【題型一 冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)】
1. （2022·全國·高三專題練習(xí)）冪函數(shù)在上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A．B．0或2C．0D．2
【答案】D
【解析】因?yàn)槭莾绾瘮?shù)，所以，解得或，
當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)，不符合題意，
當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)，符合題意，
所以.
故選：D.
2. （2022·浙江高三月考）若冪函數(shù)在上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值是（ ）
A．或3B．3C．D．0
【答案】B
【解析】因?yàn)閮绾瘮?shù)在上是減函數(shù)，
所以，
由，得或，
當(dāng)時(shí)，，所以舍去，
當(dāng)時(shí)，，
所以，
故選：B
3. （2022·北京高三模擬）已知定義在上的冪函數(shù)（為實(shí)數(shù)）過點(diǎn)，記，，，則的大小關(guān)系為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由題得.
函數(shù)是上的增函數(shù).
因?yàn)?，?br>所以，
所以，
所以.
故選：A
4. （2022·貴州畢節(jié)·高三期末）若冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，則（ ）
A．1B．6C．2D．
【答案】D
【解析】∵冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，
∴，解得，
故選：D．
5. （2022·全國·高三專題練習(xí)）已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減.
（1）求的值并寫出的解析式；
（2）試判斷是否存在，使得函數(shù)在上的值域?yàn)?？若存在，求出的值；若不存在，?qǐng)說明理由.
【答案】（1），；（2）存在，.
【解析】（1）因?yàn)閮绾瘮?shù)在上單調(diào)遞減，
所以解得：或(舍去)，
所以；
（2）由（1）可得，，所以，
假設(shè)存在，使得在上的值域?yàn)椋?br>①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞減，不符合題意；
②當(dāng)時(shí)，，顯然不成立；
③當(dāng)時(shí)，，在和上單調(diào)遞增，
故，解得.
綜上所述，存在使得在上的值域?yàn)?
6. （2022·浙江高三專題練習(xí)）已知函數(shù)是冪函數(shù)，對(duì)任意，，且，滿足，若，，且，則的值（ ）
A．恒大于0B．恒小于0C．等于0D．無法判斷
【答案】A
【解析】∵函數(shù)是冪函數(shù)，
∴，解得：m= -2或m=3．
∵對(duì)任意，，且，滿足，
∴函數(shù)為增函數(shù)，
∴，
∴m=3（m= -2舍去）
∴為增函數(shù)．
對(duì)任意，，且，
則，∴
∴．
故選：A
7. （2022·上海市第三女子中學(xué)高三月考）已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，且在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)．
(1)求的值；
(2)求滿足不等式的實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)(2)
【解析】(1)
解：因?yàn)閮绾瘮?shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，
所以，解得，
又因?yàn)?，所以或或?br>當(dāng)或時(shí)，為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱（舍）；
當(dāng)時(shí)，為偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱，符合題意；
綜上所述，.
(2)
解：由（1）得為偶函數(shù)，且在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，
則由得，
即，即，解得，
8. （2022·肥東縣綜合高中高三月考）已知冪函數(shù)，在上單調(diào)遞增.設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】根據(jù)冪函數(shù)的定義可得，解得或，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)滿足在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞減，不合題意.
所以.
因?yàn)?，，?br>且，所以，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，
又因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，
所以.
故選：A
9. （2022·北京·高三專題練習(xí)）若，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因?yàn)閮绾瘮?shù)在和上都是單調(diào)遞減的，
所以，由可得或或
解得或，
即實(shí)數(shù)m的取值范圍為.
故選：C.
