1．集合與元素
（1）集合中元素的三個(gè)特性：確定性、互異性、無(wú)序性．
（2）元素與集合的關(guān)系是屬于或不屬于，用符號(hào)∈或?表示．
（3）集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法．
（4）常見(jiàn)數(shù)集的記法．
2．集合間的基本關(guān)系
（1）子集：一般地，對(duì)于兩個(gè)集合A，B，如果集合A中任意一個(gè)元素都是集合B中的元素，就稱(chēng)集合A為集合B的子集，記作A?B(或B?A．
（2）真子集：如果集合A?B，但存在元素x∈B，且x?A，就稱(chēng)集合A是集合B的真子集，記作AB(或BA)．
（3）相等：若A?B，且B?A，則A＝B．
（4）空集：不含任何元素的集合叫做空集，記為?.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
3．集合的基本運(yùn)算
一、單選題
1．（2024·廣東江門(mén)·一模）已知集合，，則集合B中所有元素之和為（ ）
A．0B．1C．－1D．
2．（2024·陜西西安·一模）定義集合且.已知集合，，則中元素的個(gè)數(shù)為（ ）
A．6B．5C．4D．7
3．（江西省五市九校協(xié)作體2023屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)（文）試題）已知集合，，若，則（ ）
A．B．0C．1D．2
4．（2024·北京東城·一模）已知集合，且，則a可以為（ ）
A．－2B．－1C．D．
5．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知，若，且，則a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
6．（2024高一上·河南商丘·階段練習(xí)）已知集合的元素只有一個(gè)，則實(shí)數(shù)a的值為（ ）
A．B．0C．或0D．無(wú)解
7．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）已知集合，則A中元素的個(gè)數(shù)為（ ）
A．9B．10C．11D．12
8．（2024高二下·湖南·階段練習(xí)）已知集合，，若“”是“”的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
9．（2024·廣東茂名·二模）已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
10．（2024·廣東廣州·二模）已知集合，，則集合的元素個(gè)數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
11．（2024·河北張家口·二模）已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
12．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）已知集合，則下列Venn圖中陰影部分可以表示集合的是（ ）
A．B．
C．D．
13．（2024·北京海淀·模擬預(yù)測(cè)）已知集合滿(mǎn)足：①，②，必有，③集合中所有元素之和為，則集合中元素個(gè)數(shù)最多為（ ）
A．11B．10C．9D．8
14．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于集合，定義，且．若，，將集合中的元素從小到大排列得到數(shù)列，則（ ）
A．55B．76C．110D．113
15．（2024·全國(guó)）設(shè)集合，則（ ）
A．B．C．D．
16．（2024·全國(guó)）設(shè)全集，集合，則（ ）
A．B．C．D．
17．（2024·全國(guó)）已知集合，，則中元素的個(gè)數(shù)為（ ）
A．2B．3C．4D．6
18．（2024·甘肅張掖·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)全集，若集合，則（ ）
A．{-2，0，2，3}B．{-2，2，3}C．{0，2，3}D．{-2，-1}
19．（2024·內(nèi)蒙古包頭·二模）設(shè)集合，，則（ ）
A．B．C．D．
20．（2024·內(nèi)蒙古包頭·二模）設(shè)集合，且，則（ ）
A．B．C．8D．6
21．（2024·天津河?xùn)|·一模）已知集合，，，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A．B．C．D．
22．（2024·河北張家口·一模）已知集合，，，則（ ）
A． B．C．D．
23．（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）已知P，Q為R的兩個(gè)非空真子集，若?，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
24．（2024·廣西南寧·二模）已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
25．（2024·廣西南寧·二模）已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
26．（2024·遼寧鞍山·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)全集，集合，，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A．0B．-1C．2D．0或2
27．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）已知集合，，若中有且僅有三個(gè)整數(shù)，則正數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
28．（2024·湖南懷化·二模）已知集合，則的真子集共有（ ）
A．3個(gè)B．6個(gè)C．7個(gè)D．8個(gè)
29．（2024·北京）已知集合，則（ ）
A．B．
C．D．
30．（2024·全國(guó)）設(shè)集合，集合，，則（ ）
A．B．
C．D．
31．（2024·全國(guó)）設(shè)全集,集合，（ ）
A．B．
C．D．
32．（2024·全國(guó)）已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
33．（2024·天津）已知集合，則（ ）
A．B．C．D．
34．（2024·全國(guó)）設(shè)集合，，若，則（ ）．
A．2B．1C．D．
35．（2024高一上·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）已知，若，則（ ）
A．B．C．D．
36．（2024·天津）設(shè)全集，集合，則（ ）
A．B．C．D．
37．（2024·全國(guó)）若集合，則（ ）
A．B．C．D．
38．（2024·全國(guó)）設(shè)全集，集合M滿(mǎn)足，則（ ）
A．B．C．D．
39．（2024·全國(guó)）已知集合，則（ ）
A．B．C．D．
40．（2024·重慶·一模）已知集合，則B中元素個(gè)數(shù)為
A．4B．5C．6D．7
41．（2014年廣東省廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測(cè)試一理科數(shù)學(xué)試卷（帶解析））已知集合A＝，則集合A中的元素個(gè)數(shù)為( )
A．2B．3
C．4D．5
42．（2024高三上·河北衡水·階段練習(xí)）已知集合，集合中至少有3個(gè)元素，則
A．B．C．D．
43．（2024高一下·廣西·階段練習(xí)）若集合中只有一個(gè)元素，則
A．B．C．0D．0或
44．（2007·山西）設(shè)a,b∈R，集合，則=( )
A．1B．-1C．2D．-2
45．（2024高三下·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）集合，則下列關(guān)系正確的是（ ）
A．B．
C．D．
46．（2024高一·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知集合A＝{x∈Z|x2－2x－3≤0}，B＝{y|y＝}，則A∩B子集的個(gè)數(shù)為( )
A．10B．16C．8D．7
47．（2024高三·河南南陽(yáng)·階段練習(xí)）已知全集 ，則如圖所示的陰影部分所表示的集合為
A．B．或C．D．
48．（2024高三·湖南郴州·階段練習(xí)）已知，，若，則
A．3B．2C．3或2D．3或1
49．（2024·吉林·三模）設(shè)全集集合，集合若，則應(yīng)該滿(mǎn)足的條件是
A．B．≥C．D．≤
50．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知均為的子集，且，則（ ）
A．B．C．D．
51．（2024高一上·河北石家莊·期中）已知M,N為集合Ⅰ的非空真子集，且M,N不相等，若，則（ ）
A．MB．NC．ID．
二、多選題
52．（2024·山東濰坊·一模）若非空集合滿(mǎn)足：，則（ ）
A．B．
C．D．
53．（河南省安陽(yáng)市第一中學(xué)2023屆高三第四次全真模擬數(shù)學(xué)試題）由無(wú)理數(shù)引發(fā)的數(shù)學(xué)危機(jī)一直延續(xù)到19世紀(jì)直到1872年，德國(guó)數(shù)學(xué)家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā)，用有理數(shù)的“分割”來(lái)定義無(wú)理數(shù)史稱(chēng)戴德金分割，并把實(shí)數(shù)理論建立在嚴(yán)格的科學(xué)基礎(chǔ)上，才結(jié)束了無(wú)理數(shù)被認(rèn)為“無(wú)理”的時(shí)代，也結(jié)束了持續(xù)2000多年的數(shù)學(xué)史上的第一次大危機(jī)所謂戴德金分割，是指將有理數(shù)集Q劃分為兩個(gè)非空的子集M與N，且滿(mǎn)足，，M中的每一個(gè)元素都小于N中的每一個(gè)元素，則稱(chēng)為戴德金分割試判斷下列選項(xiàng)中，可能成立的是（ ）
A．是一個(gè)戴德金分割
B．M沒(méi)有最大元素，N有一個(gè)最小元素
C．M有一個(gè)最大元素，N有一個(gè)最小元素
D．M沒(méi)有最大元素，N也沒(méi)有最小元素
54．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）若集合，且，則集合可能是（ ）
A．B．C．D．
55．（2024·山東煙臺(tái)·模擬預(yù)測(cè)）若非空集合G和G上的二元運(yùn)算“”滿(mǎn)足：①，；②，對(duì)，：③，使，，有；④，，則稱(chēng)構(gòu)成一個(gè)群.下列選項(xiàng)對(duì)應(yīng)的構(gòu)成一個(gè)群的是（ ）
A．集合G為自然數(shù)集，“”為整數(shù)的加法運(yùn)算
B．集合G為正有理數(shù)集，“”為有理數(shù)的乘法運(yùn)算
C．集合(i為虛數(shù)單位)，“”為復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算
D．集合，“”為求兩整數(shù)之和被7除的余數(shù)
三、填空題
56．（2024·江西·模擬預(yù)測(cè)）2021年是中國(guó)共產(chǎn)黨成立100周年，電影頻道推出“經(jīng)典頻傳：看電影，學(xué)黨史”系列短視頻，傳揚(yáng)中國(guó)共產(chǎn)黨的偉大精神，為廣大青年群體帶來(lái)精神感召.現(xiàn)有《青春之歌》《建黨偉業(yè)》《開(kāi)國(guó)大典》三支短視頻，某大學(xué)社團(tuán)有50人，觀看了《青春之歌》的有21人，觀看了《建黨偉業(yè)》的有23人，觀看了《開(kāi)國(guó)大典》的有26人.其中，只觀看了《青春之歌》和《建黨偉業(yè)》的有4人，只觀看了《建黨偉業(yè)》和《開(kāi)國(guó)大典》的有7人，只觀看了《青春之歌》和《開(kāi)國(guó)大典》的有6人，三支短視頻全觀看了的有3人，則沒(méi)有觀看任何一支短視頻的人數(shù)為 .
