備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)一輪專題復(fù)習(xí)全套考點突破和專題檢測專題39兩條直線的位置關(guān)系9題型分類(原卷版+解析)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1．兩條直線的位置關(guān)系
直線l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l(wèi)1與l3是同一條直線，l2與l4是同一條直線)的位置關(guān)系如下表：
2.三種距離公式
(1)兩點間的距離公式
①條件：點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．
②結(jié)論：|P1P2|＝eq \r(?x2－x1?2＋?y2－y1?2).
③特例：點P(x，y)到原點O(0,0)的距離|OP|＝eq \r(x2＋y2).
(2)點到直線的距離
點P(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).
(3)兩條平行直線間的距離
兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).
常用結(jié)論
1．直線系方程
(1)與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．
(2)與直線Ax＋By＋C＝0垂直的直線系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．
(3)過直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交點的直線系方程為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.
2．五種常用對稱關(guān)系
(1)點(x，y)關(guān)于原點(0,0)的對稱點為(－x，－y)．
(2)點(x，y)關(guān)于x軸的對稱點為(x，－y)，關(guān)于y軸的對稱點為(－x，y)．
(3)點(x，y)關(guān)于直線y＝x的對稱點為(y，x)，關(guān)于直線y＝－x的對稱點為(－y，－x)．
(4)點(x，y)關(guān)于直線x＝a的對稱點為(2a－x，y)，關(guān)于直線y＝b的對稱點為(x,2b－y)．
(5)點(x，y)關(guān)于點(a，b)的對稱點為(2a－x,2b－y)．
一、單選題
1．（2024高二上·浙江·期中）已知點到直線的距離為，則等于（）
A．B．C．D．
2．（2024高二上·黑龍江哈爾濱·期末）已知兩條直線，，則這兩條直線之間的距離為（）
A．2B．3C．5D．10
3．（2024高二·全國·課后作業(yè)）求直線x＋2y－1＝0關(guān)于直線x＋2y＋1＝0對稱的直線方程（）
A．x＋2y－3＝0B．x＋2y＋3＝0
C．x＋2y－2＝0D．x＋2y＋2＝0
4．（2024高二·全國·課后作業(yè)）直線關(guān)于直線對稱的直線為（）
A．B．C．D．
5．（2024·浙江溫州·三模）已知直線，若，則（）
A．B．0C．1D．2
6．（2024·安徽蚌埠·三模）已知直線：，：，則條件“”是“”的（）
A．充分必要條件B．充分不必要條件
C．必要不充分條件D．既不必要也不充分條件
7．（2024高二上·全國·課后作業(yè)）直線與互相垂直，則這兩條直線的交點坐標(biāo)為（）
A．B．
C．D．
8．（2024高二下·四川廣元·期中）若直線過點，其中，是正實數(shù)，則的最小值是（）
A．B．C．D．5
9．（2024高二上·全國·課后作業(yè)）若直線與之間的距離為，則a的值為（）
A．4B．C．4或D．8或
10．（2024高二上·全國·課后作業(yè)）拋物線的焦點關(guān)于直線的對稱點的坐標(biāo)是（）
A．B．C．D．
11．（2024·四川）設(shè)，過定點的動直線和過定點的動直線交于點，則的取值范圍是
A．B．C．D．
12．（2024·全國）點(0，﹣1)到直線距離的最大值為（）
A．1B．C．D．2
13．（2024·北京東城·二模）已知三條直線，，將平面分為六個部分，則滿足條件的的值共有（）
A．個B．2個C．個D．無數(shù)個
14．（2024高二上·遼寧沈陽·階段練習(xí)）兩直線方程為，，則關(guān)于對稱的直線方程為（）
A．B．
C．D．
15．（2024高一下·海南·期末）設(shè)分別是中所對邊的邊長，則直線與的位置關(guān)系是（）
A．平行B．重合C．垂直D．相交但不垂直
16．（2024高三下·江西·開學(xué)考試）費馬點是指三角形內(nèi)到三角形三個頂點距離之和最小的點.當(dāng)三角形三個內(nèi)角均小于120°時，費馬點與三個頂點連線正好三等分費馬點所在的周角，即該點所對的三角形三邊的張角相等且均為120°.根據(jù)以上性質(zhì)，.則的最小值為（）
A．4B．C．D．
17．（2024·貴州畢節(jié)·模擬預(yù)測）直線，直線，下列說法正確的是（）
A．，使得B．，使得
C．，與都相交D．，使得原點到的距離為3
18．（2024·全國）如果直線與直線關(guān)于直線對稱，那么（）
A．B．C．D．
19．（2024高一·全國·課后作業(yè)）已知ΔABC的頂點，，其垂心為，則其頂點的坐標(biāo)為
A．B．C．D．
20．（2024高三·全國·課后作業(yè)）若動點A，B分別在直線l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移動，則AB的中點M到原點的距離的最小值為( )
A．3B．2C．3D．4
21．（2024高二上·湖北·階段練習(xí)）在等腰直角三角形中，，點是邊上異于的一點，光線從點出發(fā)，經(jīng)反射后又回到點，如圖，若光線經(jīng)過的重心，則（）
A．B．C．1D．2
22．（2024高一上·湖南長沙·開學(xué)考試）如下圖，一次函數(shù)的圖象與軸，軸分別交于點，，點是軸上一點，點，分別為直線和軸上的兩個動點，當(dāng)周長最小時，點，的坐標(biāo)分別為（）

A．，B．，
C．，D．，
23．（2024高二上·廣東深圳·期中）過定點A的動直線和過定點B的動直線交于點M，則的最大值是（）
A．B．3C．D．
24．（2024高二下·陜西西安·期末）設(shè)，過定點的動直線和過定點的動直線交于點，則的最大值是（）
A．B．C．5D．10
25．（河北省張家口市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）已知，則的最小值為（）
A．B．C．D．
26．（2024·貴州·模擬預(yù)測）已知，滿足，則的最小值為（）
A．B．C．1D．
27．（2024·上海靜安·二模）設(shè)直線與關(guān)于直線對稱，則直線的方程是（）
A．B．
C．D．
28．（2024高三·北京·強基計劃）的最小值所屬區(qū)間為（）
A．B．
C．D．前三個答案都不對
29．（2024·北京）在平面直角坐標(biāo)系中，記為點到直線的距離，當(dāng)、變化時，的最大值為
A．B．
C．D．
二、多選題
30．（2024高二下·江蘇南京·期末）已知動點分別在直線與上移動，則線段的中點到坐標(biāo)原點的距離可能為（）
A．B．C．D．
31．（24-25高二上·全國·單元測試）已知兩條直線，的方程分別為與，下列結(jié)論正確的是（）
A．若，則B．若，則兩條平行直線之間的距離為
C．若，則D．若，則直線，一定相交
32．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知直線l：，則下列結(jié)論正確的是（）
A．直線l的一個法向量為
B．若直線m：，則
C．點到直線l的距離是2
D．過與直線l平行的直線方程是
33．（2024高二下·江西南昌·階段練習(xí)）已知曲線和直線，則（）
A．曲線上與直線l平行的切線的切點為
B．曲線上與直線l平行的切線的切點為
C．曲線上的點到直線l的最短距離為
D．曲線上的點到直線l的最短距離為
34．（福建省莆田第三中學(xué)，勵志學(xué)校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷）以下四個命題敘述正確的是（）
A．直線在軸上的截距是1
B．直線和的交點為，且在直線上，則的值是
C．設(shè)點是直線上的動點，為原點，則的最小值是2
D．直線，若，則或2
三、填空題
35．（2024高二·全國·課后作業(yè)）已知，，點是線段的中點，則 .
36．（2024高二·江蘇·假期作業(yè)）已知點與點間的距離為，則．
37．（2024高三上·河北廊坊·階段練習(xí)）與直線關(guān)于點對稱的直線的方程為 .
38．（2024高一·全國·課后作業(yè)）已知直線l與直線及直線分別交于點P，Q．若PQ的中點為點，則直線l的斜率為．
39．（2024高二上·遼寧大連·階段練習(xí)）設(shè)點A在x軸上，點B在y軸上，的中點是，則等于
40．（2024高三上·黑龍江哈爾濱·期中）點到直線的距離的最大值是．
41．（2024高二上·江蘇南通·期中）已知點在軸上，點在軸上，線段的中點的坐標(biāo)為，則線段的長度為 .
42．（2024高二·全國·課堂例題）已知點，，，則的面積為．
43．（2024·云南保山·一模）已知坐標(biāo)原點為O，過點作直線n不同時為零)的垂線，垂足為M，則的取值范圍是．
44．（2024高二上·全國·課后作業(yè)）已知點、、，且，則 .
45．（2024高二上·安徽六安·期中）已知兩直線和的交點為，則過兩點的直線方程為 .
46．（2024高三上·上海青浦·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，若動點到兩直線和的距離之和為，則的最大值為 .
