1、對數(shù)式的運(yùn)算
（1）對數(shù)的定義：一般地，如果且，那么數(shù)叫做以為底的對數(shù)，記作，讀作以為底的對數(shù)，其中叫做對數(shù)的底數(shù)，叫做真數(shù)．
（2）常見對數(shù)：
①一般對數(shù)：以且為底，記為，讀作以為底的對數(shù)；
②常用對數(shù)：以為底，記為；
③自然對數(shù)：以為底，記為；
（3） 對數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)算法則：
①；；其中且；
②（其中且，）；
③對數(shù)換底公式：；
④；
⑤；
⑥，；
⑦和；
⑧；
2、對數(shù)函數(shù)的定義及圖像
（1）對數(shù)函數(shù)的定義：函數(shù) 且叫做對數(shù)函數(shù)．
對數(shù)函數(shù)的圖象
一、單選題
1．（2024高一上·內(nèi)蒙古包頭·期中）函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·北京·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則不等式的解集為（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024高三·北京·學(xué)業(yè)考試）將函數(shù)的圖象向上平移1個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，則（ ）
A．B．
C．D．
4．（2024高三·河南·階段練習(xí)）已知，分別是方程和的根，若，實(shí)數(shù)a，，則的最小值為（ ）
A．1B．C．D．2
5．（2024高三·全國·專題練習(xí)）若滿足，滿足，則等于（ ）
A．2B．3C．4D．5
6．（2024·陜西·模擬預(yù)測）已知 是方程的根， 是方程的根，則的值為（ ）
A．2B．3C．6D．10
7．（2024·天津）化簡的值為（ ）
A．1B．2C．4D．6
8．（2024·浙江）已知，則（ ）
A．25B．5C．D．
9．（2024高三上·廣西南寧·階段練習(xí)）若，則（ ）
A．B．C．1D．
10．（2005·江西）函數(shù)的定義域?yàn)椋? ）
A．B．C．D．
11．（2024·海南?？凇ざ＃┮阎瘮?shù)是上的單調(diào)函數(shù)，且，則在上的值域?yàn)椋? ）
A．B．C．D．
12．（2024高三上·山東泰安·階段練習(xí)）函數(shù)的定義域是（ ）
A．B．C．D．
13．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)且，若函數(shù)的值域是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
14．（2024高二下·云南保山·期末）函數(shù)的圖象可能是（ ）．
A． B．
C． D．
15．（2024·海南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，，的圖象如圖所示，則（ ）
A．B．
C．D．
16．（2024高三上·江蘇無錫·期末）函數(shù)的部分圖象大致為（ ）．
A．B．
C．D．
17．（2024高二下·北京東城·期末）若函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則（ ）
A．3B．1C．-1D．-3
18．（2024高三上·福建寧德·階段練習(xí)）已知函數(shù)且的圖象恒過定點(diǎn)，點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，則（ ）
A．B．2C．1D．
19．（2007·天津）設(shè)均為正數(shù)，且，，．則（ ）
A．B．C．D．
20．（2024·湖南）函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是
A．1B．2C．3D．4
21．（2024·北京）下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（ ）
A．B．
C．D．
22．（2024高二下·吉林長春·期末）函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為（ ）
A．B．C．D．
23．（2024高一上·黑龍江大慶·期末）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恒有，則的單調(diào)遞增區(qū)間是
A．B．
C．D．
24．（2024·全國）若，則（ ）
A．B．C．D．
25．（2024·全國）已知，則（ ）
A．B．C．D．
26．（2024·全國）已知，，，則下列判斷正確的是（ ）
A．B．C．D．
27．（2024高一上·北京海淀·期末）已知，則不等式的解集為（ ）
A．B．
C．D．
28．（2024高三上·北京豐臺(tái)·期末）已知函數(shù)，則不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
29．（2024·海南）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
30．（2024高三上·云南保山·階段練習(xí)）已知是上的單調(diào)遞減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
31．（2007·山西）設(shè)函數(shù)在區(qū)間，上的最大值與最小值之差為，則_____
A． B．2C． D．4
32．（2008·全國）若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則（ ）
A．B．C．D．
33．（2024·河南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于直線對稱，且滿足，則（ ）
A．4B．2C．1D．
34．（2004·上海）若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則（ ）
A．B．C．D．
35．（2024·陜西）設(shè)函數(shù)的反函數(shù)為，則函數(shù)的圖像是（ ）
A．B．
C．D．
36．（2024高二下·陜西西安·階段練習(xí)）已知函數(shù)，則（ ）
A．3B．2C．D．
37．（2024高一下·全國·單元測試）設(shè)函數(shù)，若，則的值為（ ）
A．B．1C．或1D．或1或
38．（2024高二上·山東濟(jì)南·開學(xué)考試）若函數(shù)的值域?yàn)?，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
39．（2024高一下·湖南·期末）已知函數(shù)（且，，為常數(shù)）的圖象如圖，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
二、多選題
40．（2024高三下·江蘇南京·開學(xué)考試）當(dāng)時(shí)，，則的值可以為（ ）
A．B．C．D．
41．（2024·湖北·模擬預(yù)測）已知，，，，則以下結(jié)論正確的是（ ）
A．B．
C．D．
42．（2024·廣東惠州·一模）若，則（ ）
A．B．
C．D．
43．（2024高一上·江蘇南京·期末）若函數(shù)，且，則實(shí)數(shù)的值可能為（ ）
A．B．0C．2D．3
44．（2024高一下·貴州畢節(jié)·期末）已知函數(shù)，若，且，則（ ）
A．B．C．D．
45．（2024高二下·福建三明·期末）若函數(shù)為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則（ ）
A．B．周期為4
C．為偶函數(shù)D．當(dāng)時(shí)，
三、填空題
46．（2024·四川成都·模擬預(yù)測） ．
47．（2024·河南·二模）已知，，則 ．
48．（2024·上海徐匯·模擬預(yù)測）方程的解集為 ．
49．（2024·山東淄博·二模）設(shè)，滿足，則 .
50．（2024·天津南開·二模）計(jì)算的值為 .
51．（2024高三·全國·專題練習(xí)）若，，用a，b表示
52．（2024高一上·江西景德鎮(zhèn)·期末）解關(guān)于x的不等式解集為 ．
53．（2024高三下·上海浦東新·階段練習(xí)）方程的解為 ．
54．（2024·北京海淀·模擬預(yù)測）不等式的解集為 ．
55．（2024·新疆阿勒泰·三模）正數(shù)滿足，則a與大小關(guān)系為 ．
56．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)在上的最大值是2，則a等于
57．（2024高一上·山東臨沂·期末）若函數(shù)（且）在上的最大值為2，最小值為m，函數(shù)在上是增函數(shù)，則的值是 ．
58．（2024高一上·河南南陽·期中）若函數(shù)有最小值，則的取值范圍是 ．
59．（2024·河南·模擬預(yù)測）寫出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù): .
① ;②當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減; ③為偶函數(shù).
60．（2024高三上·江蘇泰州·期中）已知函數(shù)同時(shí)滿足（1）；（2），其中，則符合條件的一個(gè)函數(shù)解析式＝ ．
61．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，若且，則的取值范圍為 .
