1、冪函數(shù)的定義
一般地，（為有理數(shù)）的函數(shù)，即以底數(shù)為自變量，冪為因變量，指數(shù)為常數(shù)的函數(shù)稱為冪函數(shù).
2、冪函數(shù)的特征：同時(shí)滿足一下三個(gè)條件才是冪函數(shù)
①的系數(shù)為1； ②的底數(shù)是自變量； ③指數(shù)為常數(shù).
（3）冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)
3、常見(jiàn)的冪函數(shù)圖像及性質(zhì)：
4、二次函數(shù)解析式的三種形式
（1）一般式：；
（2）頂點(diǎn)式：；其中，為拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)，為對(duì)稱軸方程.
（3）零點(diǎn)式：，其中，是拋物線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).
5、二次函數(shù)的圖像
二次函數(shù)的圖像是一條拋物線，對(duì)稱軸方程為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為.
（1）單調(diào)性與最值
①當(dāng)時(shí)，如圖所示，拋物線開(kāi)口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增，當(dāng)時(shí)，；
②當(dāng)時(shí)，如圖所示，拋物線開(kāi)口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減，當(dāng)時(shí)，
（2）與軸相交的弦長(zhǎng)
當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的圖像與軸有兩個(gè)交點(diǎn)和，.
6、二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值
閉區(qū)間上二次函數(shù)最值的取得一定是在區(qū)間端點(diǎn)或頂點(diǎn)處.
對(duì)二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上的最大值是，最小值是，令：
（1）若，則；
（2）若，則；
（3）若，則；
（4）若，則.
一、單選題
1．（2024高一·全國(guó)·假期作業(yè)）關(guān)于x的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，且，那么m的值為（ ）
A．B．C．或1D．或4
2．（2024·山東）關(guān)于函數(shù)，以下表達(dá)錯(cuò)誤的選項(xiàng)是（ ）
A．函數(shù)的最大值是1B．函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是直線
C．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是D．函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)
3．（2024·浙江）若函數(shù)在區(qū)間[0,1]上的最大值是M,最小值是m,則的值
A．與a有關(guān)，且與b有關(guān)B．與a有關(guān)，但與b無(wú)關(guān)
C．與a無(wú)關(guān)，且與b無(wú)關(guān)D．與a無(wú)關(guān)，但與b有關(guān)
4．（2024·新疆阿勒泰·三模）已知函數(shù)則函數(shù)，則函數(shù)的圖象大致是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2024·湖南婁底·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2024·海南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，，的圖象如圖所示，則（ ）
A．B．
C．D．
7．（2024高一上·寧夏吳忠·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B．C．D．
8．（2024高三·河北·專題練習(xí)）設(shè)，二次函數(shù)的圖象為下列之一，則的值為（ ）
A．B．C．D．
9．（2024高三下·河南新鄉(xiāng)·開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)若的最小值為6，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
10．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知x，，滿足，，則（ ）
A．-1B．0C．1D．2
11．（2024·貴州畢節(jié)·二模）已知，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
12．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知a，b，c∈R，函數(shù)f (x)＝ax2＋bx＋c.若f (0)＝f （4）>f （1），則（ ）
A．a(chǎn)>0，4a＋b＝0B．a(chǎn)0，2a＋b＝0D．a(chǎn)0，4a＋b＝0B．a(chǎn)0，2a＋b＝0D．a(chǎn)f （1），f （4）>f （1），∴f (x)先減后增，于是a>0，
故選：A.
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的對(duì)稱軸，單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.
13．（2024·浙江）已知函數(shù)f(x)=x2+bx，則“b＜0”是“f(f(x))的最小值與f(x)的最小值相等”的
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【詳解】試題分析：由題意知，最小值為．
令，則，
當(dāng)時(shí)，的最小值為，所以“”能推出“的最小值與的最小值相等”；
當(dāng)時(shí)，的最小值為0，的最小值也為0，所以“的最小值與的最小值相等”不能推出“”．故選A．
考點(diǎn)：充分必要條件．
14．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如果函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的最大值為（ ）
A．16B．18C．25D．
【答案】B
【分析】分，，，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性與基本不等式即可求解.
【詳解】當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，
所以，沒(méi)有最大值，舍去；
當(dāng)時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸為.
當(dāng)時(shí)，據(jù)題意，可得，即.
.
當(dāng)且僅當(dāng)且，得，等號(hào)成立；
當(dāng)時(shí)，拋物線開(kāi)口向下，據(jù)題意得，，即..
當(dāng)且僅當(dāng)且，得，故應(yīng)舍去.
要使得取得最大值，應(yīng)有.
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減.
所以.
綜上所述，的最大值為18.
故選：B.