57．（2024·湖北·二模）已知X為包含v個(gè)元素的集合（，）．設(shè)A為由X的一些三元子集（含有三個(gè)元素的子集）組成的集合，使得X中的任意兩個(gè)不同的元素，都恰好同時(shí)包含在唯一的一個(gè)三元子集中，則稱(chēng)組成一個(gè)v階的Steiner三元系．若為一個(gè)7階的Steiner三元系，則集合A中元素的個(gè)數(shù)為 ．
58．（2024·甘肅·二模）建黨百年之際，影片《》《長(zhǎng)津湖》《革命者》都已陸續(xù)上映，截止年月底，《長(zhǎng)津湖》票房收入已超億元，某市文化調(diào)查機(jī)構(gòu)，在至少觀看了這三部影片中的其中一部影片的市民中隨機(jī)抽取了若干人進(jìn)行調(diào)查，得知其中觀看了《》的有人，觀看了《長(zhǎng)津湖》的有人，觀看了《革命者》的有人，數(shù)據(jù)如圖，則圖中 ； ； .
59．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）集合中實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
60．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)集合，，已知且，則的取值集合為 .
61．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）用適當(dāng)?shù)姆?hào)填空，使之成為正確的集合關(guān)系式：
①? A；
②A∩? A；
③A??＝ ；
④（A∩B） （A?B）；
⑤{x|x＝2k－1，k∈Z} {x|x＝2k＋1，k∈Z}；
⑥{x|x＝2k，k∈Z} {x|x＝4k，k∈Z}；
⑦{x|x＝a2＋1，a∈R} {x|x＝a2＋2a＋2，a∈R}；
⑧{x|x＝a2＋1，a∈N} {x|x＝a2＋2a＋2，a∈N}
62．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）集合的子集的個(gè)數(shù)為 ．
63．（2024高一上·四川成都·階段練習(xí)）同時(shí)滿(mǎn)足（1）；（2）若，則的非空集合M有 個(gè)．
64．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知集合，，則 ；
65．（2024·湖南）某班共30人，其中15人喜愛(ài)籃球運(yùn)動(dòng)，10人喜愛(ài)乒乓球運(yùn)動(dòng)，8人對(duì)這兩項(xiàng)運(yùn)動(dòng)都不喜愛(ài)，則喜愛(ài)籃球運(yùn)動(dòng)但不喜愛(ài)乒乓球運(yùn)動(dòng)的人數(shù)為
66．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知全，A?(CUB)＝{1，3，5，7}，則B＝ .
67．（2024高一上·廣東梅州·階段練習(xí)）已知集合，或，，若“”是“”的必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .
68．（河南省淮陽(yáng)縣陳州高級(jí)中學(xué)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題）當(dāng)兩個(gè)集合中一個(gè)集合為另一集合的子集時(shí)稱(chēng)這兩個(gè)集合之間構(gòu)成“全食”，當(dāng)兩個(gè)集合有公共元素，但互不為對(duì)方子集時(shí)稱(chēng)兩集合之間構(gòu)成“偏食”.對(duì)于集合，若A與B構(gòu)成“全食”，或構(gòu)成“偏食”，則a的取值集合為
69．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）從七名運(yùn)動(dòng)員中選出名參加米接力賽，其中運(yùn)動(dòng)員不跑第一棒，運(yùn)動(dòng)員不跑第二棒，則不同安排方案有 種.
70．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）從名學(xué)生，其中有女生，選出名學(xué)生代表參加某會(huì)議，名學(xué)生代表中至少有一名女生選法有 種.
71．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）若集合，，則滿(mǎn)足且的集合的個(gè)數(shù)是 .
72．（2024高一上·上海奉賢·階段練習(xí)）某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育鍛煉，其中有的學(xué)生喜歡足球或游泳，的學(xué)生喜歡足球，的學(xué)生喜歡游泳，則該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例是 .
四、解答題
73．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）選擇適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?br>(1)由方程的所有實(shí)數(shù)根組成的集合；
(2)一次函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)組成的集合；
(3)函數(shù)的定義域；
(4)二次函數(shù)的函數(shù)值組成的集合．
74．（2024高一下·新疆烏魯木齊·期末）寫(xiě)出集合的所有子集．
75．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)集合是小于的正整數(shù)，，，求，，．
76．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知集合，求．
77．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)全集，集合，求：
(1)；
(2)
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集合
非負(fù)整數(shù)集(或自然數(shù)集)
正整數(shù)集
整數(shù)集
有理數(shù)集
實(shí)數(shù)集
符號(hào)
N
N*(或N＋)
Z
Q
R
表示
運(yùn)算
集合語(yǔ)言
圖形語(yǔ)言
記法
并集
{x|x∈A，或x∈B}
A∪B
交集
{x|x∈A，且x∈B}
A∩B
補(bǔ)集
{x|x∈U，且x?A}
?UA
（一）
集合的含義與表示
1．元素與集合關(guān)系的判斷
（1）元素與集合的關(guān)系：
①一般地，我們把研究對(duì)象稱(chēng)為元素，把一些元素組成的總體稱(chēng)為集合，簡(jiǎn)稱(chēng)集．
②元素一般用小寫(xiě)字母a，b，c表示，集合一般用大寫(xiě)字母A，B，C表示，兩者之間的關(guān)系是屬于與不屬于關(guān)系，符號(hào)表示如：a∈A或a?A．
集合中元素的特征：確定性、互異性、無(wú)序性
2．解決集合含義問(wèn)題的關(guān)鍵有三點(diǎn)．
（1）確定構(gòu)成集合的元素．
（2）確定元素的限制條件．
（3）根據(jù)元素的特征(滿(mǎn)足的條件)構(gòu)造關(guān)系式解決相應(yīng)問(wèn)題．
題型1：集合的含義與表示
1-1．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）用列舉法寫(xiě)出集合＝ .
1-2．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）用適當(dāng)?shù)姆?hào)填空：
（1）π Q；（2） Z；（3）3.5 N；（4）? {0}；（5）{0，1} R．
1-3．（2024·北京海淀·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)集合，若，則實(shí)數(shù)m=（ ）
A．0B．C．0或D．0或1
（二）
集合間的基本關(guān)系
1．集合的相等
（1）若集合A與集合B的元素相同，則稱(chēng)集合A等于集合B．
（2）對(duì)集合A和集合B，如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，同時(shí)集合B的任何一個(gè)元素都是集合A的元素，那么集合A等于集合B，記作A＝B．就是如果A?B，同時(shí)B?A，那么就說(shuō)這兩個(gè)集合相等，記作A＝B．
2．集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用
（1）如果集合A中的任意一個(gè)元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A?B； 如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一個(gè)元素不屬于A，那么集合A叫做集合B的真子集，即AB．
（2）如果集合A的每一個(gè)元素都是集合B的元素，反過(guò)來(lái)，集合B的每一個(gè)元素也都是集合A的元素，那么我們就說(shuō)集合A等于集合B，即A＝B．
3．空集是任何集合的子集，在涉及集合關(guān)系問(wèn)題時(shí)，必須考慮空集的情況，否則易造成漏解．
4．已知兩個(gè)集合間的關(guān)系求參數(shù)時(shí)，關(guān)鍵是將條件轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點(diǎn)間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)所滿(mǎn)足的關(guān)系，常用數(shù)軸、Venn圖等來(lái)直觀解決這類(lèi)問(wèn)題．
題型2：集合間的基本關(guān)系
2-1．（2024·江蘇·一模）設(shè)，，則（ ）
A．?B．?C．D．
2-2．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
2-3．（2024高一下·重慶萬(wàn)州·開(kāi)學(xué)考試）已知集合，集合．若，則實(shí)數(shù) ．
2-4．（2023-2024學(xué)年山東省濟(jì)寧市兗州區(qū)高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（帶解析））已知集合，若，則實(shí)數(shù)的值為 ．
2-5．（2024高一上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 .
2-6．（重慶市育才中學(xué)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）滿(mǎn)足的集合A的個(gè)數(shù)是 .
