1．直線與平面垂直
(1)直線和平面垂直的定義
一般地，如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，就說直線l與平面α互相垂直．
(2)判定定理與性質(zhì)定理
2.直線和平面所成的角
(1)定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角．一條直線垂直于平面，我們說它們所成的角是90°；一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，我們說它們所成的角是0°.
(2)范圍：eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
3．二面角
(1)定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角．
(2)二面角的平面角：如圖，在二面角α－l－β的棱l上任取一點(diǎn)O，以點(diǎn)O為垂足，在半平面α和β內(nèi)分別作垂直于棱l的射線OA和OB，則射線OA和OB構(gòu)成的∠AOB叫做二面角的平面角．
(3)二面角的范圍：[0，π]．
4．平面與平面垂直
(1)平面與平面垂直的定義
一般地，兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個(gè)平面互相垂直．
(2)判定定理與性質(zhì)定理
常用結(jié)論
1．三垂線定理
平面內(nèi)的一條直線如果和穿過這個(gè)平面的一條斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直．
2．三垂線定理的逆定理
平面內(nèi)的一條直線如果和穿過該平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線在該平面內(nèi)的射影垂直．
3．兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，它們的交線也垂直于第三個(gè)平面．
一、單選題
1．（2024高三上·湖北·開學(xué)考試）已知a，b是兩條不重合的直線，為一個(gè)平面，且a⊥，則“b⊥”是“a//b”的（ ）
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
2．（2024高三上·山東濰坊·階段練習(xí)）在底面為正方形，側(cè)棱垂直于底面的四棱柱中，，異面直線與所成角的余弦值為，則直線與直線的距離為（ ）
A．2B．1C．D．
3．（2024高一下·全國(guó)·課后作業(yè)）若平面平面，平面平面，則（ ）
A．
B．
C．與相交但不垂直
D．以上都有可能
4．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）空間中直線l和三角形的兩邊，同時(shí)垂直，則這條直線和三角形的第三邊的位置關(guān)系是（ ）
A．平行B．垂直C．相交D．不確定
5．（2024·全國(guó)）在正方體中，P為的中點(diǎn)，則直線與所成的角為（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·黑龍江齊齊哈爾·一模）已知兩條不同的直線l，m及三個(gè)不同的平面α，β，γ，下列條件中能推出的是（ ）
A．l與α，β所成角相等B．，
C．，，D．，，
7．（2024·北京海淀·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)是三個(gè)不同的平面，是兩條不同的直線，給出下列三個(gè)結(jié)論：①若，則；②若，則；③若，，則．其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）
A．0B．1C．2D．3
8．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）平行四邊形ABCD中，，將三角形ABD沿著BD翻折至三角形，則下列直線中有可能與直線垂直的是（ ）
①直線；②直線；③直線；④直線.
A．①②B．①④
C．②③D．③④
9．（2024高一·江蘇·課后作業(yè)）對(duì)于直線m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一個(gè)條件是（ ）
A．m⊥n，m∥α，n∥βB．m⊥n，α∩β＝m，n?α
C．m∥n，n⊥β，m?αD．m∥n，m⊥α，n⊥β
10．（2024高一下·吉林·期末）設(shè)，，表示空間中三條不同的直線，，表示兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（ ）
A．若，，則
B．若，，，，則
C．若，，則
D．若，，則
11．（2024高一·全國(guó)·課后作業(yè)）已知直線平面，則經(jīng)過且和垂直的平面（ ）
A．有一個(gè)B．有兩個(gè)C．有無數(shù)個(gè)D．不存在
12．（2024高一下·浙江寧波·期末）給出下列4個(gè)命題，其中正確的命題是（ ）．
①垂直于同一直線的兩條直線平行； ②垂直于同一平面的兩條直線平行；
③垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行； ④垂直于同一平面的兩個(gè)平面平行．
A．①②B．③④C．②③D．①④
13．（2024高二上·北京·期中）在三棱錐中，若，，那么必有（ ）

A．平面平面B．平面平面
C．平面平面D．平面平面
14．（2024高一下·河南·期末）如圖，在三棱錐中，平面ABC，，，，則點(diǎn)A到平面PBC的距離為（ ）．
A．B．C．3D．
15．（2024高二上·北京·期中）如圖，四邊形ABCD中，AB=AD=CD=1，BA⊥AD，BD⊥CD，將四邊形ABCD沿對(duì)角線BD折成四面體，使平面⊥平面BCD，則四面體的體積為（ ）
A．B．C．D．
16．（2024高一下·福建廈門·期末）如圖（1）平行六面體容器盛有高度為的水，，.固定容器底而一邊于地面上，將容器傾斜到圖（2）時(shí)，水面恰好過，，，四點(diǎn)，則的值為（ ）
A．B．C．D．
17．（2024高一下·山西太原·期末）如圖，在長(zhǎng)方體中，..則直線與平面的距離為（ ）
A．B．C．D．
18．（2024高二上·北京豐臺(tái)·期中）棱長(zhǎng)為1正方體中，E為的中點(diǎn)，則E到面的距離（ ）
A．B．C．D．
19．（2024高二下·江蘇泰州·期末）已知球O的半徑為2，A，B，C為球面上的三個(gè)點(diǎn)，，點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)，若OP與平面ABC所成角的最大值為，則O到平面ABC的距離為（ ）
A．B．C．D．
20．（2024·浙江）如圖已知正方體，M，N分別是，的中點(diǎn)，則（ ）
A．直線與直線垂直，直線平面
B．直線與直線平行，直線平面
C．直線與直線相交，直線平面
D．直線與直線異面，直線平面
21．（2024·全國(guó)）在正方體中，E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)，則（ ）
A．平面平面B．平面平面
C．平面平面D．平面平面
22．（2024高三·云南昆明·階段練習(xí)）過正方體的頂點(diǎn)A的平面與直線垂直，且平面與平面的交線為直線，平面與平面的交線為直線，則直線與直線所成角的大小為（ ）
A．B．C．D．
23．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）在正方體中，P，Q分別為AB，CD的中點(diǎn)，則（ ）
A．平面B．平面平面
C．平面D．平面平面
24．（2024·全國(guó)·一模）設(shè)m，n是不同的直線，α、β、γ是不同的平面，有以下四個(gè)命題：①；② ；③ ；④ .其中正確的命題是（ ）
A．①④B．②③
C．①③D．②④
25．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）下列結(jié)論正確的是（ ）
A．已知直線，若，則.
B．設(shè)是兩條不同的直線，是一個(gè)平面，若，，則.
C．若兩平面垂直，則其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個(gè)平面．
D．若平面內(nèi)的一條直線垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線，則.
二、多選題
26．（2024·全國(guó)）如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點(diǎn)，M，N為正方體的頂點(diǎn)．則滿足的是（ ）
A．B．
C．D．
27．（2024高三上·廣東潮州·期末）如圖，四棱錐的底面為正方形，底面，則下列結(jié)論中正確的是（ ）

A．
B．
C．平面平面
D．
28．（2024高二下·云南普洱·期末）如圖，點(diǎn)P在正方體的面對(duì)角線上運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．三棱錐的體積不變B．平面
C．D．平面平面
三、填空題
29．（2024高一下·全國(guó)·專題練習(xí)）已知如圖邊長(zhǎng)為的正方形外有一點(diǎn)且平面，，二面角的大小的正切值 ．
30．（2024高二上·上海徐匯·期末）已知正方體中，，點(diǎn)P在平面內(nèi)，，求點(diǎn)P到距離的最小值為 .
31．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知直線a，b和平面，且，，則與的位置關(guān)系是 ．
32．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）正方體中與垂直的平面有 （填序號(hào)）．
①平面；②平面；③平面；④平面．
33．（2024高三下·河北衡水·階段練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)均為的正四面體ABCD中，M為AC中點(diǎn)，E為AB中點(diǎn)，P是DM上的動(dòng)點(diǎn)，Q是平面ECD上的動(dòng)點(diǎn)，則AP+PQ的最小值是 ．
34．（2024高二上·山東棗莊·期中）如圖，在菱形中，，，是的中點(diǎn)，將沿直線翻折至的位置，使得面面，則點(diǎn)到直線的距離為 .
35．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在三棱錐中，點(diǎn)P在平面ABC中的射影為點(diǎn)O.
（1）若PA＝PB＝PC，則點(diǎn)O是△ABC的 心．
（2）若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，則點(diǎn)O是△ABC的 心．
四、解答題
36．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，已知，證明：.

37．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，已知.證明：.

38．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，已知四棱錐的底面是正方形，面．求證：面面；

39．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）正方體中，為棱的中點(diǎn)，求平面和平面夾角的余弦值.
40．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，已知，，.證明：.

41．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在三棱錐中，為的中點(diǎn)，，，，，，.證明：平面.

42．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知正方體.求證：⊥平面A1D C.

43．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，已知.證明：∥.

44．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖所示，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，，.求證：平面平面；

45．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在幾何體中，矩形所在平面與平面互相垂直，且，，．求證：平面；
46．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，已知，.證明：平面；
47．（2024高三上·陜西漢中·階段練習(xí)）如圖，在四棱柱中，底面，底面滿足，且，.

(1)求證：平面；
(2)求四棱錐的體積.
48．（2024·江蘇南京·二模）如圖，四棱錐P－ABCD中，AD⊥平面PAB，AP⊥AB．
（1）求證：CD⊥AP；
（2）若CD⊥PD，求證：CD∥平面PAB；
49．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，三棱錐中，兩兩垂直，，且分別為線段的中點(diǎn).求證：平面平面.

50．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，是以BC為斜邊的等腰直角三角形，，點(diǎn)D，E分別為棱BC，上的點(diǎn)，且 ，二面角的大小為，求實(shí)數(shù)的值．

51．（2024高二上·上海靜安·期中）如圖，已知平行六面體ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD＝60°
(1)證明：C1C⊥BD；
(2)當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r(shí)，能使A1C⊥平面C1BD?請(qǐng)給出證明．
52．（2024·河北邯鄲·二模）如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分別是棱BC，AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在棱CC1上，已知AB＝AC，AA1＝3，BC＝CF＝2．
（1）求證：C1E平面ADF；
（2）設(shè)點(diǎn)M在棱BB1上，當(dāng)BM為何值時(shí)，平面CAM⊥平面ADF．
53．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正方體中，，.
（1）求證：；
（2）在線段上，是否存在點(diǎn)，使得平面？并說明理由.
54．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，，．試在平面內(nèi)確定一點(diǎn)H，使得平面，并寫出證明過程；

55．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在長(zhǎng)方體中，為棱的中點(diǎn)．

(1)證明：平面平面；
(2)畫出平面與平面的交線，并說明理由；
(3)求過三點(diǎn)的平面將四棱柱分成的上、下兩部分的體積之比．
56．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在四面體ABCD中，平面BAD⊥平面CAD，∠BAD＝90°.M，N，Q分別為棱AD，BD，AC的中點(diǎn)．
（1）求證：CD∥平面MNQ；
（2）求證：平面MNQ⊥平面CAD.
57．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知三棱柱中，，，，是的中點(diǎn)，是線段上一點(diǎn).