62．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù),若，則 ，函數(shù)的值域?yàn)? ．
63．（2024高一下·上海寶山·階段練習(xí)）若函數(shù)f(x)＝lg（x2﹣mx+1）的定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 ．
64．（2024高一上·山西運(yùn)城·階段練習(xí)）若函數(shù)的值域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是
四、解答題
65．（2024高三上·陜西安康·期末）已知函數(shù).
(1)若，求a的值；
(2)若對任意的，恒成立，求的取值范圍.
66．（2024·上海寶山·模擬預(yù)測）已知，.
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域；
（2）對任意，其中常數(shù)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
67．（2024·全國）解不等式：．
68．（2024·北京）解不等式：．
69．（2024高三·全國·對口高考）（1）函數(shù)是定義域在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，求函數(shù)的解析式；
（2）函數(shù)對一切均有，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的解析式．
70．（2024高三上·湖北·階段練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且它的圖像關(guān)于直線對稱.
(1)求證：是周期為4的周期函數(shù)；
(2)若，求時(shí)，函數(shù)的解析式
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圖象

性質(zhì)
定義域：
值域：
過定點(diǎn)，即時(shí)，
在上增函數(shù)
在上是減函數(shù)
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，
（一）
對數(shù)運(yùn)算及對數(shù)方程、對數(shù)不等式
對數(shù)的有關(guān)運(yùn)算問題要注意公式的順用、逆用、變形用等.對數(shù)方程或?qū)?shù)不等式問題是要將其化為同底，利用對數(shù)單調(diào)性去掉對數(shù)符號(hào)，轉(zhuǎn)化為不含對數(shù)的問題，但這里必須注意對數(shù)的真數(shù)為正.
題型1：對數(shù)運(yùn)算及對數(shù)方程、對數(shù)不等式
1-1．（2024·北京）已知函數(shù)，則 ．
1-2．（2024高三上·湖北·階段練習(xí)）使成立的的取值范圍是
1-3．（2024·全國）已知函數(shù)，若，則 ．
1-4．（2024高三上·江蘇南京·期中）設(shè)函數(shù)，則 .
1-5．（2024高三下·上?！るA段練習(xí)）若，且，則 ．
1-6．（2024高三·全國·專題練習(xí)）= ；
（二）
對數(shù)函數(shù)的圖像
研究和討論題中所涉及的函數(shù)圖像是解決有關(guān)函數(shù)問題最重要的思路和方法.圖像問題是數(shù)和形結(jié)合的護(hù)體解釋.它為研究函數(shù)問題提供了思維方向.
題型2：對數(shù)函數(shù)的圖像
2-1．（2024·山東菏澤·三模）已知函數(shù)且過定點(diǎn)，且定點(diǎn)在直線上，則的最小值為 ．
2-2．（2024高二上·四川綿陽·單元測試）函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)，若點(diǎn)在直線上，其中、，則的最小值為 .
2-3．（2024高二上·河北衡水·階段練習(xí)）已知函數(shù)，，對任意的，，有恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
2-4．（2024高三·四川·對口高考）已知函數(shù)（a，b為常數(shù)，其中且）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
2-5．（2024·陜西）函數(shù)的圖像大致為（ ）
A．B．
C．D．
（三）
對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)（單調(diào)性、最值（值域））
研究和討論題中所涉及的函數(shù)性質(zhì)是解決有關(guān)函數(shù)問題最重要的思路和方法.性質(zhì)問題是數(shù)和形結(jié)合的護(hù)體解釋.它為研究函數(shù)問題提供了思維方向.
題型3：對數(shù)函數(shù)的定義域、值域問題
3-1．（2024高二下·福建莆田·期中）函數(shù)，則定義域是 ．
3-2．（2024·北京）函數(shù)的值域?yàn)? .
3-3．（2024高三·全國·對口高考）若函數(shù)的定義域?yàn)?，則a的取值范圍為 ；若函數(shù)的值域?yàn)椋瑒ta的取值范圍為 .
3-4．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)的值域?yàn)?，則的取值范圍是 ．
題型4：對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和最值
4-1．（2024高三·重慶渝中·階段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（ ）
A．B．C．D．
4-2．（2024高三下·寧夏銀川·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若在上為減函數(shù)，則a的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
4-3．（2024高一下·陜西寶雞·期末）已知函數(shù)的最小值為0，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
4-4．（2024高一下·湖北·階段練習(xí)）若函數(shù)在上單調(diào)，則a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
4-5．（2024·云南·模擬預(yù)測）已知，設(shè)，則函數(shù)的最大值為 .
4-6．（2024·海南海口·模擬預(yù)測）已知正實(shí)數(shù)，滿足：，則的最小值為 .
4-7．（2024·天津）已知，，，則（ ）
A．B．C．D．
題型5：對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合
5-1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)滿足：，則；當(dāng)時(shí)，，則 ．
5-2．（2024高一上·江蘇徐州·期末）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則的解集是 .
5-3．（2024·陜西寶雞·二模）已知函數(shù)，則（ ）
A．在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增B．在單調(diào)遞減
C．的圖像關(guān)于直線對稱D．有最小值，但無最大值
5-4．（2024·全國）設(shè)函數(shù)，則f(x)（ ）
A．是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增B．是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減
C．是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增D．是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減
（四）
對數(shù)函數(shù)中的恒成立問題
1.不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：
一般地，已知函數(shù)，
（1）若，，總有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，則的值域是值域的子集 ．
2.（1）利用數(shù)形結(jié)合思想，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的圖像求解；
（2）分離自變量與參變量，利用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.
（3）涉及不等式恒成立問題，將給定不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化，借助同構(gòu)思想構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探求函數(shù)單調(diào)性、最值是解決問題的關(guān)鍵.
題型6：對數(shù)函數(shù)中的恒成立問題
6-1．（2024高二下·黑龍江大慶·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若對，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 .
6-2．（2024·江西宜春·模擬預(yù)測）若，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 .
6-3．（2024高三下·浙江·階段練習(xí)）已知函數(shù)，，若存在，任意，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
6-4．（2024高一上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）若不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
專題07 對數(shù)與對數(shù)函數(shù)6題型分類
1、對數(shù)式的運(yùn)算
（1）對數(shù)的定義：一般地，如果且，那么數(shù)叫做以為底的對數(shù)，記作，讀作以為底的對數(shù)，其中叫做對數(shù)的底數(shù)，叫做真數(shù)．
（2）常見對數(shù)：
①一般對數(shù)：以且為底，記為，讀作以為底的對數(shù)；
②常用對數(shù)：以為底，記為；
③自然對數(shù)：以為底，記為；
（3） 對數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)算法則：
①；；其中且；
②（其中且，）；
③對數(shù)換底公式：；
④；
⑤；
⑥，；
⑦和；
⑧；
2、對數(shù)函數(shù)的定義及圖像
（1）對數(shù)函數(shù)的定義：函數(shù) 且叫做對數(shù)函數(shù)．
對數(shù)函數(shù)的圖象
一、單選題
1．（2024高一上·內(nèi)蒙古包頭·期中）函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)確定定點(diǎn)即可.
【詳解】當(dāng)時(shí)，即函數(shù)圖象恒過.
故選：A
2．（2024·北京·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則不等式的解集為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】將已知不等式化為，在同一坐標(biāo)系下作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，可得不等式的解集．
【詳解】由題意，不等式，即，
等價(jià)于在上的解，
令，，則不等式為，
在同一坐標(biāo)系下作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，如圖所示，
可得不等式的解集為，
故選：B
3．（2024高三·北京·學(xué)業(yè)考試）將函數(shù)的圖象向上平移1個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)函數(shù)平移變換進(jìn)行求解即可.
