一、單選題(本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)
1．（2023·河南周口·模擬預(yù)測(cè)）已知集合，，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
2．（24-25高三上·貴州·開學(xué)考試）已知圓關(guān)于直線對(duì)稱，則的最小值是（ ）
A．2B．3C．6D．4
3．（2023·江蘇連云港·模擬預(yù)測(cè)）如圖，為某校數(shù)學(xué)社團(tuán)用數(shù)學(xué)軟件制作的“蚊香”．畫法如下：在水平直線上取長(zhǎng)度為1的線段AB，作一個(gè)等邊三角形ABC，然后以點(diǎn)B為圓心，AB為半徑逆時(shí)針畫圓弧交線段CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D（第一段圓弧），再以點(diǎn)C為圓心，CD為半徑逆時(shí)針畫圓弧交線段AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，再以點(diǎn)A為圓心，AE為半徑逆時(shí)針畫圓弧……．以此類推，當(dāng)?shù)玫降摹拔孟恪鼻『糜?段圓弧時(shí)，“蚊香”的長(zhǎng)度為（ ）

A．B．C．D．
4．（2024·四川·一模）函數(shù)，的圖象大致為（ ）
A．B．
C．D．
5．（2025·廣東·一模）已知 ，則 （ ）
A．B．C．D．
6．（2021·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，則（ ）
A．B．
C．D．
7．（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面四邊形ABCD中，若，，，，則（ ）
A．B．2C．D．
8．（2024·廣東珠?！ひ荒＃┤舨坏仁綄?duì)一切恒成立，其中，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
二、多選題(本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分)
9．（2024·江蘇無(wú)錫·模擬預(yù)測(cè)）下列命題錯(cuò)誤的是（ ）
A．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象是一條直線
B．命題“，都有”的否定是“，使得”
C．用二分法求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)近似值，至少經(jīng)過次二分后精確度達(dá)到
D．某同學(xué)用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)，計(jì)算出如下結(jié)果：，，，，，，則1.375和1.4都是精確度為的近似零點(diǎn)
10．（2024·山東菏澤·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)為偶函數(shù)，將圖象上的所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的，得到函數(shù)的圖象，若的圖象過點(diǎn)，則（ ）
A．函數(shù)的最小正周期為1
B．函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸為
C．函數(shù)在上單調(diào)遞減
D．函數(shù)在上恰有5個(gè)零點(diǎn)
11．（2024·福建福州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)均為定義在上的非常值函數(shù)，且為的導(dǎo)函數(shù).對(duì)且，則（ ）
A．B．為偶函數(shù)
C．D．
三、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分，把答案填在題中的橫線上)
12．（2024·安徽·一模）已知，，則 .
13．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·模擬預(yù)測(cè)）若是的極小值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
14．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面四邊形ABCD中，，當(dāng)四邊形ABCD的面積最大時(shí)，的最小值為 .
四、解答題(本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)
15. (13分) （2024·江西南昌·模擬預(yù)測(cè)）在中，角的對(duì)邊分別為，滿足.
(1)求角的大??；
(2)若的面積為，求的最小值.
16. (15分) （2025·廣東·一模）已知函數(shù)，
(1)已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線 x=?1對(duì)稱，試求；
(2)證明；
(3)設(shè)是的根，則證明：曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線.
17. (15分) （23-24高一下·江蘇南通·階段練習(xí)）在①；②；③設(shè)的面積為，且.這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上.并加以解答.
在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，已知 ，且.
(1)若，求的面積；
(2)若為銳角三角形，求的取值范圍.（如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分）
18. (17分) （2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）在相同的介質(zhì)中，人們?nèi)庋劭吹降墓饩€總是呈直線運(yùn)動(dòng)的.由于光在不同的介質(zhì)中的傳播速度不同，因此在不同的介質(zhì)中光會(huì)發(fā)生折射現(xiàn)象.在如圖所示的平面直角坐標(biāo)平面中，光在介質(zhì)Ⅰ內(nèi)點(diǎn)以入射角，速度在介質(zhì)1內(nèi)傳播至軸上的點(diǎn)，而后以折射角，速度v在介質(zhì)Ⅱ內(nèi)傳播至點(diǎn).
(1)將光從點(diǎn)A傳播到點(diǎn)B的所需的時(shí)間關(guān)于x的函數(shù)的解析式；
(2)費(fèi)爾馬認(rèn)為：光總是沿著最節(jié)省時(shí)間的路線傳播，設(shè)點(diǎn)B在x軸上的射影為C.根據(jù)費(fèi)爾馬的結(jié)論，解決以下問題：
（i）證明：.