15．（2024·陜西）對(duì)二次函數(shù)（為非零整數(shù)），四位同學(xué)分別給出下列結(jié)論，其中有且僅有一個(gè)結(jié)
論是錯(cuò)誤的，則錯(cuò)誤的結(jié)論是
A．是的零點(diǎn)B．1是的極值點(diǎn)
C．3是的極值D．點(diǎn)在曲線上
【答案】A
【詳解】若選項(xiàng)A錯(cuò)誤時(shí)，選項(xiàng)B、C、D正確，，因?yàn)槭堑臉O值點(diǎn)，是的極值，所以，即，解得：，因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，所以，即，解得：，所以，，所以，因?yàn)?，所以不是的零點(diǎn)，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤，選項(xiàng)B、C、D正確，故選A．
【考點(diǎn)定位】1、函數(shù)的零點(diǎn)；2、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．
16．（2024·四川樂(lè)山·一模）已知冪函數(shù)和，其中，則有下列說(shuō)法：
①和圖象都過(guò)點(diǎn)；
②和圖象都過(guò)點(diǎn)；
③在區(qū)間上，增長(zhǎng)速度更快的是；
④在區(qū)間上，增長(zhǎng)速度更快的是.
則其中正確命題的序號(hào)是（ ）
A．①③B．②③C．①④D．②④
【答案】A
【分析】由冪函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分析判斷即可
【詳解】?jī)绾瘮?shù)的圖象過(guò)定點(diǎn)，①正確，
在區(qū)間上，越大增長(zhǎng)速度更快，③正確，
故選：A.
17．（2024·河北衡水·模擬預(yù)測(cè)）已知冪函數(shù)是定義在區(qū)間上的奇函數(shù)，則（ ）
A．8B．4C．2D．1
【答案】A
【分析】由奇函數(shù)定義域的對(duì)稱性得，然后可得函數(shù)解析式，計(jì)算函數(shù)值．
【詳解】因?yàn)閮绾瘮?shù)在上是奇函數(shù)，所以，所以，所以，
故選：A．
18．（2024·北京東城·一模）下列函數(shù)中，定義域與值域均為R的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)和反比例函數(shù)的性質(zhì)判斷.
【詳解】A. 函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)镽；
B. 函數(shù)的定義域?yàn)镽，值域?yàn)椋?br>C. 函數(shù)的定義域?yàn)镽，值域?yàn)镽；
D. 函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)椋?br>故選：C
二、多選題
19．（2024·江蘇·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)，且，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】利用冪函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)，結(jié)合特殊值法及構(gòu)造函數(shù)法即可求解.
【詳解】由冪函數(shù)的性質(zhì)知， 在上單調(diào)遞增.
因?yàn)?所以，即，，
所以．故A正確；
令，則，故B錯(cuò)誤；
令，則
由函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，
所以在上單調(diào)遞增，
因?yàn)?，所以，即，于是有，故C正確；
令，則，
所以因?yàn)椋蔇錯(cuò)誤．
故選：AC.
20．（2024·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）已知冪函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則下列命題正確的有（ ）
A．函數(shù)為增函數(shù)B．函數(shù)為偶函數(shù)
C．若，則D．若，則
【答案】BD
【分析】先代點(diǎn)求出冪函數(shù)的解析式，根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)直接可得單調(diào)性和奇偶性，可判斷A，B，由，可判斷C，
假設(shè)，對(duì)不等式進(jìn)行證明，即可判斷D.
【詳解】將點(diǎn)代入函數(shù)得：，則.
所以，顯然在定義域上為減函數(shù)，所以A錯(cuò)誤；
，所以為偶函數(shù)，所以B正確；
當(dāng)時(shí)，，即，所以C錯(cuò)誤；
當(dāng)若時(shí)，
假設(shè)，整理得
，化簡(jiǎn)得，，
即證明成立，
利用基本不等式，，因?yàn)椋实忍?hào)不成立，成立；
即成立，所以D正確.
故選：BD.
21．（2024高一上·重慶·階段練習(xí)）已知關(guān)于x的方程x2＋(m－3)x＋m＝0，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有實(shí)數(shù)根的充要條件是m∈{m|m9}
B．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有一正一負(fù)根的充要條件是m∈{m|m1}，故D正確.
故選：BCD.
22．（2024高一上·湖南長(zhǎng)沙·期中）設(shè)二次函數(shù)的值域?yàn)椋铝懈髦担ɑ蚴阶樱┲幸欢ù笥诘挠校? ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】由二次函數(shù)的性質(zhì)與基本不等式求解即可
【詳解】因?yàn)槎魏瘮?shù)的值域?yàn)椋?br>所以，所以，解得，
所以
，
由于，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以，
對(duì)于A：，故A 錯(cuò)誤；
對(duì)于B：，故B正確；
對(duì)于C：令，則，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：，
，故D正確；
故選：BD
三、填空題
23．（2024高一上·全國(guó)·期末）已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則滿足成立的實(shí)數(shù)a的取值范圍為 .
【答案】
【分析】利用冪函數(shù)的定義及性質(zhì)求出m值，再解一元二次不等式即可得解.
【詳解】因函數(shù)是冪函數(shù)，則，解得或，
當(dāng)時(shí)，是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，與已知的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱矛盾，
當(dāng)時(shí)，是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，于是得，
不等式化為：，即，解得：，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
故答案為：
24．（2024高一上·四川眉山·期中）下面命題：①冪函數(shù)圖象不過(guò)第四象限；②圖象是一條直線；③若函數(shù)的定義域是，則它的值域是；④若函數(shù)的定義域是，則它的值域是；⑤若函數(shù)的值域是，則它的定義域一定是．其中不正確命題的序號(hào)是 ．
【答案】②③④⑤
【分析】根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)定義域值域等性質(zhì)分別進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：冪函數(shù)圖象不過(guò)第四象限，①正確；圖象是直線上去掉點(diǎn)，②錯(cuò)誤；函數(shù)的定義域是，則它的值域是，③錯(cuò)誤；函數(shù)的定義域是，則它的值域是，④錯(cuò)誤；若函數(shù)的值域是，則它的定義域也可能是，⑤錯(cuò)誤，
故答案為：②③④⑤．
【點(diǎn)睛】本題主要考查命題的真假判斷，利用函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)定義域，值域，單調(diào)性的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．
25．（2024高三上·河北衡水·周測(cè)）已知，，若對(duì)，，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
【答案】
【分析】根據(jù)，，，由求解.
