第3課時

一、教學目標
1.能夠利用Sα±β，Cα±β，Tα±β推導出倍角公式，培養(yǎng)邏輯推理的核心素養(yǎng)；
2.能夠正確理解“倍”的含義，增強對換元思想的應用能力，培養(yǎng)數(shù)學抽象的核心素養(yǎng)；
3.能夠利用倍角公式解決數(shù)學問題，培養(yǎng)數(shù)學運算的核心素養(yǎng).

二、教學重難點
重點：能夠通過所學知識推導出倍角公式，正確理解“倍”的含義.
難點：能夠利用倍角公式解決數(shù)學問題，面對問題能夠舉一反三，使知識融會貫通，提升邏輯推理與數(shù)學運算的核心素養(yǎng)，增強問題解決能力.

三、教學過程
（一）創(chuàng)設情境

情境：在我們接觸到的事物中，帶有一般性的事物總是大開大合，縱橫馳騁，往往包含一切，而特殊的事物則是小巧玲瓏，溫婉和融，顯示出簡潔、奇峻之美．三角函數(shù)和(差)角的正弦、余弦、正切公式中的角都是帶有一般性的，一般性中又蘊含著特殊性，即兩角相等的情形，那么這些二倍角又有什么簡潔，奇峻之美呢？讓我們一起進入今天的學習：二倍角的正弦、余弦、正切公式！
師生活動：教師給出兩張圖片，一張是廣袤無垠的大草原，一張是草原中一朵含苞待放的小白花，帶領學生從生活實際出發(fā)，感受一般性與特殊性的區(qū)別與聯(lián)系，從而感受三角函數(shù)和(差)角的正弦、余弦、正切公式與二倍角的正弦、余弦、正切公式之間的聯(lián)系，引出本節(jié)課的內(nèi)容.
設計意圖：將生活實際與數(shù)學知識相關聯(lián)，增強學生的學習興趣，提升學生對二倍角公式的理解，培養(yǎng)學生邏輯推理的核心素養(yǎng).
（二）探究新知
任務1：推導二倍角的正弦、余弦、正切公式．
探究：我們前面以公式Cα?β為基礎，已經(jīng)得到了六個和(差)角公式.接下來，我們需要利用Sα±β，Cα±β，Tα±β推導出倍角公式，然后進行解題.
(1) Cα+β：csα+β=csαcsβ?sinαsinβ；
(2) Cα?β：csα?β=csαcsβ+sinαsinβ；
(3) Sα+β：sinα+β=sinαcsβ+csαsinβ；
(4) Sα?β：sinα?β=sinαcsβ?csαsinβ；
(5) Tα+β：tanα+β=tanα+tanβ1?tanαtanβ．
(6) Tα?β：tanα?β=tanα?tanβ1+tanαtanβ．
你能利用上面的公式推導出sin2α、cs2α、tan2α嗎？
思考：你能利用Sα±β推導出sin2α的公式嗎？
提示：可以使用換元法，將β?lián)Q為α．
答：已知Sα+β：sinα+β=sinαcsβ+csαsinβ，將β?lián)Q為α后，得到sinα+α=sin2α=sinαcsα+csαsinα，整理得sin2α=2sinαcsα．
思考：你能利用Cα+β推導出cs2α的公式嗎？
答：已知 Cα+β：csα+β=csαcsβ?sinαsinβ，將β?lián)Q為α后，得到csα+α=cs2α=csαcsα?sinαsinα，整理得cs2α=cs2α?sin2α．
思考：你能利用Tα±β推導出tan2α的公式嗎？
答：已知Tα+β：tanα+β=tanα+tanβ1?tanαtanβ，將β?lián)Q為α后，得到tanα+α=tan2α=tanα+tanα1?tanαtanα，整理得tan2α=2tanα1?tan2α．
設計意圖：利用之前所學的和角公式，應用換元的方法進行推導，提升學生對換元思想的理解和應用能力，增強學生的問題解決能力，培養(yǎng)學生邏輯推理的核心素養(yǎng).
探究：你可以使二倍角的余弦公式C2α中僅含α的正弦或余弦嗎？
合作探究：
1. 先獨立思考，然后小組內(nèi)交流思路；
2. 小組合作完成探究；
3. 選派代表并匯報得出結(jié)論.
答：(1)要使二倍角的余弦公式C2α中僅含有α的正弦，根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關系得到cs2α=1?sin2α，將其代入到cs2α=cs2α?sin2α中，得到cs2α=1?sin2α?sin2α，整理得cs2α=1?2sin2α．
(2)要使二倍角的余弦公式C2α中僅含有α的余弦，根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關系得到sin2α=1?cs2α，將其代入到cs2α=cs2α?sin2α中，得到cs2α=cs2α?1?cs2α，整理得cs2α=2cs2α?1．
師生活動：教師引導學生思考僅含α的正弦或余弦的二倍角的余弦公式C2α，同學之間進行小組合作并回答問題，教師最后給出總結(jié)，同時根據(jù)實際情況進行針對性的解答.
設計意圖：小組之間合作解決問題，增強學生的合作探究能力.教師給出總結(jié)，幫助學生進一步加深對二倍角公式的理解，增強學生的歸納總結(jié)能力，培養(yǎng)學生邏輯推理與數(shù)學抽象的核心素養(yǎng).
總結(jié)：二倍角公式
sin2α=2sinαcsα，
cs2α=cs2α?sin2α=1?2sin2α=2cs2α?1，
tan2α=2tanα1?tan2α．
提示：這里的“倍角”專指“二倍角”，遇到“三倍角”等名詞時，“三”字等不可省去．
師生活動：教師帶領學生回顧之前所學的六個和(差)角公式，借助兩角和的正弦、余弦、正切公式，教師帶領學生使用換元法推導出二倍角的正弦、余弦、正切公式.
任務2：歸納總結(jié)和(差)角公式與倍角公式之間緊密的邏輯聯(lián)系．
換元
圓的旋轉(zhuǎn)對稱性
兩點間的距離公式
思考：從和(差)角公式、倍角公式的推導過程中可以發(fā)現(xiàn)，這些公式存在緊密的邏輯聯(lián)系，你能總結(jié)出來嗎？
答：單位圓 兩角差的余弦公式Cα?β Cα+β
Tα?β
tanα?β=sinα?βcsα?β
Sα?β
誘導公式五五
Cα?β
tanα+β=sinα+βcsα+β
Cα+β
誘導公式六五
Tα+β
Sα+β
T2α，T
換元
Tα+β
S2α，T
換元
C2α，
Sα+β
換元
Cα+β
思考：從和(差)角公式、倍角公式的推導過程中可以發(fā)現(xiàn)，這些公式存在緊密的邏輯聯(lián)倍角公式可以通過和角公式推導出來，是兩角相等的特殊情形，和(差)角公式用于處理兩個角的和或差，而倍角公式則用于處理一個角的兩倍．兩者在處理角的問題時互為補充，使三角函數(shù)的運算更加靈活多樣．
師生活動：教師通過問答的方式，通過總結(jié)所學內(nèi)容之間的關系，幫助學生理解和(差)角公式和倍角公式之間的邏輯聯(lián)系，逐步完成這部分的教學.
設計意圖：對和(差)角公式和倍角公式進行綜合整理，探尋其間的邏輯聯(lián)系，使知識點之間融會貫通，加深了學生對倍角公式的理解，增強學生的歸納總結(jié)能力，培養(yǎng)學生數(shù)學抽象和邏輯推理的核心素養(yǎng).
（三）應用舉例
例1：已知sin2α=513，π4

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5.5.1 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式

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