47．（2024·四川）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，到點A（1，2），B（1，5），C（3，6），D（7，﹣1）的距離之和最小的點的坐標(biāo)是．
48．（2024高三·陜西·階段練習(xí)）若直線m被兩平行線與所截得的線段的長為，則m的傾斜角可以是①15°，②30°，③45°，④60°，⑤75°.其中正確答案的序號是 (寫出所有正確答案的序號)．
49．（2024高三·全國·專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將直線l沿x軸正方向平移3個單位長度，沿y軸正方向平移5個單位長度，得到直線l1.再將直線l1沿x軸正方向平移1個單位長度，沿y軸負(fù)方向平移2個單位長度，又與直線l重合.若直線l與直線l1關(guān)于點（2，3）對稱，則直線l的方程是 .
50．（2024高三·全國·專題練習(xí)）點，到直線l的距離分別為1和4，寫出一個滿足條件的直線l的方程： .
51．（2024高一·全國·課后作業(yè)）經(jīng)過直線3x+2y+6=0和2x+5y-7=0的交點，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程為 .
52．（2024高二上·全國·課后作業(yè)）經(jīng)過點和兩直線；交點的直線方程為 .
53．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）已知實數(shù)，滿足，，，則的最小值是．
四、解答題
54．（2024高二上·廣東東莞·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知的三個頂點.
(1)求邊所在直線的方程;
(2)若的面積等于7，且點的坐標(biāo)滿足，求點的坐標(biāo).
55．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知直線l經(jīng)過點，且平行于向量.
(1)求直線l的方程；
(2)若直線m與l平行且點P到直線m的距離為，求直線m的方程.
56．（2024高二上·天津河西·階段練習(xí)）已知直線，.
(1)若坐標(biāo)原點O到直線m的距離為，求a的值；
(2)當(dāng)時，直線l過m與n的交點，且它在兩坐標(biāo)軸上的截距相反，求直線l的方程.
57．（2024高二·全國·課后作業(yè)）已知點，點P在x軸上使最大，求點P的坐標(biāo)
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位置關(guān)系
l1，l2滿足的條件
l3，l4滿足的條件
平行
k1＝k2且b1≠b2
A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0
垂直
k1·k2＝－1
A1A2＋B1B2＝0
相交
k1≠k2
A1B2－A2B1≠0
（一）
判斷兩條直線位置關(guān)系的注意點
(1)斜率不存在的特殊情況．
(2)可直接利用直線方程系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論．
題型1：兩條直線的平行與垂直
1-1．（2024高三上·廣東東莞·階段練習(xí)）直線：與直線：平行，則（）
A．或B．C．D．
1-2．（2024高二下·廣東深圳·階段練習(xí)）已知曲線在點處的切線與直線垂直，則點的坐標(biāo)為（）
A．B．
C．或D．
1-3．（2024高二下·四川南充·階段練習(xí)）與直線平行且過點的直線方程是（）
A．
B．
C．
D．
1-4．（2024高二·全國·專題練習(xí)）已知A(－1，2)，B(1，3)，C(0，－2)，點D使AD⊥BC，AB∥CD，則點D的坐標(biāo)為（）
A．B．
C．D．
1-5．（2024高二上·浙江溫州·開學(xué)考試）設(shè)直線，，則是的（）
A．充要條件B．必要不充分條件
C．充分不必要條件D．既不充分也不必要條件
1-6．（2024高一·全國·課后作業(yè)）已知過點和點的直線為l1，. 若，則的值為（）
A．B．
C．0D．8
（二）
利用距離公式應(yīng)注意的點
(1)點P(x0，y0)到直線x＝a的距離d＝|x0－a|，到直線y＝b的距離d＝|y0－b|.
(2)兩條平行線間的距離公式要把兩條直線方程中x，y的系數(shù)化為相等．
題型2：兩直線的交點問題
2-1．（2024高二下·全國·課堂例題）直線與直線相交，則實數(shù)的值為（）
A．或B．或
C．或D．且
2-2．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知直線與直線互相垂直，交點坐標(biāo)為，則的值為（）
A．20B．C．0D．24
2-3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）若三條直線不能圍成三角形，則實數(shù)的取值最多有（）
A．個B．個
C．個D．個
2-4．（2024高三·全國·專題練習(xí)）若直線與直線的交點位于第一象限，則直線l的傾斜角的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
題型3：點到直線的距離問題
3-1．（2024高二上·江蘇淮安·期中）已知平面上點和直線，點P到直線l的距離為d，則 .
3-2．（2024高二上·江西新余·開學(xué)考試）若點到直線的距離為3，則 .
3-3．（2024高二上·全國·課后作業(yè)）過直線與直線的交點，且到點的距離為1的直線l的方程為．
3-4．（2024高二上·吉林長春·期中）已知點在直線上，則的最小值為（）
A．1B．2C．3D．4
3-5．（2024高二上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）若點在直線上，O是原點，則OP的最小值為（）
A．B．2C．D．4
題型4：平行線間距離問題
4-1．（2024高二上·新疆·期末）已知不過原點的直線與直線平行，且直線與的距離為，則直線的一般式方程為．
4-2．（2024高二上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）平行直線與之間的距離為．
4-3．（2024高二上·浙江溫州·開學(xué)考試）若兩條直線與平行，則與間的距離是 .
題型5：有關(guān)距離的最值問題
5-1．（2024高二上·福建·期中）著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬事休．”事實上，有很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，如：可以轉(zhuǎn)化為點到點的距離，則的最小值為（）．
A．3B．C．D．
5-2．（2024高二·全國·課堂例題）已知直線過定點M，點在直線上，則的最小值是（）
A．5B．C．D．
5-3．（2024高一·全國·課后作業(yè)）在直線上求一點P，使得：
(1)P到和的距離之差最大；
(2)P到和的距離之和最小.
5-4．（2024高三下·江西·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，點為直線上一動點，則的最小值是（）
A．B．4C．5D．6
5-5．（2024高二下·上海浦東新·階段練習(xí)）已知點分別在直線與直線上，且，點，，則的最小值為 .
5-6．（2024高三下·河南·階段練習(xí)）已知函數(shù)的圖象恒過定點A，圓上的兩點，滿足，則的最小值為( )
A．B．
C．D．
5-7．（2024高三下·上海寶山·開學(xué)考試）如圖，平面上兩點，在直線上取兩點使，且使的值取最小，則的坐標(biāo)為．
（三）
對稱問題的求解策略
(1)解決對稱問題的思路是利用待定系數(shù)法將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系求解．
(2)中心對稱問題可以利用中點坐標(biāo)公式解題，兩點軸對稱問題可以利用垂直和中點兩個條件列方程組解題．
求直線l關(guān)于直線對稱的直線
若直線，則，且對稱軸與直線l及之間的距離相等．
此時分別為，由，求得，從而得．
若直線l與不平行，則．在直線l上取異于Q的一點，然后求得關(guān)于直線對稱的點，再由兩點確定直線（其中）．
題型6：點線對稱
6-1．（2024高二上·全國·課后作業(yè)）若直線和直線關(guān)于直線對稱，則直線恒過定點（）
A．B． C．D．
6-2．（2024高二下·江西·開學(xué)考試）如圖，一束光線從出發(fā)，經(jīng)過坐標(biāo)軸反射兩次經(jīng)過點，則總路徑長即總長為（）
A．B．6C．D．
6-3．（2024高二上·四川遂寧·期末）已知點A與點關(guān)于直線對稱，則點A的坐標(biāo)為（）
A．B．
C．D．
題型7：線點對稱
7-1．（2024高二·全國·單元測試）直線關(guān)于點的對稱直線方程是．
7-2．（2024高三上·遼寧營口·期末）若直線：與直線關(guān)于點對稱，則當(dāng)經(jīng)過點時，點到直線的距離為 .
7-3．（2024高二上·江蘇蘇州·周測）直線恒過定點，則直線關(guān)于點對稱的直線方程為．
7-4．（2024高二上·全國·課后作業(yè)）直線關(guān)于點對稱的直線的方程為．
題型8：線線對稱
8-1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知直線，直線，若直線關(guān)于直線l的對稱直線為，則直線的方程為．
8-2．（2024高二上·湖北黃石·階段練習(xí)）若兩條平行直線：與：之間的距離是，則直線關(guān)于直線對稱的直線方程為（）
A．B．
C．D．
8-3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）直線關(guān)于直線對稱的直線方程是（）
A．B．
C．D．
（四）
題型9：直線系方程
9-1．（2024高二·全國·課后作業(yè)）設(shè)直線經(jīng)過和的交點，且與兩坐標(biāo)軸圍成等腰直角三角形，則直線的方程為 .
9-2．（2024高二·全國·課堂例題）若直線l經(jīng)過兩直線和的交點，且斜率為，則直線l的方程為．
9-3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）經(jīng)過直線3x－2y＋1＝0和直線x＋3y＋4＝0的交點，且平行于直線x－y＋4＝0的直線方程為．
專題39 兩條直線的位置關(guān)系9題型分類
1．兩條直線的位置關(guān)系
直線l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l(wèi)1與l3是同一條直線，l2與l4是同一條直線)的位置關(guān)系如下表：
2.三種距離公式
(1)兩點間的距離公式
①條件：點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．
②結(jié)論：|P1P2|＝eq \r(?x2－x1?2＋?y2－y1?2).
③特例：點P(x，y)到原點O(0,0)的距離|OP|＝eq \r(x2＋y2).