【詳解】因?yàn)閷?duì)，，，
所以只需即可，
因?yàn)?，?br>所以，，
由，
解得
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式恒能成立問(wèn)題以及函數(shù)的最值的求法，屬于中檔題.
26．（2024高三上·福建三明·期中）已知，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

【答案】
【分析】由題意利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調(diào)性，求出實(shí)數(shù)的取值范圍．
【詳解】已知，或①；
，②；
，③．
綜合①②③，求得實(shí)數(shù)的取值范圍為．
故答案為：﹒
27．（2024高三下·上海嘉定·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】判斷單調(diào)遞增，討論或，根據(jù)分段函數(shù)的值域可得且，解不等式即可求解.
【詳解】由函數(shù)單調(diào)遞增，
①當(dāng)時(shí)，若，有，
而，此時(shí)函數(shù)的值域不是；
②當(dāng)時(shí)，若，有，而，
若函數(shù)的值域?yàn)?，必有，可得?br>則實(shí)數(shù)的取值范圍為．
故答案為：
28．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）不等式的解集為： ．
【答案】
【分析】不等式變形為，即，構(gòu)造函數(shù)，判斷出函數(shù)得單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可.
【詳解】不等式變形為，
所以，
令，則有，
因?yàn)楹瘮?shù)在R上單調(diào)遞增，
所以在R上單調(diào)遞增，
則，解得，
故不等式的解集為．
故答案為：.
29．（2024高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知冪函數(shù)，若，則a的取值范圍是 .
【答案】
【分析】根據(jù)題意得到冪函數(shù)的定義域和單調(diào)性，得到不等式的等價(jià)不等式組，即可求解.
【詳解】由冪函數(shù)，
可得函數(shù)的定義域?yàn)椋沂沁f減函數(shù)，
因?yàn)?，可得，解得?br>即實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故答案為：
30．（2024·上海閔行·一模）已知二次函數(shù)的值域?yàn)?，則函數(shù)的值域?yàn)? ．
【答案】
【分析】由二次函數(shù)的值域?yàn)?，分析求出參?shù)，然后代入中求出值域即可
【詳解】由二次函數(shù)的值域?yàn)榈茫?
解得：或（舍去）
所以
因?yàn)?br>所以函數(shù)的值域?yàn)椋?br>故答案為：.
31．（2024·貴州畢節(jié)·模擬預(yù)測(cè)）寫(xiě)出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②③的非常值函數(shù) .
①在上恒成立；②是偶函數(shù)；③.
【答案】（答案不唯一，形如均可）
【分析】結(jié)合①②可聯(lián)想到函數(shù)是奇函數(shù)，再由③結(jié)合聯(lián)想冪函數(shù)寫(xiě)出解析式作答.
【詳解】由②知，函數(shù)可以是奇函數(shù)，由①知，函數(shù)在上可以是減函數(shù)，
由③結(jié)合①②，令，顯然，滿足①；是偶函數(shù)，滿足②；
，滿足③，
所以.
故答案為：
32．（2024·新疆阿勒泰·一模）已知二次函數(shù)（a，b為常數(shù)）滿足，且方程有兩等根，在上的最大值為，則的最大值為 .
【答案】1
【分析】由有兩等根，可得得，由可得 為對(duì)稱軸，可得，則可得到的解析式，對(duì)分類討論，利用函數(shù)單調(diào)性可得的最大值.
【詳解】解：已知方程有兩等根，即有兩等根，
，解得；
，得，是函數(shù)圖象的對(duì)稱軸.
而此函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是直線，，
故，
若在上的最大值為，
當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，，
當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，，
綜上，的最大值為1.
故答案為：1.
33．（2024·湖北）為實(shí)數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上的最大值記為. 當(dāng) 時(shí)，的值最小.
【答案】．
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，所以分以下幾種情況對(duì)其進(jìn)行討論：
①當(dāng)時(shí)，函數(shù)
在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以；
②當(dāng)時(shí)，此時(shí)
，，而，所以；
③當(dāng)
時(shí)，在區(qū)間上遞增，在上遞減．當(dāng)時(shí)，取得最
大值；
④當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上遞增，當(dāng)時(shí)，取得最
大值，
則在上遞減，上遞增，即當(dāng)
時(shí)，的值最?。?br>故答案為：．
考點(diǎn)：本題考查分段函數(shù)的最值問(wèn)題和函數(shù)在區(qū)間上的最值問(wèn)題，屬高檔題．
四、解答題
34．（2024高三下·上海浦東新·階段練習(xí)）已知.
