèn)樓神器”，由物理學(xué)知識可知，某阻尼器模型的運(yùn)動過程可近似為單擺運(yùn)動，其離開平衡位置的位移s（單位；cm）和時(shí)間t（單位：s）的函數(shù)關(guān)系式為，若振幅是2，圖像上相鄰最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的距離是5，且過點(diǎn)，則和的值分別為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先由振幅得到，再由最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的距離為結(jié)合勾股定理可得，從而求得，再將代入即可求得，問題得解.
【詳解】根據(jù)題意，由振幅是2易知，
故，則是的最高點(diǎn)，
不妨記相鄰的最低點(diǎn)為，連接，過作軸，過作，交點(diǎn)為，如圖，
則，，，故，得，
又因?yàn)?，故，得，所以?br>因?yàn)槭堑狞c(diǎn)，故，得，即，
因?yàn)?，所以?br>故，.
故選：A.
.
7. 已知定義在上的函數(shù)滿足，且是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（）
A. B. C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)是偶函數(shù)和得到是的一個周期，然后利用周期性求函數(shù)值即可.
【詳解】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，則，
因?yàn)椋?，則是的一個周期，
因?yàn)?，所以，?br>.
故選：C.
8. 已知，是方程的兩根，且，，則的值為（）
A. B. C. 或D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】由韋達(dá)定理得，即，得，再根據(jù)兩角和的正切公式解決即可.
【詳解】由題知，，是方程的兩根，
所以，即，
因?yàn)?，?br>所以，，
所以，
因?yàn)椋?br>所以，
故選：B
二、多項(xiàng)選擇題：
9. 已知函數(shù)則（）
A. 的最小正周期為
B. 在上單調(diào)遞增
C. 直線是圖象的一條對稱軸
D. 的圖象可由的圖象向左平移個單位長度得到
【答案】BC
【解析】
【分析】化簡函數(shù)解析式，根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)判斷ABC，結(jié)合函數(shù)圖象變換判斷D.
【詳解】可化為，
函數(shù)的最小正周期為，A錯誤；
當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，B正確；
當(dāng)時(shí)，，
所以直線是圖象的一條對稱軸，C正確；
函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，D錯誤.
故選：BC.
10. 已知定義在上的奇函數(shù)，，且當(dāng)時(shí)，，則（）
A.
B. 有2個零點(diǎn)
C. 在上為減函數(shù)
D. 不等式的解集是
【答案】AD
【解析】
【分析】根據(jù)賦值法可判斷A，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可判斷CB,結(jié)合的性質(zhì)得的圖象，數(shù)形結(jié)合即可判斷D.
【詳解】在中，令，得，故A正確；
又為上的奇函數(shù)，，，∴至少有三個零點(diǎn)，故B錯誤；
設(shè)x1，，且，則，，
，
∴在上是增函數(shù)，由于為奇函數(shù)，∴在上也是增函數(shù)，故C錯誤：
由題意，畫出的圖象如圖，
等價(jià)于或，
由圖可知不等式的解集為,故D正確.
故選:AD
11. 已知中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，，若點(diǎn)P是邊BC上一點(diǎn)，Q是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)O是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，，則下列說法正確的是（）
A. 若，則
B. 若在方向上的投影向量為，則的最小值為
C. 若點(diǎn)P為BC中點(diǎn)，則
D. 若，則為定值18
【答案】ACD
【解析】
【分析】對于，根據(jù)向量加法的運(yùn)算法則及三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式化簡計(jì)算；對于B，易知當(dāng)時(shí)，取得最小值，計(jì)算可得；對于C，根據(jù)向量加法結(jié)合律律及平行四邊形法則計(jì)算可得；對于D，根據(jù)向量數(shù)量積運(yùn)算律計(jì)算即可.
【詳解】解：如圖，設(shè)BC的中點(diǎn)為E，連接QE，∵，由余弦定理可得：
，∴，∴，
又，∴，∴，∴，
對A選項(xiàng)，∵，∴，∴，又E為中點(diǎn)，
∴，又，∴，
∴，故A選項(xiàng)正確；
對B選項(xiàng)，∵在方向上的投影向量為，∴，又Q是AC的中點(diǎn)，P在BC上，∴當(dāng)時(shí)，PQ最小，此時(shí)，故B選項(xiàng)錯誤；
對C選項(xiàng)，若點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)，即P與E點(diǎn)重合，∵，∴，
∴，故C選項(xiàng)正確；
對D選項(xiàng)，∵，∴的平分線與BC垂直，
∴是以BC為底邊的等腰三角形，∴，又由A選項(xiàng)分析知，
∴根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義知，
∴，故D選項(xiàng)正確．
故選：ACD．
12. 已知函數(shù)，則（）
A. 當(dāng)時(shí)，函數(shù)最小值為
B. 當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極大值點(diǎn)為
C. 存在實(shí)數(shù)使得函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增
D. 若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為
【答案】AD
【解析】
【分析】由函數(shù)極值的求解以及極值點(diǎn)的辨析即可判斷AB，由在上恒成立即可判斷C，分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)求得其最小值，即可判斷D.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，則，其中，
當(dāng)時(shí)，則，令，可得，
當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，有極小值，即最小值，故A正確；
當(dāng)時(shí)，則，令，可得，
當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值，則為極小值點(diǎn)，故B錯誤；
假設(shè)存在實(shí)數(shù)使得函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，
則在上恒成立，即在上恒成立，
所以在上恒成立，因?yàn)榈闹涤驗(yàn)椋?br>所以函數(shù)無最小值，
故不存在實(shí)數(shù)使得函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，故C錯誤；
若恒成立，即在上恒成立，
即在上恒成立，
令，則，令，則，
當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，有極小值，即最小值，所以，故D正確；
故選：AD
三.填空題（共4小題）
13. 已知向量，則與夾角的大小為_____________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意可得，結(jié)合平面向量數(shù)量積的定義計(jì)算即可求解.