【詳解】將函數(shù)的圖象向上平移1個(gè)單位長度，得到函數(shù).
故選：B.
4．（2024高三·河南·階段練習(xí)）已知，分別是方程和的根，若，實(shí)數(shù)a，，則的最小值為（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】D
【分析】根據(jù)對稱性求得，結(jié)合換元法以及基本不等式求得正確答案.
【詳解】；.
函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，
由解得，設(shè)，
則，即，
，
令，則，
則
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.
故選：D
5．（2024高三·全國·專題練習(xí)）若滿足，滿足，則等于（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【分析】將所給式化簡可得，，進(jìn)而和是直線和曲線、曲線交點(diǎn)的橫坐標(biāo).再根據(jù)反函數(shù)的性質(zhì)求解即可
【詳解】由題意，故有
故和是直線和曲線、曲線交點(diǎn)的橫坐標(biāo).
根據(jù)函數(shù)和函數(shù)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線對稱，
故曲線和曲線的圖象交點(diǎn)關(guān)于直線對稱.
即點(diǎn)（x1，5﹣x1）和點(diǎn)（x2，5﹣x2）構(gòu)成的線段的中點(diǎn)在直線y=x上，
即，求得x1+x2=5，
故選：D.
6．（2024·陜西·模擬預(yù)測）已知 是方程的根， 是方程的根，則的值為（ ）
A．2B．3C．6D．10
【答案】A
【分析】先把方程與方程變形成方程，和方程，借助圖象交點(diǎn)求和的關(guān)系，即可求出．
【詳解】方程可變形為方程，方程可變形為方程，
是方程的根，是方程的根，
是函數(shù)與函數(shù)的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，是函數(shù)與函數(shù)的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，
函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，
函數(shù)與函數(shù)的交點(diǎn)橫坐標(biāo)等于函數(shù)與函數(shù)的交點(diǎn)縱坐標(biāo),即在數(shù)圖象上，
又圖象上點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)之積為2， ，
故選：．
7．（2024·天津）化簡的值為（ ）
A．1B．2C．4D．6
【答案】B
【分析】根據(jù)對數(shù)的性質(zhì)可求代數(shù)式的值.
【詳解】原式
，
故選：B
8．（2024·浙江）已知，則（ ）
A．25B．5C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)指數(shù)式與對數(shù)式的互化，冪的運(yùn)算性質(zhì)以及對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可解出．
【詳解】因?yàn)?，，即，所以?br>故選：C.
9．（2024高三上·廣西南寧·階段練習(xí)）若，則（ ）
A．B．C．1D．
【答案】C
【分析】由已知表示出，再由換底公式可求.
【詳解】，，
.
故選：C.
10．（2005·江西）函數(shù)的定義域?yàn)椋? ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先，考查對數(shù)的定義域問題，也就是的真數(shù)一定要大于零，其次，分母不能是零．
【詳解】解：由，得，
又因?yàn)?，即，?br>故，的取值范圍是，且．
定義域就是
故選：B．
11．（2024·海南?？凇ざ＃┮阎瘮?shù)是上的單調(diào)函數(shù)，且，則在上的值域?yàn)椋? ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，建立方程，可得答案.
【詳解】因?yàn)槭巧系膯握{(diào)函數(shù)，所以存在唯一的，使得，
則．
因?yàn)闉樯系脑龊瘮?shù)，且，所以，
所以．因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，得．
故選：D.
12．（2024高三上·山東泰安·階段練習(xí)）函數(shù)的定義域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)分式與對數(shù)函數(shù)的定義域求解即可
【詳解】由題意，，解得
故選：C
13．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)且，若函數(shù)的值域是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】首先求出在上的取值范圍，依題意需當(dāng)時(shí)，，分、兩種情況討論，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減，所以，即；
若函數(shù)的值域是，則需當(dāng)時(shí)，．
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，
此時(shí)，不合題意；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，
此時(shí)，即，則，
所以，顯然，解得，又，所以．
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是．
故選：B
14．（2024高二下·云南保山·期末）函數(shù)的圖象可能是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用排除法，結(jié)合函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)值的符號(hào)分析判斷.
【詳解】因?yàn)槎x域?yàn)椋?br>且，
所以為奇函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故B，D都不正確；
對于C，時(shí)，，，
所以，所以，故C不正確；
對于選項(xiàng)A，符合函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，也符合時(shí)，，故A正確．
故選：A.
15．（2024·海南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，，的圖象如圖所示，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由函數(shù)圖象可確定大小關(guān)系，結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可得結(jié)果.
【詳解】由圖象可知：，.
故選：C.
16．（2024高三上·江蘇無錫·期末）函數(shù)的部分圖象大致為（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先求出定義域，由得到為偶函數(shù)，結(jié)合函數(shù)在上函數(shù)值的正負(fù)，排除BC，結(jié)合函數(shù)圖象的走勢，排除D，得到正確答案.
【詳解】變形為，定義域?yàn)椋?br>，故為偶函數(shù)，關(guān)于y軸對稱．
當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，排除BC，
又時(shí)，，故排除D，A正確.
故選：A．
17．（2024高二下·北京東城·期末）若函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則（ ）
A．3B．1C．-1D．-3
【答案】A
【分析】因?yàn)楹瘮?shù)圖象過一點(diǎn)，代入該點(diǎn)的坐標(biāo)解方程即得解.
【詳解】解：由已知得，所以，解得：，
故選：A．
18．（2024高三上·福建寧德·階段練習(xí)）已知函數(shù)且的圖象恒過定點(diǎn)，點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，則（ ）
A．B．2C．1D．
【答案】B
【分析】令便可得到函數(shù)圖象恒過點(diǎn)，將點(diǎn)代入冪函數(shù)中，解得的解析式，然后計(jì)算的值.
【詳解】函數(shù)中，令，解得，此時(shí)，
所以函數(shù)y的圖象恒過定點(diǎn)，又點(diǎn)P在冪函數(shù)的圖象上，
所以，解得，所以，
.
故選：B.
19．（2007·天津）設(shè)均為正數(shù)，且，，．則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】試題分析：在同一坐標(biāo)系中分別畫出，， 的圖象，
與 的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為， 與的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 ，與 的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，從圖象可以看出．
考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)圖象和性質(zhì)的應(yīng)用．
【方法點(diǎn)睛】一般一個(gè)方程中含有兩個(gè)以上的函數(shù)類型，就要考慮用數(shù)形結(jié)合求解，在同一坐標(biāo)系中畫出兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)，函數(shù)圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的解．
【詳解】
20．（2024·湖南）函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【詳解】試題分析：解：在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象和函數(shù)g（x）=lg2x的圖象，如下圖所示：
由函數(shù)圖象得，兩個(gè)函數(shù)圖象共有3個(gè)交點(diǎn)，故選C.
考點(diǎn)：1.函數(shù)的圖象與圖象變化；2.零點(diǎn)個(gè)數(shù)．
21．（2024·北京）下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷ABC，舉反例排除D即可.