(1)若，，解關(guān)于的不等式；
(2)若，在上的最大值為，最小值為，求證：.
【答案】(1)答案見(jiàn)解析
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)題意求出，將用表示，然后再把分類討論，結(jié)合一元二次不等式的解法即可得出答案；
（2）利用反證法證明，若等于0，得到也等于0，所以等于，得到（2）與互為相反數(shù)，不合題意；若不為0，由，解得，代入中，求出二次函數(shù)的對(duì)稱軸，假設(shè)對(duì)稱軸小于或大于2，即可得到對(duì)稱軸在區(qū)間的左外側(cè)或右外側(cè)，得到為單調(diào)函數(shù)，函數(shù)的最值在，取到，把2和代入得到最值互為相反數(shù)，不合題意，所以假設(shè)錯(cuò)誤，綜上，得證；
【詳解】（1）解：因?yàn)椋?br>所以，
又因，所以，
所以，
則不等式即為，
即，
若，則不等式的解集為；
若，則不等式的解集為；
若，
當(dāng)時(shí)，則不等式的解集為；
當(dāng)時(shí)，則不等式的解集為；
當(dāng)時(shí)，則不等式的解集為；
（2）解：若，則，，
當(dāng)時(shí)，
則無(wú)解，
所以；
若時(shí)，由，得，
對(duì)稱軸為，假設(shè)，，，
區(qū)間，在對(duì)稱軸的左外側(cè)或右外側(cè)，所以在，上是單調(diào)函數(shù)，
則的最值必在，處取到，
，，，
所以假設(shè)錯(cuò)誤，則，
綜上，得到.
35．（2024高一下·貴州黔東南·開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且時(shí)，，.
(1)求在區(qū)間上的解析式；
(2)若對(duì)，則，使得成立，求的取值范圍.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）設(shè)，由奇函數(shù)的定義可得出，即可得出函數(shù)在區(qū)間上的解析式；
（2）求得函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?，分析函?shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，可得出，即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1）解：設(shè)，則，，
即當(dāng)時(shí)，.
（2）解：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
又因?yàn)?，所以，函?shù)在上的值域?yàn)椋?br>在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，，
因?yàn)?，則，使得成立，則，解得.
36．（2024高一上·河南平頂山·期末）已知函數(shù)．
(1)利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明是單調(diào)遞增函數(shù)；
(2)若對(duì)任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）利用單調(diào)性的定義，取值、作差、整理、定號(hào)、得結(jié)論，即可得證.
（2）令，根據(jù)x的范圍，可得t的范圍，原式等價(jià)為，，只需即可，分別討論、和三種情況，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，計(jì)算求值，分析即可得答案.
【詳解】（1）由已知可得的定義域?yàn)椋?br>任取，且，
則，
因?yàn)?，，?br>所以，即，
所以在上是單調(diào)遞增函數(shù)．
（2），
令，則當(dāng)時(shí)，，
所以．
令，，
則只需．
當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，
所以，解得，與矛盾，舍去；
當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，解得；
當(dāng)即時(shí)，在上單調(diào)遞減，
所以，解得，與矛盾，舍去．
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是．
37．（2024高一上·貴州畢節(jié)·期末）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，解關(guān)于x的不等式；
(2)函數(shù)在上的最大值為0，最小值是，求實(shí)數(shù)a和t的值．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）代入解不等式組可得答案；
（2）由題意，結(jié)合最大值為0最小值是分、數(shù)形結(jié)合可得答案.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，不等式，
即為，
即，所以，
所以或，
所以原不等式的解集為．
（2），
由題意或，這時(shí)解得，
若，則，所以；
若，即，
所以，則，
綜上，或．
38．（2024高一上·遼寧大連·期中）已知值域?yàn)榈亩魏瘮?shù)滿足，且方程的兩個(gè)實(shí)根滿足．
(1)求的表達(dá)式；
(2)函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根據(jù)可以判斷函數(shù)的對(duì)稱軸，再根據(jù)函數(shù)的值域可以確定二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，則可設(shè)，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合已知進(jìn)行求解，求出的值，即可得出的表達(dá)式；
（2）根據(jù)題意，可以判斷出函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，由，求得，進(jìn)而可知的對(duì)稱軸方程為，結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及單調(diào)性，得出，即可求出的取值范圍.
【詳解】（1）解：由，可得的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，
函數(shù)的值域?yàn)?，所以二次函?shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
所以設(shè)，
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，可得，，
因?yàn)榉匠痰膬蓚€(gè)實(shí)根滿足
則，
解得：，所以.
（2）解：由于函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，
則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
又，即，
所以的對(duì)稱軸方程為，則，即，
故的取值范圍為.
39．（2024高三上·全國(guó)·階段練習(xí)）已知函數(shù)為偶函數(shù).
（1）求的值；
（2）設(shè)函數(shù)，是否存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間上的最小值為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】（1）；（2）存在，.
【分析】（1）根據(jù)題意得出，代入函數(shù)解析式，從而求出的值；
（2）根據(jù)（1）得出，利用換元得出二次函數(shù)，討論對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系即可求出的值.
【詳解】（1）由題意知函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以對(duì)任意的恒成立，
即對(duì)任意的恒成立，
即對(duì)任意的恒成立，
即對(duì)任意的恒成立，
所以，解得.