（三）
集合的運(yùn)算
1．交集及其運(yùn)算
（1）由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合叫做A與B的交集，記作A∩B．符號(hào)語(yǔ)言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
（2）運(yùn)算形狀：①A∩B＝B∩A．②A∩?＝?．③A∩A＝A．④A∩B?A，A∩B?B．⑤A∩B＝A?A?B．⑥A∩B＝?，兩個(gè)集合沒(méi)有相同元素．⑦A∩（?UA）＝?．⑧?U（A∩B）＝（?UA）∪（?UB）．
2．交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算
（1）集合交換律：A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A．
（2）集合結(jié)合律：（A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．
（3）集合分配律：A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．
（4）集合的摩根律：Cu（A∩B）＝CuA∪CuB，Cu（A∪B）＝CuA∩CuB．
（5）集合吸收律：A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A．
（6）集合求補(bǔ)律：A∪CuA＝U，A∩CuA＝?．
3．利用集合的運(yùn)算求參數(shù)的值(范圍)．
（1）對(duì)于集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算，如果集合中的元素是離散的，可用Venn圖表示．
（2）如果集合中的元素是連續(xù)的，可用數(shù)軸表示，此時(shí)要注意端點(diǎn)的情況．
題型3：集合的運(yùn)算
3-1．（2024·黑龍江齊齊哈爾·一模）設(shè)全集，集合，，則=（ ）
A．B．C．D．
3-2．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知全集，，則 ；
3-3．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知，集合，，若只有一個(gè)元素，則滿(mǎn)足的關(guān)系為 .
3-4．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知，集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
3-5．（2024高三上·全國(guó)·階段練習(xí)）已知集合，．若，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 ．
3-6．（2024高一上·吉林白城·階段練習(xí)）已知集合若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
（四）
集合新定義問(wèn)題
1.（1）解決新定義問(wèn)題時(shí)，一定要讀懂新定義的本質(zhì)含義，緊扣題目所給定義．
（2）結(jié)合題目所給定義和要求進(jìn)行恰當(dāng)轉(zhuǎn)化，切忌同已有概念或定義相混淆．
2．新定義問(wèn)題．
（1）看清集合中的元素．
（2）對(duì)集合進(jìn)行化簡(jiǎn)使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單明了．
（3）注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用：數(shù)軸、坐標(biāo)系和Venn圖．
題型4：集合新定義問(wèn)題
4-1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知集合A，B滿(mǎn)足，若，且，表示兩個(gè)不同的“AB互襯對(duì)”，則滿(mǎn)足題意的“AB互襯對(duì)”個(gè)數(shù)為（ ）
A．9B．4C．27D．8
4-2．（2024高三·江蘇·學(xué)業(yè)考試）對(duì)于兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集合和，我們把集合記作.若集合，則中元素的個(gè)數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
4-3．（2024·浙江溫州·三模）設(shè)集合，定義：集合，集合，集合，分別用，表示集合S，T中元素的個(gè)數(shù)，則下列結(jié)論可能成立的是（ ）
A．B．C．D．
4-4．（2024·全國(guó)·三模）如圖所示的Venn圖中，、是非空集合，定義集合為陰影部分表示的集合．若，，則（ ）
A．B．C．D．
4-5．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于集合A，B，定義集合且，已知集合，，，則（ ）
A．B．C．D．
專(zhuān)題01 集合4題型分類(lèi)
1．集合與元素
（1）集合中元素的三個(gè)特性：確定性、互異性、無(wú)序性．
（2）元素與集合的關(guān)系是屬于或不屬于，用符號(hào)∈或?表示．
（3）集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法．
（4）常見(jiàn)數(shù)集的記法．
2．集合間的基本關(guān)系
（1）子集：一般地，對(duì)于兩個(gè)集合A，B，如果集合A中任意一個(gè)元素都是集合B中的元素，就稱(chēng)集合A為集合B的子集，記作A?B(或B?A．
（2）真子集：如果集合A?B，但存在元素x∈B，且x?A，就稱(chēng)集合A是集合B的真子集，記作AB(或BA)．
（3）相等：若A?B，且B?A，則A＝B．
（4）空集：不含任何元素的集合叫做空集，記為?.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
3．集合的基本運(yùn)算
一、單選題
1．（2024·廣東江門(mén)·一模）已知集合，，則集合B中所有元素之和為（ ）
A．0B．1C．－1D．
【答案】C
【分析】
根據(jù)題意列式求得的值，即可得出答案.
【詳解】
根據(jù)條件分別令，解得，
又，所以，，
所以集合B中所有元素之和是，
故選：C．
2．（2024·陜西西安·一模）定義集合且.已知集合，，則中元素的個(gè)數(shù)為（ ）
A．6B．5C．4D．7
【答案】C
【分析】根據(jù)集合新定義求解即可.
【詳解】根據(jù)題意，因?yàn)椋?br>所以.
故選：C.
3．（江西省五市九校協(xié)作體2023屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)（文）試題）已知集合，，若，則（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】A
【分析】根據(jù)，可得兩集合元素全部相等，分別求和，再根據(jù)集合元素的互異性可確定，的值，進(jìn)而得出答案.
【詳解】由題意可知，兩集合元素全部相等，得到或，又根據(jù)集合互異性，可知，解得(舍)，和(舍)，所以，，則，
故選：A
4．（2024·北京東城·一模）已知集合，且，則a可以為（ ）
A．－2B．－1C．D．
【答案】B
【分析】求出集合，結(jié)合元素與集合關(guān)系判斷即可.
【詳解】∵，∴，∴，
可知，故A、C、D錯(cuò)誤；，故B正確.
故選：B
5．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知，若，且，則a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題意建立不等式求解即可.
【詳解】由題意，且，
解得，
故選：B
6．（2024高一上·河南商丘·階段練習(xí)）已知集合的元素只有一個(gè)，則實(shí)數(shù)a的值為（ ）
A．B．0C．或0D．無(wú)解
【答案】C
【分析】集合有一個(gè)元素，即方程有一解，分， 兩種情況討論，即可得解.
【詳解】集合有一個(gè)元素，即方程有一解，
當(dāng)時(shí)，，符合題意，
當(dāng)時(shí)，有一解，
則，解得：，
綜上可得：或，
故選：C.
7．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）已知集合，則A中元素的個(gè)數(shù)為（ ）
A．9B．10C．11D．12
【答案】C
【分析】由橢圓的性質(zhì)得，再列舉出集合的元素即得解.
【詳解】解：由橢圓的性質(zhì)得，
又,
所以集合
共有11個(gè)元素.
故選：C
8．（2024高二下·湖南·階段練習(xí)）已知集合，，若“”是“”的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】解不等式，確定集合A，討論m的范圍，確定B，根據(jù)題意推出?，由此列出不等式組，即可求得答案.
【詳解】由題意集合，
，
若，則，此時(shí)，
因?yàn)椤啊笔恰啊钡谋匾怀浞謼l件，故?,
故；
若，則，此時(shí)，
因?yàn)椤啊笔恰啊钡谋匾怀浞謼l件，故?,
故；
若，則，此時(shí)，滿(mǎn)足?,
綜合以上可得，
故選：C
9．（2024·廣東茂名·二模）已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先解出集合,再根據(jù)列不等式直接求解.
【詳解】集合，.
要使，只需，解得：.
故選：A
10．（2024·廣東廣州·二模）已知集合，，則集合的元素個(gè)數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用交集的定義求出集合，即可得解.
【詳解】因?yàn)?，，則，
故集合的元素個(gè)數(shù)為.
故選：B.
11．（2024·河北張家口·二模）已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由已知求出，然后根據(jù)補(bǔ)集的運(yùn)算得出，根據(jù)并集的運(yùn)算求解即可得出答案.
【詳解】，，
即，，
所以，，，
所以，.
故選：C.
12．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）已知集合，則下列Venn圖中陰影部分可以表示集合的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法，結(jié)合四個(gè)選項(xiàng)的Venn圖逐一判斷即可.
【詳解】，
選項(xiàng)A中Venn圖中陰影部分表示，不符合題意；
選項(xiàng)B中Venn圖中陰影部分表示，符合題意；
選項(xiàng)C中Venn圖中陰影部分表示，不符合題意；
選項(xiàng)D中Venn圖中陰影部分表示，不符合題意，
故選：B
13．（2024·北京海淀·模擬預(yù)測(cè)）已知集合滿(mǎn)足：①，②，必有，③集合中所有元素之和為，則集合中元素個(gè)數(shù)最多為（ ）
A．11B．10C．9D．8
【答案】B
【分析】根據(jù)集合滿(mǎn)足的條件①②可知要使得集合中元素盡可能多，則相鄰的兩個(gè)自然數(shù)最少差為，故先考慮集合中元素是由公差為的等差數(shù)列構(gòu)成，判斷集合元素的個(gè)數(shù)的最多情況，再對(duì)部分元素進(jìn)行調(diào)整即可得答案.
【詳解】對(duì)于條件①，②，必有，
若集合中所有的元素是由公差為的等差數(shù)列構(gòu)成，例如，集合中有個(gè)元素，
又則該集合滿(mǎn)足條件①②，不符合條件③，故符合條件③的集合中元素個(gè)數(shù)最多不能超過(guò)10個(gè)，
故若要集合滿(mǎn)足：①，②，必有，③集合中所有元素之和為，最多有10個(gè)元素，
例如.
故選：B.