【詳解】對于A，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以在上單調(diào)遞減，故A錯(cuò)誤；
對于B，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以在上單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤；
對于C，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，
所以在上單調(diào)遞增，故C正確；
對于D，因?yàn)?，?br>顯然在上不單調(diào)，D錯(cuò)誤.
故選：C.
22．（2024高二下·吉林長春·期末）函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先由解析式求出函數(shù)定義域，再由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，即可得出結(jié)果.
【詳解】由題意，，解得：或，
即函數(shù)的定義域?yàn)椋海?br>因?yàn)楹瘮?shù)由與復(fù)合而成，
外函數(shù)顯然單調(diào)遞減，
要求的單調(diào)減區(qū)間，只需單調(diào)遞增，
又是開口向上，對稱軸為的二次函數(shù)，
所以在上單調(diào)遞增，
即函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為.
故選：B.
【點(diǎn)睛】本題主要考查求對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，熟記復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判定方法即可，涉及一元二次不等式解法，屬于基礎(chǔ)題型.
23．（2024高一上·黑龍江大慶·期末）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恒有，則的單調(diào)遞增區(qū)間是
A．B．
C．D．
【答案】C
【詳解】試題分析：由題意得，因?yàn)?，，函?shù)在區(qū)間內(nèi)恒有，所以，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知的單調(diào)遞減區(qū)間，對復(fù)合函數(shù)的形式進(jìn)行判斷，可得到函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，故選C．
考點(diǎn):1.對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)；2.復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性；3.函數(shù)恒成立問題.
【方法點(diǎn)睛】本題主要考查的是用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求單調(diào)區(qū)間，函數(shù)恒成立問題，對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題，本題要根據(jù)題設(shè)中所給的條件解出的底數(shù)的值，由，可得到內(nèi)層函數(shù)的值域，再由恒成立，可得到底數(shù)的取值范圍，再利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求出其單調(diào)區(qū)間即可，因此本題中正確將題設(shè)中所給的條件進(jìn)行正確轉(zhuǎn)化得出底數(shù)的范圍，是解決本題的關(guān)鍵.
24．（2024·全國）若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】將不等式變?yōu)?，根?jù)的單調(diào)性知，以此去判斷各個(gè)選項(xiàng)中真數(shù)與的大小關(guān)系，進(jìn)而得到結(jié)果.
【詳解】由得：，
令，
為上的增函數(shù)，為上的減函數(shù)，為上的增函數(shù)，
，
，，，則A正確，B錯(cuò)誤；
與的大小不確定，故CD無法確定.
故選：A.
【點(diǎn)睛】本題考查對數(shù)式的大小的判斷問題，解題關(guān)鍵是能夠通過構(gòu)造函數(shù)的方式，利用函數(shù)的單調(diào)性得到的大小關(guān)系，考查了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想.
25．（2024·全國）已知，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】法一：根據(jù)指對互化以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可知，再利用基本不等式，換底公式可得，，然后由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可解出．
【詳解】［方法一］：（指對數(shù)函數(shù)性質(zhì)）
由可得，而，所以，即，所以.
又，所以，即，
所以.綜上，.
［方法二］：【最優(yōu)解】（構(gòu)造函數(shù)）
由，可得．
根據(jù)的形式構(gòu)造函數(shù) ，則，
令，解得 ，由 知 .
在 上單調(diào)遞增，所以 ，即 ，
又因?yàn)?，所以 .
故選：A.
【點(diǎn)評(píng)】法一：通過基本不等式和換底公式以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較，方法直接常用，屬于通性通法；
法二：利用的形式構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出大小關(guān)系，簡單明了，是該題的最優(yōu)解．
26．（2024·全國）已知，，，則下列判斷正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可比較、與的大小關(guān)系，由此可得出結(jié)論.
【詳解】，即.
故選：C.
27．（2024高一上·北京海淀·期末）已知，則不等式的解集為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】化簡不等式，結(jié)合解方程組以及函數(shù)的圖象確定正確答案.
【詳解】的定義域是，AB選項(xiàng)錯(cuò)誤.
①，
由解得或，
畫出的圖象如下圖所示，
由圖可知，不等式①的解集為.
故選：D
28．（2024高三上·北京豐臺(tái)·期末）已知函數(shù)，則不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】將不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象問題，結(jié)合圖象求得正確答案.
【詳解】依題意，，
由解得或
畫出的圖象如下圖所示，
由圖可知，不等式的解集是.
故選：A
29．（2024·海南）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先求出的定義域，然后求出的單調(diào)遞增區(qū)間即可.
【詳解】由得或
所以的定義域?yàn)?br>因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增
所以在上單調(diào)遞增
所以
故選：D
【點(diǎn)睛】在求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)一定要先求函數(shù)的定義域.
30．（2024高三上·云南保山·階段練習(xí)）已知是上的單調(diào)遞減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由分段函數(shù)兩段都是減函數(shù)，以及端點(diǎn)處函數(shù)值的關(guān)系可得答案．
【詳解】因?yàn)槭巧系膯握{(diào)遞減函數(shù)，
所以，解得．
故選：C．
31．（2007·山西）設(shè)函數(shù)在區(qū)間，上的最大值與最小值之差為，則_____
A． B．2C． D．4
【答案】D
【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性求出最值，再應(yīng)用條件求．
【詳解】解：當(dāng)時(shí)，在區(qū)間，上是增函數(shù)，故最大值為，最小值為（a），
所以，
所以，滿足，
故選:D
32．（2008·全國）若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由題意知，函數(shù)是函數(shù)的反函數(shù)，求出，進(jìn)而可得答案．
【詳解】函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，
所以函數(shù)是函數(shù)的反函數(shù)，
由得，∴，把互換得：，即，
因?yàn)?，所以?br>故選：B．
33．（2024·河南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于直線對稱，且滿足，則（ ）
A．4B．2C．1D．
【答案】B
【分析】
根據(jù)圖象的對稱性得點(diǎn)，在函數(shù)的圖象上，列方程組求解即可得解.
【詳解】
函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于直線對稱，
所以點(diǎn)，在函數(shù)的圖象上，
所以，所以，所以，
又，所以，所以.
故選：B
34．（2004·上海）若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱,它們互為反函數(shù),求出反函數(shù)即得.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱,
所以它們是互為反函數(shù)，
由得，，反函數(shù)為，即．
故選：A.
35．（2024·陜西）設(shè)函數(shù)的反函數(shù)為，則函數(shù)的圖像是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由解得，然后將互換，即可得到其反函數(shù)解析式，再結(jié)合對數(shù)函數(shù)的圖像即可得到結(jié)果.
【詳解】由解得，即且
所以函數(shù)的反函數(shù)為
結(jié)合對數(shù)函數(shù)的圖像可知A正確.
故選:A.
36．（2024高二下·陜西西安·階段練習(xí)）已知函數(shù)，則（ ）
A．3B．2C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式，代入求值，
【詳解】因?yàn)?，所以?br>因?yàn)?，所?
故選：B
37．（2024高一下·全國·單元測試）設(shè)函數(shù)，若，則的值為（ ）
A．B．1C．或1D．或1或
【答案】B
【分析】分與兩種情況，解方程，求出答案.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，則，解得或（舍去），滿足要求；
當(dāng)時(shí)，，則，解得，不滿足要求，舍去.