10. （2022·山西陽泉市·高三三模）已知點(diǎn)在冪函數(shù)圖像上，設(shè)，，，則、、的大小關(guān)系為
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因?yàn)辄c(diǎn)在冪函數(shù)圖像上
所以，所以
即，
，，
即
為R上的單調(diào)遞增函數(shù)
所以
所以選A
【題型二 二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)】
1. （2022·全國高三專題練習(xí)）函數(shù)滿足下列性質(zhì)：
（）定義域?yàn)椋涤驗(yàn)椋?br>（）圖象關(guān)于對(duì)稱．
（）對(duì)任意，，且，都有．
請(qǐng)寫出函數(shù)的一個(gè)解析式__________（只要寫出一個(gè)即可）．
【答案】
【解析】由二次函數(shù)的對(duì)稱性、值域及單調(diào)性可得解析式，
此時(shí)對(duì)稱軸為，開口向上，滿足（），
因?yàn)閷?duì)任意，，且，都有，
等價(jià)于在上單調(diào)減，
∴，滿足（），
又，滿足（），故答案為．
2. （2022·江西·貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三月考）若函數(shù)在上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由于函數(shù)是開口向上，對(duì)稱軸為，
所函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，
又函數(shù)在上是減函數(shù)，
所以，所以，所以.
故選;B.
3. （2022·山西運(yùn)城·高三期末）已知二次函數(shù)的值域?yàn)?，則的最小值為（ ）
A．16B．12C．10D．8
【答案】D
【解析】由題意知，，
∴且，
∴，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào).
故選：D.
4. （2022·全國高三專題練習(xí)）如果函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則mn的最大值為
A．16B．18C．25D．
【答案】B
【解析】時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸為.據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，即..由且得.當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下，據(jù)題意得，即..由且得，故應(yīng)舍去.要使得取得最大值，應(yīng)有.所以，所以最大值為18.選B..
5. （2022·貴州省思南中學(xué)高三一模）若函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，則的取值范圍______.
【答案】；
【解析】，
，又，
故由二次函數(shù)圖象可知：
要使函數(shù)的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?br>的值最小為；
最大為3．
的取值范圍是：．
故答案：
【題型三 含參二次函數(shù)最值討論】
1. 5. （2022·廣東·高三月考）已知函數(shù)．若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，求a的值．
【答案】
對(duì)稱軸為，當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，，舍去；
當(dāng)，即時(shí)，，解得：或（舍去）；
當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，，解得：（舍去）；
綜上：
2. （2022·全國高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間[0,2]上的最小值為3，求a的值．
【答案】或．
【解析】函數(shù)的表達(dá)式可化為．
① 當(dāng)，即時(shí)，有最小值，依題意應(yīng)有，解得，這個(gè)值與相矛盾．
②當(dāng)，即時(shí)，是最小值，依題意應(yīng)有，解得，又∵，∴．
③當(dāng) ，即時(shí)，是最小值，
依題意應(yīng)有，解得，又∵，∴
綜上所述，或．
3. （2022·全國高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋5(a＞1)．若f(x)在區(qū)間(－∞，2]上是減函數(shù)，且對(duì)任意的x1，x2∈[1，a＋1]，總有|f(x1)－f(x2)|≤4，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【答案】[2，3]．
【解析】∵f(x)的對(duì)稱軸方程為x＝a，且f(x)在區(qū)間(－∞，2]上是減函數(shù)，∴a≥2． 又x＝a∈[1，a＋1]，
且(a＋1)－a≤a－1，∴f(x)max＝f(1)＝6－2a，f(x)min＝f(a)＝5－a2．∵對(duì)任意的x1，x2∈[1，a＋1]，
總有|f(x1)－f(x2)|≤4，∴f(x)max－f(x)min≤4，得－1≤a≤3．又a≥2，∴2≤a≤3． 故實(shí)數(shù)a的取值范圍是[2，3]．
4. （2022·江蘇南通·高三開學(xué)考試）已知二次函數(shù)滿足，且不等式的解集為．
(1)求的解析式；
(2)若函數(shù)在時(shí)的值域?yàn)椋髏的取值范圍，
【答案】(1)(2)
解：因?yàn)闉槎魏瘮?shù)，所以為一元二次不等式，
故可設(shè)，
所以，
由，得，所以，
所以；
(2)
解：因?yàn)椋?br>所以當(dāng)時(shí)，取最小值，
又由，得或，
所以結(jié)合的對(duì)稱性，可知，且，
所以
所以的取值范圍為

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