14．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于集合，定義，且．若，，將集合中的元素從小到大排列得到數(shù)列，則（ ）
A．55B．76C．110D．113
【答案】C
【分析】根據(jù)集合的特征列出集合與的前若干項(xiàng)，找出集合中元素的特征，進(jìn)而即可求解.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，所以．相當(dāng)于集合中除去形式的數(shù)，其前45項(xiàng)包含了15個(gè)這樣的數(shù)，所以．
則，
故選：C.
15．（2024·全國(guó)）設(shè)集合，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)交集、補(bǔ)集的定義可求.
【詳解】由題設(shè)可得，故，
故選：B.
16．（2024·全國(guó)）設(shè)全集，集合，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】解方程求出集合B,再由集合的運(yùn)算即可得解.
【詳解】由題意，，所以,
所以.
故選：D.
17．（2024·全國(guó)）已知集合，，則中元素的個(gè)數(shù)為（ ）
A．2B．3C．4D．6
【答案】C
【分析】采用列舉法列舉出中元素的即可.
【詳解】由題意，中的元素滿(mǎn)足，且，
由，得，
所以滿(mǎn)足的有，
故中元素的個(gè)數(shù)為4.
故選：C.
【點(diǎn)晴】本題主要考查集合的交集運(yùn)算，考查學(xué)生對(duì)交集定義的理解，是一道容易題.
18．（2024·甘肅張掖·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)全集，若集合，則（ ）
A．{-2，0，2，3}B．{-2，2，3}C．{0，2，3}D．{-2，-1}
【答案】C
【分析】根據(jù)集合的交并補(bǔ)運(yùn)算，即可求解.
【詳解】由得，所以，
故選：C．
19．（2024·內(nèi)蒙古包頭·二模）設(shè)集合，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)一元二次不等式化簡(jiǎn)集合,即可由集合的交運(yùn)算求解.
【詳解】由得，所以，
故選：C
20．（2024·內(nèi)蒙古包頭·二模）設(shè)集合，且，則（ ）
A．B．C．8D．6
【答案】C
【分析】化簡(jiǎn)集合A、B，根據(jù)交集的結(jié)果求參數(shù)即可.
【詳解】由，可得或，
即或，而，
∵，
∴，可得.
故選：C
21．（2024·天津河?xùn)|·一模）已知集合，，，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由題設(shè)知，討論、求a值，結(jié)合集合的性質(zhì)確定a值即可.
【詳解】由知：，
當(dāng)，即，則，與集合中元素互異性有矛盾，不符合；
當(dāng)，即或，
若，則，與集合中元素互異性有矛盾，不符合；
若，則，，滿(mǎn)足要求.
綜上，.
故選：A
22．（2024·河北張家口·一模）已知集合，，，則（ ）
A． B．C．D．
【答案】B
【分析】先化簡(jiǎn)集合A，再利用并集和補(bǔ)集的運(yùn)算求解.
【詳解】解：由，得，故，
所以，，．
故選：B．
23．（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）已知P，Q為R的兩個(gè)非空真子集，若?，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】根據(jù)條件畫(huà)出圖，根據(jù)圖形，判斷選項(xiàng).
【詳解】因?yàn)?，所以?，如圖，
對(duì)于選項(xiàng)A：由題意知 P是 Q的真子集，故，，故不正確，
對(duì)于選項(xiàng)B：由是的真子集且，都不是空集知，，，故正確.
對(duì)于選項(xiàng)C：由是的真子集知，，，故不正確，
對(duì)于選項(xiàng)D：Q是的真子集，故，，故不正確，
故選：B
24．（2024·廣西南寧·二模）已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)根號(hào)下大于等于0求出集合，再利用交集和補(bǔ)集的含義即可得到答案.
【詳解】由題意得，解得，故，
因?yàn)椋?br>故.
故選：B.
25．（2024·廣西南寧·二模）已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用集合的補(bǔ)集、交集運(yùn)算求解.
【詳解】因?yàn)?，所以或?br>又，所以，故A，B，C錯(cuò)誤.
故選：D.
26．（2024·遼寧鞍山·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)全集，集合，，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A．0B．-1C．2D．0或2
【答案】A
【分析】利用給定條件，結(jié)合元素的互異性直接列式計(jì)算作答.
【詳解】由集合知，，即，而，全集，
因此，，解得，經(jīng)驗(yàn)證滿(mǎn)足條件，
所以實(shí)數(shù)的值為0.
故選：A
27．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）已知集合，，若中有且僅有三個(gè)整數(shù)，則正數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由題意化簡(jiǎn)集合，根據(jù)中有且僅有三個(gè)整數(shù)列不等式求解，可得答案.
【詳解】由題意可得，，
若中有且僅有三個(gè)整數(shù)，則只能是，
故，解得，
故選：B．
28．（2024·湖南懷化·二模）已知集合，則的真子集共有（ ）
A．3個(gè)B．6個(gè)C．7個(gè)D．8個(gè)
【答案】C
【分析】先利用交集運(yùn)算求解交集，再根據(jù)交集的元素個(gè)數(shù)來(lái)求解答案.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
所以的真子集共有個(gè).
故選：C.
29．（2024·北京）已知集合，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先化簡(jiǎn)集合，然后根據(jù)交集的定義計(jì)算.
【詳解】由題意，，，
根據(jù)交集的運(yùn)算可知，.
故選：A
30．（2024·全國(guó)）設(shè)集合，集合，，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由題意逐一考查所給的選項(xiàng)運(yùn)算結(jié)果是否為即可.
【詳解】由題意可得，則，選項(xiàng)A正確；
，則，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
，則或，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
或，則或，選項(xiàng)D錯(cuò)誤；
故選：A.
31．（2024·全國(guó)）設(shè)全集,集合，（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)整數(shù)集的分類(lèi)，以及補(bǔ)集的運(yùn)算即可解出．
【詳解】因?yàn)檎麛?shù)集，，所以，．
故選：A．
32．（2024·全國(guó)）已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根據(jù)交集的運(yùn)算解出．
方法二：將集合中的元素逐個(gè)代入不等式驗(yàn)證，即可解出．
【詳解】方法一：因?yàn)?，而?br>所以．
故選：C．
方法二：因?yàn)椋瑢⒋氩坏仁剑挥惺共坏仁匠闪?，所以?br>故選：C．
33．（2024·天津）已知集合，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】對(duì)集合B求補(bǔ)集，應(yīng)用集合的并運(yùn)算求結(jié)果；
【詳解】由，而，
所以.
故選：A
34．（2024·全國(guó)）設(shè)集合，，若，則（ ）．
A．2B．1C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)包含關(guān)系分和兩種情況討論，運(yùn)算求解即可.
【詳解】因?yàn)?，則有：
若，解得，此時(shí)，，不符合題意；
若，解得，此時(shí)，，符合題意；
綜上所述：.
故選：B.
35．（2024高一上·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）已知，若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由集合M中元素的特征，對(duì)元素進(jìn)行判斷.
【詳解】且，則；且，則，所以.
故選：A
36．（2024·天津）設(shè)全集，集合，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求出，再根據(jù)交集的定義可求.
【詳解】，故，
故選：A.
37．（2024·全國(guó)）若集合，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出集合后可求.
【詳解】，故，
故選：D
38．（2024·全國(guó)）設(shè)全集，集合M滿(mǎn)足，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先寫(xiě)出集合,然后逐項(xiàng)驗(yàn)證即可
【詳解】由題知,對(duì)比選項(xiàng)知，正確,錯(cuò)誤
故選:
39．（2024·全國(guó)）已知集合，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】方法一：求出集合后可求.
【詳解】[方法一]：直接法
因?yàn)?，故，故選：B.
[方法二]：【最優(yōu)解】代入排除法
代入集合，可得，不滿(mǎn)足，排除A、D；
代入集合，可得，不滿(mǎn)足，排除C.
故選：B.
【整體點(diǎn)評(píng)】方法一：直接解不等式，利用交集運(yùn)算求出，是通性通法；
方法二：根據(jù)選擇題特征，利用特殊值代入驗(yàn)證，是該題的最優(yōu)解．
40．（2024·重慶·一模）已知集合，則B中元素個(gè)數(shù)為
A．4B．5C．6D．7
【答案】A
【解析】化簡(jiǎn)集合，根據(jù)集合的元素特征，即可求解
【詳解】，
，中元素個(gè)數(shù)為4個(gè).
故選:A.
【點(diǎn)睛】本題考查集合的化簡(jiǎn)，注意集合元素的滿(mǎn)足的條件，屬于基礎(chǔ)題.
41．（2014年廣東省廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測(cè)試一理科數(shù)學(xué)試卷（帶解析））已知集合A＝，則集合A中的元素個(gè)數(shù)為( )
A．2B．3
C．4D．5
【答案】C
【詳解】試題分析：，的取值有、、、，又， 值分別為、、、，故集合中的元素個(gè)數(shù)為，故選C.
考點(diǎn)：數(shù)的整除性
42．（2024高三上·河北衡水·階段練習(xí)）已知集合，集合中至少有3個(gè)元素，則
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】試題分析：因?yàn)橹械缴儆袀€(gè)元素，即集合中一定有三個(gè)元素，所以，故選C.