（2）由（1）知所以，
令，則，其對(duì)稱軸為，
①當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，
所以，
由，
解得，此時(shí)不滿足，此時(shí)不存在符合題意的值；
②當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，
由，解得或，又，所以；
③當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，
所以，
由，解得，不滿足，此時(shí)不存在符合題意的值.
綜上所述，存在，使得函數(shù)在區(qū)間上的最小值為.
40．（2024高一上·湖南衡陽(yáng)·期末）二次函數(shù)為偶函數(shù)，，且恒成立．
(1)求的解析式；
(2)，記函數(shù)在上的最大值為，求的最小值．
【答案】(1)；
(2).
【分析】(1) 設(shè)，由，恒成立，列出不等式組，求解即可；
(2)分，，和，求出的解析式，即可得的最小值.
【詳解】（1）解：依題設(shè)，
由，得，
，得恒成立，
∴，
得，
所以，又，
所以，
∴；
（2）解：由題意可得：，，
若，則，則在[0,1]上單調(diào)遞增，
所以；
若，當(dāng)，即時(shí)，在[0,1]上單調(diào)遞增，
當(dāng)，只須比較與的大小，
由，得：，此時(shí)，
時(shí)，，此時(shí)，
綜上，，
時(shí)，，
時(shí)，，
時(shí)，，
綜上可知：的最小值為．
41．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，設(shè)的最大值為，求的最小值．
【答案】最小值為．
【分析】根據(jù)絕對(duì)值三角不等式可得，結(jié)合不等式即可確定等號(hào)成立的條件，即可求解.
【詳解】令，分別取，1，2，可得，
，．
由，利用絕對(duì)值三角不等式可得
，因此
當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，而，得在上的最大值為，說(shuō)明等號(hào)能成立．
故的最小值為．
42．（2024高一上·廣東·期中）已知函數(shù)，
(1)當(dāng)時(shí)，①求函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間；②求函數(shù)在區(qū)間的值域；
(2)當(dāng)時(shí)，記函數(shù)的最大值為，求的最小值．
【答案】(1)①函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為和；②；
(2)
【分析】（1）由已知，將代入原函數(shù)，去掉絕對(duì)值，分別在和兩種情況下討論二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)得到的函數(shù)的單調(diào)性，在區(qū)間上可確定最值點(diǎn)，從而確定值域；
（2）分別在，以及三種情況下，結(jié)合二次函數(shù)的對(duì)稱軸與端點(diǎn)值的大小即可確定函數(shù)的最大值，從而求解出的解析式，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，再求解的最小值.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)，
此時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)，
此時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為和；
因?yàn)楹瘮?shù)單調(diào)遞增區(qū)間為和，
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，，
因?yàn)?，?br>，，
所以函數(shù)在區(qū)間的值域?yàn)椋?br>（2）由已知可得，，
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，對(duì)稱軸為，
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，
函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以，
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，若，，若，，
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，對(duì)稱軸為，
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，
當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)，
函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以
若，即時(shí)，，
若，即時(shí)，，
綜上所述，，
函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以.
【點(diǎn)睛】在涉及二次函數(shù)有關(guān)的函數(shù)單調(diào)性、最值和值域的求解問(wèn)題時(shí)，解題的關(guān)鍵是能夠夠結(jié)合對(duì)稱軸的位置，分段函數(shù)分段處對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論，在參數(shù)不同范圍的情況下確定最值點(diǎn)的位置.
43．（2024高一上·山東濰坊·階段練習(xí)）已知是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.
(1)是否存在實(shí)數(shù)，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
(2)求使的值為整數(shù)的實(shí)數(shù)的整數(shù)值.
【答案】(1)不存在，理由見(jiàn)解析；
(2)
【分析】（1）利用反證法先假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得成立，根據(jù)一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根可得，因此原假設(shè)不成立，故不存在；
（2）根據(jù)題意，可得能被整除，即可求出的值.
【詳解】（1）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得成立，
一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
，(不要忽略判別式的要求)，
由韋達(dá)定理得，
，
但，
不存在實(shí)數(shù)，使得成立.
（2），
要使其值是整數(shù)，只需要能被整除，
故，即，
，
.
44．（2024高一上·安徽·階段練習(xí)）已知函數(shù)，且函數(shù)的值域?yàn)?
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若關(guān)于x的不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）若關(guān)于x的方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
【答案】（1）1；（2）；（3）.
【分析】（1）由題意知，，計(jì)算可得；
（2）依題意參變分離可得在恒成立；令則在上恒成立，記，利用二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；
（3）依題意可化為有三個(gè)不同根，令，設(shè)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根且.
原方程有3個(gè)不同實(shí)數(shù)根等價(jià)于或.根據(jù)二次函數(shù)根的分布問(wèn)題求出參數(shù)的取值范圍；
【詳解】解：（1）由題意知，，即，解得.
（2）由在上恒成立，可化為在恒成立；
令，由，可得，
則在上恒成立.
記，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以.
所以，解得，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.
（3）方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
可化為有三個(gè)不同根.
令，則.當(dāng)時(shí)，且遞減，
當(dāng)時(shí)，且遞增，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，且遞增.
設(shè)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根且.
原方程有3個(gè)不同實(shí)數(shù)根等價(jià)于或.