故選：B
38．（2024高二上·山東濟(jì)南·開學(xué)考試）若函數(shù)的值域?yàn)?，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性及二次函數(shù)的性質(zhì)對進(jìn)行分類討論，再由分段函數(shù)的性質(zhì)可求．
【詳解】若時(shí)，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，此時(shí)；
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時(shí)，
若函數(shù)值域?yàn)?，則需，解得；
若時(shí)，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，此時(shí)；
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時(shí)，
所以，不滿足函數(shù)值域?yàn)?，不符合題意，舍去，
若時(shí)，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時(shí)，
所以，不滿足函數(shù)值域?yàn)?，不符合題意，舍去，
綜上的取值范圍為，
故選：B.
39．（2024高一下·湖南·期末）已知函數(shù)（且，，為常數(shù)）的圖象如圖，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可求解.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為減函數(shù)，所以
又因?yàn)楹瘮?shù)圖象與軸的交點(diǎn)在正半軸，所以，即
又因?yàn)楹瘮?shù)圖象與軸有交點(diǎn)，所以，所以，
故選：D
二、多選題
40．（2024高三下·江蘇南京·開學(xué)考試）當(dāng)時(shí)，，則的值可以為（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【分析】分和，分別作函數(shù)與的圖象，觀察在處的函數(shù)值關(guān)系可解.
【詳解】分別記函數(shù)，
由圖1知，當(dāng)時(shí)，不滿足題意；

當(dāng)時(shí)，如圖2，要使時(shí)，不等式恒成立，只需滿足，即，即，解得.

故選：ABC
41．（2024·湖北·模擬預(yù)測）已知，，，，則以下結(jié)論正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】先根據(jù)題意將條件轉(zhuǎn)化為a，b是函數(shù)分別與函數(shù)，圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．從而得到兩交點(diǎn)關(guān)于直線對稱，進(jìn)而即可判斷A；結(jié)合選項(xiàng)A整理得到，進(jìn)而即可判斷B；再結(jié)合選項(xiàng)A，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)性質(zhì)即可判斷C；結(jié)合選項(xiàng)B即基本不等式(注意：，即不等式取不到等號(hào))即可判斷D．
【詳解】對于A，由題意知，a，b是函數(shù)分別與函數(shù)，圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
由的圖象關(guān)于對稱，
則其向上，向右都平移一個(gè)單位后的解析式為，
所以的圖象也關(guān)于對稱，
又，兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，
故兩交點(diǎn)，關(guān)于直線對稱，
所以，，故A正確；
對于B，結(jié)合選項(xiàng)A得，則，即，即成立，故B正確；
對于C，結(jié)合選項(xiàng)A得，令，則，
所以在上單調(diào)遞減，則，故C錯(cuò)誤；
對于D，結(jié)合選項(xiàng)B得(，即不等式取不到等號(hào))，故D正確．
故選：ABD．
42．（2024·廣東惠州·一模）若，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】利用條件進(jìn)行指對數(shù)轉(zhuǎn)換，得到，從而有，再對各個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷即可得出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋?，則，
選項(xiàng)A，，故正確；
選項(xiàng)B，因?yàn)椋?，所以，故B正確；
選項(xiàng)C，因?yàn)?，故C錯(cuò)誤；
選項(xiàng)D，因?yàn)?，故D正確，
故選：ABD．
43．（2024高一上·江蘇南京·期末）若函數(shù)，且，則實(shí)數(shù)的值可能為（ ）
A．B．0C．2D．3
【答案】BCD
【分析】分和兩種情況求解即可.
【詳解】當(dāng)時(shí)，由，得，得，解得或，
當(dāng)時(shí)，由，得，得，解得（舍去）或，
綜上，，或，或，
故選：BCD
44．（2024高一下·貴州畢節(jié)·期末）已知函數(shù)，若，且，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】由已知結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得，代入整理可求結(jié)論．
【詳解】因?yàn)椋?br>若，
則，即，
所以，故B正確；
（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），但，即等號(hào)不成立，故A不正確；
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故C正確；
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，不符合題意，
由，令，任取，
所以由于，所以，所以，則，
在上為增函數(shù)，
所以，可得，故D正確．
故選：BCD．
45．（2024高二下·福建三明·期末）若函數(shù)為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則（ ）
A．B．周期為4
C．為偶函數(shù)D．當(dāng)時(shí)，
【答案】BD
【分析】根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，結(jié)合奇偶函數(shù)的定義可得為奇函數(shù)，且周期為4，然后逐個(gè)分析判斷即可.
【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，
因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，所以，
所以，所以，
所以，，
所以為奇函數(shù)，且周期為4，所以B正確，C錯(cuò)誤，
對于A，因?yàn)?，且為奇函?shù)，所以，所以A錯(cuò)誤，
對于D，當(dāng)時(shí)，則，因?yàn)椋?，所以D正確，
故選：BD
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，考查函數(shù)周期性的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用已知等式結(jié)奇偶性的定義可得函數(shù)為奇函數(shù)且周期為4，考查數(shù)學(xué)化簡計(jì)算能力，屬于較難題.
三、填空題
46．（2024·四川成都·模擬預(yù)測） ．
【答案】
【分析】利用指對數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)化簡求值即可.
【詳解】.
故答案為：
47．（2024·河南·二模）已知，，則 ．
【答案】/
【分析】根據(jù)指對數(shù)互化可得，結(jié)合求參數(shù)值即可.
【詳解】由題設(shè)，則且，
所以，即，故.
故答案為：
48．（2024·上海徐匯·模擬預(yù)測）方程的解集為 ．
【答案】
【分析】依題意得到，解得即可.
【詳解】因?yàn)?
則，解得，
所以方程的解集為.
故答案為：
49．（2024·山東淄博·二模）設(shè)，滿足，則 .
【答案】/0.5
【分析】令，則，根據(jù)即可求解．
【詳解】令，則，
所以，整理得，
解得(負(fù)值舍去)，所以.
故答案為：.
50．（2024·天津南開·二模）計(jì)算的值為 .
【答案】8
【分析】由對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解即可.
【詳解】原式
.
故答案為：8.
51．（2024高三·全國·專題練習(xí)）若，，用a，b表示
【答案】
【分析】先求出，再根據(jù)換底公式及對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可得解.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>.
故答案為：.
52．（2024高一上·江西景德鎮(zhèn)·期末）解關(guān)于x的不等式解集為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)給定的不等式，利用對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)單調(diào)性求解作答.
【詳解】不等式，
解，即，有，解得，
解，即，化為，有，解得，
因此，
所以不等式解集為.
故答案為：
53．（2024高三下·上海浦東新·階段練習(xí)）方程的解為 ．
【答案】
【分析】設(shè)函數(shù)，，由函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合特殊值，即可求得方程的解.
【詳解】設(shè)函數(shù)，，由于函數(shù)在上均為增函數(shù)，
又，故方程的解為.
故答案為：.
54．（2024·北京海淀·模擬預(yù)測）不等式的解集為 ．
【答案】
【分析】利用數(shù)形結(jié)合思想，結(jié)合對數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的圖象進(jìn)行求解即可.
【詳解】由，
在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)的圖象如下圖所示：
因?yàn)椋?br>所以由函數(shù)的圖象可知：當(dāng)時(shí)，有，
故答案為：
55．（2024·新疆阿勒泰·三模）正數(shù)滿足，則a與大小關(guān)系為 ．
【答案】/
【分析】構(gòu)造函數(shù)，并運(yùn)用其單調(diào)性比較大小即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
設(shè)，則，
所以，
又因?yàn)榕c在上單調(diào)遞增，
所以在上單調(diào)遞增，
所以.