考點(diǎn)：1.集合的運(yùn)算；2.對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì).
43．（2024高一下·廣西·階段練習(xí)）若集合中只有一個(gè)元素，則
A．B．C．0D．0或
【答案】D
【分析】分與兩種情況討論元素的個(gè)數(shù)可得答案．
【詳解】解：集合中只有一個(gè)元素，
當(dāng)時(shí)，可得，集合只有一個(gè)元素為：．
當(dāng)時(shí)：方程只有一個(gè)解：即，
可得：．
故選：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合描述法的意義，涉及集合元素的確定和個(gè)數(shù)的判斷，屬于基礎(chǔ)題．
44．（2007·山西）設(shè)a,b∈R，集合，則=( )
A．1B．-1C．2D．-2
【答案】C
【分析】利用集合中元素有意義，集合相等的意義列式計(jì)算作答.
【詳解】因，則，從而得，有，于是得，
所以.
故選：C
45．（2024高三下·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）集合，則下列關(guān)系正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】將兩個(gè)集合化簡(jiǎn)后比較分子的關(guān)系可得兩個(gè)集合的關(guān)系.
【詳解】，
表示整數(shù)，表示奇數(shù)，故，
故A錯(cuò)誤，B錯(cuò)誤，C正確，而中的元素有分?jǐn)?shù)，故D錯(cuò)誤.
故選：C．
46．（2024高一·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知集合A＝{x∈Z|x2－2x－3≤0}，B＝{y|y＝}，則A∩B子集的個(gè)數(shù)為( )
A．10B．16C．8D．7
【答案】C
【詳解】因?yàn)锳＝{－1,0,1,2,3}，B＝(0，＋∞)，所以A∩B＝{1,2,3}，其子集的個(gè)數(shù)為23＝8，故選C.
點(diǎn)睛：若集合有個(gè)元素，則的子集個(gè)數(shù)為，其中包括空集和集合本身．
47．（2024高三·河南南陽(yáng)·階段練習(xí)）已知全集 ，則如圖所示的陰影部分所表示的集合為
A．B．或C．D．
【答案】D
【詳解】 ,所以陰影部分所表示的集合為 ,選D.
48．（2024高三·湖南郴州·階段練習(xí)）已知，，若，則
A．3B．2C．3或2D．3或1
【答案】A
【詳解】由題，，，且，
當(dāng) ，符合題意；
當(dāng) ，此時(shí)，不符合題意.故
故選A.
49．（2024·吉林·三模）設(shè)全集集合，集合若，則應(yīng)該滿(mǎn)足的條件是
A．B．≥C．D．≤
【答案】B
【詳解】由得：，由，得≥，故選B.
50．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知均為的子集，且，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由題意利用集合的包含關(guān)系或者畫(huà)出Venn圖，結(jié)合Venn圖即可確定集合的運(yùn)算結(jié)果.
【詳解】解法一：,，據(jù)此可得.
故選：B.
解法二：如圖所示，設(shè)矩形ABCD表示全集R，
矩形區(qū)域ABHE表示集合M，則矩形區(qū)域CDEH表示集合，
矩形區(qū)域CDFG表示集合N，滿(mǎn)足，
結(jié)合圖形可得：.
故選：B.
51．（2024高一上·河北石家莊·期中）已知M,N為集合Ⅰ的非空真子集，且M,N不相等，若，則（ ）
A．MB．NC．ID．
【答案】A
【分析】由交集為空集可確定兩集合的包含關(guān)系，進(jìn)而得到并集結(jié)果.
【詳解】
故選：
【點(diǎn)睛】本題考查集合運(yùn)算中的交集和并集運(yùn)算，關(guān)鍵是能夠通過(guò)交集運(yùn)算結(jié)果確定集合的包含關(guān)系.
二、多選題
52．（2024·山東濰坊·一模）若非空集合滿(mǎn)足：，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】根據(jù)題意可得：，然后根據(jù)集合的包含關(guān)系即可求解.
【詳解】由可得：，由，可得，則推不出，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
由可得，故選項(xiàng)正確；
因?yàn)榍?，所以，則，故選項(xiàng)正確；
由可得：不一定為空集，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：.
53．（河南省安陽(yáng)市第一中學(xué)2023屆高三第四次全真模擬數(shù)學(xué)試題）由無(wú)理數(shù)引發(fā)的數(shù)學(xué)危機(jī)一直延續(xù)到19世紀(jì)直到1872年，德國(guó)數(shù)學(xué)家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā)，用有理數(shù)的“分割”來(lái)定義無(wú)理數(shù)史稱(chēng)戴德金分割，并把實(shí)數(shù)理論建立在嚴(yán)格的科學(xué)基礎(chǔ)上，才結(jié)束了無(wú)理數(shù)被認(rèn)為“無(wú)理”的時(shí)代，也結(jié)束了持續(xù)2000多年的數(shù)學(xué)史上的第一次大危機(jī)所謂戴德金分割，是指將有理數(shù)集Q劃分為兩個(gè)非空的子集M與N，且滿(mǎn)足，，M中的每一個(gè)元素都小于N中的每一個(gè)元素，則稱(chēng)為戴德金分割試判斷下列選項(xiàng)中，可能成立的是（ ）
A．是一個(gè)戴德金分割
B．M沒(méi)有最大元素，N有一個(gè)最小元素
C．M有一個(gè)最大元素，N有一個(gè)最小元素
D．M沒(méi)有最大元素，N也沒(méi)有最小元素
【答案】BD
【分析】根據(jù)戴德金分割的定義,舉例或舉反例一一判斷每個(gè)選項(xiàng)，可得答案.
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，若，則滿(mǎn)足戴德金分割，
此時(shí)M沒(méi)有最大元素，N有一個(gè)最小元素0，故B正確；
對(duì)于C，若M有一個(gè)最大元素，設(shè)為a，N有一個(gè)最小元素，設(shè)為b，則，
則，而內(nèi)也有有理數(shù)，
則，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，若，，
則滿(mǎn)足戴德金分割，此時(shí)M沒(méi)有最大元素，N也沒(méi)有最小元素，故D正確，
故選：BD
54．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）若集合，且，則集合可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】根據(jù)子集關(guān)系逐項(xiàng)進(jìn)行判斷可得答案.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>因?yàn)?，所以，，，?br>故選：ABD
55．（2024·山東煙臺(tái)·模擬預(yù)測(cè)）若非空集合G和G上的二元運(yùn)算“”滿(mǎn)足：①，；②，對(duì)，：③，使，，有；④，，則稱(chēng)構(gòu)成一個(gè)群.下列選項(xiàng)對(duì)應(yīng)的構(gòu)成一個(gè)群的是（ ）
A．集合G為自然數(shù)集，“”為整數(shù)的加法運(yùn)算
B．集合G為正有理數(shù)集，“”為有理數(shù)的乘法運(yùn)算
C．集合(i為虛數(shù)單位)，“”為復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算
D．集合，“”為求兩整數(shù)之和被7除的余數(shù)
【答案】BCD
【分析】根據(jù)新定義，判斷各選項(xiàng)中是否滿(mǎn)足題中4個(gè)條件即可得．
【詳解】A．時(shí)，不滿(mǎn)足③，若，則由得，若，則在中設(shè)，由得，所以不能構(gòu)成群；
B．G為正有理數(shù)集，①任意兩個(gè)正有理數(shù)的積仍然為正有理數(shù)，②顯然，對(duì)任意，，③對(duì)任意正有理數(shù)，也是正有理數(shù)，且，即，④有理數(shù)的乘數(shù)滿(mǎn)足結(jié)合律，B中可構(gòu)造群；
C．(i為虛數(shù)單位)，①可驗(yàn)證中任意兩數(shù)（可相等）的乘積仍然屬于；②，滿(mǎn)足任意，有；③，滿(mǎn)足任意，存在，有，實(shí)質(zhì)上有；④復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算滿(mǎn)足結(jié)合律，C中可構(gòu)造群；
D．，①任意兩個(gè)整數(shù)的和不是整數(shù)，它除以7的余數(shù)一定屬于，②，滿(mǎn)足對(duì)任意，，③，，，除以7余數(shù)為0；④加法滿(mǎn)足交換律，又除以7的余數(shù)等于除以7的余數(shù)加除以7的余數(shù)的和再除以7所得余數(shù)，因此，，D中可構(gòu)造群；
故選：BCD．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查新定義，解題關(guān)鍵是理解新定義，用新定義解題．解題方法是根據(jù)新定義的4個(gè)條件進(jìn)行驗(yàn)證，注意實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)運(yùn)算的運(yùn)算律與新定義中運(yùn)算的聯(lián)系可以很快得出結(jié)論．
三、填空題
56．（2024·江西·模擬預(yù)測(cè)）2021年是中國(guó)共產(chǎn)黨成立100周年，電影頻道推出“經(jīng)典頻傳：看電影，學(xué)黨史”系列短視頻，傳揚(yáng)中國(guó)共產(chǎn)黨的偉大精神，為廣大青年群體帶來(lái)精神感召.現(xiàn)有《青春之歌》《建黨偉業(yè)》《開(kāi)國(guó)大典》三支短視頻，某大學(xué)社團(tuán)有50人，觀看了《青春之歌》的有21人，觀看了《建黨偉業(yè)》的有23人，觀看了《開(kāi)國(guó)大典》的有26人.其中，只觀看了《青春之歌》和《建黨偉業(yè)》的有4人，只觀看了《建黨偉業(yè)》和《開(kāi)國(guó)大典》的有7人，只觀看了《青春之歌》和《開(kāi)國(guó)大典》的有6人，三支短視頻全觀看了的有3人，則沒(méi)有觀看任何一支短視頻的人數(shù)為 .