【詳解】由，得，
由，得，
即，得，
所以，又，
所以，即與的夾角為.
故答案為：.
14. 已知，若，，則=．
【答案】
【解析】
【詳解】因?yàn)?，所以，又?br>，整理得
解得或（舍去）
因此，因?yàn)?，所以?br>，
15. 已知函數(shù)，則______．
【答案】
【解析】
【分析】先求導(dǎo)函數(shù)，解出的值，代入函數(shù)即可求得.
【詳解】由已知，，則
所以，，
所以，.
故答案為：.
16. 已知，，則______.
【答案】0.75
【解析】
【分析】利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系及商數(shù)關(guān)系計(jì)算即可.
【詳解】由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系及已知條件可知：，
當(dāng)，此時(shí)，不合題意；
當(dāng)，符合題意；
所以.
故答案為：
四.解答題（共6小題）
17. 如圖，平行四邊形的對角線AC和BD交于點(diǎn)M，E在BC上，且，直線DE與AB的延長線交于點(diǎn)F，記，．
（1）試用，表示、；
（2）試用，表示．
【答案】（1），；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用向量加法的平行四邊形法則求出，再利用向量減法法則求出作答.
（2）利用平行線的性質(zhì)探求出，再利用向量減法法則求解作答.
【小問1詳解】
平行四邊形的對角線AC和BD交于點(diǎn)M，
，
.
【小問2詳解】
點(diǎn)E在BC上，且，，則，
于是，即，，
所以
18. 已知在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．
（1）求角A的大??；
（2）若AD平分并交BC于D，且，，求的面積．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）變形給定的等式，再利用余弦定理求解作答.
（2）根據(jù)給定條件，結(jié)合（1），利用三角形面積定理求出，進(jìn)而求出計(jì)算作答.
【小問1詳解】
因，則，整理得：，
在中，由余弦定理得：，而，
所以.
【小問2詳解】
在中，AD平分并交BC于D，則，而，
顯然有，即，
則，整理得：，又，
由（1）知，，即有，而，解得，
所以的面積.
19. 設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，，成等差數(shù)列，且.
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）若，的前n項(xiàng)和為，若對任意正整數(shù)n，不等式恒成立，求的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)，，成等差數(shù)列，可得，再根據(jù)與的關(guān)系求通項(xiàng)即可；
（2）利用裂項(xiàng)相消法求出，從而可求得的范圍，即可求出的范圍，即可得解.
【小問1詳解】
解：因?yàn)?，，成等差?shù)列，
所以，即，
當(dāng)時(shí)，，
即，
由，得，
所以數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，
則，即，所以，
所以；
【小問2詳解】
解：，
則，
因?yàn)楹愠闪?，所以?br>所以的最小值.
20. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義可得數(shù)列是等差數(shù)列，從而求得，然后利用求得；
（2）利用錯位相減法求解即可.
【小問1詳解】
因?yàn)?，?br>所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，
則，所以，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，上式也成立，
所以；
【小問2詳解】
，
，
，
兩式相減得
，
所以.
21. 已知函數(shù)存在兩個極值點(diǎn).
（1）求的取值范圍；
（2）求的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)極值點(diǎn)的定義可知，即有兩個不等正根，由一元二次方程根的分布可構(gòu)造不等式組求得的取值范圍；
（2）由（1）可知，由此化簡為，令，利用導(dǎo)數(shù)可求得，即為所求的最小值.
【小問1詳解】
由題意知：定義域?yàn)?，?br>令，則有兩個不等正根，
，解得：，實(shí)數(shù)的取值范圍為.
【小問2詳解】
由（1）知：，是的兩根，則；
；
令，則，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
，
即的最小值為.
22. 設(shè)函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性;
（2）若，求證：．
【答案】（1）單調(diào)性見解析
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）求導(dǎo)可得，再和兩種大情況討論，在時(shí)根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的兩根的大小關(guān)系討論分析即可；
（2）整理所證不等式為，再根據(jù)（1）結(jié)論得出，再構(gòu)造證明即可
【小問1詳解】
由題，
①當(dāng)時(shí)，，令則，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
②當(dāng)時(shí)，令則，：
當(dāng)，即時(shí)，在當(dāng)和時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)，即時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)，即時(shí)，在當(dāng)和時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減
【小問2詳解】
由題，即證，即，
得.
由（1）可得當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞減，
在上單調(diào)遞增，故，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號.
設(shè)，則，故在上，單調(diào)遞減；
在上，單調(diào)遞增.故，即，
故，故即得證
【點(diǎn)睛】本題主要考查了求導(dǎo)分類討論分析函數(shù)單調(diào)性的問題，同時(shí)也考查了構(gòu)造函數(shù)證明不等式的問題，需要聯(lián)系前問的結(jié)論化簡不等式再證明，屬于難題

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