(1)求證：；
(2)設(shè)是棱上的動(dòng)點(diǎn)（不包括邊界），當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求棱錐的體積.
58．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）圖1是由直角梯形和以為直徑的半圓組成的平面圖形，，，．E是半圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)周長(zhǎng)最大時(shí)，將半圓沿著折起，使平面平面，此時(shí)的點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)P的位置，如圖2．求證：；
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文字語言
圖形表示
符號(hào)表示
判定定理
如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(m?α,n?α,m∩n＝P,l⊥m,l⊥n))?l⊥α
性質(zhì)定理
垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a⊥α,b⊥α))?a∥b
文字語言
圖形表示
符號(hào)表示
判定定理
如果一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a?α,a⊥β))?α⊥β
性質(zhì)定理
兩個(gè)平面垂直，如果一個(gè)平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個(gè)平面的交線，那么這條直線與另一個(gè)平面垂直
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(α⊥β,α∩β＝a,l⊥a,l?β))?l⊥α
（一）
證明線面垂直的常用方法及關(guān)鍵
(1)證明直線和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的傳遞性(a∥b，a⊥α?b⊥α)；③面面平行的性質(zhì)(a⊥α，α∥β?a⊥β)；④面面垂直的性質(zhì)．
(2)證明線面垂直的關(guān)鍵是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì)．
題型1：線面垂直關(guān)系的判斷
1-1．（2024·廣西南寧·三模）已知l，m，n是三條不同的直線，，是不同的平面，則下列條件中能推出的是（ ）
A．，，且
B．，，，且，
C．，，，且
D．，，且
1-2．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知l，m，n表示不同的直線，，，表示不同的平面，則下列四個(gè)命題正確的是（ ）
A．若，且，則B．若，，，則
C．若，且，則D．若，，，則
1-3．（2024·甘肅天水·一模）設(shè)是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則
題型2：證線線垂直
2-1．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面，點(diǎn)是的中點(diǎn)，證明：.
2-2．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在三棱柱中，，．證明：
2-3．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知三棱柱中，是的中點(diǎn)，是線段上一點(diǎn).求證：；

2-4．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在梯形中，，，，，如圖1.沿對(duì)角線將折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，為的中點(diǎn)，如圖2.證明：.
題型3：證線面垂直
3-1．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在三棱柱中，平面平面，是的中點(diǎn)，且.證明：平面；

3-2．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖所示，在三棱錐中，已知平面，平面平面．證明：平面；

3-3．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖1，在五邊形中，四邊形為正方形，，，如圖2，將沿折起，使得A至處，且．證明：平面；
3-4．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在三棱錐中，平面ABD，E為AB的中點(diǎn)，，.證明：平面CED；
（二）
(1)判定面面垂直的方法
①面面垂直的定義．②面面垂直的判定定理．
(2)面面垂直性質(zhì)的應(yīng)用
①面面垂直的性質(zhì)定理是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直的依據(jù)，運(yùn)用時(shí)要注意“平面內(nèi)的直線”．②若兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，則它們的交線也垂直于第三個(gè)平面．
題型4：面面垂直關(guān)系的判斷
4-1．（2024·陜西咸陽·二模）已知，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，有以下四個(gè)命題：
①若∥，，則∥， ②若，，則，
③若，，則∥， ④若，，，則
其中正確的命題是（ ）
A．②③B．②④C．①③D．①②
4-2．（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示的菱形中，對(duì)角線交于點(diǎn)，將沿折到位置，使平面平面.以下命題:

①；
②平面平面；
③平面平面；
④三棱錐體積為.
其中正確命題序號(hào)為（ ）
A．①②③B．②③C．③④D．①②④
4-3．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知是兩個(gè)不同的平面，是兩條不同的直線，則下列命題中正確的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
題型5：證面面垂直
5-1．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，已知直角梯形與，，，，AD⊥AB，，G是線段上一點(diǎn).求證：平面⊥平面ABF
5-2．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，A，為底面圓上兩點(diǎn)，，為中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且.證明：平面平面；
5-3．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在三棱柱中，側(cè)面為菱形，，，.證明：平面平面；
5-4．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在如圖所示的空間幾何體中，與均是等邊三角形，直線平面，直線平面，.求證：平面平面；
5-5．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖所示，在幾何體中，平面，點(diǎn)在平面的投影在線段上，，，，平面.證明：平面平面.
（三）
垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用
(1)三種垂直的綜合問題，一般通過作輔助線進(jìn)行線線、線面、面面垂直間的轉(zhuǎn)化．
(2)對(duì)于線面關(guān)系中的存在性問題，首先假設(shè)存在，然后在該假設(shè)條件下，利用線面關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進(jìn)行推理論證．
題型6：垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用
6-1．（2024·安徽淮北·一模）如圖，已知四棱錐的底面是平行四邊形，側(cè)面PAB是等邊三角形，，，．
(1)求證：面面ABCD；
(2)設(shè)Q為側(cè)棱PD上一點(diǎn)，四邊形BEQF是過B，Q兩點(diǎn)的截面，且平面BEQF，是否存在點(diǎn)Q，使得平面平面PAD？若存在，確定點(diǎn)Q的位置；若不存在，說明理由．
6-2．（2024·江西贛州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱柱中，側(cè)面是矩形，側(cè)面是菱形，，、分別為棱、的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn).

(1)證明：平面；
(2)在棱上是否存在一點(diǎn)，使平面平面？若存在，請(qǐng)指出點(diǎn)的位置，并證明你的結(jié)論；若不存在，請(qǐng)說明理由.
6-3．（2024·天津·二模）如圖，在三棱錐A﹣BCD中，頂點(diǎn)A在底面BCD上的射影O在棱BD上，AB＝AD＝，BC＝BD＝2，∠CBD＝90°，E為CD的中點(diǎn)．
（1）求證：AD⊥平面ABC；
（2）求二面角B﹣AE﹣C的余弦值；
（3）已知P是平面ABD內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)Q為AE中點(diǎn)，且PQ⊥平面ABE，求線段PQ的長(zhǎng)．
6-4．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正三棱柱（側(cè)棱垂直于底面，且底面三角形是等邊三角形）中，，、、分別是，，的中點(diǎn)．
(1)求證：平面平面；
(2)在線段上是否存在一點(diǎn)使平面？若存在，確定點(diǎn)的位置；若不存在，也請(qǐng)說明理由．
專題34 直線、平面垂直的判定與性質(zhì)6題型分類
1．直線與平面垂直
(1)直線和平面垂直的定義
一般地，如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，就說直線l與平面α互相垂直．
(2)判定定理與性質(zhì)定理
2.直線和平面所成的角
(1)定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角．一條直線垂直于平面，我們說它們所成的角是90°；一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，我們說它們所成的角是0°.
(2)范圍：eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
3．二面角
(1)定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角．
(2)二面角的平面角：如圖，在二面角α－l－β的棱l上任取一點(diǎn)O，以點(diǎn)O為垂足，在半平面α和β內(nèi)分別作垂直于棱l的射線OA和OB，則射線OA和OB構(gòu)成的∠AOB叫做二面角的平面角．
(3)二面角的范圍：[0，π]．
4．平面與平面垂直
(1)平面與平面垂直的定義
一般地，兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個(gè)平面互相垂直．
(2)判定定理與性質(zhì)定理
常用結(jié)論
1．三垂線定理
平面內(nèi)的一條直線如果和穿過這個(gè)平面的一條斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直．
2．三垂線定理的逆定理
平面內(nèi)的一條直線如果和穿過該平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線在該平面內(nèi)的射影垂直．
3．兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，它們的交線也垂直于第三個(gè)平面．
一、單選題
1．（2024高三上·湖北·開學(xué)考試）已知a，b是兩條不重合的直線，為一個(gè)平面，且a⊥，則“b⊥”是“a//b”的（ ）
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【分析】利用充分條件、必要條件的定義即可得出選項(xiàng).
【詳解】當(dāng)b⊥時(shí)，結(jié)合a⊥，可得a//b，充分性滿足；
當(dāng)a//b時(shí)，結(jié)合a⊥a，可得b⊥a，必要性滿足.
故選：C.
2．（2024高三上·山東濰坊·階段練習(xí)）在底面為正方形，側(cè)棱垂直于底面的四棱柱中，，異面直線與所成角的余弦值為，則直線與直線的距離為（ ）
A．2B．1C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)異面直線與所成角的余弦值為求出底面正方形的邊長(zhǎng)，進(jìn)而可求解.
【詳解】
如圖，該四棱柱為長(zhǎng)方體，因?yàn)?
所以為異面直線與所成角，
設(shè)底面正方形邊長(zhǎng)為，則，
在中，，
解得，
因?yàn)樵撍睦庵鶠殚L(zhǎng)方體，所以平面，平面，
所以,同理,
所以直線與直線的距離為，
故選:B.
3．（2024高一下·全國(guó)·課后作業(yè)）若平面平面，平面平面，則（ ）
A．
B．
C．與相交但不垂直
D．以上都有可能
【答案】D
【分析】以正方體為模型可得D正確.
【詳解】在正方體中，相鄰兩側(cè)面都與底面垂直；相對(duì)的兩側(cè)面都與底面垂直；一側(cè)面和一對(duì)角面都與底面垂直，故選D.
【點(diǎn)睛】立體幾何中關(guān)于點(diǎn)、線、面之間位置關(guān)系的命題的真假問題，可在正方體中考慮它們成立與否，因?yàn)檎襟w中涵蓋了點(diǎn)、線、面的所有位置關(guān)系，注意有時(shí)需要?jiǎng)討B(tài)地考慮位置關(guān)系.
4．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）空間中直線l和三角形的兩邊，同時(shí)垂直，則這條直線和三角形的第三邊的位置關(guān)系是（ ）
A．平行B．垂直C．相交D．不確定
【答案】B
【分析】由線面垂直的判定以及線面垂直的定義可判斷結(jié)果.
【詳解】因?yàn)槿切蔚膬蛇?，有交點(diǎn)，
且直線和，同時(shí)垂直，
所以該直線垂直平面，故該直線與垂直.
故選：B
5．（2024·全國(guó)）在正方體中，P為的中點(diǎn)，則直線與所成的角為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】平移直線至，將直線與所成的角轉(zhuǎn)化為與所成的角，解三角形即可.
【詳解】
如圖，連接，因?yàn)椤危?br>所以或其補(bǔ)角為直線與所成的角，
因?yàn)槠矫妫?，又，?br>所以平面，所以，
設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，則，
，所以.
故選：D
6．（2024·黑龍江齊齊哈爾·一模）已知兩條不同的直線l，m及三個(gè)不同的平面α，β，γ，下列條件中能推出的是（ ）
A．l與α，β所成角相等B．，
C．，，D．，，
【答案】C
【分析】ABD可舉出反例；C選項(xiàng)，可根據(jù)平行的傳遞性和垂直關(guān)系進(jìn)行證明.
【詳解】對(duì)于A，正方體中，設(shè)邊長(zhǎng)為，連接，則為與平面所成角，
由勾股定理得到，故，
同理可得和所成角的正弦值為，故與平面和所成角大小相等，
但平面與平面不平行，故A錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)，平面⊥平面，平面⊥平面，但平面與平面不平行，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，由，得，又，所以，故C正確；
對(duì)于D，l與m可同時(shí)平行于α與β的交線，故D錯(cuò)誤．
故選：C．
7．（2024·北京海淀·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)是三個(gè)不同的平面，是兩條不同的直線，給出下列三個(gè)結(jié)論：①若，則；②若，則；③若，，則．其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】利用直線與平面垂直的性質(zhì)判斷命題①和②的真假，舉出符合命題③條件的實(shí)例判斷其真假而得解.
【詳解】對(duì)于命題①：若，由垂直于同一平面的兩條直線平行，可得，即①正確；
對(duì)于命題②：若，由垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行，可得，即②正確；
對(duì)于命題③：若，，如墻角處的三個(gè)平面兩兩垂直，可判定相交，即不成立，③不正確，
故給定的三個(gè)結(jié)論只有①和②兩個(gè)正確.
故選：C
8．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）平行四邊形ABCD中，，將三角形ABD沿著BD翻折至三角形，則下列直線中有可能與直線垂直的是（ ）
①直線；②直線；③直線；④直線.
A．①②B．①④
C．②③D．③④
【答案】A
【分析】若，當(dāng)平面平面時(shí)，有，可判斷①；若，會(huì)超過，故存在，可判斷②；，始終為銳角可判斷③④．
【詳解】如圖．