記，則或
解得.
綜上，實(shí)數(shù)k的取值范圍是.
【點(diǎn)睛】含參不等式恒成立問(wèn)題常用方法：1.轉(zhuǎn)化為有關(guān)函數(shù)的最值的不等式關(guān)系；2．分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為參數(shù)與函數(shù)最值關(guān)系.
45．（2024高三上·江西鷹潭·階段練習(xí)）已知冪函數(shù)的定義域?yàn)镽.
(1)求實(shí)數(shù)的值；
(2)若函數(shù)在上不單調(diào)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）由冪函數(shù)定義求得參數(shù)值；
（2）由二次函數(shù)的單調(diào)性知對(duì)稱軸在開(kāi)區(qū)間上，再由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)，對(duì)數(shù)的定義得結(jié)論．
【詳解】（1）由題意且，解得；
（2）由（1），的對(duì)稱軸 ，
因?yàn)樵谏喜粏握{(diào)，所以，
解得
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函數(shù)
圖象
定義域
值域
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
單調(diào)性
在上單調(diào)遞增
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增
在上單調(diào)遞增
在上單調(diào)遞增
在和上單調(diào)遞減
公共點(diǎn)
（一）
冪函數(shù)的定義及其圖像
1、冪函數(shù)在第一象限內(nèi)圖象的畫(huà)法如下：
①當(dāng)時(shí)，其圖象可類似畫(huà)出；
②當(dāng)時(shí)，其圖象可類似畫(huà)出；
③當(dāng)時(shí)，其圖象可類似畫(huà)出．
題型1：冪函數(shù)的定義及其圖像
1-1．（2024·江西·模擬預(yù)測(cè)）已知冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則（ ）
A．0B．2C．4D．5
【答案】C
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的形式及過(guò)定點(diǎn)即可求解.
【詳解】解：因?yàn)闉閮绾瘮?shù)
所以
又的圖象過(guò)點(diǎn)
即
解得
所以
故選：C.
1-2．（2024高三·河北·學(xué)業(yè)考試）已知冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則的值為（ ）
A．2B．3C．4D．9
【答案】B
【分析】設(shè)冪函數(shù)為，代入點(diǎn)計(jì)算得到，計(jì)算得到答案.
【詳解】設(shè)冪函數(shù)為，圖象過(guò)點(diǎn)，故，故，
，.
故選：B
1-3．（2024高一下·湖北宜昌·期中）已知函數(shù) 且 的圖象經(jīng)過(guò)定點(diǎn)， 若冪函數(shù) 的圖象也經(jīng)過(guò)該點(diǎn)， 則 ．
【答案】
【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合冪函數(shù)的定義進(jìn)行求解即可.
【詳解】因?yàn)椋?，設(shè)冪函數(shù)，
因?yàn)閮绾瘮?shù) 的圖象經(jīng)過(guò)，
所以，
因此，
故答案為：
1-4．（2024高一·全國(guó)·課后作業(yè)）已知冪函數(shù)（且互質(zhì)）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，如圖所示，則（ ）
A．p，q均為奇數(shù)，且
B．q為偶數(shù)，p為奇數(shù)，且
C．q為奇數(shù)，p為偶數(shù)，且
D．q為奇數(shù)，p為偶數(shù)，且
【答案】D
【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷出；根據(jù)函數(shù)的奇偶性及，互質(zhì)可判斷出為偶數(shù)，為奇數(shù).
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，且在上單調(diào)遞減，
所以0，
因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，
所以函數(shù)為偶函數(shù)，即p為偶數(shù)，
又p、q互質(zhì)，所以q為奇數(shù)，
所以選項(xiàng)D正確，
故選：D.
1-5．（2024高一上·陜西西安·期中）冪函數(shù)中a的取值集合C是的子集，當(dāng)冪函數(shù)的值域與定義域相同時(shí)，集合C為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分別求出各冪函數(shù)的定義域和值域，得到答案.
【詳解】當(dāng)時(shí)，定義域和值域均為，符合題意；
時(shí)，定義域?yàn)?，值域?yàn)椋什缓项}意；
時(shí)，定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?，符合題意；
時(shí)，定義域與值域均為R，符合題意；
時(shí)，定義域?yàn)镽，值域?yàn)?，不符合題意；
時(shí)，定義域與值域均為R，符合題意.
故選：C
（二）
冪函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用
函數(shù)
圖象
定義域
值域
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
單調(diào)性
在上單調(diào)遞增
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增
在上單調(diào)遞增
在上單調(diào)遞增
在和上單調(diào)遞減
公共點(diǎn)
題型2：冪函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用
2-1．（2024高一上·上海楊浦·期末）已知，若冪函數(shù)奇函數(shù)，且在上為嚴(yán)格減函數(shù)，則 .
【答案】-1
【分析】根據(jù)冪函數(shù)在上為嚴(yán)格減函數(shù)，可得，再由冪函數(shù)奇函數(shù)即可得答案.
【詳解】解：因?yàn)閮绾瘮?shù)在上為嚴(yán)格減函數(shù)，
所以，
所以，
又因?yàn)閮绾瘮?shù)奇函數(shù)，且，
所以，
故答案為：-1
2-2．（2024高三上·寧夏固原·期中）已知函數(shù)是冪函數(shù)，且在上遞減，則實(shí)數(shù)（ ）
A．B．或C．D．
【答案】A
【分析】由冪函數(shù)定義以及性質(zhì)即可求出.