(2)點到直線的距離
點P(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).
(3)兩條平行直線間的距離
兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).
常用結(jié)論
1．直線系方程
(1)與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．
(2)與直線Ax＋By＋C＝0垂直的直線系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．
(3)過直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交點的直線系方程為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.
2．五種常用對稱關(guān)系
(1)點(x，y)關(guān)于原點(0,0)的對稱點為(－x，－y)．
(2)點(x，y)關(guān)于x軸的對稱點為(x，－y)，關(guān)于y軸的對稱點為(－x，y)．
(3)點(x，y)關(guān)于直線y＝x的對稱點為(y，x)，關(guān)于直線y＝－x的對稱點為(－y，－x)．
(4)點(x，y)關(guān)于直線x＝a的對稱點為(2a－x，y)，關(guān)于直線y＝b的對稱點為(x,2b－y)．
(5)點(x，y)關(guān)于點(a，b)的對稱點為(2a－x,2b－y)．
一、單選題
1．（2024高二上·浙江·期中）已知點到直線的距離為，則等于（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)點到直線得距離公式即可得出答案.
【詳解】解：由題意得．
解得或．，．
故選：C.
2．（2024高二上·黑龍江哈爾濱·期末）已知兩條直線，，則這兩條直線之間的距離為（）
A．2B．3C．5D．10
【答案】A
【分析】由兩平行線距離公式求解即可.
【詳解】這兩條直線之間的距離為.
故選：A
3．（2024高二·全國·課后作業(yè)）求直線x＋2y－1＝0關(guān)于直線x＋2y＋1＝0對稱的直線方程（）
A．x＋2y－3＝0B．x＋2y＋3＝0
C．x＋2y－2＝0D．x＋2y＋2＝0
【答案】B
【分析】結(jié)合兩平行線間的距離公式求得正確選項.
【詳解】設(shè)對稱直線方程為，
，解得或（舍去）.
所以所求直線方程為.
故選：B
4．（2024高二·全國·課后作業(yè)）直線關(guān)于直線對稱的直線為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)兩直線關(guān)于對稱直線對稱的概念即可求解
【詳解】解：設(shè)所求直線上的任意一點為
則關(guān)于直線對稱點為
點在直線上
滿足直線方程，即
直線關(guān)于直線對稱的直線為
故選：C
5．（2024·浙江溫州·三模）已知直線，若，則（）
A．B．0C．1D．2
【答案】B
【分析】根據(jù)給定的條件，利用兩直線的垂直關(guān)系列式計算作答.
【詳解】因為直線，且，則，
所以.
故選：B
6．（2024·安徽蚌埠·三模）已知直線：，：，則條件“”是“”的（）
A．充分必要條件B．充分不必要條件
C．必要不充分條件D．既不必要也不充分條件
【答案】B
【分析】
根據(jù)兩直線垂直的性質(zhì)，可得，求出的值，即可判斷.
【詳解】
若，則，
解得或.
故是的充分不必要條件.
故選：B
7．（2024高二上·全國·課后作業(yè)）直線與互相垂直，則這兩條直線的交點坐標(biāo)為（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由兩直線垂直可得，聯(lián)立解方程組可得交點坐標(biāo).
【詳解】易知直線的斜率為，
由兩直線垂直條件得直線的斜率，解得；
聯(lián)立，解得；
即交點為
故選：C.
8．（2024高二下·四川廣元·期中）若直線過點，其中，是正實數(shù)，則的最小值是（）
A．B．C．D．5
【答案】B
【分析】
由點在直線上可知，結(jié)合均值不等式即可求解．
【詳解】
因為直線過點，所以，
由和都是正實數(shù)，所以，，．
所以，
當(dāng)時取等號，即，時取等號，
所以的最小值是.
故選:B．
9．（2024高二上·全國·課后作業(yè)）若直線與之間的距離為，則a的值為（）
A．4B．C．4或D．8或
【答案】C
【分析】將直線化為，再根據(jù)兩平行直線的距離公式列出方程，求解即可.
【詳解】將直線化為，
則直線與直線之間的距離，
根據(jù)題意可得：，即，解得或，
所以a的值為或.
故選：C
10．（2024高二上·全國·課后作業(yè)）拋物線的焦點關(guān)于直線的對稱點的坐標(biāo)是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求出拋物線焦點坐標(biāo)為，設(shè)關(guān)于直線的對稱點的坐標(biāo)是，列出關(guān)于的方程組求解即可.
【詳解】拋物線即，其焦點坐標(biāo)為，
設(shè)關(guān)于直線的對稱點的坐標(biāo)是，
則，解得，則，
故選：A．
11．（2024·四川）設(shè)，過定點的動直線和過定點的動直線交于點，則的取值范圍是
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】試題分析：易得.設(shè)，則消去得：，所以點P在以AB為直徑的圓上，，所以，令，則
.因為，所以.所以，.選B.
法二、因為兩直線的斜率互為負(fù)倒數(shù)，所以，點P的軌跡是以AB為直徑的圓.以下同法一.
【考點定位】1、直線與圓；2、三角代換.
12．（2024·全國）點(0，﹣1)到直線距離的最大值為（）
A．1B．C．D．2
【答案】B
【分析】首先根據(jù)直線方程判斷出直線過定點，設(shè)，當(dāng)直線與垂直時，點到直線距離最大，即可求得結(jié)果.
【詳解】由可知直線過定點，設(shè)，
當(dāng)直線與垂直時，點到直線距離最大，
即為.
故選：B.
【點睛】該題考查的是有關(guān)解析幾何初步的問題，涉及到的知識點有直線過定點問題，利用幾何性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.
13．（2024·北京東城·二模）已知三條直線，，將平面分為六個部分，則滿足條件的的值共有（）
A．個B．2個C．個D．無數(shù)個
【答案】C
【分析】考慮三條直線交于一點或與或平行時，滿足條件，求出答案.
【詳解】當(dāng)三條直線交于一點時，可將平面分為六個部分，
聯(lián)立與，解得，
則將代入中，，解得，
當(dāng)與平行時，滿足要求，此時，
當(dāng)與平行時，滿足要求，此時，
綜上，滿足條件的的值共有3個.
故選：C
14．（2024高二上·遼寧沈陽·階段練習(xí)）兩直線方程為，，則關(guān)于對稱的直線方程為（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，設(shè)所求直線上任一點M（x，y）且M關(guān)于直線的對稱點，，利用軸對稱的性質(zhì)列出方程組解出用、表示、的式子，再由點在直線上代入，化簡即得所求對稱直線方程；
【詳解】設(shè)所求直線上任一點，關(guān)于直線的對稱點，，
則，解出
點在直線上，將式代入，得，
化簡得，即為關(guān)于對稱的直線方程．
故選：C
15．（2024高一下·海南·期末）設(shè)分別是中所對邊的邊長，則直線與的位置關(guān)系是（）
A．平行B．重合C．垂直D．相交但不垂直
【答案】C
【分析】根據(jù)直線方程確定斜率，利用三角形邊角關(guān)系及直線垂直的判定判斷兩直線的位置關(guān)系即可.
【詳解】由題設(shè)，的斜率為，的斜率為，
又，則，即兩直線垂直.
故選：C
16．（2024高三下·江西·開學(xué)考試）費馬點是指三角形內(nèi)到三角形三個頂點距離之和最小的點.當(dāng)三角形三個內(nèi)角均小于120°時，費馬點與三個頂點連線正好三等分費馬點所在的周角，即該點所對的三角形三邊的張角相等且均為120°.根據(jù)以上性質(zhì)，.則的最小值為（）
A．4B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題意作出圖形，證明出三角形ABC為等腰直角三角形，作出輔助線，找到費馬點，求出最小值.
【詳解】由題意得：的幾何意義為點到點的距離之和的最小值，
因為，，
，
所以，故三角形ABC為等腰直角三角形，，
取的中點，連接，與交于點，連接，故，，
因為，所以，故，則，
故點到三角形三個頂點距離之和最小，即取得最小值，
因為，所以，同理得：，，
，
故的最小值為.
故選：B
17．（2024·貴州畢節(jié)·模擬預(yù)測）直線，直線，下列說法正確的是（）
A．，使得B．，使得
C．，與都相交D．，使得原點到的距離為3
【答案】B
【分析】
對A，要使，則，所以，解之再驗證即可判斷；
對B，要使，，，解之再驗證即可判斷；
對C，當(dāng)時，與重合，即可判斷；
對D，根據(jù)點到直線距離列方程即可判斷.
【詳解】
對A，要使，則，所以，解之得，此時與重合，選項A錯誤；
對B，要使，，，解之得，所以B正確；
對C，過定點，該定點在上，但是當(dāng)時，與重合，所以C錯誤；
對D，，化簡得，此方程，無實數(shù)解，所以D錯誤.
故選：B.
18．（2024·全國）如果直線與直線關(guān)于直線對稱，那么（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由題意在上任取一點，其關(guān)于直線的對稱點在上，代入可求出，然后在上任取一點，其關(guān)于直線的對稱點在上，代入可求出.