對(duì)于①，若，當(dāng)平面平面時(shí)，平面平面，
平面，所以平面，平面，則，故①正確；
對(duì)于②，若，則在翻折過程中，會(huì)超過，故存在，
∵，故直線與直線有可能垂直，故②正確；
對(duì)于③，在中，∵，∴為銳角，即為銳角，故直線與直線不可能垂直，故③錯(cuò)誤；
對(duì)于④，∵，∴中，，∴始終為銳角，故直線不可能與直線垂直，故④錯(cuò)誤．
故選：A.
9．（2024高一·江蘇·課后作業(yè)）對(duì)于直線m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一個(gè)條件是（ ）
A．m⊥n，m∥α，n∥βB．m⊥n，α∩β＝m，n?α
C．m∥n，n⊥β，m?αD．m∥n，m⊥α，n⊥β
【答案】C
【分析】在A中，與β相交或相行；在B中，與不一定垂直；在C中，由面面垂直的判定定理得α⊥β；在D中，由面面平行的判定定理得.
【詳解】在A中，m⊥n，m∥α，n∥β，則與β相交或相行，故A錯(cuò)誤；
在B中，m⊥n，α∩β＝m，n?α，則與不一定垂直，故B錯(cuò)誤；
在C中，m∥n，n⊥β，m?α，由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正確；
在D中，m∥n，m⊥α，n⊥β，由面面平行的判定定理得，故D錯(cuò)誤.
故選：C
10．（2024高一下·吉林·期末）設(shè)，，表示空間中三條不同的直線，，表示兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（ ）
A．若，，則
B．若，，，，則
C．若，，則
D．若，，則
【答案】C
【分析】根據(jù)直線、平面之間的位置關(guān)系，及線面垂直的性質(zhì)定理進(jìn)行判斷即可.
【詳解】A選項(xiàng)，當(dāng)，時(shí)，不一定有，也可能異面，所以A錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)，當(dāng)，平行時(shí)，可能不成立，所以B錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，由線面垂直的性質(zhì)定理知，C正確；
D選項(xiàng)，當(dāng)，時(shí)，可能相交，所以D錯(cuò)誤.
故選：C.
11．（2024高一·全國(guó)·課后作業(yè)）已知直線平面，則經(jīng)過且和垂直的平面（ ）
A．有一個(gè)B．有兩個(gè)C．有無數(shù)個(gè)D．不存在
【答案】C
【分析】利用面面垂直的判定求解即可.
【詳解】由題知：經(jīng)過直線的平面有無數(shù)個(gè)，
根據(jù)面面垂直的判定可知：這些平面都和平面垂直，
所以經(jīng)過且和垂直的平面有無數(shù)個(gè).
故選：C
12．（2024高一下·浙江寧波·期末）給出下列4個(gè)命題，其中正確的命題是（ ）．
①垂直于同一直線的兩條直線平行； ②垂直于同一平面的兩條直線平行；
③垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行； ④垂直于同一平面的兩個(gè)平面平行．
A．①②B．③④C．②③D．①④
【答案】C
【分析】由線線的位置關(guān)系可判斷①；由線面垂直的性質(zhì)定理可判斷②；由線面垂直的性質(zhì)和面面平行的判定可判斷③；由面面的位置關(guān)系可判斷④．
【詳解】解：對(duì)于①，垂直于同一直線的兩條直線平行、相交或異面，故①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，垂直于同一平面的兩條直線平行，故②正確；
對(duì)于③，垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行，故③正確；
對(duì)于④，垂直于同一平面的兩個(gè)平面平行或相交，故④錯(cuò)誤．
故選：C．
13．（2024高二上·北京·期中）在三棱錐中，若，，那么必有（ ）

