【探究】如果已知任意角α，β的正弦、余弦，能由此推出α+β，α-β的正余弦嗎？
【分析】如圖，設(shè)單位圓與 軸的正半軸相交于點 ， 以 軸非負半軸為始邊作角α、β，α-β，它們的 終邊分別與單位圓相交于點
連接 ， .若把扇形 繞著點 旋轉(zhuǎn)β角，則點A、P分別與點 重合.根據(jù)圓的旋轉(zhuǎn)對稱性可知， 與 重合，從而 = ，所以 =
根據(jù)兩點間距離公式，得到等式：
【探究】由此我們得到了
當(dāng) 時，容易證明上式依然成立.所以，對于任意角α，β，都有
此公式給出了任意角α、β的正弦、余弦和其差角α-β的余弦之間的關(guān)系，稱為差角的余弦公式，記為
由公式 可知，只要知道了 的值，就可以求出 的值.
另外，式中的角α，β都是任意角，可以是一個角，也可以是角的組合，如：
【例1】利用公式 證明
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【例2】已知 β是第三象限角，求 的值.
【解】由 ，得
又由 ，β是第三象限角，得
【推導(dǎo)】我們以 為基礎(chǔ)，推導(dǎo)出其他公式.
這樣就可以得到兩角和的余弦公式，即
也就是說，和角余弦等于同名積之差，差角余弦等于同名積之和.
與兩角差的余弦公式相比較下
【1】由誘導(dǎo)公式五： ，可得：
【2】由誘導(dǎo)公式六： ，可得：
在上式中，用-β替換β，得到
分子同相加，1減他們倆
分子同相減，1加他們倆
式中的α、β、α+β可以是任意值嗎？
六個公式之間的關(guān)系和推導(dǎo)
【例3】已知 α是第四象限角，求 的值.
【解】由 α是第四象限角，得
【例4】利用和(差)角公式計算下列各式的值.
【解】(1)由公式S(α+β)，得
(2)由公式C(α+β)，得
(3)由tan45°=1及公式T(α+β)，得
二倍角的正弦、余弦、正切公式
【推導(dǎo)】利用S(α±β)，C(α±β)，T(α±β)，可以推導(dǎo)出sin2α，cs2α，tan2α的公式
這樣我們就得到了二倍角公式：
在 中，結(jié)合公式 ，得到
【例5】已知 ，求 的值.
【解】由 ，得
【例6】已知 ，求 的值.
【解】由 ，即

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5.5.1 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式

版本： 人教A版 (2019)

年級： 必修 第一冊

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