【詳解】在上取一點，
則由題意可得其關(guān)于直線的對稱點在上，
所以，得，
在上取一點，
則其關(guān)于直線的對稱點在上，
所以，得，
綜上，
故選：A
19．（2024高一·全國·課后作業(yè)）已知ΔABC的頂點，，其垂心為，則其頂點的坐標(biāo)為
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由垂心的定義可知，；根據(jù)垂直時斜率乘積為可知，，利用兩點連線斜率公式可構(gòu)造出方程組求得結(jié)果.
【詳解】為ΔABC的垂心，
又，
直線斜率存在且，
設(shè)，則，解得：
本題正確選項：
【點睛】本題考查根據(jù)直線與直線垂直的位置關(guān)系求解參數(shù)的問題；關(guān)鍵是能夠利用垂心的性質(zhì)得到直線與直線的垂直關(guān)系.
20．（2024高三·全國·課后作業(yè)）若動點A，B分別在直線l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移動，則AB的中點M到原點的距離的最小值為( )
A．3B．2C．3D．4
【答案】A
【解析】先求出點M所在直線的方程為l：x＋y＋m＝0，再求出m的值和原點到直線l的距離即得解.
【詳解】依題意知AB的中點M的集合為與直線l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0距離都相等的直線，
則M到原點的距離的最小值為原點到該直線的距離．
設(shè)點M所在直線的方程為l：x＋y＋m＝0，
根據(jù)平行線間的距離公式得
所以|m＋7|＝|m＋5|，所以m＝－6，
即l：x＋y－6＝0.
根據(jù)點到直線的距離公式得M到原點的距離的最小值為.
故選：A.
【點睛】本題主要考查平行線間的距離和點到直線的距離的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.
21．（2024高二上·湖北·階段練習(xí)）在等腰直角三角形中，，點是邊上異于的一點，光線從點出發(fā)，經(jīng)反射后又回到點，如圖，若光線經(jīng)過的重心，則（）
A．B．C．1D．2
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，建立坐標(biāo)系，設(shè)點的坐標(biāo)，可得關(guān)于直線的對稱點的坐標(biāo)，和關(guān)于軸的對稱點的坐標(biāo)，由，，四點共線可得直線的方程，由于過的重心，代入可得關(guān)于的方程，解之可得的坐標(biāo)，進(jìn)而可得的值，即可得答案．
【詳解】根據(jù)題意，建立如圖所示的坐標(biāo)系，可得，，
故直線的方程為，
又由，，，則的重心為，
設(shè)，其中，點關(guān)于直線的對稱點，則有，
解得，即，
易得關(guān)于軸的對稱點，
由光的反射原理可知，，，四點共成直線的斜率，
故直線的方程為，
由于直線過的重心，代入化簡可得，
解得：或舍，即，故，
故選：C．
22．（2024高一上·湖南長沙·開學(xué)考試）如下圖，一次函數(shù)的圖象與軸，軸分別交于點，，點是軸上一點，點，分別為直線和軸上的兩個動點，當(dāng)周長最小時，點，的坐標(biāo)分別為（）

A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】作關(guān)于軸的對稱點，作關(guān)于的對稱點，連接交軸于，交于，有，即此時周長最小，求出點坐標(biāo)，可得直線方程，與聯(lián)立求出點坐標(biāo)，令可得點坐標(biāo).
【詳解】作關(guān)于軸的對稱點，
作關(guān)于的對稱點，
連接交軸于，交于，所以，
此時周長最小，即，
由，直線方程為，所以，解得，
所以，可得直線方程為，即，
由，解得，所以，
令可，所以.
故選：C.

23．（2024高二上·廣東深圳·期中）過定點A的動直線和過定點B的動直線交于點M，則的最大值是（）
A．B．3C．D．
【答案】C
【分析】求出A，B的坐標(biāo)，并判斷兩直線垂直，推出點M在以為直徑的圓上，求得，即，結(jié)合基本不等式即可求得答案.
【詳解】由題意知過定點,
動直線即過定點，
對于直線和動直線滿足，
故兩直線垂直，
因此點M在以為直徑的圓上，，
則，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
故的最大值為，
故選：C
24．（2024高二下·陜西西安·期末）設(shè)，過定點的動直線和過定點的動直線交于點，則的最大值是（）
A．B．C．5D．10
【答案】C
【分析】先求出兩條直線經(jīng)過的定點，然后根據(jù)兩條直線的位置關(guān)系可判斷它們垂直，從而，在利用勾股定理和基本不等式求解.
【詳解】
顯然過定點，直線可化成，則經(jīng)過定點，
根據(jù)兩條直線垂直的一般式方程的條件，，
于是直線和直線垂直，又為兩條直線的交點，則，
又，由勾股定理和基本不等式，
，則，
當(dāng)時，的最大值是.
故選：C
25．（河北省張家口市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）已知，則的最小值為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】設(shè)點為直線上的動點，題意可轉(zhuǎn)化成求與的距離和與的距離之和的最小值，求出關(guān)于直線的對稱點，故，即可求出答案
【詳解】設(shè)點為直線上的動點，
由可看作與的距離和與的距離之和，
設(shè)點則點為點關(guān)于直線的對稱點，
故，且，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時，取等號，
所以的最小值為.
故選：C
26．（2024·貴州·模擬預(yù)測）已知，滿足，則的最小值為（）
A．B．C．1D．
【答案】B
【分析】先求出點關(guān)于線段的對稱點的坐標(biāo)，且有.根據(jù)幾何意義，結(jié)合圖象，即可得出取最小值時，點的位置，進(jìn)而得出答案.
【詳解】
如圖，過點作點關(guān)于線段的對稱點，則.
設(shè)，則有，解得，所以.
設(shè)，則，所以，
又，所以點到軸的距離為，
所以，可視為線段上的點到軸的距離和到的距離之和.
過作軸，過點作軸，顯然有，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時，和有最小值.
則即為最小值，與線段的交點，即為最小值時的位置.
因為，所以的最小值為.
故選：B．
27．（2024·上海靜安·二模）設(shè)直線與關(guān)于直線對稱，則直線的方程是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)三條直線交于一點，再利用點關(guān)于直線的對稱點公式，求直線上一點，即可求解.
【詳解】聯(lián)立，得，
取直線上一點，設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，則，解得：，
直線的斜率，所以直線的方程為，
整理為：.
故選：A
28．（2024高三·北京·強基計劃）的最小值所屬區(qū)間為（）
A．B．
C．D．前三個答案都不對
【答案】C
【分析】利用代數(shù)式的幾何意義可求最小值.
【詳解】如圖，設(shè)．
根據(jù)題意，設(shè)題中代數(shù)式為M，則，
等號當(dāng)P，Q分別為直線與x軸，y軸交點時取得．
因此所求最小值為13．
故選：C.
29．（2024·北京）在平面直角坐標(biāo)系中，記為點到直線的距離，當(dāng)、變化時，的最大值為
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】為單位圓上一點，而直線過點，則根據(jù)幾何意義得的最大值為.
【詳解】為單位圓上一點，而直線過點，
所以的最大值為，選C.
【點睛】與圓有關(guān)的最值問題主要表現(xiàn)在求幾何圖形的長度、面積的最值，求點到直線的距離的最值，求相關(guān)參數(shù)的最值等方面．解決此類問題的主要思路是利用圓的幾何性質(zhì)將問題轉(zhuǎn)化．
二、多選題
30．（2024高二下·江蘇南京·期末）已知動點分別在直線與上移動，則線段的中點到坐標(biāo)原點的距離可能為（）
A．B．C．D．
【答案】CD
【分析】根據(jù)直線平行可得在直線上運動，即可根據(jù)點到直線的距離公式即可求解.
【詳解】解：動點分別在直線與上移動，
又線段的中點為，，
在直線上運動，
到直線的距離．
到坐標(biāo)原點的距離大于等于．
故選：CD．
31．（24-25高二上·全國·單元測試）已知兩條直線，的方程分別為與，下列結(jié)論正確的是（）
A．若，則B．若，則兩條平行直線之間的距離為
C．若，則D．若，則直線，一定相交
【答案】AD
【分析】根據(jù)兩直線平行求出的值，可判斷A選項；利用平行線間的距離公式可判斷B選項；根據(jù)兩直線垂直求出的值，可判斷C選項；根據(jù)兩直線相交求出的范圍，可判斷D選項.
【詳解】兩條直線，的方程分別為與，它們不重合，
若，則，得，檢驗符合，故A選項正確；
若，由A選項可知，：，直線的方程可化為，
故兩條平行直線之間的距離為，故B選項不正確；
若，則，得，故C選項不正確；
由A選項知，當(dāng)時，，所以若，則直線，一定相交，故D選項正確.
故選：AD.
32．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知直線l：，則下列結(jié)論正確的是（）
A．直線l的一個法向量為
B．若直線m：，則
C．點到直線l的距離是2
D．過與直線l平行的直線方程是
【答案】CD
【分析】對于A：根據(jù)直線方向向量與斜率之間的關(guān)系分析判斷；對于B：根據(jù)直線垂直分析判斷；對于C：根據(jù)點到直線的距離公式運算求解；對于D：根據(jù)直線平行分析求解.