A．平面平面B．平面平面
C．平面平面D．平面平面
【答案】A
【解析】由已知條件推導(dǎo)出平面，結(jié)合面面垂直的判定定理可判斷A選項(xiàng)的正誤；利用面面垂直的性質(zhì)定理可判斷BCD選項(xiàng)的正誤.
【詳解】，，且，平面.
對(duì)于A選項(xiàng)，平面，所以，平面平面，A選項(xiàng)正確；
對(duì)于B選項(xiàng)，若平面平面，過點(diǎn)在平面內(nèi)作，如下圖所示：
由于平面平面，平面平面，，平面，
平面，
又平面，過點(diǎn)作平面的直線有且只有一條，假設(shè)不成立，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于C選項(xiàng)，若平面平面，平面平面，，平面，平面，
平面，則，而與是否垂直未知，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于D選項(xiàng)，過點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，
若平面平面，平面平面，，平面，
所以，平面，
平面，，
，，平面，
平面，，但與是否垂直未知，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：A.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：證明面面垂直常用的方法：
（1）面面垂直的定義；
（2）面面垂直的判定定理.
在證明面面垂直時(shí)，一般假設(shè)面面垂直成立，然后利用面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直，即為所證的線面垂直，組織論據(jù)證明即可.
14．（2024高一下·河南·期末）如圖，在三棱錐中，平面ABC，，，，則點(diǎn)A到平面PBC的距離為（ ）．
A．B．C．3D．
【答案】A
【分析】根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得，再根據(jù)線面垂直的判定定理可得平面PAB，則有，再利用等體積法即可得出答案.
【詳解】解：因?yàn)槠矫鍭BC，平面ABC，所以，
又因?yàn)?，即?br>因?yàn)?，所以平面PAB，
又平面PAB，所以，
因?yàn)椋?，所以?br>的面積，
設(shè)點(diǎn)A到平面PBC的距離為h，
則三棱錐的體積，
即，解得，
即點(diǎn)A到平面PBC的距離為.
故選：A.
15．（2024高二上·北京·期中）如圖，四邊形ABCD中，AB=AD=CD=1，BA⊥AD，BD⊥CD，將四邊形ABCD沿對(duì)角線BD折成四面體，使平面⊥平面BCD，則四面體的體積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用面面垂直的性質(zhì)定理證明平面，然后用等積法求解即可
【詳解】由題意，平面⊥平面BCD，平面平面，
又BD⊥CD，平面，
所以平面，
因?yàn)锳B=AD=CD=1，
所以，
所以，
所以四面體的體積為，
故選：A
16．（2024高一下·福建廈門·期末）如圖（1）平行六面體容器盛有高度為的水，，.固定容器底而一邊于地面上，將容器傾斜到圖（2）時(shí)，水面恰好過，，，四點(diǎn)，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，，作于點(diǎn)，利用邊角關(guān)系以及線面位置關(guān)系結(jié)合余弦定理求出的值，證明面，即可得點(diǎn)到面的距離，從而得平面到平面的距離，進(jìn)而可得的值.
【詳解】
如圖：作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，
因?yàn)?，則，
，
又因?yàn)椋詾榈冗吶切?，則，
取的中點(diǎn)，連接，，則，，
，
因?yàn)?，所以面?br>則，
，
由余弦定理可得：，
所以，
作于點(diǎn)，因?yàn)槊?，面?br>所以，因?yàn)椋悦妫?br>所以點(diǎn)到面的距離為，
故平面到平面的距離為，
由題意可知：所盛水的體積為平行六面體容器的一半，
所以，
故選：B.
17．（2024高一下·山西太原·期末）如圖，在長(zhǎng)方體中，..則直線與平面的距離為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】過A作AE⊥BD于E，則直線與平面的距離為AE，在直角三角形ABD中，解三角形，即可求出AE.
【詳解】因?yàn)闉殚L(zhǎng)方體，所以面⊥面ABCD，
過A作AE⊥BD于E，則AE⊥面，所以直線與平面的距離為AE.
在直角三角形ABD中，由等面積法可得：
故選：C
18．（2024高二上·北京豐臺(tái)·期中）棱長(zhǎng)為1正方體中，E為的中點(diǎn)，則E到面的距離（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】結(jié)合已知條件可知平面，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為到面的距離，然后利用線面垂直的性質(zhì)和判定證明平面，最后利用正方體的棱長(zhǎng)即可求解.
【詳解】由題意，連接，交于，如下圖：
由正方體性質(zhì)易知，平面，
故E到面的距離為到面的距離，
由正方體性質(zhì)可知，平面，平面，
故，
由正方形性質(zhì)可知，，
因?yàn)槠矫?，平面，?br>所以平面，
因?yàn)椋?br>所以到面的距離為，
從而E到面的距離為.
故選：A.
19．（2024高二下·江蘇泰州·期末）已知球O的半徑為2，A，B，C為球面上的三個(gè)點(diǎn)，，點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)，若OP與平面ABC所成角的最大值為，則O到平面ABC的距離為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】作出輔助線，找到為OP與平面ABC所成的角，且P移動(dòng)到AB中點(diǎn)K時(shí)，OP的長(zhǎng)度最小，為OP與平面ABC所成的最大角，設(shè)出邊長(zhǎng)，列出方程，求出O到平面ABC的距離.
【詳解】記ABC外接圓圓心為，則平面ABC，
故為OP與平面ABC所成的角，
如圖，當(dāng)P移動(dòng)到AB中點(diǎn)K時(shí)，OP的長(zhǎng)度最小，
對(duì)應(yīng)正切值最大，OP與平面ABC所成的角最大，
則為OP與平面ABC所成的最大角，
根據(jù)題意：，
設(shè)，則，，
在Rt與Rt中，有，
即，求得：，
故O到平面ABC的距離為
故選：A.
20．（2024·浙江）如圖已知正方體，M，N分別是，的中點(diǎn)，則（ ）
A．直線與直線垂直，直線平面
B．直線與直線平行，直線平面
C．直線與直線相交，直線平面
D．直線與直線異面，直線平面
【答案】A
【分析】由正方體間的垂直、平行關(guān)系，可證平面，即可得出結(jié)論.
【詳解】
連，在正方體中，
M是的中點(diǎn)，所以為中點(diǎn)，
又N是的中點(diǎn)，所以，
平面平面，
所以平面.
因?yàn)椴淮怪?，所以不垂?br>則不垂直平面，所以選項(xiàng)B,D不正確；
在正方體中，，
平面，所以，
，所以平面，
平面，所以，
且直線是異面直線，
所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，選項(xiàng)A正確.
故選：A.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：熟練掌握正方體中的垂直、平行關(guān)系是解題的關(guān)鍵，如兩條棱平行或垂直，同一個(gè)面對(duì)角線互相垂直，正方體的對(duì)角線與面的對(duì)角線是相交但不垂直或異面垂直關(guān)系.
21．（2024·全國(guó)）在正方體中，E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)，則（ ）
A．平面平面B．平面平面
C．平面平面D．平面平面
【答案】A
【分析】證明平面，即可判斷A；如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，分別求出平面，，的法向量，根據(jù)法向量的位置關(guān)系，即可判斷BCD.
【詳解】解：在正方體中，
且平面，
又平面，所以，
因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，
所以，所以，
又，
所以平面，
又平面，
所以平面平面，故A正確；
選項(xiàng)BCD解法一：
如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，
則，
，
則，，
設(shè)平面的法向量為，
則有，可取，
同理可得平面的法向量為，
平面的法向量為，
平面的法向量為，
則，
所以平面與平面不垂直，故B錯(cuò)誤；
因?yàn)榕c不平行，
所以平面與平面不平行，故C錯(cuò)誤；
因?yàn)榕c不平行，
所以平面與平面不平行，故D錯(cuò)誤，
故選：A.
選項(xiàng)BCD解法二：
解：對(duì)于選項(xiàng)B，如圖所示，設(shè)，，則為平面與平面的交線，
在內(nèi)，作于點(diǎn)，在內(nèi)，作，交于點(diǎn)，連結(jié)，
則或其補(bǔ)角為平面與平面所成二面角的平面角，
由勾股定理可知：，，
底面正方形中，為中點(diǎn)，則，
由勾股定理可得，
從而有：，
據(jù)此可得，即，
據(jù)此可得平面平面不成立，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)C，取的中點(diǎn)，則，
由于與平面相交，故平面平面不成立，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D，取的中點(diǎn)，很明顯四邊形為平行四邊形，則，
由于與平面相交，故平面平面不成立，選項(xiàng)D錯(cuò)誤；
故選：A.
22．（2024高三·云南昆明·階段練習(xí)）過正方體的頂點(diǎn)A的平面與直線垂直，且平面與平面的交線為直線，平面與平面的交線為直線，則直線與直線所成角的大小為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
證明平面，可得平面，再根據(jù)面面平行的性質(zhì)可得，，可得為直線與直線所成角，從而得出角的大小.
【詳解】
解：如圖，在正方體中，
，平面，
又平面，所以，
又平面，
所以平面，
又平面，所以，
同理，
又平面，
所以平面，
因?yàn)槠矫媾c直線垂直，
所以平面，
又因平面與平面的交線為直線，平面平面，
所以，
平面與平面的交線為直線，平面平面，
所以，
所以即為直線與直線所成角的平面角，
因?yàn)闉榈冗吶切危?br>所有，
所有直線與直線所成角的大小為.
故選：C.
23．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）在正方體中，P，Q分別為AB，CD的中點(diǎn)，則（ ）
A．平面B．平面平面
C．平面D．平面平面
【答案】D
【分析】畫出正方體，結(jié)合幾何體圖像，根據(jù)線面平行、面面垂直、線面垂直、面面垂直的判定條件判斷各選項(xiàng)即可.
【詳解】如圖，因?yàn)?，而與平面相交，則A選項(xiàng)不正確；
因?yàn)?，，所以平面平面?br>而平面與平面相交，則B選項(xiàng)不正確；
在矩形中，與不垂直，即與平面不垂直，則C選項(xiàng)不正確；
設(shè)的中點(diǎn)為G，因?yàn)?，所以?br>又因?yàn)?，，所以?br>所以平面，所以平面平面，則D選項(xiàng)正確.
故選：D.
24．（2024·全國(guó)·一模）設(shè)m，n是不同的直線，α、β、γ是不同的平面，有以下四個(gè)命題：①；② ；③ ；④ .其中正確的命題是（ ）
A．①④B．②③
C．①③D．②④
【答案】C
【分析】根據(jù)線面，面面平行和垂直的判定定理，性質(zhì)定理逐項(xiàng)進(jìn)行分析即可求解.
【詳解】若，，則根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理和判定定理可得，故①正確；
若，，則或與相交或在平面內(nèi)，故②不正確；
因?yàn)?，所以?nèi)有一直線與平行，而，則，根據(jù)面面垂直的判定定理可知：，故③正確；
若，，則或，故④不正確，
故選：.
25．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）下列結(jié)論正確的是（ ）
A．已知直線，若，則.
B．設(shè)是兩條不同的直線，是一個(gè)平面，若，，則.
C．若兩平面垂直，則其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個(gè)平面．
D．若平面內(nèi)的一條直線垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線，則.
【答案】B
【分析】根據(jù)線線、線面的位置關(guān)系，結(jié)合平面的基本性質(zhì)、直觀想象判斷各項(xiàng)正誤即可.
【詳解】A：若面的相交直線，此時(shí)，滿足，但不成立，錯(cuò)；
B：由，，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理易知，對(duì)；
C：如下圖，若，且相交但不垂直，此時(shí)并不垂直面中的任意直線，錯(cuò)；

D：如下圖，若，則在面中所有平行于的直線（無數(shù)條）都與垂直，但不成立，錯(cuò).

故選：B
二、多選題
26．（2024·全國(guó)）如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點(diǎn)，M，N為正方體的頂點(diǎn)．則滿足的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】根據(jù)線面垂直的判定定理可得BC的正誤，平移直線構(gòu)造所考慮的線線角后可判斷AD的正誤.
【詳解】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，
對(duì)于A，如圖（1）所示，連接，則，
故（或其補(bǔ)角）為異面直線所成的角，
在直角三角形，，，故，
故不成立，故A錯(cuò)誤.
對(duì)于B，如圖（2）所示，取的中點(diǎn)為，連接，，則，，
由正方體可得平面，而平面，
故，而，故平面，
又平面，，而，
所以平面，而平面，故，故B正確.
對(duì)于C，如圖（3），連接，則，由B的判斷可得，
故，故C正確.
對(duì)于D，如圖（4），取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，
則，
因?yàn)?，故，故?br>所以或其補(bǔ)角為異面直線所成的角，
因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為2，故，，
，，故不是直角，
故不垂直，故D錯(cuò)誤.
故選：BC.
27．（2024高三上·廣東潮州·期末）如圖，四棱錐的底面為正方形，底面，則下列結(jié)論中正確的是（ ）

A．
B．
C．平面平面
D．
【答案】ABC
【分析】利用線面垂直和面面垂直的性質(zhì)和判定方法逐項(xiàng)判斷即可.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A,C，
因?yàn)榈酌?，平?則，
因?yàn)?且平面,平面，
所以平面，
因?yàn)槠矫?，所以?br>且平面，所以平面⊥平面，故A，C正確；
對(duì)于B,由選項(xiàng)A知，
，又，且平面,平面
所以平面，
且平面，所以，故B正確；
對(duì)于D,若，
則垂直于在平面內(nèi)的射影，顯然不成立，故D錯(cuò)誤.
故選：ABC.
28．（2024高二下·云南普洱·期末）如圖，點(diǎn)P在正方體的面對(duì)角線上運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．三棱錐的體積不變B．平面
C．D．平面平面
【答案】AD
【分析】證明平面判斷A；由面面平行說明判斷B；由正三角形說明判斷C；證明平面判斷D作答.
【詳解】在正方體中，，，即四邊形為平行四邊形，如圖，