【詳解】因?yàn)槭莾绾瘮?shù)，所以，解得或，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，則.
故選：A
2-3．（2024·海南·模擬預(yù)測(cè)）已知為冪函數(shù)，則（ ）．
A．在上單調(diào)遞增B．在上單調(diào)遞減
C．在上單調(diào)遞增D．在上單調(diào)遞減
【答案】B
【分析】首先根據(jù)冪函數(shù)的定義求出參數(shù)的值，即可得到函數(shù)解析式，再分析其性質(zhì).
【詳解】因?yàn)槭莾绾瘮?shù)，所以，解得或，
所以或，
對(duì)于，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
對(duì)于，函數(shù)在上單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)，故在上單調(diào)遞減；
故只有B選項(xiàng)“在上單調(diào)遞減”符合這兩個(gè)函數(shù)的性質(zhì)．
故選：B
2-4．（2024·江蘇）已知y=f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)， ，則f(-8)的值是 .
【答案】
【分析】先求，再根據(jù)奇函數(shù)求
【詳解】，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)求函數(shù)值，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.
2-5．（2024高三·全國(guó)·課后作業(yè)）已知冪函數(shù)（m為正整數(shù)）的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，且在上是嚴(yán)格減函數(shù)，求滿足的實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【答案】
【分析】根據(jù)函數(shù)為冪函數(shù)以及函數(shù)的性質(zhì)，可確定參數(shù)m的取值，結(jié)合冪函數(shù)的單調(diào)性，分類討論求解不等式，可得答案.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上是嚴(yán)格減函數(shù)，所以，解得．
由m為正整數(shù)，則或,
又函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，得是偶函數(shù)，
而當(dāng)時(shí)，，為奇函數(shù)，不符題意，
當(dāng)時(shí)，，為偶函數(shù)，于是．
因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，在與上均為嚴(yán)格減函數(shù)，
所以等價(jià)于或或，
解得或，即.
（三）
二次方程的實(shí)根分布及條件
一般情況下需要從以下4個(gè)方面考慮：
（1）開(kāi)口方向；（2）判別式；（3）對(duì)稱軸與區(qū)間端點(diǎn)的關(guān)系；（4）區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值的正負(fù).
題型3：二次方程的實(shí)根分布及條件
3-1．（2024高三·全國(guó)·階段練習(xí)）方程的一根在區(qū)間內(nèi)，另一根在區(qū)間內(nèi)，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】令，由二次函數(shù)根的分布性質(zhì)有，，，求得的取值范圍.
【詳解】令，由二次函數(shù)根的分布性質(zhì)，若一根在區(qū)間內(nèi)，
另一根在區(qū)間（3，4）內(nèi)，
只需，即，
解不等式組可得，即的取值范圍為，
故選：C.
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)根的分布性質(zhì)，屬于中檔題.
3-2．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且，那么的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】說(shuō)明時(shí)，不合題意，從而將化為，令，結(jié)合其與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且分布在1的兩側(cè)，可列不等式即可求得答案.
【詳解】當(dāng)時(shí)，即為，不符合題意；
故，即為，
令，
由于關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且，
則與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且分布在1的兩側(cè)，
故時(shí)，，即，解得，故，
故選：D
3-3．（2024高一·江蘇·課后作業(yè)）設(shè)a為實(shí)數(shù)，若方程在區(qū)間上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍是（ ）.
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)方程根的分布結(jié)合二次函數(shù)的圖象列出不等式組求解即可.
【詳解】令，
由方程在區(qū)間上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解可得
，即或，
解得，
故選：C
（四）
二次函數(shù)“動(dòng)軸定區(qū)間”、“定軸動(dòng)區(qū)間”問(wèn)題
（1）要熟練掌握二次函數(shù)在某區(qū)間上的最值或值域的求法，特別是含參數(shù)的兩類問(wèn)題——?jiǎng)虞S定區(qū)間和定軸動(dòng)區(qū)間，解法是抓住“三點(diǎn)一軸”，三點(diǎn)指的是區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)和區(qū)間中點(diǎn)，一軸指對(duì)稱軸.即注意對(duì)對(duì)稱軸與區(qū)間的不同位置關(guān)系加以分類討論，往往分成：①軸處在區(qū)間的左側(cè)；②軸處在區(qū)間的右側(cè)；③軸穿過(guò)區(qū)間內(nèi)部（部分題目還需討論軸與區(qū)間中點(diǎn)的位置關(guān)系），從而對(duì)參數(shù)值的范圍進(jìn)行討論.
（2）對(duì)于二次方程實(shí)根分布問(wèn)題，要抓住四點(diǎn)，即開(kāi)口方向、判別式、對(duì)稱軸位置及區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值正負(fù).
題型4：二次函數(shù)“動(dòng)軸定區(qū)間”、“定軸動(dòng)區(qū)間”問(wèn)題
4-1．（2024高一上·海南·期中）已知在區(qū)間 上的值域?yàn)?