（ii）若，，，求光線從點(diǎn)A傳播到點(diǎn)B所經(jīng)過路程的取值范圍.
19. (17分) （2024·云南·二模）已知常數(shù)，函數(shù).
(1)若，求的取值范圍;
(2)若、是的零點(diǎn)，且，證明:.
2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義之滾動(dòng)測(cè)試卷03（新高考專用）
測(cè)試范圍：集合與常用邏輯用語(yǔ)、不等式、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、三角函數(shù)與解三角形
一、單選題(本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)
1．（2023·河南周口·模擬預(yù)測(cè)）已知集合，，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
2．（24-25高三上·貴州·開學(xué)考試）已知圓關(guān)于直線對(duì)稱，則的最小值是（ ）
A．2B．3C．6D．4
3．（2023·江蘇連云港·模擬預(yù)測(cè)）如圖，為某校數(shù)學(xué)社團(tuán)用數(shù)學(xué)軟件制作的“蚊香”．畫法如下：在水平直線上取長(zhǎng)度為1的線段AB，作一個(gè)等邊三角形ABC，然后以點(diǎn)B為圓心，AB為半徑逆時(shí)針畫圓弧交線段CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D（第一段圓弧），再以點(diǎn)C為圓心，CD為半徑逆時(shí)針畫圓弧交線段AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，再以點(diǎn)A為圓心，AE為半徑逆時(shí)針畫圓弧……．以此類推，當(dāng)?shù)玫降摹拔孟恪鼻『糜?段圓弧時(shí)，“蚊香”的長(zhǎng)度為（ ）

A．B．C．D．
4．（2024·四川·一模）函數(shù)，的圖象大致為（ ）
A．B．
C．D．
5．（2025·廣東·一模）已知 ，則 （ ）
A．B．C．D．
6．（2021·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，則（ ）
A．B．
C．D．
7．（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面四邊形ABCD中，若，，，，則（ ）
A．B．2C．D．
8．（2024·廣東珠?！ひ荒＃┤舨坏仁綄?duì)一切恒成立，其中，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
二、多選題(本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分)
9．（2024·江蘇無(wú)錫·模擬預(yù)測(cè)）下列命題錯(cuò)誤的是（ ）
A．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象是一條直線
B．命題“，都有”的否定是“，使得”
C．用二分法求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)近似值，至少經(jīng)過次二分后精確度達(dá)到
D．某同學(xué)用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)，計(jì)算出如下結(jié)果：，，，，，，則1.375和1.4都是精確度為的近似零點(diǎn)
10．（2024·山東菏澤·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)為偶函數(shù)，將圖象上的所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的，得到函數(shù)的圖象，若的圖象過點(diǎn)，則（ ）
A．函數(shù)的最小正周期為1
B．函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸為
C．函數(shù)在上單調(diào)遞減
D．函數(shù)在上恰有5個(gè)零點(diǎn)
11．（2024·福建福州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)均為定義在上的非常值函數(shù)，且為的導(dǎo)函數(shù).對(duì)且，則（ ）
A．B．為偶函數(shù)
C．D．
三、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分，把答案填在題中的橫線上)
12．（2024·安徽·一模）已知，，則 .
13．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·模擬預(yù)測(cè)）若是的極小值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
14．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面四邊形ABCD中，，當(dāng)四邊形ABCD的面積最大時(shí)，的最小值為 .
四、解答題(本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)
15. (13分) （2024·江西南昌·模擬預(yù)測(cè)）在中，角的對(duì)邊分別為，滿足.
(1)求角的大??；
(2)若的面積為，求的最小值.
16. (15分) （2025·廣東·一模）已知函數(shù)，
(1)已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線 x=?1對(duì)稱，試求；
(2)證明；
(3)設(shè)是的根，則證明：曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線.
17. (15分) （23-24高一下·江蘇南通·階段練習(xí)）在①；②；③設(shè)的面積為，且.這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上.并加以解答.
在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，已知 ，且.
(1)若，求的面積；
(2)若為銳角三角形，求的取值范圍.（如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分）
18. (17分) （2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）在相同的介質(zhì)中，人們?nèi)庋劭吹降墓饩€總是呈直線運(yùn)動(dòng)的.由于光在不同的介質(zhì)中的傳播速度不同，因此在不同的介質(zhì)中光會(huì)發(fā)生折射現(xiàn)象.在如圖所示的平面直角坐標(biāo)平面中，光在介質(zhì)Ⅰ內(nèi)點(diǎn)以入射角，速度在介質(zhì)1內(nèi)傳播至軸上的點(diǎn)，而后以折射角，速度v在介質(zhì)Ⅱ內(nèi)傳播至點(diǎn).