則，而平面，平面，則有平面，
因此，點(diǎn)P到平面的距離為定值，而面積是定值，則三棱錐的體積不變，A正確；
由選項(xiàng)A知，平面，同理平面，而，平面，
則有平面平面，又平面，因此，平面，B不正確；
如圖，連接，顯然是正三角形，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，，
點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中，不是總有成立， C不正確；
如圖連接，在正方體中，，而平面，平面，
則，又，平面，有平面，平面，于是得，
同理，因，平面，則平面，
平面，所以平面平面，D正確.
故選：AD
三、填空題
29．（2024高一下·全國(guó)·專題練習(xí)）已知如圖邊長(zhǎng)為的正方形外有一點(diǎn)且平面，，二面角的大小的正切值 ．
【答案】
【分析】由線面垂直的判定和性質(zhì)，結(jié)合二面角平面角定義可知所求角為，根據(jù)長(zhǎng)度關(guān)系可求得結(jié)果.
【詳解】設(shè)，連接，
平面，平面，，，
四邊形為正方形，，
，平面，平面，
又平面，，是二面角的平面角，
由，得：.
故答案為：.
30．（2024高二上·上海徐匯·期末）已知正方體中，，點(diǎn)P在平面內(nèi)，，求點(diǎn)P到距離的最小值為 .
【答案】
【分析】分別取、的中點(diǎn)、，連接、、、，證明出平面，對(duì)于平面內(nèi)任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作分別交、、于點(diǎn)、、，分析可知點(diǎn)到直線的距離等于線段的長(zhǎng)，當(dāng)時(shí)，最短，此時(shí)點(diǎn)到直線的距離取到最小值，利用等面積法求解即可.
【詳解】分別取、的中點(diǎn)、，連接、、、，
且，所以，四邊形為平行四邊形，
所以，且，
因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，
則且，
所以，四邊形為平行四邊形，
故且，
平面，平面，
、平面，則，，
，則，
因?yàn)椋矫妫?br>，
對(duì)于平面內(nèi)任意一點(diǎn)，
過點(diǎn)作分別交、、于點(diǎn)、、，
，，
所以點(diǎn)到直線的距離等于點(diǎn)到直線的距離，
平面，故，所以點(diǎn)到直線的距離為線段的長(zhǎng)，
，則是以為直角的直角三角形，
當(dāng)時(shí)，最短，此時(shí)點(diǎn)到直線的距離取到最小值.
在正方體中，平面，又平面，
所以，又,
所以，
所以在中由等面積法可得：
，即，
所以到直線的距離取到最小值為，
故答案為：.
31．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知直線a，b和平面，且，，則與的位置關(guān)系是 ．
【答案】或
【分析】考慮和兩種情況，根據(jù)直線和平面的位置關(guān)系得到答案.
【詳解】因?yàn)?，?br>當(dāng)時(shí)，滿足條件；
當(dāng)時(shí)，.
綜上所述：或.
故答案為：或
32．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）正方體中與垂直的平面有 （填序號(hào)）．
①平面；②平面；③平面；④平面．
【答案】④
【分析】求出與平面、平面、平面所成的角可判斷①②③；利用線面垂直的判定定理可判斷④.
【詳解】因?yàn)槠矫妫矫?，所以，所以即?br>與平面成的角，又，所以與平面成的角為，
故①錯(cuò)誤；
因?yàn)槭堑冗吶切?，得到直線與直線的夾角為，
由于，從而直線與直線的夾角為，
因此直線不與平面垂直，于是排除②；
因?yàn)槠矫?，平面，所以?br>所以即為與平面成的角，又，
所以與平面成的角為，故③錯(cuò)誤；
根據(jù)平面，平面，得到，
由于，且，平面，因此平面，故④正確．
故答案為：④.

33．（2024高三下·河北衡水·階段練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)均為的正四面體ABCD中，M為AC中點(diǎn)，E為AB中點(diǎn)，P是DM上的動(dòng)點(diǎn)，Q是平面ECD上的動(dòng)點(diǎn)，則AP+PQ的最小值是 ．
【答案】
【分析】由題意，平面CDE⊥平面ABC，找出DM在平面CDE上的射影，再把平面DMA沿DM把平面ADM展開，使得平面ADM與平面DMG重合，則AP+PQ的最小值為A到DG的距離，然后求解三角形得答案．
【詳解】由題意，平面CDE⊥平面ABC，
又平面CDE∩平面ABC＝CE，在平面內(nèi)過M作MG⊥CE，則平面
則MG⊥平面CDE，連接DG，則DG為DM在平面CDE上的射影，
要使AP+PQ最小，則PQ⊥DG，沿DM把平面ADM展開，使得平面ADM與平面DMG重合，
則AP+PQ的最小值為A到DG的距離．
，，則，
∴，
，
∴
．
又，∴．
故答案為：．
34．（2024高二上·山東棗莊·期中）如圖，在菱形中，，，是的中點(diǎn)，將沿直線翻折至的位置，使得面面，則點(diǎn)到直線的距離為 .
【答案】
【分析】利用菱形的性質(zhì)可得，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理可得平面，，進(jìn)一步得到，并計(jì)算，最后利用勾股定理可得結(jié)果.
【詳解】解：在菱形中，，，
所以是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，
又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，
所以，又面面，面面，
平面，所以平面，
作交于點(diǎn)，由，，平面
所以平面，所以
，所以
故答案為：
35．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在三棱錐中，點(diǎn)P在平面ABC中的射影為點(diǎn)O.
（1）若PA＝PB＝PC，則點(diǎn)O是△ABC的 心．
（2）若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，則點(diǎn)O是△ABC的 心．
【答案】 外 垂
【分析】（1）如圖1，連接OA，OB，OC，OP，則Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC，從而可得答案.
（2）如圖2，延長(zhǎng)AO，BO，CO分別交BC，AC，AB于H，D，G，則利用線面垂直的判定和性質(zhì)可證得CG，BD，AH分別為△ABC邊AB，AC，BC上的高，從而可得答案.
【詳解】（1）如圖1，連接OA，OB，OC，OP，在Rt△POA，Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PC＝PB，PO公共邊，
所以Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC，
所以O(shè)A＝OB＝OC，即O為△ABC的外心．

（2）如圖2，延長(zhǎng)AO，BO，CO分別交BC，AC，AB于H，D，G.
∵PC⊥PA，PB⊥PC，，平面，
∴PC⊥平面PAB，
又AB?平面PAB，∴PC⊥AB，
∵平面，平面，∴，
∵，平面，
∴AB⊥平面PGC，
又CG?平面PGC，∴AB⊥CG，即CG為△ABC邊AB上的高．
同理可證BD，AH分別為△ABC邊AC，BC上的高，
即O為△ABC的垂心．
故答案為：外;垂
四、解答題
36．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，已知，證明：.

【答案】證明見解析
【分析】構(gòu)造輔助線，利用面面垂直的定義可得面面垂直.
【詳解】
如圖，設(shè)，，在平面內(nèi)過作，
設(shè)為直線異于的一點(diǎn)，為直線異于的一點(diǎn)
因?yàn)?，，故?br>由，故為二面角的平面角，
由可得，故.
37．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，已知.證明：.

【答案】證明見解析
【分析】利用基底向量可證明線面垂直.
【詳解】
設(shè)平面內(nèi)與共線的一個(gè)非零向量記為，平面內(nèi)與共線的一個(gè)非零向量記為，
因?yàn)椋?，為不共線的向量，
對(duì)于平面內(nèi)任意一條，設(shè)平面內(nèi)與共線的一個(gè)非零向量記為，
空間中與共線的一個(gè)非零向量記為，
由平面向量基本定理可得：存在實(shí)數(shù)，使得，
因?yàn)?，則故，
故，故，由線面垂直的定義可得.
38．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，已知四棱錐的底面是正方形，面．求證：面面；

【答案】證明見解析
【分析】利用線面垂直的判定定理、性質(zhì)定理和面面垂直的判定定理可得答案.
【詳解】由四棱錐的底面為正方形，所以，
又由平面，且平面，所以，
因?yàn)榍移矫?，所以平面?br>又因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?
39．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）正方體中，為棱的中點(diǎn)，求平面和平面夾角的余弦值.
【答案】
【分析】利用射影面與原平面的面積比求二面角的余弦值即可.
【詳解】設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為2，則；
在中，，，，
利用余弦定理，
則；
則.
40．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，已知，，.證明：.

【答案】證明見解析
【分析】根據(jù)面面垂直的定義，構(gòu)造線面垂直的條件，即可證明.
【詳解】過直線與直線的交點(diǎn)，在面內(nèi)作交線的垂線，即，，
因?yàn)椋?，，所以?br>
又，直線，相交且都在面內(nèi)，
所以
41．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在三棱錐中，為的中點(diǎn)，，，，，，.證明：平面.

【答案】證明見解析
【分析】利用直角三角形和等腰三角形的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理可證，然后由線面垂直的判定定理可證.
【詳解】證明：，
∴為等腰直角三角形，
又M為AC的中點(diǎn)，AC＝2，
∴，且，
又，
，
綜上有：，又，即，
，
又，平面，
平面.
42．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知正方體.求證：⊥平面A1D C.

【答案】證明見解析
【分析】利于線面垂直的判定定理和性質(zhì)即可.
【詳解】正方體．
，平面，
平面，
，
又，
且平面,平面
平面．
43．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，已知.證明：∥.

【答案】證明見解析
【分析】利用反證法，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)分析證明.
【詳解】假設(shè)結(jié)論不成立，則直線相交或異面，
過直線與平面的交點(diǎn)作直線的平行線，
設(shè)直線所確定的平面為，夾角為，畫出平面的交線，

可知，且，則，
可以推出平角為，
這與已有事實(shí)矛盾，故假設(shè)不成立，所以∥.
44．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖所示，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，，.求證：平面平面；

【答案】證明見解析
【分析】證明平面后得，在直角梯形中求出，由勾股定理逆定理證明，可證得平面，最后可得證面面垂直．
【詳解】四邊形為直角梯形，，，，
又，，平面，平面，
又平面，；
作，垂足為，則是矩形，
，，，，
又，，，
，，，
，平面，平面，
平面，平面平面.
45．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在幾何體中，矩形所在平面與平面互相垂直，且，，．求證：平面；
【答案】證明見解析
【分析】由面面垂直的性質(zhì)定理、線面垂直的性質(zhì)定理可得，由勾股定理逆定理可得，再由線面垂直的判定定理可得答案.
【詳解】在矩形中，，
又平面平面，平面平面=，
平面，所以平面，
又平面，所以，
在矩形中，，
又，所以，
所以，
又，平面，
所以平面.
46．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，已知，.證明：平面；
【答案】證明見解析
【分析】由余弦定理求得，由勾股定理逆定理得，然后可由線面垂直的判定定理得證線面垂直．
【詳解】在中，，
所以.
所以，故，則.
又，即.
平面，
所以平面.
47．（2024高三上·陜西漢中·階段練習(xí)）如圖，在四棱柱中，底面，底面滿足，且，.

