1．（2024·吉林長春·模擬預(yù)測）已知集合，則（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·江蘇·三模）已知復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
3．（23-24高一下·安徽滁州·階段練習(xí)）《易經(jīng)》是中華民族智慧的結(jié)晶，易有太極，太極生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦，易經(jīng)包含了深菨的哲理.如圖所示是八卦模型圖以及根據(jù)八卦圖抽象得到的正八邊形，其中為正八邊形的中心，則（ ）

A．B．1C．D．
4．（23-24高二上·山東青島·階段練習(xí)）等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則（ ）
A．12B．10C．5D．
5．（2024·浙江嘉興·二模）若正數(shù)滿足，則的最小值是（ ）
A．B．C．D．2
6．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）如圖，在正四棱柱中，，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
7．（23-24高三上·四川成都·期中）已知分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（ ）
A．3B．C．D．2
8．（2023·河北·模擬預(yù)測）設(shè)，，，則（ ）
A．B．C．D．
二、多選題(本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分)
9．（2024·福建廈門·一模）已知函數(shù)，則（ ）
A．的最小正周期為
B．的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱
C．在區(qū)間上單調(diào)遞增
D．若的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則
10．（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測）若，則（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（2024·河北保定·三模）已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F的直線l與拋物線C交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線過點(diǎn)A且與OA垂直,直線過點(diǎn)B且與OB垂直,直線與相交于點(diǎn)Q,則（ ）
A．設(shè)AB的中點(diǎn)為H,則軸
B．點(diǎn)Q的軌跡為拋物線
C．點(diǎn)Q到直線l距離的最小值為
D．的面積的取值范圍為
三、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分，把答案填在題中的橫線上)
12．（23-24高三下·廣東廣州·階段練習(xí)）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，數(shù)列的公比 ．
13．（2024·廣東深圳·二模）已知圓錐的內(nèi)切球半徑為1，底面半徑為，則該圓錐的表面積為 ．
注：在圓錐內(nèi)部，且與底面和各母線均有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的球，稱為圓錐的內(nèi)切球．
14．（2024·北京海淀·三模）設(shè)函數(shù)（且）．給出下列四個(gè)結(jié)論：
①當(dāng)時(shí)，存在，方程有唯一解；
②當(dāng)時(shí)，存在，方程有三個(gè)解；
③對(duì)任意實(shí)數(shù)（且），的值域?yàn)椋?br>④存在實(shí)數(shù)，使得在區(qū)間上單調(diào)遞增；
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是 ．
四、解答題(本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)
15. (13分) （2024·全國·模擬預(yù)測）記的內(nèi)角所對(duì)邊分別為，已知．
(1)證明：；
(2)求的最小值．
16. (15分) （2024·河南·一模）近年來，短視頻作為以視頻為載體的聚合平臺(tái)，社交屬性愈發(fā)突出，在用戶生活中覆蓋面越來越廣泛，針對(duì)短視頻的碎片化缺陷，將短視頻剪接成長視頻勢必成為一種新的技能．某機(jī)構(gòu)在網(wǎng)上隨機(jī)對(duì)1000人進(jìn)行了一次市場調(diào)研，以決策是否開發(fā)將短視頻剪接成長視頻的APP，得到如下數(shù)據(jù)：
其中的數(shù)據(jù)為統(tǒng)計(jì)的人數(shù)，已知被調(diào)研的青年人數(shù)為400．
(1)求的值；
(2)根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析對(duì)短視頻剪接成長視頻的APP的需求，青年人與中老年人是否有差異？
參考公式：，其中．
臨界值表：
17. (15分) （2024·全國·一模）如圖，棱柱的所有棱長都等于2，且，平面平面．
(1)求平面與平面所成角的余弦值；
(2)在棱所在直線上是否存在點(diǎn)P，使得平面．若存在，求出點(diǎn)P的位置；若不存在，說明理由．
18. (17分) （2024·四川樂山·三模）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為分別是橢圓的上下頂點(diǎn)，分別是橢圓的左右頂點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且的面積為.