【答案】3
【分析】把大學(xué)社團(tuán)50人形成的集合記為全集U，觀看了《青春之歌》《建黨偉業(yè)》《開(kāi)國(guó)大典》三
支短視頻的人形成的集合分別記為A，B，C，作出韋恩圖，數(shù)形結(jié)合計(jì)算即得.
【詳解】把大學(xué)社團(tuán)50人形成的集合記為全集U，觀看了《青春之歌》《建黨偉業(yè)》《開(kāi)國(guó)大典》三
支短視頻的人形成的集合分別記為A，B，C，依題意，作出韋恩圖，如圖，

觀察韋恩圖：因觀看了《青春之歌》的有21人，則只看了《青春之歌》的有(人)，
因觀看了《建黨偉業(yè)》的有23人，則只看了《建黨偉業(yè)》的有(人)，
因觀看了《開(kāi)國(guó)大典》的有26人，則只看了《開(kāi)國(guó)大典》的有(人)，
因此，至少看了一支短視頻的有(人)，
所以沒(méi)有觀看任何一支短視頻的人數(shù)為.
故答案為：3
57．（2024·湖北·二模）已知X為包含v個(gè)元素的集合（，）．設(shè)A為由X的一些三元子集（含有三個(gè)元素的子集）組成的集合，使得X中的任意兩個(gè)不同的元素，都恰好同時(shí)包含在唯一的一個(gè)三元子集中，則稱(chēng)組成一個(gè)v階的Steiner三元系．若為一個(gè)7階的Steiner三元系，則集合A中元素的個(gè)數(shù)為 ．
【答案】7
【分析】令，列舉出所有三元子集，結(jié)合組成v階的Steiner三元系定義，確定中元素個(gè)數(shù).
【詳解】由題設(shè)，令集合，共有7個(gè)元素，
所以的三元子集，如下共有35個(gè)：
、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，
因?yàn)橹屑蠞M(mǎn)足X中的任意兩個(gè)不同的元素，都恰好同時(shí)包含在唯一的一個(gè)三元子集，所以中元素滿(mǎn)足要求的有：
、、、、、、，共有7個(gè)；
、、、、、、，共有7個(gè)；
、、、、、、，共有7個(gè)；
、、、、、、，共有7個(gè)；
、、、、、、，共有7個(gè)；
、、、、、、，共有7個(gè)；
、、、、、、，共有7個(gè)；
、、、、、、，共有7個(gè)；
、、、、、、，共有7個(gè)；
、、、、、、，共有7個(gè)；
、、、、、、，共有7個(gè)；
、、、、、、，共有7個(gè)；
、、、、、、，共有7個(gè)；
、、、、、、，共有7個(gè)；
、、、、、、，共有7個(gè)；
共有15種滿(mǎn)足要求的集合A，但都只有7個(gè)元素.
故答案為：7
58．（2024·甘肅·二模）建黨百年之際，影片《》《長(zhǎng)津湖》《革命者》都已陸續(xù)上映，截止年月底，《長(zhǎng)津湖》票房收入已超億元，某市文化調(diào)查機(jī)構(gòu)，在至少觀看了這三部影片中的其中一部影片的市民中隨機(jī)抽取了若干人進(jìn)行調(diào)查，得知其中觀看了《》的有人，觀看了《長(zhǎng)津湖》的有人，觀看了《革命者》的有人，數(shù)據(jù)如圖，則圖中 ； ； .
【答案】
【分析】根據(jù)韋恩圖，結(jié)合看每部電影的人數(shù)可構(gòu)造方程組求得結(jié)果.
【詳解】由題意得：，解得：.
故答案為：；；.
59．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）集合中實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
【答案】.
【分析】根據(jù)集合中元素的互異性，即可求解.
【詳解】由集合，根據(jù)集合元素的互異性，可得，
即實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
60．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)集合，，已知且，則的取值集合為 .
【答案】
【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系以及集合的互異性可求出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋矗?br>所以或，
若，則或；
若，即，則或.
由與互異，得，
故或，
又，即，所以，解得且，
綜上所述，的取值集合為.
故答案為：
61．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）用適當(dāng)?shù)姆?hào)填空，使之成為正確的集合關(guān)系式：
①? A；
②A∩? A；
③A??＝ ；
④（A∩B） （A?B）；
⑤{x|x＝2k－1，k∈Z} {x|x＝2k＋1，k∈Z}；
⑥{x|x＝2k，k∈Z} {x|x＝4k，k∈Z}；
⑦{x|x＝a2＋1，a∈R} {x|x＝a2＋2a＋2，a∈R}；
⑧{x|x＝a2＋1，a∈N} {x|x＝a2＋2a＋2，a∈N}
【答案】
【分析】根據(jù)集合表示方法，集合間的包含關(guān)系，以及集合的交集、并集的運(yùn)算，逐項(xiàng)進(jìn)行判定，即可求解.
【詳解】①由空集為任何集合的子集，可得；
②因?yàn)椋裕?br>③根據(jù)空間的概念和并集的運(yùn)算，可得；
④根據(jù)集合的交集和并集的概念，可得；
⑤由和表示所有的奇數(shù)，
所以；
⑥由表示所有的偶數(shù)，表示的倍數(shù)的偶數(shù)，
所以；
⑦由，所以，
又由，所以，
所以；
⑧由，
又由，
所以.
故答案為：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧.
62．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）集合的子集的個(gè)數(shù)為 ．
【答案】
【分析】直接根據(jù)公式可得結(jié)果.
【詳解】集合的子集的個(gè)數(shù)為個(gè).
故答案為：.
63．（2024高一上·四川成都·階段練習(xí)）同時(shí)滿(mǎn)足（1）；（2）若，則的非空集合M有 個(gè)．
【答案】7
【分析】由集合的元素所滿(mǎn)足的兩個(gè)性質(zhì)，找出集合的元素，從而確定集合的個(gè)數(shù)，得到答案.
【詳解】因?yàn)棰?；②若，則，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
同時(shí)，集合中若有，則成對(duì)出現(xiàn)，有時(shí)，也成對(duì)出現(xiàn)，
所以滿(mǎn)足題意點(diǎn)的集合有：，
共有7個(gè)集合滿(mǎn)足條件.
故答案為：7
【點(diǎn)睛】本題主要考查了元素與集合的關(guān)系，以及集合與集合的關(guān)系的判定與應(yīng)用，其中熟記元素與集合的關(guān)系，以及集合與集合的包含關(guān)系是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.
64．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知集合，，則 ；
【答案】
【分析】解方程組求出交集中的元素，再根據(jù)列舉法可得答案.
【詳解】由，得，
所以.
故答案為：.
65．（2024·湖南）某班共30人，其中15人喜愛(ài)籃球運(yùn)動(dòng)，10人喜愛(ài)乒乓球運(yùn)動(dòng)，8人對(duì)這兩項(xiàng)運(yùn)動(dòng)都不喜愛(ài)，則喜愛(ài)籃球運(yùn)動(dòng)但不喜愛(ài)乒乓球運(yùn)動(dòng)的人數(shù)為
【答案】12
【詳解】設(shè)兩者都喜歡的人數(shù)為x人，
則只喜愛(ài)籃球的有(15-x)人，
只喜愛(ài)乒乓球的有(10-x)人,
(15-x)+(10-x)+x+8= 30
解得x=3,
所以15- x= 12
故喜愛(ài)籃球運(yùn)動(dòng)但不喜愛(ài)乒乓球運(yùn)動(dòng)的人數(shù)為12人.
66．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知全，A?(CUB)＝{1，3，5，7}，則B＝ .
【答案】
【分析】由全集，根據(jù)A?(CUB)，應(yīng)用韋恩圖即可求集合B.
【詳解】由題意，，

∵A?(CUB)，，
∴.
故答案為：.
67．（2024高一上·廣東梅州·階段練習(xí)）已知集合，或，，若“”是“”的必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .
【答案】
【分析】
根據(jù)題目條件可得，對(duì)進(jìn)行分類(lèi)討論求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【詳解】因?yàn)椤啊笔恰啊钡谋匾獥l件，所以，
當(dāng)時(shí)滿(mǎn)足題意，即，所以；
當(dāng)時(shí)，或，
解得：或；
綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
故答案為：.