(1)求證：平面；
(2)求四棱錐的體積.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得，利用勾股定理逆定理可得，再根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明平面；
（2）根據(jù)題目中各邊的長(zhǎng)度由勾股定理可得，再由直棱柱性質(zhì)可得為四棱錐的高，根據(jù)錐體體積公式求出結(jié)果即可.
【詳解】（1）由底面，平面，
所以，
又因?yàn)椋?
滿足，可得，
又，平面，
所以平面.
（2）由（1）中，且，，可得，
因此，即，
又平面，，
可得平面，平面，
即，
又，平面，
所以平面，即為四棱錐的高，
即四棱錐的體積..
48．（2024·江蘇南京·二模）如圖，四棱錐P－ABCD中，AD⊥平面PAB，AP⊥AB．
（1）求證：CD⊥AP；
（2）若CD⊥PD，求證：CD∥平面PAB；
【答案】（1）見解析;（2）見解析.
【詳解】試題分析：（1）由平面，得到，由，進(jìn)而證得平面，即可證明；
（2）首先證得平面，平面，得到，利用直線與平面平行的判定定理，即可證得結(jié)論．
試題解析：
（1）因?yàn)锳D⊥平面PAB，AP?平面PAB，
所以AD⊥AP．又因?yàn)锳P⊥AB ，AB∩AD＝A，AB?平面ABCD，AD?平面ABCD，
所以AP⊥平面ABCD． 因?yàn)镃D?平面ABCD，
所以CD⊥AP．
（2）因?yàn)镃D⊥AP，CD⊥PD，且PD∩AP＝P，PD?平面PAD，AP?平面PAD，
所以CD⊥平面PAD． ①
因?yàn)锳D⊥平面PAB，AB?平面PAB，
所以AB⊥AD．
又因?yàn)锳P⊥AB，AP∩AD＝A，AP?平面PAD，AD?平面PAD，
所以AB⊥平面PAD． ②
由①②得CD∥AB，
因?yàn)镃D平面PAB，AB?平面PAB，
所以CD∥平面PAB．
49．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，三棱錐中，兩兩垂直，，且分別為線段的中點(diǎn).求證：平面平面.

【答案】證明見解析
【分析】由線面垂直的判定可得平面，再由線面垂直、等腰三角形的性質(zhì)有、，最后利用線面垂直、面面垂直的判定證結(jié)論即可.
【詳解】由兩兩垂直，即且，面，
所以平面，又平面，所以，
由，且分別為線段的中點(diǎn)，所以，
又，面，所以平面，
而平面，所以平面平面.
50．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，是以BC為斜邊的等腰直角三角形，，點(diǎn)D，E分別為棱BC，上的點(diǎn)，且 ，二面角的大小為，求實(shí)數(shù)的值．

【答案】
【分析】
在平面ABC內(nèi)，過點(diǎn)作AD的垂線，垂足為，則，設(shè)，利用圖形中的直角三角形，求出，可得實(shí)數(shù)的值．
【詳解】
在平面ABC內(nèi)，過點(diǎn)作AD的垂線，垂足為，連接，

直三棱柱中，平面，平面，，
又，，平面，平面，
平面，，
則為二面角的平面角，即．
設(shè)，則在直角三角形中，，所以，
在直角三角形CHA中，，，所以，
又為銳角，所以且，所以點(diǎn)在線段AD的延長(zhǎng)線上．
，
，所以．
51．（2024高二上·上海靜安·期中）如圖，已知平行六面體ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD＝60°
(1)證明：C1C⊥BD；
(2)當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r(shí)，能使A1C⊥平面C1BD?請(qǐng)給出證明．
【答案】(1)證明見解析
(2)＝1，證明見解析
【分析】(1)連結(jié)AC和BD交于O，根據(jù)題意可得C1O⊥BD，利用線面垂直的判定定理可得BD⊥平面AA1C1C，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)即可得出結(jié)果；
(2) 當(dāng)＝1時(shí)，能使A1C⊥平面C1BD．利用線面垂直的判定定理證明即可.
【詳解】（1）連結(jié)AC和BD交于O，
∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BC＝CD．
又∵∠BCC1＝∠DCC1，C1C＝C1C，∴△C1BC≌△C1DC，
∴C1B＝C1D，∵DO＝OB，∴C1O⊥BD．
又，平面AA1C1C，
∴BD⊥平面AA1C1C，平面AA1C1C，
∴C1C⊥BD．
（2）當(dāng)＝1時(shí)，能使A1C⊥平面C1BD．
證明：由（1）知，BD⊥平面AA1C1C，
∵A1C平面AA1C1C，∴BD⊥A1C，
當(dāng)＝1時(shí)，平行六面體的六個(gè)面是全等的菱形，
同理可得BC1⊥A1C，又BD∩BC1＝B，
∴A1C⊥平面C1BD．
52．（2024·河北邯鄲·二模）如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分別是棱BC，AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在棱CC1上，已知AB＝AC，AA1＝3，BC＝CF＝2．
（1）求證：C1E平面ADF；
（2）設(shè)點(diǎn)M在棱BB1上，當(dāng)BM為何值時(shí)，平面CAM⊥平面ADF．
【答案】（1）證明見解析；（2）當(dāng)BM＝1時(shí)，平面CAM⊥平面ADF．
【分析】（1）連接CE交AD于O，連接OF．因?yàn)镃E，AD為△ABC中線，所以O(shè)為△ABC的重心，，由此能夠證明OFC1E，進(jìn)而可得C1E平面ADF；．
（2）當(dāng)BM＝1時(shí)，平面CAM⊥平面ADF．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，先證出AD⊥平面B1BCC1．再證明當(dāng)BM＝1時(shí)，平面CAM⊥平面ADF．
【詳解】（1）證明：連接CE交AD于O，連接OF．
因?yàn)镃E，AD為ABC的中線，
則O為ABC的重心，
故，
故OFC1E，
因?yàn)镺F?平面ADF，C1E?平面ADF，
所以C1E平面ADF；
（2）當(dāng)BM＝1時(shí)，平面CAM⊥平面ADF．
證明如下：因?yàn)锳B＝AC，D為BC的中點(diǎn)，
故AD⊥BC．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，
BB1⊥平面ABC，BB1?平面B1BCC1，
故平面B1BCC1⊥平面ABC．
又平面B1BCC1∩平面ABC＝BC，AD?平面ABC，
所以AD⊥平面B1BCC1，
又CM?平面B1BCC1，
故AD⊥CM．
又BM＝1，BC＝2，CD＝1，F(xiàn)C＝2，
故RtCBM≌RtFCD．
易證CM⊥DF，又DF∩AD＝D，DF，AD?平面ADF，
故CM⊥平面ADF．
又CM?平面CAM，
故平面CAM⊥平面ADF．
【點(diǎn)睛】本小題主要考查空間線面關(guān)系、幾何體的體積等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力．
53．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正方體中，，.
（1）求證：；
（2）在線段上，是否存在點(diǎn)，使得平面？并說明理由.
【答案】（1）證明見解析；（2）存在，理由見解析.
【分析】（1）根據(jù)三角形的中位線定理和正方形的對(duì)角線的性質(zhì)可得證．.
（2）根據(jù)線面垂直的判定定理可證得平面．
【詳解】（1）如圖，連接，因?yàn)?，，所以，分別為，的中點(diǎn)，所以，
又，所以.
（2）如圖，取的中點(diǎn)，連接，，
因?yàn)槠矫?，所以，又，所?
因?yàn)?，，所?
因?yàn)椋云矫妫?br>所以在線段上，存在點(diǎn)，使得平面.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查空間中的線線垂直，線面垂直關(guān)系的證明，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確地應(yīng)用判定定理，滿足判定定理所需的條件得以證明．
54．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，，．試在平面內(nèi)確定一點(diǎn)H，使得平面，并寫出證明過程；

【答案】答案見解析
【分析】根據(jù)線線垂直證明線面垂直，即平面，進(jìn)而可得平面平面，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)即可求解.
【詳解】取棱BC的中點(diǎn)D，連接，AD．在等腰直角△ABC中，，
又平面，平面，所以，
平面，故平面．
又平面，故平面平面，這兩個(gè)平面的交線為．
在中，作，平面,
則有平面；

55．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在長(zhǎng)方體中，為棱的中點(diǎn)．

(1)證明：平面平面；
(2)畫出平面與平面的交線，并說明理由；
(3)求過三點(diǎn)的平面將四棱柱分成的上、下兩部分的體積之比．
【答案】(1)證明見解析
(2)答案見解析
(3)
【分析】（1）通過證明面，證平面平面；
（2）延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線相交于，連接，則即為平面與平面 的交線，易證結(jié)論；
（3）求得兩部分的體積，可求過三點(diǎn)的平面將四棱柱分成的上、下兩部分的體積之比.
【詳解】（1）在長(zhǎng)方體中， ，
與都是等腰直角三角形，
，，
平面平面，，
又面，面，
又平面平面平面；
（2）延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線相交于，連接，
則即為平面與平面的交線，理由如下：
平面，平面，
平面與平面的交線為；
（3）令與的交點(diǎn)為，
則三棱臺(tái)的體積為，
為棱的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，
是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，
，
，，
三棱臺(tái)的體積為，
過 三點(diǎn)的平面將四棱柱分成的上部分的體積為.
過三點(diǎn)的平面將四棱柱分成的上、下兩部分的體積之比為.

56．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在四面體ABCD中，平面BAD⊥平面CAD，∠BAD＝90°.M，N，Q分別為棱AD，BD，AC的中點(diǎn)．
（1）求證：CD∥平面MNQ；
（2）求證：平面MNQ⊥平面CAD.
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.
【分析】（1）由M，Q分別為棱AD，AC的中點(diǎn)，可得MQ∥CD，利用線面平行的判定定理，即得解；
（2）由平面BAD⊥平面CAD，以及MN⊥AD利用面面垂直的性質(zhì)定理可證明MN⊥平面ACD，結(jié)合MN?平面MNQ，即得證
【詳解】證明：（1）在△ACD中，因?yàn)镸，Q分別為棱AD，AC的中點(diǎn)，
所以MQ∥CD，
又CD?平面MNQ，MQ?平面MNQ，
所以CD∥平面MNQ.
（2）因?yàn)镸，N分別為棱AD，BD的中點(diǎn)，
所以MN∥AB，又∠BAD＝90°，所以MN⊥AD.
因?yàn)槠矫鍮AD⊥平面CAD，平面BAD∩平面CAD＝AD，且MN?平面ABD，
所以MN⊥平面ACD，又MN?平面MNQ，
所以平面MNQ⊥平面CAD.
57．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知三棱柱中，，，，是的中點(diǎn)，是線段上一點(diǎn).