(1)將光從點(diǎn)A傳播到點(diǎn)B的所需的時(shí)間關(guān)于x的函數(shù)的解析式；
(2)費(fèi)爾馬認(rèn)為：光總是沿著最節(jié)省時(shí)間的路線傳播，設(shè)點(diǎn)B在x軸上的射影為C.根據(jù)費(fèi)爾馬的結(jié)論，解決以下問題：
（i）證明：.
（ii）若，，，求光線從點(diǎn)A傳播到點(diǎn)B所經(jīng)過路程的取值范圍.
19. (17分) （2024·云南·二模）已知常數(shù)，函數(shù).
(1)若，求的取值范圍;
(2)若、是的零點(diǎn)，且，證明:.
參考答案：
1．A
【分析】先求出集合，進(jìn)而求出，再結(jié)合列出關(guān)于a的不等式組，解方程即可得出答案.
【詳解】集合，
，
或，因?yàn)椋?br>所以，解得：.
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為1,2.
故選：A.
2．D
【分析】轉(zhuǎn)化為直線過圓心即，再利用基本不等式可得答案.
【詳解】因?yàn)閳A關(guān)于直線對(duì)稱，
所以直線過圓心，即，
則
因?yàn)椋?，所以?br>所以，
當(dāng)且僅當(dāng)即等號(hào)成立，
則的最小值是4.
故選：D.
3．C
【分析】由弧長(zhǎng)公式得到每段的弧長(zhǎng)，相加后得到答案.
【詳解】由題意知，每段圓弧的圓心角均為，
第一段圓弧長(zhǎng)度為，第二段圓弧長(zhǎng)度為，
第三段圓弧長(zhǎng)度為，第四段圓弧長(zhǎng)度為，
第五段圓弧長(zhǎng)度為，第六段圓弧長(zhǎng)度為，
第七段圓弧長(zhǎng)度為，第八段圓弧長(zhǎng)度為，
故得到的“蚊香”恰好有8段圓弧時(shí)，
“蚊香”的長(zhǎng)度為.
故選：C
4．D
【分析】根據(jù)條件，得到為奇函數(shù)，從而可排除選項(xiàng)A和B，再結(jié)合與在上的正負(fù)值，即可求解.
【詳解】因?yàn)槎x域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又，
即為奇函數(shù)，所以選項(xiàng)A和B錯(cuò)誤，
又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，
又易知當(dāng)時(shí)，，所以時(shí)，，結(jié)合圖象可知選項(xiàng)C錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確，
故選：D.
5．B
【分析】利用兩角和差公式以及倍角公式化簡(jiǎn)求值可得答案.
【詳解】由題干得
所以 ，
故選：B.
6．A
【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性得到，再利用換底公式和作差法得到，比較出大小關(guān)系.
【詳解】，
其中，，所以，
故，所以.
故選：A.
7．D
【分析】先由余弦定理得出，再應(yīng)用正弦定理求邊長(zhǎng)即可.
【詳解】在中，由余弦定理，
得，所以，
因?yàn)?，所以?br>在中，，
由正弦定理，得，所以．
故選:D．
8．A
【分析】將原不等式轉(zhuǎn)化為對(duì)一切恒成立，設(shè)，則后者可轉(zhuǎn)化為恒成立即為函數(shù)的極大值，故可求參數(shù)的范圍或取值，故可得正確的選項(xiàng)，或者將原不等式轉(zhuǎn)化為，根據(jù)左右兩側(cè)對(duì)應(yīng)的函數(shù)的圖象位置關(guān)系可求參數(shù)的范圍.
【詳解】法一：不等式對(duì)一切恒成立即為
不等式對(duì)一切恒成立，
今，則有；
故不等式對(duì)一切恒成立等價(jià)于恒成立，
所以為的最大值點(diǎn).
顯然，，否則時(shí)，，與題設(shè)矛盾.
又，此時(shí)
若，存在區(qū)間，是否且，總有f'x>0，
這與為的最大值點(diǎn)矛盾，故不成立，
同理也不成立，故，則，
當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，f'x>0，當(dāng)x∈0,+∞時(shí)，f'x0，
故在上遞減，上遞增，0,+∞上遞減，
而當(dāng)時(shí)，，
故即，故恒成立，故符合題意.
綜上，，因此.
法二：不等式可化為，
令，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，直線恒過點(diǎn)0,1，
故只需直線為在點(diǎn)0,1處的切線即可，
，此時(shí).
