第1課時(shí) 兩角差的余弦公式

一、教學(xué)目標(biāo)
1．理解兩角差的余弦公式的推導(dǎo)過程，掌握兩角差的余弦公式的內(nèi)容；
2．能夠運(yùn)用兩角差的余弦公式進(jìn)行三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、求值和證明；
3．引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用多種方法推導(dǎo)公式，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和探索精神，通過對(duì)公式的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力、分析問題能力和解決問題能力；
4．在公式運(yùn)用過程中，讓學(xué)生體會(huì)從特殊到一般、從具體到抽象的數(shù)學(xué)思維方法．

二、教學(xué)重難點(diǎn)
重點(diǎn)：借助圖形，與之前所學(xué)內(nèi)容相結(jié)合，掌握兩角差的余弦公式的內(nèi)容及應(yīng)用.
難點(diǎn)：掌握數(shù)形結(jié)合的學(xué)習(xí)方法，面對(duì)問題能夠舉一反三，使知識(shí)融會(huì)貫通，提升直觀想象與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

三、教學(xué)過程
（一）創(chuàng)設(shè)情境
公式一：sinα+k?2π=sinα，csα+k?2π=csα，tanα+k?2π=tanα
公式二：sinπ+α=?sinα，csπ+α=?csα，tanπ+α=tanα.
公式三：sin?α=?sinα，cs?α=csα，tan?α=?tanα．
公式四：sinπ?α=sinα，csπ?α=?csα，tanπ?α=?tanα．
公式五：sinπ2?α=csα，csπ2?α=sinα．
公式六：sinπ2+α=csα，csπ2+α=?sinα．
觀察誘導(dǎo)公式，可以發(fā)現(xiàn)它們都是特殊角與任意角α的和（或差）的三角函數(shù)與這個(gè)任意角α的三角函數(shù)的恒等關(guān)系．如果把特殊角換為任意角β，那么任意角α與β的差的三角函數(shù)與α，β的三角函數(shù)會(huì)有什么關(guān)系呢？
師生活動(dòng)：教師帶領(lǐng)學(xué)生觀察誘導(dǎo)公式，引導(dǎo)學(xué)生思考兩個(gè)任意角的差的三角函數(shù)與這兩個(gè)任意角的三角函數(shù)之間的關(guān)系，引出本節(jié)課內(nèi)容，方便學(xué)生理解.
設(shè)計(jì)意圖：通過誘導(dǎo)公式思考兩個(gè)任意角的差的三角函數(shù)與這兩個(gè)任意角的三角函數(shù)之間的關(guān)系，引出本節(jié)課的內(nèi)容.使學(xué)生體會(huì)到知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，將知識(shí)融會(huì)貫通. 提升學(xué)生舉一反三的能力和邏輯推理的核心素養(yǎng).
（二）探究新知
任務(wù)1：探究csα?β與角α，β的余弦之間的關(guān)系．
思考1：當(dāng)α≠2kπ+β，k∈Z時(shí)，設(shè)單位圓與x軸的正半軸相交于點(diǎn)A(1，0)，以x軸非負(fù)半軸為始邊作角α，β，α?β，它們的終邊分別與單位圓相交于點(diǎn)P1，A1，P，請(qǐng)問這三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是什么呢？
答：P1csα，sinα，A1csβ，sinβ，Pcsα?β，sinα?β.
思考2：連接A1P1，AP，你能表示出這兩條線段的長(zhǎng)度嗎？他們的長(zhǎng)度之間有什么大小關(guān)系呢？
提示：兩點(diǎn)間的距離公式：平面上任意兩點(diǎn)P1x1，y1，P2x2，y2間的距離公式P1P2=x2?x12+y2?y12．
圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性：任意一個(gè)圓繞著其圓心旋轉(zhuǎn)任意角后都與原來的圓重合，這一性質(zhì)叫作圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性．
答：根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可知：AP=csα?β?12+sin2α?β；A1P1=csα?csβ2+sinα?sinβ2.
若把扇形OAP 繞著點(diǎn)O 旋轉(zhuǎn)β角，則點(diǎn) A，P分別與點(diǎn)A1，P1重合．根據(jù)圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性可知， EQ \\ac(?,AP)與 EQ \\ac(?,A1P1)重合，從而 EQ \\ac(?,AP)= EQ \\ac(?,A1P1)，所以 EQ \\ac(?,AP) = EQ \\ac(?,A1P1)
師生活動(dòng)：首先，教師借助單位圓作角α，β，α?β，然后，引入兩點(diǎn)間的距離公式和圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性，通過問答的方式引導(dǎo)學(xué)生思考，逐步完成這部分的教學(xué).