【詳解】對于A，因為直線l：的斜率，
但，可知不為直線l的一個法向量，故A錯誤；
對于B，因為直線m：的斜率，且，
所以直線l與直線m不垂直，故B錯誤；
對于C，點到直線l的距離，故C正確；
對于D，過與直線l平行的直線方程是，即，故D正確．
故選：CD.
33．（2024高二下·江西南昌·階段練習(xí)）已知曲線和直線，則（）
A．曲線上與直線l平行的切線的切點為
B．曲線上與直線l平行的切線的切點為
C．曲線上的點到直線l的最短距離為
D．曲線上的點到直線l的最短距離為
【答案】BC
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)得出切線斜率求切點判斷A,B,再結(jié)合點到直線距離求出最短距離判斷C,D.
【詳解】設(shè)與直線平行的直線和相切，則斜率為.
因為，所以，令，可得切點為，故A錯誤，B正確；
則點到直線的距離就是曲線上的點到直線的最短距離，
由點到直線的距離公式知最短距高為，故C正確，D錯誤.
故選：BC.
34．（福建省莆田第三中學(xué)，勵志學(xué)校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷）以下四個命題敘述正確的是（）
A．直線在軸上的截距是1
B．直線和的交點為，且在直線上，則的值是
C．設(shè)點是直線上的動點，為原點，則的最小值是2
D．直線，若，則或2
【答案】BC
【分析】求出直線的橫截距判斷A；解方程組求出判斷B；求出點到直線的距離判斷C；驗證判斷D.
【詳解】對于A，直線在軸上的截距是，A錯誤；
對于B，由解得，即，則，解得，B正確；
對于C，依題意，，C正確；
對于D，當(dāng)時，直線重合，D錯誤.
故選：BC
三、填空題
35．（2024高二·全國·課后作業(yè)）已知，，點是線段的中點，則 .
【答案】
【分析】利用中點坐標(biāo)公式可求得，由此可得結(jié)果.
【詳解】由中點坐標(biāo)公式知：，，解得：，，.
故答案為：.
36．（2024高二·江蘇·假期作業(yè)）已知點與點間的距離為，則．
【答案】9或
【分析】根據(jù)兩點間的距離公式列方程求解即可.
【詳解】由，
得，
即，解得或．
故答案為：9或.
37．（2024高三上·河北廊坊·階段練習(xí)）與直線關(guān)于點對稱的直線的方程為 .
【答案】
【分析】根據(jù)直線關(guān)于點對稱方程的特點可設(shè)直線方程，在利用點到兩條直線的距離相等即可求解直線方程.
【詳解】解：直線關(guān)于點對稱的直線的方程可設(shè)為，其中
又點到直線與到直線的距離相等
所以，即，所以或（舍）.
故所求直線方程為：.
故答案為：.
38．（2024高一·全國·課后作業(yè)）已知直線l與直線及直線分別交于點P，Q．若PQ的中點為點，則直線l的斜率為．
【答案】
【分析】由點關(guān)于點對稱,運算可得解.
【詳解】解：設(shè)，則．由點Q在直線上，得，．故．
所以直線l的斜率為，所以
故答案為
【點睛】本題考查了點關(guān)于點對稱問題，屬基礎(chǔ)題.
39．（2024高二上·遼寧大連·階段練習(xí)）設(shè)點A在x軸上，點B在y軸上，的中點是，則等于
【答案】
【解析】根據(jù)點A在x軸上，點B在y軸上，且的中點是，利用中點坐標(biāo)公式得到A，B的坐標(biāo)，再利用兩點間的距離公式求解.
【詳解】因為點A在x軸上，點B在y軸上，且的中點是，
所以，
所以，
故答案為：
【點睛】本題主要考查兩點間的距離公式和中點坐標(biāo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.
40．（2024高三上·黑龍江哈爾濱·期中）點到直線的距離的最大值是．
【答案】
【分析】直線恒過點，根據(jù)幾何關(guān)系可得，點到直線的距離的最大值為.
【詳解】因為直線恒過點，
記，直線為直線，
則當(dāng)時，此時點到直線的距離最大，
∴點到直線距離的最大值為：
.
故答案為：.

41．（2024高二上·江蘇南通·期中）已知點在軸上，點在軸上，線段的中點的坐標(biāo)為，則線段的長度為 .
【答案】
【分析】利用直角三角形的幾何性質(zhì)得出，利用兩點間的距離公式可求得結(jié)果.
【詳解】在平面直角坐標(biāo)系中，，
則為直角三角形，且為斜邊，
故.
故答案為：
42．（2024高二·全國·課堂例題）已知點，，，則的面積為．
【答案】5
【分析】利用兩點間距離公式求出一邊長，再根據(jù)兩點式求出該邊所在直線的方程，利用點到直線的距離公式求高，進(jìn)而求得三角形面積.
【詳解】設(shè)邊上的高為，則就是點C到AB所在直線的距離．
易知．
由兩點式可得邊所在直線的方程為，即．
點到直線的距離，
所以的面積為．
故答案為：5
43．（2024·云南保山·一模）已知坐標(biāo)原點為O，過點作直線n不同時為零)的垂線，垂足為M，則的取值范圍是．
【答案】
【分析】根據(jù)題意，將直線變形為，分析可得該直線恒過點，設(shè)，進(jìn)而分析可得點的軌跡是以為直徑的圓，其方程為，據(jù)此分析可得答案．
【詳解】根據(jù)題意，直線，即，
則有，解可得，則直線恒過點．
設(shè)，又由與直線垂直，且為垂足，
則點的軌跡是以為直徑的圓，其方程為，
所以；即的取值范圍是；
故答案為．
【點睛】此類問題為“隱形圓問題”，常規(guī)的處理辦法是找出動點所在的軌跡（通常為圓），常見的“隱形圓”有：
（1）如果為定點，且動點滿足，則動點的軌跡為圓；
（2）如果ΔABC中，為定長，為定值，則動點的軌跡為一段圓弧．特別地，當(dāng)，則的軌跡為圓（除去）；
（3）如果為定點，且動點滿足(為正常數(shù))，則動點的軌跡為圓；
44．（2024高二上·全國·課后作業(yè)）已知點、、，且，則 .
【答案】
【分析】
利用平面內(nèi)兩點間的距離公式可得出關(guān)于的等式，解之即可.
【詳解】
已知點、、，且，
則，解得.
故答案為：.
45．（2024高二上·安徽六安·期中）已知兩直線和的交點為，則過兩點的直線方程為 .
【答案】
【分析】根據(jù)兩直線和的交點列方程，對比后求得直線的方程.
【詳解】依題意兩直線和的交點為，
所以在直線上，
所以過兩點所在直線方程為.
故答案為：
46．（2024高三上·上海青浦·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，若動點到兩直線和的距離之和為，則的最大值為 .
【答案】8
【分析】由已知可知兩直線，取在的右側(cè)時，分別過作兩直線的垂線，結(jié)合幾何性質(zhì)確定點軌跡，即可求得的最大值,其他位置同理可得．
【詳解】若動點到兩直線和的距離之和為，
交點為的斜率分別為，則，
在的右側(cè)時，過分別向引垂線，
垂足分別為，那么，
過作軸的平行線，與交點為如圖，
則，所以，
其它位置同理，那么點軌跡為正方形，
當(dāng)在時，取得最大值，即取得最大值8.
故答案為：8．
47．（2024·四川）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，到點A（1，2），B（1，5），C（3，6），D（7，﹣1）的距離之和最小的點的坐標(biāo)是．
【答案】（2，4）
【詳解】取四邊形ABCD對角線的交點，這個交點到四點的距離之和就是最小值．可證明如下：
假設(shè)在四邊形ABCD中任取一點P，在△APC中，有AP＋PC＞AC，在△BPD中，有PB＋PD＞BD，
而如果P在線段AC上，那么AP＋PC＝AC；同理，如果P在線段BD上，那么BP＋PD＝BD.
如果同時取等號，那么意味著距離之和最小，此時P就只能是AC與BD的交點．
易求得P(2,4)．
48．（2024高三·陜西·階段練習(xí)）若直線m被兩平行線與所截得的線段的長為，則m的傾斜角可以是①15°，②30°，③45°，④60°，⑤75°.其中正確答案的序號是 (寫出所有正確答案的序號)．
【答案】①⑤
【分析】先求兩平行線間的距離為，結(jié)合題意直線m被兩平行線所截得的線段的長為得到直線m與兩平行線的夾角為30°，再根據(jù)已知直線的傾斜角進(jìn)行求解．
【詳解】因為，所以直線，間的距離．
設(shè)直線m與直線，分別相交于點B，A，
則，
過點A作直線l垂直于直線，垂足為C，
則，
則在中，，
所以，
又直線的傾斜角為45°，
所以直線m的傾斜角為或．
故答案為：①⑤．
49．（2024高三·全國·專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將直線l沿x軸正方向平移3個單位長度，沿y軸正方向平移5個單位長度，得到直線l1.再將直線l1沿x軸正方向平移1個單位長度，沿y軸負(fù)方向平移2個單位長度，又與直線l重合.若直線l與直線l1關(guān)于點（2，3）對稱，則直線l的方程是 .