(1)求證：；
(2)設(shè)是棱上的動(dòng)點(diǎn)（不包括邊界），當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求棱錐的體積.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）連接，，利用可證，從而可證平面，進(jìn)而可證，從而可證平面，利用線面垂直的性質(zhì)即可證明；
（2）由（1）可得平面，從而有，進(jìn)而可知當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)面積最小. 過做于，從而可得平面，再根據(jù)錐體的體積公式即可求解.
【詳解】（1）連接，
，為中點(diǎn)，.
又，，，且.
，
，，
又，，平面，
平面，又平面，.
由已知，，，
又，平面，平面.
而，平面，.
（2）由（1）可知，.
又，平面，平面，
又，平面，.
所以，又在棱上移動(dòng)，
當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)面積最小.
在中，，，則，，.
在中，過做于，則，
，平面，于是可得.
.

58．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）圖1是由直角梯形和以為直徑的半圓組成的平面圖形，，，．E是半圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)周長(zhǎng)最大時(shí)，將半圓沿著折起，使平面平面，此時(shí)的點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)P的位置，如圖2．求證：；
【答案】證明見解析
【分析】根據(jù)平面與平面垂直的性質(zhì)定理，證明，進(jìn)而可證..
【詳解】如下圖，過點(diǎn)D作交于點(diǎn)，連結(jié)，
因?yàn)?，，?br>所以，，，由,
所以，
因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，平面平面，平面,
所以平面，又平面，
所以.
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判定定理
如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(m?α,n?α,m∩n＝P,l⊥m,l⊥n))?l⊥α
性質(zhì)定理
垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a⊥α,b⊥α))?a∥b
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圖形表示
符號(hào)表示
判定定理
如果一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a?α,a⊥β))?α⊥β
性質(zhì)定理
兩個(gè)平面垂直，如果一個(gè)平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個(gè)平面的交線，那么這條直線與另一個(gè)平面垂直
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(α⊥β,α∩β＝a,l⊥a,l?β))?l⊥α
（一）
證明線面垂直的常用方法及關(guān)鍵
(1)證明直線和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的傳遞性(a∥b，a⊥α?b⊥α)；③面面平行的性質(zhì)(a⊥α，α∥β?a⊥β)；④面面垂直的性質(zhì)．
(2)證明線面垂直的關(guān)鍵是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì)．
題型1：線面垂直關(guān)系的判斷
1-1．（2024·廣西南寧·三模）已知l，m，n是三條不同的直線，，是不同的平面，則下列條件中能推出的是（ ）
A．，，且
B．，，，且，
C．，，，且
D．，，且
【答案】D
【分析】根據(jù)給定條件，利用充分條件、必要條件的定義，結(jié)合線面垂直、面面垂直判定逐項(xiàng)判斷作答.
【詳解】對(duì)于A，，，且，，可以平行、相交不垂直、垂直，A不正確；
對(duì)于B，，，，且，，當(dāng)不相交時(shí)，l不一定與垂直，則不一定與垂直，B不正確；
對(duì)于C，，，，且，顯然直線與無關(guān)系，，可以平行、相交不垂直、垂直，C不正確；
對(duì)于D，由，，得，又，根據(jù)面面垂直的判定知，D正確．
故選：D
1-2．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知l，m，n表示不同的直線，，，表示不同的平面，則下列四個(gè)命題正確的是（ ）
A．若，且，則B．若，，，則
C．若，且，則D．若，，，則
【答案】C
【分析】根據(jù)線、面位置關(guān)系逐項(xiàng)分析判斷.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：若，且，則l，m可能平行、相交或異面，并不一定垂直，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)B：若，，，則m，n可能平行、相交或異面，并不一定平行，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)C：若，且，根據(jù)線面垂直可得：，故C正確；
對(duì)于選項(xiàng)D：若，，但不能得到，
所以雖然，不能得到，故D錯(cuò)誤；
故選：C.
1-3．（2024·甘肅天水·一模）設(shè)是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則
【答案】D
【分析】根據(jù)空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系，即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.
【詳解】對(duì)于A，若，，則或者或者相交，故A錯(cuò)誤，
對(duì)于B，若，，則或者或者相交，故B錯(cuò)誤，
對(duì)于C，若，，，則或者或者相交，故C錯(cuò)誤，
對(duì)于D，若，，則，又，所以，故D正確，
故選：D.
題型2：證線線垂直
2-1．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面，點(diǎn)是的中點(diǎn)，證明：.
【答案】證明見解析
【分析】
先利用面面垂直的判定定理與性質(zhì)定理推得平面，再利用線面垂直的判定定理證得平面，從而得解.
【詳解】因?yàn)?，點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以.
因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫嫫矫妫?br>因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，所以?br>因?yàn)槠矫嫫矫妫矫妫?br>所以平面，又平面，所以，
因?yàn)?，平面?br>所以平面，
因?yàn)槠矫?，所?
2-2．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在三棱柱中，，．證明：
【答案】證明見解析
【分析】取的中點(diǎn)，利用等腰三角形結(jié)合線面垂直判定定理先證明平面，然后由線面垂直性質(zhì)可得.
【詳解】取的中點(diǎn)，連接，，
，，，，
又，平面，
平面，
又因?yàn)槠矫妫?br>.
2-3．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知三棱柱中，是的中點(diǎn)，是線段上一點(diǎn).求證：；

【答案】證明見解析
【分析】先證平面，由線面垂直的性質(zhì)可得，然后結(jié)合可證平面，然后可證.
【詳解】證明：連接

，，是的中點(diǎn)，
，
，
，是的中點(diǎn)，
，，
，，
平面，
平面，
平面，，
在三棱柱中，，
，，
，平面
平面，
平面，
．
2-4．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在梯形中，，，，，如圖1.沿對(duì)角線將折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，為的中點(diǎn)，如圖2.證明：.
【答案】證明見解析
【分析】由題意，結(jié)合圖1，連接交于點(diǎn)，可證明，根據(jù)折起后，，結(jié)合線面垂直的判定定理與性質(zhì)即可證明.
【詳解】因?yàn)?，，所以?br>所以，所以，則，
又，所以為等邊三角形，所以，又為的中點(diǎn)，
連接交于點(diǎn)，則，，
所以，所以，即，
則折起后，如圖，，，又，平面，
所以平面，平面，所以.
題型3：證線面垂直
3-1．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在三棱柱中，平面平面，是的中點(diǎn)，且.證明：平面；

【答案】證明見解析
【分析】由等邊三角形得，由面面垂直的性質(zhì)定理得平面，從而得，再由線面垂直的判定定理得證線面垂直．
【詳解】連接，
由題意可知：為等邊三角形，且是的中點(diǎn)，
所以，
因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，，平面?br>所以平面，
且平面，可得，
，平面，
所以平面.

3-2．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖所示，在三棱錐中，已知平面，平面平面．證明：平面；

【答案】證明見解析
【分析】過點(diǎn)作，先證明，再證明，根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明結(jié)論.
【詳解】過點(diǎn)作于點(diǎn)，

因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，平面?br>所以平面，
又平面，所以，
又平面，平面，
所以，
又因?yàn)?，平面?br>所以平面．
3-3．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖1，在五邊形中，四邊形為正方形，，，如圖2，將沿折起，使得A至處，且．證明：平面；
【答案】證明見解析
【分析】先證明，繼而證明平面，可得，根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明結(jié)論.
【詳解】由題意四邊形為正方形，，，
得，則，故，
因?yàn)椋瑒t，
又，面，所以平面，
又面，則，
又，，平面，平面，
所以平面．
3-4．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在三棱錐中，平面ABD，E為AB的中點(diǎn)，，.證明：平面CED；
【答案】證明見解析
【分析】按線垂直于面的判斷定理，需證，.
【詳解】因?yàn)槠矫?，平面，所以?br>又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以是的中線，
所以，且，平面，
所以平面.
（二）
(1)判定面面垂直的方法
①面面垂直的定義．②面面垂直的判定定理．
(2)面面垂直性質(zhì)的應(yīng)用
①面面垂直的性質(zhì)定理是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直的依據(jù)，運(yùn)用時(shí)要注意“平面內(nèi)的直線”．②若兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，則它們的交線也垂直于第三個(gè)平面．
題型4：面面垂直關(guān)系的判斷
4-1．（2024·陜西咸陽·二模）已知，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，有以下四個(gè)命題：
①若∥，，則∥， ②若，，則，
③若，，則∥， ④若，，，則
其中正確的命題是（ ）
A．②③B．②④C．①③D．①②
【答案】A
【分析】對(duì)于①，由線面平行的判定定理分析判斷，對(duì)于②，由面面垂直的判定定理分析判斷，對(duì)于③，由線面垂直的性質(zhì)分析判斷，對(duì)于④，舉例判斷
【詳解】對(duì)于①，當(dāng)∥，時(shí)，∥或，所以①錯(cuò)誤，
對(duì)于②，當(dāng)，時(shí)，由面面垂直的判定定理可得，所以②正確，
對(duì)于③，當(dāng)，時(shí)，有∥，所以③正確，
對(duì)于④，當(dāng)，，時(shí)，如圖所示，∥，所以④錯(cuò)誤，
故選：A
4-2．（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示的菱形中，對(duì)角線交于點(diǎn)，將沿折到位置，使平面平面.以下命題:

①；
②平面平面；
③平面平面；
④三棱錐體積為.
其中正確命題序號(hào)為（ ）
A．①②③B．②③C．③④D．①②④
【答案】D
【分析】通過證面可判斷①②；求兩平面所成的二面角可判斷③；得到三棱錐的高后可判斷④.
【詳解】如圖：