故答案為：.
56．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)在上的最大值是2，則a等于
【答案】2
【分析】利用對數(shù)函數(shù)單調(diào)性結(jié)合條件進(jìn)行分類討論分別求出最大值，進(jìn)而即得.
【詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
則，解得，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
則，無解，
綜上，a等于.
故答案為：2.
57．（2024高一上·山東臨沂·期末）若函數(shù)（且）在上的最大值為2，最小值為m，函數(shù)在上是增函數(shù)，則的值是 ．
【答案】3
【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，分類討論，再結(jié)合已知進(jìn)行求解得出和的值，最后根據(jù)的單調(diào)性檢驗(yàn)即可得到.
【詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)是正實(shí)數(shù)集上的增函數(shù)，而函數(shù)在上的最大值為，因此有，解得，所以，此時(shí)在上是增函數(shù)，符合題意，因此；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)是正實(shí)數(shù)集上的減函數(shù)，而函數(shù)在上的最大值為，因此有，，所以，此時(shí)在上是減函數(shù)，不符合題意.
綜上所述，，，.
故答案為：3.
58．（2024高一上·河南南陽·期中）若函數(shù)有最小值，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】分和兩種情況討論，根據(jù)外層函數(shù)的單調(diào)性、內(nèi)層函數(shù)的最值以及真數(shù)恒大于零可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，由此可解出實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】當(dāng)時(shí)，外層函數(shù)為減函數(shù)，對于內(nèi)層函數(shù)，，則對任意的實(shí)數(shù)恒成立，
由于二次函數(shù)有最小值，此時(shí)函數(shù)沒有最小值；
當(dāng)時(shí)，外層函數(shù)為增函數(shù)，對于內(nèi)層函數(shù)，
函數(shù)有最小值，若使得函數(shù)有最小值，
則，解得.
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題．
59．（2024·河南·模擬預(yù)測）寫出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù): .
① ;②當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減; ③為偶函數(shù).
【答案】（不唯一）
【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)性質(zhì)即可做出判斷.
【詳解】性質(zhì)①顯然是和對數(shù)有關(guān)，性質(zhì)②只需令對數(shù)的底即可，性質(zhì)③只需將自變量加絕對值即變成偶函數(shù).
故答案為：（不唯一）
60．（2024高三上·江蘇泰州·期中）已知函數(shù)同時(shí)滿足（1）；（2），其中，則符合條件的一個(gè)函數(shù)解析式＝ ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】由已知函數(shù)性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性定義和對數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)得且，寫出一個(gè)符合要求的解析式即可.
【詳解】由（2）知：在上遞減，
由（1），結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)知：，則，
綜上，且，故滿足要求.
故答案為：（答案不唯一）
61．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，若且，則的取值范圍為 .
【答案】
【分析】作出函數(shù)的圖象，可得出，利用雙勾函數(shù)的單調(diào)性可求得的取值范圍.
【詳解】畫出的圖象如圖：
∵，且，
∴且，，
∴，即，∴，，
由圖象得在上為減函數(shù)，
∴，
∴的取值范圍是.
故答案為：.
62．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù),若，則 ，函數(shù)的值域?yàn)? ．
【答案】 2
【分析】根據(jù)可解得的值，代入分段函數(shù)，結(jié)合對數(shù)函數(shù)及指數(shù)函數(shù)的值域求解分段函數(shù)的值域即可.
【詳解】由得，即，即函數(shù),
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故函數(shù)的值域?yàn)椋?br>故答案為：2；.
63．（2024高一下·上海寶山·階段練習(xí)）若函數(shù)f(x)＝lg（x2﹣mx+1）的定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 ．
【答案】(-2,2)
【分析】根據(jù)定義域?yàn)镽得到在R上恒成立，然后列不等式求解即可.
【詳解】由題意得在R上恒成立，所以，解得.
故答案為：.
64．（2024高一上·山西運(yùn)城·階段練習(xí)）若函數(shù)的值域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是
【答案】
【分析】因?yàn)楹瘮?shù)的值域?yàn)镽，所以真數(shù)能取到大于0的一切實(shí)數(shù).分類討論 兩種情況，再取并集即得.
【詳解】令，
函數(shù)的值域?yàn)椋?br>真數(shù)能取到大于0的一切實(shí)數(shù).
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)的值域?yàn)?，不符合題意，舍去.
當(dāng)時(shí)，需有，解得.
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的值域，用到分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.
四、解答題
65．（2024高三上·陜西安康·期末）已知函數(shù).
(1)若，求a的值；
(2)若對任意的，恒成立，求的取值范圍.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由可求得的值，進(jìn)而可求得實(shí)數(shù)的值；
（2）由可得出或，分、兩種情況討論，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1）解：因?yàn)?，所以?br>所以，所以，解得.
（2）解：由，得，即，
即或.
當(dāng)時(shí)，，則或，
因?yàn)?，則不成立，
由可得，得；
當(dāng)時(shí)，，則或，
因?yàn)椋瑒t不成立，所以，解得.
綜上，的取值范圍是.
66．（2024·上海寶山·模擬預(yù)測）已知，.
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域；
（2）對任意，其中常數(shù)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，.
【分析】（1）依題意可得，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；
（2）由得，令，對一切的恒成立，參變分離，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值即可求出參數(shù)的取值范圍；
【詳解】（1）因?yàn)?，?br>令，
∵，∴，所以當(dāng)，即時(shí)取最大值，當(dāng)或，即或時(shí)取最小值，
∴函數(shù)的值域?yàn)?
（2）由得，
令，∵，∴，
∴對一切的恒成立，
①當(dāng)時(shí)，若時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，恒成立，即，
函數(shù)在單調(diào)遞減，于是時(shí)取最小值-2，此時(shí)，
于是；
②當(dāng)時(shí)，此時(shí)時(shí)，恒成立，即，
∵，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，即的最小值為-3，；
③當(dāng)時(shí)，此時(shí)時(shí)，恒成立，即，
函數(shù)在單調(diào)遞增，于是時(shí)取最小值，
此時(shí)，于是.
綜上可得：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，
67．（2024·全國）解不等式：．
【答案】
【分析】根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算法則化簡后，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及定義域建立不等式組求解.
【詳解】原不等式可化為
所以原不等式.
故原不等式的解集為.
68．（2024·北京）解不等式：．
【答案】
【分析】由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和定義域即可求解.
【詳解】由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和定義域，
可得：，解得：，
所以不等式的解集為.
69．（2024高三·全國·對口高考）（1）函數(shù)是定義域在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，求函數(shù)的解析式；
（2）函數(shù)對一切均有，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的解析式．
【答案】（1）；（2），
【分析】（1）由奇函數(shù)的性質(zhì)求解，
（2）由轉(zhuǎn)化求解，
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以，
因?yàn)楹瘮?shù)是定義域在上的奇函數(shù)，，即，
所以函數(shù)的解析式；
（2）當(dāng)，則，
又對任意的，有，∴．
∴．
又時(shí)，，
∴，．
70．（2024高三上·湖北·階段練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且它的圖像關(guān)于直線對稱.