【答案】6x－8y＋1＝0
【解析】根據(jù)平移得到l1：y＝k（x－3）＋5＋b和直線：y＝kx＋3－4k＋b，解得k＝，再根據(jù)對稱解得b＝，計算得到答案.
【詳解】由題意知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋b，
則直線l1：y＝k（x－3）＋5＋b，平移后的直線方程為y＝k（x－3－1）＋b＋5－2
即y＝kx＋3－4k＋b，∴b＝3－4k＋b，解得k＝，
∴直線l的方程為y＝x＋b，直線l1為y＝x＋＋b
取直線l上的一點，則點P關(guān)于點（2，3）的對稱點為，
，解得b＝.
∴直線l的方程是，即6x－8y＋1＝0.
故答案為：6x－8y＋1＝0
【點睛】本題考查了直線的平移和對稱，意在考查學(xué)生對于直線知識的綜合應(yīng)用.
50．（2024高三·全國·專題練習(xí)）點，到直線l的距離分別為1和4，寫出一個滿足條件的直線l的方程： .
【答案】或或（填其中一個即可）
【分析】設(shè)，，以M為圓心，1為半徑作圓M，以N為圓心4為半徑作圓N，轉(zhuǎn)化為找公切線問題.
【詳解】設(shè)，，連接MN，則.
以M為圓心，1為半徑作圓M，以N為圓心4為半徑作圓N，則兩圓外切，
所以兩圓有3條公切線，即符合條件的直線l有3條.

當(dāng)公切線的斜率不存在時，顯然公切線的方程為.
當(dāng)公切線的斜率存在時，設(shè)公切線的方程為，則有，
由①②得，所以或.
由①及得，由①及得，
所以公切線方程為或.
綜上，直線l的方程為或或.
故答案為：或或
51．（2024高一·全國·課后作業(yè)）經(jīng)過直線3x+2y+6=0和2x+5y-7=0的交點，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程為 .
【答案】x+y+1=0或3x+4y=0
【詳解】由題意可設(shè)所求直線方程為，即
令，得
令，得
∵所求直線方程在兩坐標(biāo)軸上的截距相等
∴，即或
∴所求直線方程為或
故答案為或
52．（2024高二上·全國·課后作業(yè)）經(jīng)過點和兩直線；交點的直線方程為 .
【答案】
【分析】設(shè)所求直線方程為，將點代入方程，求得，即可求解.
【詳解】設(shè)所求直線方程為，
點在直線上，
，
解得，
所求直線方程為，即．
故答案為：.
53．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）已知實數(shù)，滿足，，，則的最小值是．
【答案】/
【分析】根據(jù)給定條件，求出各等式表示的幾何意義，及所求最值的表達(dá)式的幾何意義，再把問題轉(zhuǎn)化為求圓上的點到直線距離的最小值作答.
【詳解】依題意，方程、分別表示以原點為圓心，2、3為半徑的圓，
令，即點分別在、上，如圖，

顯然，，即有，
，取線段中點，連接，則，
因此點在以原點為圓心，為半徑的圓上，
而，
即表示點到直線的距離和的倍，
過分別作直線的垂線，垂足分別為，過作垂直于直線于點，
于是，，
，原點到直線的距離，
顯然，當(dāng)且僅當(dāng)點共線，且點在線段上時取等號，
所以.
故答案為：
【點睛】思路點睛：涉及與圓相離的圖形F上的點與圓上點的距離最值問題，轉(zhuǎn)化為圖形F上的點與圓心距離加或減圓半徑求解.
四、解答題
54．（2024高二上·廣東東莞·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知的三個頂點.
(1)求邊所在直線的方程;
(2)若的面積等于7，且點的坐標(biāo)滿足，求點的坐標(biāo).
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根據(jù)直線的兩點式求解直線方程即可；
（2）首先求出點到直線的距離及，再根據(jù)，得到，最后解方程組即可求出點的坐標(biāo).
【詳解】（1）因為B2,1、，
所以邊所在直線的方程為，整理得；
（2）點到直線的距離，
又，因為，
所以有，即，
又點的坐標(biāo)滿足，
因此有或，
解得或，
所以點的坐標(biāo)為或．
55．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知直線l經(jīng)過點，且平行于向量.
(1)求直線l的方程；
(2)若直線m與l平行且點P到直線m的距離為，求直線m的方程.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根據(jù)直線方向向量的性質(zhì)，結(jié)合直線的點斜式方程進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)兩平行線間方程的特征，結(jié)合兩平行直線的距離公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】（1）由題意知直線l的斜率為1，所求直線方程為，即.
（2）由直線m與直線l平行，可設(shè)直線m的方程為，
由點到直線的距離公式得，即，
解得或.
所以所求直線m的方程為或.
56．（2024高二上·天津河西·階段練習(xí)）已知直線，.
(1)若坐標(biāo)原點O到直線m的距離為，求a的值；
(2)當(dāng)時，直線l過m與n的交點，且它在兩坐標(biāo)軸上的截距相反，求直線l的方程.
【答案】(1)或
(2)或
【分析】（1）依據(jù)點到直線的距離公式建立方程求解即可.
（2）聯(lián)立求出直線交點，再分類討論直線是否過原點，求解即可.
【詳解】（1）設(shè)原點O到直線m的距離為，
則，解得或；
（2）由解得，即m與n的交點為.
當(dāng)直線l過原點時，此時直線斜率為，
所以直線l的方程為；
當(dāng)直線l不過原點時，設(shè)l的方程為，
將代入得，
所以直線l的方程為.
故滿足條件的直線l的方程為或.
57．（2024高二·全國·課后作業(yè)）已知點，點P在x軸上使最大，求點P的坐標(biāo)．
【答案】
【分析】首先求得點A關(guān)于x軸的對稱點，然后數(shù)形結(jié)合根據(jù)直線方程求解點P的坐標(biāo)即可.
【詳解】點關(guān)于x軸的對稱點為,如圖所示，若點不在直線上則,
連接并延長交x軸于點P，即為最大值．
直線的方程是，
即.
令，得．
則點P的坐標(biāo)是
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位置關(guān)系
l1，l2滿足的條件
l3，l4滿足的條件
平行
k1＝k2且b1≠b2
A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0
垂直
k1·k2＝－1
A1A2＋B1B2＝0
相交
k1≠k2
A1B2－A2B1≠0
（一）
判斷兩條直線位置關(guān)系的注意點
(1)斜率不存在的特殊情況．
(2)可直接利用直線方程系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論．
題型1：兩條直線的平行與垂直
1-1．（2024高三上·廣東東莞·階段練習(xí)）直線：與直線：平行，則（）
A．或B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)平行直線的斜率相等關(guān)系列出方程，求得的值，然后檢驗即可.
【詳解】因為直線：與直線：平行，
所以或，
當(dāng)時，直線：，直線：，
此時直線與直線平行，滿足題意，
當(dāng)時，直線：，直線：，
此時直線與直線平行，滿足題意，
故選：A.
1-2．（2024高二下·廣東深圳·階段練習(xí)）已知曲線在點處的切線與直線垂直，則點的坐標(biāo)為（）
A．B．
C．或D．
【答案】C
【分析】由題設(shè)知處的切線斜率為2，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)幾何意義列方程求點的橫坐標(biāo)則P點可求.
【詳解】由題直線的斜率為，故曲線在處的切線斜率為2，而，
所以，則，即，故點的坐標(biāo)為或.
故選：C.
1-3．（2024高二下·四川南充·階段練習(xí)）與直線平行且過點的直線方程是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】設(shè)所求直線方程為，代入點的坐標(biāo)求得C，即可得出答案.
【詳解】設(shè)所求直線方程為，
又過點，則可得，解得，
則所求直線方程為
故選：A
1-4．（2024高二·全國·專題練習(xí)）已知A(－1，2)，B(1，3)，C(0，－2)，點D使AD⊥BC，AB∥CD，則點D的坐標(biāo)為（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】設(shè)D(x，y)，根據(jù)兩直線平行和垂直時，其斜率間的關(guān)系得出方程組，解之可求得點D的坐標(biāo)得選項.
【詳解】解：設(shè)D(x，y)，∵AD⊥BC，∴·＝－1，∴x＋5y－9＝0，
∵AB∥CD，∴＝，∴x－2y－4＝0，由得，，
故選：D.
1-5．（2024高二上·浙江溫州·開學(xué)考試）設(shè)直線，，則是的（）
A．充要條件B．必要不充分條件
C．充分不必要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【分析】利用充分條件和必要條件的定義，結(jié)合直線垂直的性質(zhì)判斷即可.
【詳解】當(dāng)時，直線，，
此時，則，所以，故充分性成立；
當(dāng)時，，解得或，故必要性不成立；
所以“”是“”的充分不必要條件，
故選：C.
1-6．（2024高一·全國·課后作業(yè)）已知過點和點的直線為l1，. 若，則的值為（）
A．B．
C．0D．8
【答案】A
【分析】由平行、垂直直線的斜率關(guān)系得出的值.
【詳解】因為，所以，解得，又，所以，
解得.所以.
故選：A.
（二）
利用距離公式應(yīng)注意的點
(1)點P(x0，y0)到直線x＝a的距離d＝|x0－a|，到直線y＝b的距離d＝|y0－b|.