當(dāng)時(shí)，亦恒過點(diǎn)0,1，
為使對(duì)一切x∈R恒成立，
需開口向下，且在點(diǎn)0,1處與有公切線即可，
故，此時(shí).
綜上，的取值范圍是.
故選：A.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：多變量不等式恒成立問題，可將原不等式作適當(dāng)變形，從而將恒成立問題轉(zhuǎn)化為圖象的位置關(guān)系，或者根據(jù)不等式的特征將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的極值問題.
9．ABD
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)即可求解A，根據(jù)全稱命題的否定為特稱命題即可求解B,根據(jù)二分法的性質(zhì)即可求解CD.
【詳解】對(duì)于A, 當(dāng)時(shí)，函數(shù)，故圖象是兩條射線，A錯(cuò)誤，
對(duì)于B，命題“，都有”的否定是“，使得”，故B錯(cuò)誤，
對(duì)于C，開區(qū)間的長(zhǎng)度等于1，每經(jīng)過一次操作長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半，
則經(jīng)過次操作之后，區(qū)間的長(zhǎng)度變?yōu)?，故由，得，所以?br>即至少經(jīng)過4次二分后精確度達(dá)到0.1，故C正確；
對(duì)于D，由于，所以的任何一個(gè)值均為精確度為的近似零點(diǎn)，故D錯(cuò)誤，
故選：ABD
10．AC
【分析】由為偶函數(shù)得，再由圖象變換結(jié)合已知求出，即得，然后借助余弦函數(shù)的圖象性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即得.
【詳解】由函數(shù)為偶函數(shù)，得，而，則，
因此，，
由，得，于是，解得，則，
對(duì)于A，函數(shù)的最小正周期為，A正確；
對(duì)于B，，函數(shù)圖象關(guān)于不對(duì)稱，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，而余弦函數(shù)在上單調(diào)遞減，
因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，C正確；
對(duì)于D，由，得，解得，
由，解得，因此函數(shù)在上恰有6個(gè)零點(diǎn)，D錯(cuò)誤.
故選：AC
11．BCD
【分析】選項(xiàng)A，根據(jù)條件，令，即可求解；選項(xiàng)B，利用選項(xiàng)A中結(jié)果，令，即可求解；選項(xiàng)C，令，得到，進(jìn)而有，再利用選項(xiàng)B中結(jié)果，得到為奇函數(shù)，從而得出的周期為的周期函數(shù)，即可求解；選項(xiàng)D，令，得到，用代替得到，利用C中結(jié)果，兩式相加，即可求解.
【詳解】因?yàn)?，且f1=0，
對(duì)于選項(xiàng)A，令，得到，所以或，
若，令，得到，得到，與題不合，
所以，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，
對(duì)于選項(xiàng)B，由選項(xiàng)A知，令，得到，
即，又的定義域?yàn)?，所以選項(xiàng)B正確，
對(duì)于選項(xiàng)C，令，得到，
所以關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，
即，所以，
又由選項(xiàng)B知，，得到，即，
所以為奇函數(shù)，令，由，得到，
則有，所以，
即的周期為的周期函數(shù)，所以，故選項(xiàng)C正確，
對(duì)于D，令，得到則①，
用代替得到②，
由①+②得，
由選項(xiàng)C知，所以，故選項(xiàng)D正確.
故選：BCD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題綜合考查函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，涉及到函數(shù)的奇偶性、周期性以及導(dǎo)數(shù)的知識(shí)，抽象函數(shù)性質(zhì)綜合問題一般使用賦值法，本題的關(guān)鍵在于選項(xiàng)C和D的判斷，選項(xiàng)C解答的關(guān)鍵是根據(jù)題意采用變量代換推出函數(shù)為周期為4的周期函數(shù)，即可求解，選項(xiàng)D，通過賦值得到和，結(jié)合條件和對(duì)稱性，即可求解.
12．/
【分析】把所給式子兩邊平方相加可求得結(jié)果.
【詳解】由，可得①，
由，可得②，
所以①+②，可得,
所以，所以.
故答案為：.
13．
【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，對(duì)極值點(diǎn)條件轉(zhuǎn)化，判斷極值點(diǎn)，即可求解.
【詳解】x=0是的極小值點(diǎn)，
求導(dǎo)得.
，
因?yàn)?是極小值點(diǎn)，所以單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，
設(shè)，
當(dāng)a≥1時(shí)，在R上單調(diào)遞增,,滿足在上單調(diào)遞減，
在上單調(diào)遞增，符合題意；
當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞減,，在上單調(diào)遞增，
單調(diào)遞減，0是極大值點(diǎn)，不合題意；
當(dāng)0

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