68．（河南省淮陽(yáng)縣陳州高級(jí)中學(xué)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題）當(dāng)兩個(gè)集合中一個(gè)集合為另一集合的子集時(shí)稱(chēng)這兩個(gè)集合之間構(gòu)成“全食”，當(dāng)兩個(gè)集合有公共元素，但互不為對(duì)方子集時(shí)稱(chēng)兩集合之間構(gòu)成“偏食”.對(duì)于集合，若A與B構(gòu)成“全食”，或構(gòu)成“偏食”，則a的取值集合為
【答案】
【分析】分“全食”和“偏食”兩種情況分類(lèi)討論求出值，即可求解
【詳解】當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)A與B構(gòu)成“全食”；
當(dāng)時(shí)，，
若時(shí)，，此時(shí)A與B構(gòu)成“全食”；
若時(shí)，，此時(shí)A與B構(gòu)成“偏食”，
綜上所述，a的取值集合為
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查集合新定義，屬于基礎(chǔ)題
69．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）從七名運(yùn)動(dòng)員中選出名參加米接力賽，其中運(yùn)動(dòng)員不跑第一棒，運(yùn)動(dòng)員不跑第二棒，則不同安排方案有 種.
【答案】
【分析】按照第一棒是否由跑分兩類(lèi)討論，可求出結(jié)果.
【詳解】若運(yùn)動(dòng)員跑第一棒，則從剩下的六名運(yùn)動(dòng)員中任選三名跑另外三棒，有種；
若運(yùn)動(dòng)員不跑第一棒，也不能跑第二棒，則從除外的五名運(yùn)動(dòng)員中，任選一名跑第一棒，有，
從除和已經(jīng)排好的人以外的五名運(yùn)動(dòng)員中任選一名跑第二棒，有，
再?gòu)氖Ｏ碌奈迕\(yùn)動(dòng)員中任選兩名跑另外兩棒，有種，
故不同安排方案有種.
故答案為：.
70．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）從名學(xué)生，其中有女生，選出名學(xué)生代表參加某會(huì)議，名學(xué)生代表中至少有一名女生選法有 種.
【答案】
【分析】利用間接法可求出結(jié)果.
【詳解】從名學(xué)生中任選名學(xué)生，有種，
其中不含女生的有種，
所以名學(xué)生代表中至少有一名女生選法有種.
故答案為：.
71．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）若集合，，則滿(mǎn)足且的集合的個(gè)數(shù)是 .
【答案】
【分析】根據(jù)子集和交集的概念，利用列舉法可得結(jié)果.
【詳解】集合有，，，，，，，，，，，，，，，共個(gè)子集，
其中滿(mǎn)足的集合有：，，，，，，，，，，，,共個(gè).
故答案為：.
72．（2024高一上·上海奉賢·階段練習(xí)）某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育鍛煉，其中有的學(xué)生喜歡足球或游泳，的學(xué)生喜歡足球，的學(xué)生喜歡游泳，則該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例是 .
【答案】
【分析】設(shè)有的學(xué)生既喜歡足球又喜歡游泳，則有只喜歡足球，有只喜歡游泳，列出方程能求出該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例．
【詳解】解：設(shè)有的學(xué)生既喜歡足球又喜歡游泳，
則有只喜歡足球，有只喜歡游泳，
由題意得：，
解得．
故該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例是．
故答案為：．
四、解答題
73．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）選擇適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?br>(1)由方程的所有實(shí)數(shù)根組成的集合；
(2)一次函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)組成的集合；
(3)函數(shù)的定義域；
(4)二次函數(shù)的函數(shù)值組成的集合．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根據(jù)列舉法可得答案；
（2）根據(jù)列舉法可得答案；
（3）根據(jù)描述法可得答案；
（4）根據(jù)描述法可得答案；
【詳解】（1）由，得或，
所以由方程的所有實(shí)數(shù)根組成的集合為.
（2）由，得，
所以一次函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)組成的集合為.
（3）由函數(shù)有意義，得，即，
所以函數(shù)的定義域?yàn)?
（4）二次函數(shù)的函數(shù)值組成的集合為.
74．（2024高一下·新疆烏魯木齊·期末）寫(xiě)出集合的所有子集．
【答案】
【分析】根據(jù)集合的子集的定義列舉出即可．
【詳解】集合的所有子集有：
【點(diǎn)睛】本題考查了集合的子集的定義，掌握子集的定義是解題的關(guān)鍵，本題是一道基礎(chǔ)題．
75．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)集合是小于的正整數(shù)，，，求，，．
【答案】，，.
【分析】根據(jù)集合的交并補(bǔ)的概念可求出結(jié)果.
【詳解】由題意得，，，
所以，，.
76．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知集合，求．
【答案】，，或.
【分析】根據(jù)集合交集、并集和補(bǔ)集的概念與運(yùn)算，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解.
【詳解】由集合，
可得，，
由補(bǔ)集的概念與運(yùn)算，可得或.
77．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)全集，集合，求：
(1)；
(2)．
【答案】(1)或
(2)或
【分析】（1）根據(jù)不等式的解法求得，，結(jié)合并集和補(bǔ)集的運(yùn)算，即可求解；
（2）由（1）中的集合，結(jié)合交集和補(bǔ)集的運(yùn)算，即可求解.
【詳解】（1）解：由不等式，解得，所以，
又由不等式，解得，所以，
可得，所以或.
（2）解：由（1）知，集合，
可得或，或，
所以或
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集合
非負(fù)整數(shù)集(或自然數(shù)集)
正整數(shù)集
整數(shù)集
有理數(shù)集
實(shí)數(shù)集
符號(hào)
N
N*(或N＋)
Z
Q
R
表示
運(yùn)算
集合語(yǔ)言
圖形語(yǔ)言
記法
并集
{x|x∈A，或x∈B}
A∪B
交集
{x|x∈A，且x∈B}
A∩B
補(bǔ)集
{x|x∈U，且x?A}
?UA
（一）
集合的含義與表示
1．元素與集合關(guān)系的判斷
（1）元素與集合的關(guān)系：
①一般地，我們把研究對(duì)象稱(chēng)為元素，把一些元素組成的總體稱(chēng)為集合，簡(jiǎn)稱(chēng)集．
②元素一般用小寫(xiě)字母a，b，c表示，集合一般用大寫(xiě)字母A，B，C表示，兩者之間的關(guān)系是屬于與不屬于關(guān)系，符號(hào)表示如：a∈A或a?A．
集合中元素的特征：確定性、互異性、無(wú)序性
2．解決集合含義問(wèn)題的關(guān)鍵有三點(diǎn)．
（1）確定構(gòu)成集合的元素．
（2）確定元素的限制條件．
（3）根據(jù)元素的特征(滿(mǎn)足的條件)構(gòu)造關(guān)系式解決相應(yīng)問(wèn)題．
題型1：集合的含義與表示
1-1．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）用列舉法寫(xiě)出集合＝ .
【答案】
【分析】根據(jù)列舉法可得結(jié)果.
【詳解】由且，得或或或或或或，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.
故.
故答案為：
1-2．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）用適當(dāng)?shù)姆?hào)填空：
（1）π Q；（2） Z；（3）3.5 N；（4）? {0}；（5）{0，1} R．
【答案】
【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系，以及集合與集合間的關(guān)系，逐個(gè)判定，即可求解.
【詳解】根據(jù)元素與集合的關(guān)系，以及集合與集合間的關(guān)系，可得：
（1）；（2）；（3）；（4）； （5）.
故答案為：，，，，.
1-3．（2024·北京海淀·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)集合，若，則實(shí)數(shù)m=（ ）
A．0B．C．0或D．0或1
【答案】C
【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系，分別討論和兩種情況，求解并檢驗(yàn)集合的互異性，可得到答案.
【詳解】設(shè)集合，若，
，或，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；
所以或.
故選：C
（二）
集合間的基本關(guān)系
1．集合的相等
（1）若集合A與集合B的元素相同，則稱(chēng)集合A等于集合B．
（2）對(duì)集合A和集合B，如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，同時(shí)集合B的任何一個(gè)元素都是集合A的元素，那么集合A等于集合B，記作A＝B．就是如果A?B，同時(shí)B?A，那么就說(shuō)這兩個(gè)集合相等，記作A＝B．
2．集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用
（1）如果集合A中的任意一個(gè)元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A?B； 如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一個(gè)元素不屬于A，那么集合A叫做集合B的真子集，即AB．
（2）如果集合A的每一個(gè)元素都是集合B的元素，反過(guò)來(lái)，集合B的每一個(gè)元素也都是集合A的元素，那么我們就說(shuō)集合A等于集合B，即A＝B．
3．空集是任何集合的子集，在涉及集合關(guān)系問(wèn)題時(shí)，必須考慮空集的情況，否則易造成漏解．
4．已知兩個(gè)集合間的關(guān)系求參數(shù)時(shí)，關(guān)鍵是將條件轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點(diǎn)間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)所滿(mǎn)足的關(guān)系，常用數(shù)軸、Venn圖等來(lái)直觀解決這類(lèi)問(wèn)題．
題型2：集合間的基本關(guān)系
2-1．（2024·江蘇·一模）設(shè)，，則（ ）
A．?B．?C．D．
【答案】B
【分析】分別分析兩個(gè)集合中的元素所代表的意思即可判斷選項(xiàng).