(1)求證：是周期為4的周期函數(shù)；
(2)若，求時(shí)，函數(shù)的解析式.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，及函數(shù)的奇偶性，結(jié)合函數(shù)周期性的定義，即可證明.
（2）由（1）中函數(shù)是周期為的函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的奇偶性，即可求得解析式.
【詳解】（1）證明：由函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，
有，
即有，
又函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，有，
故，
從而，
即是周期為4的周期函數(shù).
（2）當(dāng)時(shí)，，，
由函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，有，故時(shí)，.
由，得，，
由（1）得，從而，時(shí)，函數(shù)的解析式為
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圖象

性質(zhì)
定義域：
值域：
過定點(diǎn)，即時(shí)，
在上增函數(shù)
在上是減函數(shù)
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，
（一）
對數(shù)運(yùn)算及對數(shù)方程、對數(shù)不等式
對數(shù)的有關(guān)運(yùn)算問題要注意公式的順用、逆用、變形用等.對數(shù)方程或?qū)?shù)不等式問題是要將其化為同底，利用對數(shù)單調(diào)性去掉對數(shù)符號(hào)，轉(zhuǎn)化為不含對數(shù)的問題，但這里必須注意對數(shù)的真數(shù)為正.
題型1：對數(shù)運(yùn)算及對數(shù)方程、對數(shù)不等式
1-1．（2024·北京）已知函數(shù)，則 ．
【答案】1
【分析】根據(jù)給定條件，把代入，利用指數(shù)、對數(shù)運(yùn)算計(jì)算作答.
【詳解】函數(shù)，所以.
故答案為：1
1-2．（2024高三上·湖北·階段練習(xí)）使成立的的取值范圍是
【答案】（-1，0）
【詳解】在同一坐標(biāo)系中分別畫出函數(shù)和的圖象（如圖所示），由圖象，得使成立的的取值范圍是；故填.

1-3．（2024·全國）已知函數(shù)，若，則 ．
【答案】-7
【詳解】分析：首先利用題的條件，將其代入解析式，得到，從而得到，從而求得，得到答案.
詳解：根據(jù)題意有，可得，所以，故答案是.
點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)已知某個(gè)自變量對應(yīng)函數(shù)值的大小，來確定有關(guān)參數(shù)值的問題，在求解的過程中，需要將自變量代入函數(shù)解析式，求解即可得結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題目.
1-4．（2024高三上·江蘇南京·期中）設(shè)函數(shù)，則 .
【答案】
【分析】先求出，再求即可
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
所以，
故答案為：
1-5．（2024高三下·上海·階段練習(xí)）若，且，則 ．
【答案】
【分析】將條件中的指數(shù)式轉(zhuǎn)化為對數(shù)式，求出，代入，利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得.
【詳解】，且，
且，
，
，
，
.
故答案為：.
1-6．（2024高三·全國·專題練習(xí)）= ；
【答案】
【分析】利用換底公式、對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算可得結(jié)果.
【詳解】原式
．
故答案為：.
（二）
對數(shù)函數(shù)的圖像
研究和討論題中所涉及的函數(shù)圖像是解決有關(guān)函數(shù)問題最重要的思路和方法.圖像問題是數(shù)和形結(jié)合的護(hù)體解釋.它為研究函數(shù)問題提供了思維方向.
題型2：對數(shù)函數(shù)的圖像
2-1．（2024·山東菏澤·三模）已知函數(shù)且過定點(diǎn)，且定點(diǎn)在直線上，則的最小值為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得，代入直線方程得，再根據(jù)基本不等式可求出結(jié)果.
【詳解】令，即，得，故，
由在直線上，得，即，
因?yàn)榍?，，所以且，?br>所以.
當(dāng)且僅當(dāng)，即，即，時(shí)，等號(hào)成立.
故的最小值為.
故答案為：
2-2．（2024高二上·四川綿陽·單元測試）函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)，若點(diǎn)在直線上，其中、，則的最小值為 .
【答案】
【分析】求出定點(diǎn)，可得出，將代數(shù)式與相乘，展開后利用基本不等式可求得的最小值.
【詳解】對于函數(shù)，令，可得，則，
故函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)，
因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，則，可得，
因?yàn)?、，所以，?br>當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為.
故答案為：.
2-3．（2024高二上·河北衡水·階段練習(xí)）已知函數(shù)，，對任意的，，有恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
【答案】
【分析】由題設(shè)不等式恒成立，只需在上成立即可，進(jìn)而求m范圍.
【詳解】函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞增，
∴，，
對任意的，，有恒成立，
∴，即，解得，
∴實(shí)數(shù)的取值范圍是．
故答案為：.
2-4．（2024高三·四川·對口高考）已知函數(shù)（a，b為常數(shù)，其中且）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】由函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，可得，排除A，C；代入,得，從而得答案.
【詳解】解：由圖象可得函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，
所以，排除A，C；
又因?yàn)楹瘮?shù)過點(diǎn),
所以，解得．
故選：D
2-5．（2024·陜西）函數(shù)的圖像大致為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由函數(shù)為偶函數(shù)可排除AC，再由當(dāng)時(shí)，，排除D，即可得解.
【詳解】設(shè)，則函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱，
又，所以函數(shù)為偶函數(shù)，排除AC；
當(dāng)時(shí)， ，所以，排除D.
故選：B.
（三）
對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)（單調(diào)性、最值（值域））
研究和討論題中所涉及的函數(shù)性質(zhì)是解決有關(guān)函數(shù)問題最重要的思路和方法.性質(zhì)問題是數(shù)和形結(jié)合的護(hù)體解釋.它為研究函數(shù)問題提供了思維方向.
題型3：對數(shù)函數(shù)的定義域、值域問題
3-1．（2024高二下·福建莆田·期中）函數(shù)，則定義域是 ．
【答案】
【分析】根據(jù)解析式列出不等式組求解即可.
【詳解】由可得，
，解得，
所以函數(shù)的定義域?yàn)?
故答案為： .
3-2．（2024·北京）函數(shù)的值域?yàn)? .
【答案】
【分析】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，可得值域
【詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)的值域?yàn)?
【考點(diǎn)定位】本題考查了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和值域，求函數(shù)的值域可以利用函數(shù)的單調(diào)性，也可以利用函數(shù)的圖象求.
3-3．（2024高三·全國·對口高考）若函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒ta的取值范圍為 ；若函數(shù)的值域?yàn)椋瑒ta的取值范圍為 .
【答案】
【分析】第一空，由題意可得對于恒成立，結(jié)合判別式小于0即可求得答案；第二空，由題意可得能取到所有正數(shù)，結(jié)合判別式大于等于0即可求得答案；
【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，則對于恒成立，
故，解得，即；
若函數(shù)的值域?yàn)?，即能取到所有正?shù)，
故，解得或，即，
故答案為：；
3-4．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)的值域?yàn)?，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】
利用基本不等式求出函數(shù)的值域，根據(jù)題意可知，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，解之即可.
【詳解】對任意的，，由基本不等式可得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
因?yàn)楹瘮?shù)的值域?yàn)?，則，
所以，，解得.
因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
題型4：對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和最值
4-1．（2024高三·重慶渝中·階段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的同增異減即可.
【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?br>令，又在定義域內(nèi)為減函數(shù)，
故只需求函數(shù)在定義域上的單調(diào)遞減區(qū)間，
又因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，
的單調(diào)遞增區(qū)間為.