因?yàn)樗倪呅问橇庑危?br>所以，為的中點(diǎn)，
所以，，，面，
所以面，又面，所以，即①正確；
由①知面，又面，所以平面平面，即②正確；
如圖：

取的中點(diǎn)為，連接，，依題意，，
所，，所以是二面角的平面角，
又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面?br>所以面，和是邊長(zhǎng)為2的正三角形，
所以，且有，
所以在中，，
又和是兩全等的等腰三角形，，
的中點(diǎn)為，所以，
由已知可得是邊長(zhǎng)為2的正三角形，得，
則在中，容易算得，，，
所以，所以二面角不是直二面角，故③錯(cuò)誤；
由已知可得是邊長(zhǎng)為2的正三角形，又由上得面，
所以三棱錐的高即為，，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，
所以三棱錐的體積為，故④正確.
故選：D.
4-3．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知是兩個(gè)不同的平面，是兩條不同的直線，則下列命題中正確的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
【答案】D
【分析】
根據(jù)線面位置關(guān)系及面面位置關(guān)系逐項(xiàng)判斷即可.
【詳解】
對(duì)于A，可能會(huì)出現(xiàn)，或與相交但不垂直的情況，所以A不正確；
對(duì)于B，可能平行、可能異面，所以B不正確；
對(duì)于C，若，仍然滿足且，所以C不正確；
對(duì)于D，，則，再由，可得,可知D正確.
故選：D.
題型5：證面面垂直
5-1．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，已知直角梯形與，，，，AD⊥AB，，G是線段上一點(diǎn).求證：平面⊥平面ABF
【答案】證明見解析
【分析】根據(jù)線線垂直可證線面垂直，進(jìn)而可得面面垂直.
【詳解】因?yàn)椋?，，AF、AB平面ABF，
所以AD⊥平面ABF，又AD平面ABCD，
所以平面⊥平面ABF.
5-2．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，A，為底面圓上兩點(diǎn)，，為中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且.證明：平面平面；
【答案】證明見解析
【分析】證明面面垂直，先證線面垂直，利用勾股定理證明，再由底面，底面，得出，即可得證.
【詳解】設(shè)圓O的半徑為r，
在中，，，，
故，又，故，
在中，由余弦定理得，
所以，即；
圓錐中，底面，底面，故，
又，所以平面，
又平面，所以平面平面.
5-3．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在三棱柱中，側(cè)面為菱形，，，.證明：平面平面；
【答案】證明見解析
【分析】
根據(jù)三角形邊角關(guān)系可得，進(jìn)而結(jié)合勾股定理可得，即可求證線面垂直，進(jìn)而可證面面垂直.
【詳解】如圖，連接，交于，連接.
因?yàn)閭?cè)面為菱形，所以，且為的中點(diǎn).又，故.
又，且，所以，
所以.又，所以，所以.
因?yàn)槠矫?，，所以平?
又平面，所以平面平面.
5-4．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在如圖所示的空間幾何體中，與均是等邊三角形，直線平面，直線平面，.求證：平面平面；
【答案】證明見解析
【分析】根據(jù)線面垂直得線線垂直，進(jìn)而結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)可得二面角的平面角為，由平面四邊形可得，即可求證.
【詳解】
如圖1，設(shè)平面與直線的交點(diǎn)為，連接，.
因?yàn)橹本€平面，直線平面，平面，平面，
所以，.
因?yàn)椋矫?，平面?br>所以平面.
因?yàn)槠矫?，平面?br>所以，.
又因?yàn)榕c均是等邊三角形，
所以為中點(diǎn)，且二面角的平面角為.
在平面四邊形中，
因?yàn)椋?br>所以，
所以平面平面.
5-5．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖所示，在幾何體中，平面，點(diǎn)在平面的投影在線段上，，，，平面.證明：平面平面.
【答案】證明見解析
【分析】由題意可知平面平面，過點(diǎn)作，如圖，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得平面，進(jìn)而，由線面平行的性質(zhì)可得四邊形為平行四邊形，利用正弦定理可得，結(jié)合面面垂直的判定定理即可證明.
【詳解】由題知，平面平面，過點(diǎn)作的垂線，垂足為，連接，
又平面平面，所以平面.
因?yàn)槠矫妫?，則共面.
因?yàn)槠矫?，平面，平面平面?br>所以，則四邊形為平行四邊形，所以.
因?yàn)?，，所以?br>因?yàn)?，所以?br>由正弦定理得，即，
所以，因?yàn)?，所以?br>所以，即.
因?yàn)槠矫?，平面，所以?br>又因?yàn)?平面，所以平面.
由，得平面.
又平面，所以平面平面.
（三）
垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用
(1)三種垂直的綜合問題，一般通過作輔助線進(jìn)行線線、線面、面面垂直間的轉(zhuǎn)化．
(2)對(duì)于線面關(guān)系中的存在性問題，首先假設(shè)存在，然后在該假設(shè)條件下，利用線面關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進(jìn)行推理論證．
題型6：垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用
6-1．（2024·安徽淮北·一模）如圖，已知四棱錐的底面是平行四邊形，側(cè)面PAB是等邊三角形，，，．
(1)求證：面面ABCD；
(2)設(shè)Q為側(cè)棱PD上一點(diǎn)，四邊形BEQF是過B，Q兩點(diǎn)的截面，且平面BEQF，是否存在點(diǎn)Q，使得平面平面PAD？若存在，確定點(diǎn)Q的位置；若不存在，說明理由．
【答案】(1)證明見解析；
(2)存在點(diǎn)Q，.
【分析】（1）結(jié)合余弦定理，勾股定理可得，又，所以面PAB，進(jìn)而得出結(jié)論；
（2）建立以A為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，求出平面PAD的法向量，設(shè)，求得平面BEQF的法向量，由得出答案.
【詳解】（1）在中，因?yàn)?，?br>所以，，
所以，則，即，
又，，面PAB，
所以面PAB，又面ABCD，
所以面面ABCD；
（2）假設(shè)存在點(diǎn)Q，使得平面平面PAD；
如圖，以A為原點(diǎn)，分別以，為x，y軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，則，，，，
，，，，
設(shè)是平面PAD的法向量，則，取，
設(shè)，其中．
則
連接EF，因平面BEQF，平面PAC，平面平面，故，
取與同向的單位向量，
設(shè)是平面BEQF的法向量，
則，?。?br>由平面平面PAD，知，有，解得．
故在側(cè)棱PD上存在點(diǎn)Q且當(dāng)時(shí)，使得平面平面PAD．
6-2．（2024·江西贛州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱柱中，側(cè)面是矩形，側(cè)面是菱形，，、分別為棱、的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn).

(1)證明：平面；
(2)在棱上是否存在一點(diǎn)，使平面平面？若存在，請(qǐng)指出點(diǎn)的位置，并證明你的結(jié)論；若不存在，請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)證明見解析
(2)存在，且點(diǎn)為棱的中點(diǎn)
【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接、、，證明出平面平面，再利用面面平行的性質(zhì)可證得結(jié)論成立；
（2）當(dāng)點(diǎn)為棱的中點(diǎn)時(shí)，推導(dǎo)出平面，再結(jié)合面面垂直的判定定理可得出結(jié)論.
【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)，連接、、，
因?yàn)榍?，故四邊形為平行四邊形，所以，且?br>因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則且，
因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，所以，且，
所以，且，故四邊形為平行四邊形，所以，，
因?yàn)槠矫妫矫?，所以，平面?br>因?yàn)椤⒎謩e為、的中點(diǎn)，所以，，
因?yàn)槠矫妫矫?，所以，平面?br>因?yàn)?，、平面，所以，平面平面?br>因?yàn)槠矫?，故平?
（2）解：當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，平面平面，

因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，則，因?yàn)椋瑒t，
因?yàn)樗倪呅螢榱庑危瑒t，
因?yàn)?，則為等邊三角形，
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，，
因?yàn)?，、平面，所以，平面?br>因?yàn)槠矫妫?，平面平面?br>因此，當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，平面平面.
6-3．（2024·天津·二模）如圖，在三棱錐A﹣BCD中，頂點(diǎn)A在底面BCD上的射影O在棱BD上，AB＝AD＝，BC＝BD＝2，∠CBD＝90°，E為CD的中點(diǎn)．
（1）求證：AD⊥平面ABC；
（2）求二面角B﹣AE﹣C的余弦值；
（3）已知P是平面ABD內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)Q為AE中點(diǎn)，且PQ⊥平面ABE，求線段PQ的長(zhǎng)．
【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.
【分析】（1）只需證明BC⊥AD及AD⊥AB，即可得證；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩平面的法向量，利用向量公式求解；
（3）設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，依題意，進(jìn)而求解．
【詳解】（1）因?yàn)轫旤c(diǎn)A在底面BCD上的投影O在棱BD上，
所以AO⊥平面BCD，
因?yàn)锳O?平面ABD，
所以平面ABD⊥平面BCD，
因?yàn)椤螩BD＝90°，
所以BC⊥BD，
因?yàn)槠矫鍭BD∩平面BCD＝BD，BC?平面BCD，
所以BC⊥平面ABD，
又AD?平面ABD，
所以BC⊥AD，
由AB＝AD＝，BD＝2，得，
所以AD⊥AB，
因?yàn)锳B∩BC＝B，AB?平面ABC，BC?平面ABC，
所以AD⊥平面ABC．
（2）連接OE，因?yàn)镺為BD的中點(diǎn)，E為CD的中點(diǎn)，OE∥BC，所以O(shè)E⊥BD，
如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)E，OD，OA為x軸，y軸，z軸為正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，
則O（0，0，0），A（0，0，1），B（0，﹣1，0），C（2，﹣1，0），D（0，1，0），E
（1，0，0），
，，，
設(shè)平面ABE的一個(gè)法向量＝（x，y，z），
取x＝1，得＝（1，﹣1，1），
設(shè)平面ACE的一個(gè)法向量＝（a，b，c），
取c＝1，則，
設(shè)二面角B﹣AE﹣C的平面角為θ，由圖知二面角為銳角，
則csθ＝＝．
所以二面角B﹣AE﹣C的余弦值為．
（3）設(shè)P（0，y，z），Q（，0，），
因?yàn)镻Q⊥平面ABE，∴．
∴，＝λ（1，﹣1，1）．
∴ y＝，z＝0，∴ P（0，，0）
∴ PQ＝
6-4．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正三棱柱（側(cè)棱垂直于底面，且底面三角形是等邊三角形）中，，、、分別是，，的中點(diǎn)．
(1)求證：平面平面；
(2)在線段上是否存在一點(diǎn)使平面？若存在，確定點(diǎn)的位置；若不存在，也請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)證明見解析
(2)存在點(diǎn)Q，它就是點(diǎn)；
【分析】（1）由、、分別是，，的中點(diǎn)．利用平行四邊形、三角形中位線定理即可得出，，再利用線面面面平行的判定定理即可得出結(jié)論．
（2）假設(shè)在線段上存在一點(diǎn)使平面．四邊形是正方形，因此點(diǎn)為點(diǎn)．不妨?。袛嗍欠癯闪⒓纯傻贸鼋Y(jié)論．
【詳解】（1）（1）證明：、、分別是，，的中點(diǎn)．
，四邊形為平行四邊形，可得，
因?yàn)槠矫?；平面?br>平面；
同理可得平面；
又，平面，
平面平面．
（2）假設(shè)在線段上存在一點(diǎn)使平面．
四邊形是正方形，因此點(diǎn)為點(diǎn)．
不妨取，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，
，，
，．
所以，，又，平面，所以平面，
在線段上存在一點(diǎn)，使平面，其中點(diǎn)為點(diǎn)．

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