【詳解】解：因?yàn)?，因?yàn)椋?br>所以集合是由所有奇數(shù)的一半組成，
而集合是由所有整數(shù)的一半組成，故?.
故選：B
2-2．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
【答案】
【分析】化簡(jiǎn)集合，根據(jù)子集關(guān)系列式可求出結(jié)果.
【詳解】依題意得，，
若，則.
故答案為：
2-3．（2024高一下·重慶萬(wàn)州·開(kāi)學(xué)考試）已知集合，集合．若，則實(shí)數(shù) ．
【答案】
【分析】利用列方程求出m，注意到集合中元素的互異性，得到正確答案.
【詳解】集合，集合．
①若，解得：或.
當(dāng)時(shí)，與元素的互異性相矛盾，舍去.
當(dāng)時(shí)，符合題意.
②若，解得：.舍去.
故.
故答案為：-1.
2-4．（2023-2024學(xué)年山東省濟(jì)寧市兗州區(qū)高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（帶解析））已知集合，若，則實(shí)數(shù)的值為 ．
【答案】0，±1
【詳解】試題分析：當(dāng)時(shí)，集合，滿(mǎn)足；當(dāng)時(shí)，，又，所以若，則有，綜上實(shí)數(shù)的值為0，±1．
考點(diǎn)：利用子集關(guān)系求參數(shù)．
2-5．（2024高一上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 .
【答案】
【分析】根據(jù)，分和，兩種情況討論求解.
【詳解】因?yàn)榧希?，且?br>當(dāng)時(shí)，則，解得，
當(dāng)時(shí)，則，解得，
綜上：，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，
故答案為：
2-6．（重慶市育才中學(xué)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）滿(mǎn)足的集合A的個(gè)數(shù)是 .
【答案】8
【分析】由，可得集合A是集合的子集且1，2均在子集中，從而可求出集合A
【詳解】解：因?yàn)椋?br>所以，
所以滿(mǎn)足集合A的個(gè)數(shù)為8，
故答案為：8
（三）
集合的運(yùn)算
1．交集及其運(yùn)算
（1）由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合叫做A與B的交集，記作A∩B．符號(hào)語(yǔ)言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
（2）運(yùn)算形狀：①A∩B＝B∩A．②A∩?＝?．③A∩A＝A．④A∩B?A，A∩B?B．⑤A∩B＝A?A?B．⑥A∩B＝?，兩個(gè)集合沒(méi)有相同元素．⑦A∩（?UA）＝?．⑧?U（A∩B）＝（?UA）∪（?UB）．
2．交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算
（1）集合交換律：A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A．
（2）集合結(jié)合律：（A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．
（3）集合分配律：A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．
（4）集合的摩根律：Cu（A∩B）＝CuA∪CuB，Cu（A∪B）＝CuA∩CuB．
（5）集合吸收律：A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A．
（6）集合求補(bǔ)律：A∪CuA＝U，A∩CuA＝?．
3．利用集合的運(yùn)算求參數(shù)的值(范圍)．
（1）對(duì)于集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算，如果集合中的元素是離散的，可用Venn圖表示．
（2）如果集合中的元素是連續(xù)的，可用數(shù)軸表示，此時(shí)要注意端點(diǎn)的情況．
題型3：集合的運(yùn)算
3-1．（2024·黑龍江齊齊哈爾·一模）設(shè)全集，集合，，則=（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出集合，由補(bǔ)集和并集的定義即可得出答案.
【詳解】因?yàn)槿?，?br>所以，又因?yàn)?，所?br>故選：D．
3-2．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知全集，，則 ；
【答案】
【分析】化簡(jiǎn)集合和，再根據(jù)補(bǔ)集的概念可求出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)?，所以，則，
因?yàn)?，所以，則，
所以.
故答案為：.
3-3．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知，集合，，若只有一個(gè)元素，則滿(mǎn)足的關(guān)系為 .
【答案】
【分析】轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)與圓相切，根據(jù)圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑列式可得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)橹挥幸粋€(gè)元素，
所以直線(xiàn)與圓相切，
所以，即.
故答案為：.
3-4．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知，集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
【答案】
【分析】化簡(jiǎn)集合，將化為，根據(jù)子集關(guān)系列式可求出結(jié)果.
【詳解】由，，得，
因?yàn)椋裕?br>所以，解得.
故答案為：
3-5．（2024高三上·全國(guó)·階段練習(xí)）已知集合，．若，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】由題可得或，然后分和討論，結(jié)合條件即得.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以或，
當(dāng)時(shí)，，即，適合題意；
當(dāng)時(shí)，則，解得，
綜上，實(shí)數(shù)k的取值范圍是.
故答案為：.
3-6．（2024高一上·吉林白城·階段練習(xí)）已知集合若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
【答案】
【分析】首先求得集合，對(duì)進(jìn)行分類(lèi)討論，根據(jù)，求得的取值范圍.
【詳解】，
當(dāng)，即時(shí)，，滿(mǎn)足，
當(dāng)，即時(shí)，由得，
綜上所述，的取值范圍是.
故答案為：
（四）
集合新定義問(wèn)題
1.（1）解決新定義問(wèn)題時(shí)，一定要讀懂新定義的本質(zhì)含義，緊扣題目所給定義．
（2）結(jié)合題目所給定義和要求進(jìn)行恰當(dāng)轉(zhuǎn)化，切忌同已有概念或定義相混淆．
2．新定義問(wèn)題．
（1）看清集合中的元素．
（2）對(duì)集合進(jìn)行化簡(jiǎn)使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單明了．
（3）注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用：數(shù)軸、坐標(biāo)系和Venn圖．
題型4：集合新定義問(wèn)題
4-1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知集合A，B滿(mǎn)足，若，且，表示兩個(gè)不同的“AB互襯對(duì)”，則滿(mǎn)足題意的“AB互襯對(duì)”個(gè)數(shù)為（ ）
A．9B．4C．27D．8
【答案】C
【分析】直接列舉可得.
【詳解】當(dāng)時(shí)，集合B可以為；
當(dāng)時(shí)，集合B可以為；
當(dāng)時(shí)，集合B可以為；
當(dāng)時(shí)，集合B可以為；
當(dāng)時(shí)，集合B可以為；
當(dāng)時(shí)，集合B可以為；
當(dāng)時(shí)，集合B可以為；
當(dāng)時(shí)，集合B可以為.
故滿(mǎn)足題意的“AB互襯對(duì)”個(gè)數(shù)為27.
故選：C
4-2．（2024高三·江蘇·學(xué)業(yè)考試）對(duì)于兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集合和，我們把集合記作.若集合，則中元素的個(gè)數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】計(jì)算，得到元素個(gè)數(shù).
【詳解】，則，則中元素的個(gè)數(shù)為
故選：C
4-3．（2024·浙江溫州·三模）設(shè)集合，定義：集合，集合，集合，分別用，表示集合S，T中元素的個(gè)數(shù)，則下列結(jié)論可能成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】對(duì)A、B：不妨設(shè)，可得，根據(jù)集合的定義可得Y中至少有以上5個(gè)元素，不妨設(shè)，則集合S中至少有7個(gè)元素，排除選項(xiàng)A，若，則集合Y中至多有6個(gè)元素，所以，排除選項(xiàng)B；對(duì)C：對(duì)，則與一定成對(duì)出現(xiàn)，根據(jù)集合的定義可判斷選項(xiàng)C；對(duì)D：取，則，根據(jù)集合的定義可判斷選項(xiàng)D.
【詳解】解：不妨設(shè)，則的值為，
顯然，，所以集合Y中至少有以上5個(gè)元素，
不妨設(shè)，
則顯然，則集合S中至少有7個(gè)元素，
所以不可能，故排除A選項(xiàng)；
其次，若，則集合Y中至多有6個(gè)元素，則，故排除B項(xiàng)；
對(duì)于集合T，取，則，此時(shí)，，故D項(xiàng)正確；
對(duì)于C選項(xiàng)而言，，則與一定成對(duì)出現(xiàn)，，所以一定是偶數(shù)，故C項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：D.
4-4．（2024·全國(guó)·三模）如圖所示的Venn圖中，、是非空集合，定義集合為陰影部分表示的集合．若，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分析可知，求出集合、、，即可得集合.
【詳解】由韋恩圖可知，，
因?yàn)椋?br>則，，因此，.
故選：D.
4-5．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于集合A，B，定義集合且，已知集合，，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】結(jié)合新定義可知，求得，進(jìn)而根據(jù)補(bǔ)集的定義求解即可.
【詳解】結(jié)合新定義可知，又，
所以．
故選：A

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專(zhuān)題03 不等式4題型分類(lèi)-備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)一輪專(zhuān)題復(fù)習(xí)全套考點(diǎn)突破和專(zhuān)題檢測(cè)（原卷版）

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專(zhuān)題01 集合的概念4題型分類(lèi)-備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)一輪專(zhuān)題復(fù)習(xí)全套考點(diǎn)突破和專(zhuān)題檢測(cè)（解析版）

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