(1)求實(shí)數(shù)的值；
(2)若不等式 當(dāng)上恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)區(qū)間 討論 的對(duì)稱軸 的位置，滿足值域是 ，求出a；
（2）運(yùn)用換元法構(gòu)造函數(shù)根據(jù)單調(diào)性求解.
【詳解】（1）函數(shù) 是開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為 的二次函數(shù)，根據(jù) 的圖像有：
當(dāng) 時(shí)， 在 上的最小值 ，
不符合 ，舍；
當(dāng) 時(shí)， 在 上的最小值 或 （舍），
， ，滿足題意；
當(dāng) 時(shí)， 在 上的最小值 （舍），
；
（2）由(1)， ，不等式為 ，
即 ，令 ，則 ， 在 時(shí)恒成立，
令 ，是對(duì)稱軸為 開(kāi)口向上的拋物線，在 時(shí)單調(diào)遞減，
， ，即k的取值范圍是 ；
綜上， .
4-2．（2024·浙江）設(shè)函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最小值的表達(dá)式；
（2）已知函數(shù)在上存在零點(diǎn)，，求的取值范圍.
【答案】（1）；（2）
【詳解】（1）將函數(shù)進(jìn)行配方，利用對(duì)稱軸與給定區(qū)間的位置關(guān)系，通過(guò)分類討論確定函數(shù)在給定區(qū)間上的最小值，并用分段函數(shù)的形式進(jìn)行表示；（2）設(shè)定函數(shù)的零點(diǎn)，根據(jù)條件表示兩個(gè)零點(diǎn)之間的不等關(guān)系，通過(guò)分類討論，分別確定參數(shù)的取值情況，利用并集原理得到參數(shù)的取值范圍.
試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，，故其對(duì)稱軸為.
當(dāng)時(shí)，.
當(dāng)時(shí)，.
當(dāng)時(shí)，.
綜上，
（2）設(shè)為方程的解，且，則.
由于，因此.
當(dāng)時(shí)，，
由于和，
所以.
當(dāng)時(shí)，，
由于和，所以.
綜上可知，的取值范圍是.
考點(diǎn)：1.函數(shù)的單調(diào)性與最值；2.分段函數(shù)；3.不等式性質(zhì)；4.分類討論思想.
4-3．（2024高一上·海南·期末）已知函數(shù)在區(qū)間上有最大值2和最小值1.
(1)求的值；
(2)不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(3)若且方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合已知列出方程組，即可得出；
（2）由已知可轉(zhuǎn)化為在上恒成立.根據(jù)基本不等式即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）由已知可推得有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解.令，作出的函數(shù)圖象，可得.結(jié)合函數(shù)圖象，該方程一個(gè)根大于0小于1，一個(gè)根大于等于1.令，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象，即可得出不等關(guān)系，進(jìn)而求出實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1）由已知可得.
當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)，所以，解得；
當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)，所以，解得.
由于，所以.
（2）由（1）知，
所以在上恒成立，即，
因?yàn)?，所以在上恒成立?br>即在上恒成立，
又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).
所以，即.
所以求實(shí)數(shù)的范圍為.
（3）方程化為，
化為，且.
令，則方程化為.
作出的函數(shù)圖象
因?yàn)榉匠逃腥齻€(gè)不同的實(shí)數(shù)解，
所以有兩個(gè)根，
且一個(gè)根大于0小于1，一個(gè)根大于等于1.
設(shè)，
記，
根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得
，或，
解得.
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的函數(shù)特性，即可得出零點(diǎn)的分布情況.
4-4．（2024·浙江）已知函數(shù)，記是在區(qū)間上的最大值.
（1）證明：當(dāng)時(shí)，；
（2）當(dāng)，滿足，求的最大值.
【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）.
【詳解】（1）分析題意可知在上單調(diào)，從而可知
，分類討論的取值范圍即可求解.；（2）分析題意可知
，再由可得，
，即可得證.
試題解析：（1）由，得對(duì)稱軸為直線，由，得
，故在上單調(diào)，∴，當(dāng)時(shí)，由
，得，即，當(dāng)時(shí)，由
，得，即，綜上，當(dāng)時(shí)，
；（2）由得，，故，，由，得，當(dāng)，時(shí)，，且在上的最大值為，即，∴的最大值為..
考點(diǎn)：1.二次函數(shù)的性質(zhì)；2.分類討論的數(shù)學(xué)思想.
4-5．（2024高一上·浙江·階段練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，解方程；
(2)當(dāng)時(shí)，記函數(shù)在上的最大值為，求的最小值．
【答案】(1)和1
(2)
【分析】（1）分與兩種情況，結(jié)合二次方程求解即可；
（2）根據(jù)分段函數(shù)中的二次函數(shù)性質(zhì)，分析可得最大值在中取得，再根據(jù)區(qū)間端點(diǎn)與對(duì)稱軸的關(guān)系分情況討論，數(shù)形結(jié)合分析函數(shù)的最大值，進(jìn)而求得的解析式，從而得到最小值即可.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，令．
當(dāng)時(shí)，，解得：
當(dāng)時(shí)，，解得：
故方程的解為：和1；
（2），其中，
因?yàn)閷?duì)稱軸為，開(kāi)口向下；對(duì)稱軸為，開(kāi)口向上，于是最大值在中取得．
當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減．；
當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，；
當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
；
當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

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