(2)兩條平行線間的距離公式要把兩條直線方程中x，y的系數(shù)化為相等．
題型2：兩直線的交點問題
2-1．（2024高二下·全國·課堂例題）直線與直線相交，則實數(shù)的值為（）
A．或B．或
C．或D．且
【答案】D
【分析】根據(jù)給定條件，利用兩條直線相交的充要條件，列式求解即得.
【詳解】由直線與直線相交，得，
即，解得且，
所以實數(shù)k的值為且.
故選：D
2-2．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知直線與直線互相垂直，交點坐標(biāo)為，則的值為（）
A．20B．C．0D．24
【答案】B
【分析】根據(jù)兩直線垂直可求出的值，將公共點的坐標(biāo)代入直線的方程，可得出的值，再將公共點的坐標(biāo)代入直線的方程，可得出的值，由此可得出的值.
【詳解】已知直線的斜率為，直線的斜率為．
又兩直線垂直，則，解得．
，即，
將交點代入直線的方程中，得．
將交點代入直線的方程中，得．
所以，．
故選：B．
2-3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）若三條直線不能圍成三角形，則實數(shù)的取值最多有（）
A．個B．個
C．個D．個
【答案】C
【分析】分析可知至少有兩條直線平行或三條直線相交于同一點，則三條直線不能構(gòu)成三角形.
【詳解】三條直線不能構(gòu)成三角形至少有兩條直線平行或三條直線相交于同一點.
若∥，則；若∥，則；
若∥，則的值不存在；
若三條直線相交于同一點，
直線和聯(lián)立：，直線和交點為;
直線和聯(lián)立：，直線和交點為;
三條直線相交于同一點兩點重合或.
故實數(shù)的取值最多有個.
故選:C
2-4．（2024高三·全國·專題練習(xí)）若直線與直線的交點位于第一象限，則直線l的傾斜角的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】法一：聯(lián)立直線方程求交點，根據(jù)所在象限求斜率范圍，進(jìn)而確定傾斜角范圍；法二：確定直線位于第一象限部分的端點，結(jié)合直線l與其交點在第一象限，數(shù)形結(jié)合確定傾斜角范圍.
【詳解】法一：聯(lián)立兩直線方程，得，解得，
所以兩直線的交點坐標(biāo)為.
因為兩直線的交點在第一象限，所以，解得，
設(shè)直線l的傾斜角為θ，則，又，所以.
法二：由題意，直線l過定點，
設(shè)直線與x軸、y軸的交點分別為.
如圖，當(dāng)直線l在陰影部分（不含邊界）運動時，兩直線的交點在第一象限，易知，

∴的傾斜角為，的傾斜角為.
∴直線l的傾斜角的取值范圍是.
故選：D
題型3：點到直線的距離問題
3-1．（2024高二上·江蘇淮安·期中）已知平面上點和直線，點P到直線l的距離為d，則 .
【答案】/4.5
【分析】根據(jù)直線的特征，直接列式計算作答.
【詳解】依題意，直線，而點，
所以.
故答案為：
3-2．（2024高二上·江西新余·開學(xué)考試）若點到直線的距離為3，則 .
【答案】
【分析】
根據(jù)題意，利用點到直線的距離公式，列出方程，即可求解.
【詳解】因為點到直線的距離為3，
可得，即，解得或，
又因為，所以.
故答案為：.
3-3．（2024高二上·全國·課后作業(yè)）過直線與直線的交點，且到點的距離為1的直線l的方程為．
【答案】或x=1
【分析】聯(lián)立直線方程求出，的交點坐標(biāo)，設(shè)直線方程，由點到直線距離公式建立方程得解，注意對斜率不存在討論.
【詳解】解析：由解得
所以l1，l2的交點為.
顯然，直線滿足條件；
當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線方程為，
即，
依題意有，解得.
所以所求直線方程為或．
故答案為：或．
3-4．（2024高二上·吉林長春·期中）已知點在直線上，則的最小值為（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】就是到原點距離，只需求出原點到直線的距離即可.
【詳解】就是到原點距離，
到原點距離的最小值為
則的最小值為2，
故選：B.
3-5．（2024高二上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）若點在直線上，O是原點，則OP的最小值為（）
A．B．2C．D．4
【答案】C
【分析】
根據(jù)題意，由點到直線的距離公式即可得到結(jié)果.
【詳解】由題意可知，OP的最小值即為原點到直線的距離，
則.
故選：C
題型4：平行線間距離問題
4-1．（2024高二上·新疆·期末）已知不過原點的直線與直線平行，且直線與的距離為，則直線的一般式方程為．
【答案】
【分析】假設(shè)方程，利用平行直線間距離公式可構(gòu)造方程求得結(jié)果.
【詳解】直線不過原點且與平行，可設(shè)直線，
與之間的距離，解得：或（舍），
直線的一般式方程為：.
故答案為：.
4-2．（2024高二上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）平行直線與之間的距離為．
【答案】/0.3
【分析】
根據(jù)平行線間的距離公式即可求得答案.
【詳解】由題意得即
則平行直線與之間的距離為，
故答案為：
4-3．（2024高二上·浙江溫州·開學(xué)考試）若兩條直線與平行，則與間的距離是 .
【答案】55/155
【分析】先利用兩直線平行的公式求出參數(shù)，再用兩平行線間距離公式求距離即可.
【詳解】兩條直線與平行,
解得，
經(jīng)檢驗時，,兩直線不重合；
所以，
則與間的距離,
故答案為：.
題型5：有關(guān)距離的最值問題
5-1．（2024高二上·福建·期中）著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬事休．”事實上，有很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，如：可以轉(zhuǎn)化為點到點的距離，則的最小值為（）．
A．3B．C．D．
【答案】D
【分析】把目標(biāo)式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，看作動點到兩個定點距離和的最值，利用對稱性可得答案.
【詳解】,
可以看作點到點的距離之和，
作點關(guān)于軸的對稱點，顯然當(dāng)三點共線時，取到最小值，
最小值為間的距離.
故選：D.
5-2．（2024高二·全國·課堂例題）已知直線過定點M，點在直線上，則的最小值是（）
A．5B．C．D．
【答案】B
【分析】先求定點，再根據(jù)點到直線距離求解點到直線上動點距離最小值即可.
【詳解】由得，所以直線l過定點，
依題意可知的最小值就是點M到直線的距離，
由點到直線的距離公式可得．
故選:B.
5-3．（2024高一·全國·課后作業(yè)）在直線上求一點P，使得：
(1)P到和的距離之差最大；
(2)P到和的距離之和最小.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）作點B關(guān)于直線的對稱點，連接,則直線和直線l的交點即為P，求得坐標(biāo)，進(jìn)而求得直線方程，聯(lián)立直線，求得答案；
（2）作點C關(guān)于直線的對稱點，連接,則直線和直線l的交點即為P，求得坐標(biāo)，進(jìn)而求得直線方程，聯(lián)立直線，求得答案；
【詳解】（1）畫出直線和點和，如圖：在兩側(cè)，

作B關(guān)于直線的對稱點，連接,
則直線和直線l的交點即為P，
設(shè)D為l上異于P的一點，則 ,
故,
故最大，即此時P到和的距離之差最大，
設(shè)，則，解得，
故直線方程為，聯(lián)立，解得，
即；
（2）如圖：在同側(cè)，

作C關(guān)于直線的對稱點，連接,
則直線和直線l的交點即為P，
設(shè)E為l上異于P的一點，則 ,
故,
故最小，即此時P到和的距離之和最小.，
設(shè)，則，解得，
故直線方程為，聯(lián)立，解得，
即即；
5-4．（2024高三下·江西·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，點為直線上一動點，則的最小值是（）
A．B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】求點關(guān)于直線的對稱點的坐標(biāo)，由此可得，結(jié)合結(jié)論兩點之間線段最短可求的最小值.
【詳解】設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，
則，解得，
所以，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)點為線段與直線的交點時等號成立，
所以的最小值是4，
故選：B.
5-5．（2024高二下·上海浦東新·階段練習(xí)）已知點分別在直線與直線上，且，點，，則的最小值為 .
【答案】
【分析】作出圖象，易知，則然后易求得當(dāng)時，此時可過作直線與垂直，易知得的方程，然后在上，直線，之間找點，使得到的距離等于點到的距離，此時最小距離和即為，由此求解．
【詳解】易知，作出圖象如下，過點作直線，則，
直線，過作直線，與直線交于點，易知四邊形為平行四邊形，
故，且到直線的距離等于到的距離，
設(shè)，則，解得或（舍，所以，
而，且（定值），
故只需求出的最小值即可，顯然，
故的最小值為．
故答案為：．
5-6．（2024高三下·河南·階段練習(xí)）已知函數(shù)的圖象恒過定點A，圓上的兩點，滿足，則的最小值為( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
設(shè)直線l為.取圓O的弦PQ的中點為E，求出其軌跡方程，求出E到直線l距離的最小值.過P、E、Q分別作直線l的垂線，垂足分別為M、R、N，將轉(zhuǎn)化為，即可求其最小值．
【詳解】由題可知A為(0，1)，且P、A、Q三點共線，
設(shè)弦PQ的中點為E(x，y)，連接OE，則OE⊥PQ，即OE⊥AE，
∴，由此可得E的軌跡方程為x2+y?122=14，
即E的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，
設(shè)直線l為，
則E到l的最小距離為．
過P、E、Q分別作直線l的垂線，垂足分別為M、R、N，
則四邊形MNQP是直角梯形，且R是MN的中點，則ER是直角梯形的中位線，
∴，
即，
即．
故選：C．
【點睛】
本題需充分利用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行簡答，問題的關(guān)鍵是求出PQ的中點的軌跡，將要求最小值的式子與點到直線的距離公式聯(lián)系在一起，數(shù)形結(jié)合求解最值.