設(shè)計(jì)意圖：通過數(shù)形結(jié)合的方式，幫助學(xué)生更加直觀地理解這部分內(nèi)容.在作圖的過程中，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象的核心素養(yǎng).通過兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算出A1P1和AP的長(zhǎng)度，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).通過圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性推導(dǎo)出A1P1，AP的長(zhǎng)度大小關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理的核心素養(yǎng).
思考3：你能總結(jié)出csα?β與角α，β的余弦之間的關(guān)系嗎？
答：當(dāng)α≠2kπ+β，k∈Z時(shí)，
A1P1=csα?β?12+sin2α?β；AP=csα?csβ2+sinα?sinβ2．
又已知A1P1=AP，
所以csα?β?12+sin2α?β=csα?csβ2+sinα?sinβ2，
化簡(jiǎn)得，csα?β=csαcsβ+sinαsinβ.
當(dāng)α=2kπ+β，k∈Z時(shí)，上式顯然成立，
所以對(duì)于任意角，有csα?β=csαcsβ+sinαsinβ.
師生活動(dòng)：教師帶領(lǐng)學(xué)生計(jì)算當(dāng)A1P1=AP時(shí)，csα?β與角α，β的余弦之間的關(guān)系，分α≠2kπ+β，k∈Z與α=2kπ+β，k∈Z兩種情況進(jìn)行討論，最后得出結(jié)論.
設(shè)計(jì)意圖：通過計(jì)算當(dāng)A1P1=AP時(shí)，csα?β與角α，β的余弦之間的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).最后由學(xué)生自己總結(jié)出最終結(jié)論，加深學(xué)生對(duì)本節(jié)內(nèi)容的理解.
總結(jié)：差角的余弦公式：
對(duì)于任意角α，β有csα?β=csαcsβ+sinαsinβ．Cα?β此公式給出了任意角α，β的正弦、余弦與其差角α?β的余弦之間的關(guān)系，稱為差角的余弦公式，簡(jiǎn)記作Cα?β．
公式特征：
(1)公式中的α，β是任意角；
(2)公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：左邊是“兩角差的余弦值”，右邊是“這兩角余弦積與正弦積的和”；
(3)公式兩邊符號(hào)相反．
（三）應(yīng)用舉例
例1：利用公式Cα?β證明：(1)csπ2?α=sinα；(2)csπ?α=?csα．
證明：(1)csπ2?α=csπ2csα+sinπ2sinα=0+1×sinα=sinα．
(2)csπ?α=csπcsα+sinπ=?1×csα+0=?csα．
總結(jié)：在利用公式Cα?β進(jìn)行證明或計(jì)算時(shí)，關(guān)鍵是牢記差角的余弦公式：csα?β=csαcsβ+sinαsinβ．記憶規(guī)律為“余余正正，符號(hào)相反”．“余余正正”表示展開的兩項(xiàng)分別為兩角的余弦乘余弦、正弦乘正弦；“符號(hào)相反”表示展開后兩項(xiàng)之間的連接符號(hào)與展開前兩角之間的符號(hào)相反.
例2：已知sinα=45，α∈π2，π，csβ=?513，β是第三象限角，求csα?β的值.
解：由sinα=45，α∈π2，π，得csα=?1?sin2α=?1?452=?35．
又由csβ=?513，β是第三象限角，得sinβ=?1?cs2β=?1??5132=1213．
csα?β=csαcsβ+sinαsinβ=?35×?513+45×?1213，
求得csα?β=?3365．
總結(jié)：解決此類問題的方法步驟：
第一步，確定解題依據(jù)的是哪個(gè)公式(本節(jié)用到的都是兩角差的余弦公式)；
第二步，牢記公式內(nèi)容，與公式相比較，觀察題目的形式特點(diǎn)，確定需要求出哪些值；
第三步，根據(jù)第二步得到的方案先求值，再代入，解決問題.
例3：已知sinα=35，則csπ4?α的值可能為 ( )
A.?25B.?210C.7210D.?7210
解：∵sinα=35，∴csα=±45，當(dāng)csα=45 時(shí)，csπ4?α=csπ4csα+sinπ4sinα=22×45+22×35=7210，當(dāng)csα=?45 時(shí)，csπ4?α=csπ4csα+sinπ4sinα=22×?45+22×35=?210，故答案為BC.
例4：已知α，β∈0，π2，且sinα=45，csα+β=?1665，求csβ的值．
解：因?yàn)棣?，β?，π2，所以0

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第一冊(cè)電子課本

5.5.1 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式

版本： 人教A版 (2019)

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