故選：B
4-2．（2024高三下·寧夏銀川·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若在上為減函數(shù)，則a的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性以及對數(shù)函數(shù)的定義域求解.
【詳解】設(shè)函數(shù)，
因?yàn)樵谏蠟闇p函數(shù)，
所以在上為減函數(shù)，則解得，
又因?yàn)樵诤愠闪ⅲ?br>所以解得，
所以a的取值范圍為，
故選:B.
4-3．（2024高一下·陜西寶雞·期末）已知函數(shù)的最小值為0，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)圖像知函數(shù)最小值為0，從而轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)對恒成立，通過二次函數(shù)過定點(diǎn)，討論其對稱軸所在位置從而求解.
【詳解】函數(shù)最小值為0，
設(shè)，
所以只要滿足恒成立，
函數(shù)對稱軸為，且，
①，即時(shí)，滿足題意；
②，即時(shí)，
需滿足，
即，得，
此時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍是.
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是
故答案為：.
4-4．（2024高一下·湖北·階段練習(xí)）若函數(shù)在上單調(diào)，則a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分單調(diào)遞增與單調(diào)遞減兩種情況討論，根據(jù)分段函數(shù)單調(diào)性判斷方法列出不等式組求解.
【詳解】若 在上單調(diào)遞增，則，解得，
若 在上單調(diào)遞減，則，解得．
綜上得.
故選：D
4-5．（2024·云南·模擬預(yù)測）已知，設(shè)，則函數(shù)的最大值為 .
【答案】8
【分析】由求出的定義域?yàn)?，然后換元，令，，得，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性可求出最大值.
【詳解】，
由得，即的定義域?yàn)椋?br>令，因?yàn)?，所以?br>所以在上為增函數(shù)，
所以時(shí)，.
故答案為：.
4-6．（2024·海南?？凇つM預(yù)測）已知正實(shí)數(shù)，滿足：，則的最小值為 .
【答案】
【分析】將變形為，設(shè)，對求導(dǎo)可知在上單調(diào)遞增，所以，則，所以，令，對求導(dǎo)，即可求出的最小值
【詳解】由可得：,
所以，，
設(shè)，，
所以在上單調(diào)遞增，所以，
則，所以，
所以，所以，令，
令，解得：；令，解得：；
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以.
故的最小值為.
故答案為：.
4-7．（2024·天津）已知，，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合中間值法可得出、、的大小關(guān)系.
【詳解】因?yàn)?，?
故答案為：C.
題型5：對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合
5-1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)滿足：，則；當(dāng)時(shí)，，則 ．
【答案】/
【分析】利用對數(shù)函數(shù)性質(zhì)確定的范圍，再利用給定關(guān)系求解作答.
【詳解】依題意，，則，因此，
而，則；當(dāng)時(shí)，，
所以.
故答案為：
5-2．（2024高一上·江蘇徐州·期末）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則的解集是 .
【答案】
【分析】利用奇偶性求出函數(shù)的解析式，分類討論即可求解.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，
因?yàn)楹瘮?shù)是定義在R上的奇函數(shù)，所以，
所以當(dāng)時(shí)，，
所以，
要解不等式，只需或或，
解得或或，
綜上，不等式的解集為.
故答案為：.
5-3．（2024·陜西寶雞·二模）已知函數(shù)，則（ ）
A．在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增B．在單調(diào)遞減
C．的圖像關(guān)于直線對稱D．有最小值，但無最大值
【答案】C
【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷方法，可判斷A，B；推得可判斷C；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷D.
【詳解】由題意可得函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>則，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
且在上單調(diào)遞增，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，A，B錯(cuò)誤；
由于，故的圖像關(guān)于直線對稱，C正確；
因?yàn)樵跁r(shí)取得最大值，且在上單調(diào)遞增，
故有最大值，但無最小值，D錯(cuò)誤，
故選：C
5-4．（2024·全國）設(shè)函數(shù)，則f(x)（ ）
A．是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增B．是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減
C．是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增D．是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減
【答案】D
【分析】根據(jù)奇偶性的定義可判斷出為奇函數(shù)，排除AC；當(dāng)時(shí)，利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)可判斷出單調(diào)遞增，排除B；當(dāng)時(shí)，利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可判斷出單調(diào)遞減，從而得到結(jié)果.
【詳解】由得定義域?yàn)?，關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，
又，
為定義域上的奇函數(shù)，可排除AC；
當(dāng)時(shí)，，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
在上單調(diào)遞增，排除B；
當(dāng)時(shí)，，
在上單調(diào)遞減，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，
根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知：在上單調(diào)遞減，D正確.
故選：D.
【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷；判斷奇偶性的方法是在定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱的前提下，根據(jù)與的關(guān)系得到結(jié)論；判斷單調(diào)性的關(guān)鍵是能夠根據(jù)自變量的范圍化簡函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性的性質(zhì)和復(fù)合函數(shù)“同增異減”性得到結(jié)論.
（四）
對數(shù)函數(shù)中的恒成立問題
1.不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：
一般地，已知函數(shù)，
（1）若，，總有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，則的值域是值域的子集 ．
2.（1）利用數(shù)形結(jié)合思想，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的圖像求解；
（2）分離自變量與參變量，利用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.
（3）涉及不等式恒成立問題，將給定不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化，借助同構(gòu)思想構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探求函數(shù)單調(diào)性、最值是解決問題的關(guān)鍵.
題型6：對數(shù)函數(shù)中的恒成立問題
6-1．（2024高二下·黑龍江大慶·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若對，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 .
【答案】
【分析】根據(jù)條件分析得到，然后根據(jù)的單調(diào)性分析出對應(yīng)的最值，由此可求解出的取值范圍.
【詳解】因?yàn)閷Γ沟茫?br>所以，
因?yàn)榈膶ΨQ軸為，所以在上單調(diào)遞增，所以，
又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，
所以，所以，即，
故答案為：.
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：
一般地，已知函數(shù)，
（1）若，，總有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，則的值域是值域的子集 ．
6-2．（2024·江西宜春·模擬預(yù)測）若，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 .
【答案】
【分析】分離參數(shù)，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題，根據(jù)單調(diào)性可得.
【詳解】因?yàn)?，不等式恒成立?br>所以對恒成立.
記，，只需.
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，
所以在上單調(diào)遞減，
所以，所以.
故答案為：
6-3．（2024高三下·浙江·階段練習(xí)）已知函數(shù)，，若存在，任意，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
【答案】
【分析】將問題轉(zhuǎn)化為在對應(yīng)區(qū)間上，結(jié)合對勾函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求、的區(qū)間最值，即可求的范圍.
【詳解】若在上的最大值，在上的最大值，
由題設(shè)，只需即可.
在上，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
由對勾函數(shù)的性質(zhì)：在上遞增，故.
在上，單調(diào)遞增，則，
所以，可得.
故答案為：.
6-4．（2024高一上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）若不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】把不等式變形為，分和情況討論，數(shù)形結(jié)合求出答案.
【詳解】變形為：，即在上恒成立，
若，此時(shí)在上單調(diào)遞減，，而當(dāng)時(shí)，，顯然不合題意；
當(dāng)時(shí)，畫出兩個(gè)函數(shù)的圖像，

要想滿足在上恒成立，只需，即，
解得：，綜上：實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
故選：C

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