5-7．（2024高三下·上海寶山·開學(xué)考試）如圖，平面上兩點，在直線上取兩點使，且使的值取最小，則的坐標(biāo)為．
【答案】
【分析】求出關(guān)于直線的對稱點，過作平行于的直線為，將的值轉(zhuǎn)化為的最小值，利用數(shù)形結(jié)合以及根據(jù)兩點間的距離公式，求解出的坐標(biāo).
【詳解】關(guān)于直線的對稱點為，則有.過作平行于的直線為，由得，即此時直線為.過作，則，則.由于是常數(shù)，要使的值取最小，則的值取最小，即三點共線時最小.設(shè)，由得，即，解得（舍去.），即.設(shè)，則，解得，即，設(shè)，.由得，得，解得或（舍去），故.
故答案為：.
【點睛】本小題主要考查兩點間距離公式的應(yīng)用，考查對稱性，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.
（三）
對稱問題的求解策略
(1)解決對稱問題的思路是利用待定系數(shù)法將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系求解．
(2)中心對稱問題可以利用中點坐標(biāo)公式解題，兩點軸對稱問題可以利用垂直和中點兩個條件列方程組解題．
求直線l關(guān)于直線對稱的直線
若直線，則，且對稱軸與直線l及之間的距離相等．
此時分別為，由，求得，從而得．
若直線l與不平行，則．在直線l上取異于Q的一點，然后求得關(guān)于直線對稱的點，再由兩點確定直線（其中）．
題型6：點線對稱
6-1．（2024高二上·全國·課后作業(yè)）若直線和直線關(guān)于直線對稱，則直線恒過定點（）
A．B． C．D．
【答案】C
【分析】先求出直線過定點，再根據(jù)對稱性求得直線所過定點.
【詳解】因為直線過定點，
點關(guān)于直線對稱的點為，
故直線恒過定點.
故選：C
6-2．（2024高二下·江西·開學(xué)考試）如圖，一束光線從出發(fā)，經(jīng)過坐標(biāo)軸反射兩次經(jīng)過點，則總路徑長即總長為（）
A．B．6C．D．
【答案】C
【分析】求點關(guān)于軸的對稱點和點關(guān)于軸的對稱點的坐標(biāo)，由反射性質(zhì)知總路徑長為，用兩點距離公式求其長度即可.
【詳解】設(shè)點關(guān)于軸的對稱點為點，點關(guān)于軸的對稱點為點，
由光線反射知識可得三點共線，三點共線，
故四點共線，
因為點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，
所以點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，
由對稱的性質(zhì)可得，
所以，
又，
所以.
故選：C.
6-3．（2024高二上·四川遂寧·期末）已知點A與點關(guān)于直線對稱，則點A的坐標(biāo)為（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
因點A與點B關(guān)于直線對稱，則AB中點在直線上且直線AB與直線垂直.
【詳解】設(shè)，因點A與點B關(guān)于直線對稱，則AB中點在直線上且直線AB與直線垂直，
則，
即點A坐標(biāo)為.
故選：C
題型7：線點對稱
7-1．（2024高二·全國·單元測試）直線關(guān)于點的對稱直線方程是．
【答案】
【分析】由直線關(guān)于點對稱的直線與已知直線平行，設(shè)出所求直線方程，再根據(jù)點到兩條直線的距離相等可解出答案.
【詳解】設(shè)對稱直線為，
則有，即
解這個方程得（舍）或.
所以對稱直線的方程中.
故答案為：.
7-2．（2024高三上·遼寧營口·期末）若直線：與直線關(guān)于點對稱，則當(dāng)經(jīng)過點時，點到直線的距離為 .
【答案】
【分析】先找到直線上的定點，然后求出定點關(guān)于點的對稱點，再利用直線經(jīng)過兩點，求出直線方程，再利用點到直線的距離公式即可得到答案．
【詳解】因為直線恒過定點，
所以關(guān)于點對稱，
所以關(guān)于點的對稱點為，
此時和都在直線上，
由直線方程的兩點式可得，即，
所以點到直線的距離為．
故答案為：．
【點睛】方法點睛：求直線方程常用的方法：先定式（一般式、點斜式、截距式、兩點式、斜截式），后定量（求待定系數(shù)）.
7-3．（2024高二上·江蘇蘇州·周測）直線恒過定點，則直線關(guān)于點對稱的直線方程為．
【答案】
【分析】根據(jù)直線過定點的求法可求得點坐標(biāo)，根據(jù)關(guān)于對稱的兩條直線平行，且到點距離相等可構(gòu)造方程求得結(jié)果.
【詳解】由得：，當(dāng)時，，；
設(shè)直線關(guān)于點對稱的直線方程為，
，解得：或（舍），
直線關(guān)于點對稱的直線方程為.
故答案為：.
7-4．（2024高二上·全國·課后作業(yè)）直線關(guān)于點對稱的直線的方程為．
【答案】
【分析】
根據(jù)直線關(guān)于點對稱，設(shè)上的點坐標(biāo)，寫出關(guān)于對稱的點坐標(biāo)，根據(jù)點在已知直線上求直線方程.
【詳解】設(shè)為上任意一點，則關(guān)于點的對稱點為，
因為在直線l上，所以，即直線的方程為．
故答案為：
題型8：線線對稱
8-1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知直線，直線，若直線關(guān)于直線l的對稱直線為，則直線的方程為．
【答案】.
【分析】由于兩條直線平行，所以可設(shè)，利用對稱的性質(zhì)，可求得，進(jìn)而求得直線方程為.
【詳解】由題意知，設(shè)直線，在直線上取點，
設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，
則，解得，即，
將代入的方程得，
所以直線的方程為.
故答案為：
8-2．（2024高二上·湖北黃石·階段練習(xí)）若兩條平行直線：與：之間的距離是，則直線關(guān)于直線對稱的直線方程為（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用兩條直線平行的性質(zhì)求出n,再利用兩條平行直線間的距離求出m，再由平行線間距離即可求解.
【詳解】因為直線：與：，
所以，
又兩條平行直線：與：之間的距離是，
所以解得
即直線：，：，
設(shè)直線關(guān)于直線對稱的直線方程為，
則，解得，
故所求直線方程為，
故選：A
8-3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）直線關(guān)于直線對稱的直線方程是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】在直線上任取一點，設(shè)其關(guān)于直線的對稱點為，然后根據(jù)對稱關(guān)系列方程可表示出，再代入中化簡可得答案
【詳解】在直線上任取一點，設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，
則，解得，即，
因為點在直線上，
所以，即，
所以所求直線方程為，
故選：A.
（四）
題型9：直線系方程
9-1．（2024高二·全國·課后作業(yè)）設(shè)直線經(jīng)過和的交點，且與兩坐標(biāo)軸圍成等腰直角三角形，則直線的方程為 .
【答案】或
【分析】由題可求交點，結(jié)合條件即可求出；或設(shè)直線系方程，結(jié)合已知即求.
【詳解】方法一：由，得，
所以兩條直線的交點坐標(biāo)為（14，10）,
由題意可得直線的斜率為1或-1，
所以直線的方程為或，
即或.
方法二：設(shè)直線的方程為，整理得，
由題意，得，解得或，
所以直線的方程為或.
故答案為：或.
9-2．（2024高二·全國·課堂例題）若直線l經(jīng)過兩直線和的交點，且斜率為，則直線l的方程為．
【答案】
【分析】先設(shè)經(jīng)過交點的直線系，應(yīng)用斜率求出參數(shù)即可得直線方程.
【詳解】設(shè)直線l的方程為（其中為常數(shù)），即 ①．
又直線l的斜率為，則，解得．
將代入①式并整理，得，此即所求直線l的方程．
故答案為：.
9-3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）經(jīng)過直線3x－2y＋1＝0和直線x＋3y＋4＝0的交點，且平行于直線x－y＋4＝0的直線方程為．
【答案】x－y＝0.
【解析】設(shè)直線方程為3x－2y＋1＋λ(x＋3y＋4)＝0，再求出的值即得解.
【詳解】過兩直線交點的直線方程可設(shè)為3x－2y＋1＋λ(x＋3y＋4)＝0，
即(3＋λ)x＋(3λ－2)y＋4λ＋1＝0，
因為它與直線x－y＋4＝0平行，
所以3＋λ＋3λ－2＝0，
即λ＝－，
故所求直線為x－y＝0.
故答案為：x－y＝0.
【點睛】本題主要考查平行直線的斜率關(guān)系，考查直線方程的求法，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.

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