(1)求橢圓的方程；
(2)點(diǎn)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)（不與重合），是在點(diǎn)處的切線，直線交于點(diǎn)，直線交于點(diǎn)，求證：直線的斜率為定值.
19. (17分) （23-24高三上·北京海淀·階段練習(xí)）已知函數(shù)
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；
(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(3)若對(duì)任意的實(shí)數(shù)，函數(shù)與直線總相切，則稱函數(shù)為“恒切函數(shù)”．當(dāng)時(shí)，若函數(shù)是“恒切函數(shù)”，求證：．青年人
中年人
老年人
對(duì)短視頻剪接成長視頻的APP有需求
200
對(duì)短視頻剪接成長視頻的APP無需求
150
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義之模擬檢測卷01（新高考專用）
一、單選題(本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)
1．（2024·吉林長春·模擬預(yù)測）已知集合，則（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·江蘇·三模）已知復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
3．（23-24高一下·安徽滁州·階段練習(xí)）《易經(jīng)》是中華民族智慧的結(jié)晶，易有太極，太極生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦，易經(jīng)包含了深菨的哲理.如圖所示是八卦模型圖以及根據(jù)八卦圖抽象得到的正八邊形，其中為正八邊形的中心，則（ ）

A．B．1C．D．
4．（23-24高二上·山東青島·階段練習(xí)）等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則（ ）
A．12B．10C．5D．
5．（2024·浙江嘉興·二模）若正數(shù)滿足，則的最小值是（ ）
A．B．C．D．2
6．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）如圖，在正四棱柱中，，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
7．（23-24高三上·四川成都·期中）已知分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（ ）
A．3B．C．D．2
8．（2023·河北·模擬預(yù)測）設(shè)，，，則（ ）
A．B．C．D．
二、多選題(本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分)
9．（2024·福建廈門·一模）已知函數(shù)，則（ ）
A．的最小正周期為
B．的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱
C．在區(qū)間上單調(diào)遞增
D．若的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則
10．（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測）若，則（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（2024·河北保定·三模）已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F的直線l與拋物線C交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線過點(diǎn)A且與OA垂直,直線過點(diǎn)B且與OB垂直,直線與相交于點(diǎn)Q,則（ ）
A．設(shè)AB的中點(diǎn)為H,則軸
B．點(diǎn)Q的軌跡為拋物線
C．點(diǎn)Q到直線l距離的最小值為
D．的面積的取值范圍為
三、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分，把答案填在題中的橫線上)
12．（23-24高三下·廣東廣州·階段練習(xí)）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，數(shù)列的公比 ．
13．（2024·廣東深圳·二模）已知圓錐的內(nèi)切球半徑為1，底面半徑為，則該圓錐的表面積為 ．
注：在圓錐內(nèi)部，且與底面和各母線均有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的球，稱為圓錐的內(nèi)切球．
14．（2024·北京海淀·三模）設(shè)函數(shù)（且）．給出下列四個(gè)結(jié)論：
①當(dāng)時(shí)，存在，方程有唯一解；
②當(dāng)時(shí)，存在，方程有三個(gè)解；
③對(duì)任意實(shí)數(shù)（且），的值域?yàn)椋?br>④存在實(shí)數(shù)，使得在區(qū)間上單調(diào)遞增；
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是 ．
四、解答題(本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)
15. (13分) （2024·全國·模擬預(yù)測）記的內(nèi)角所對(duì)邊分別為，已知．
(1)證明：；
(2)求的最小值．
16. (15分) （2024·河南·一模）近年來，短視頻作為以視頻為載體的聚合平臺(tái)，社交屬性愈發(fā)突出，在用戶生活中覆蓋面越來越廣泛，針對(duì)短視頻的碎片化缺陷，將短視頻剪接成長視頻勢必成為一種新的技能．某機(jī)構(gòu)在網(wǎng)上隨機(jī)對(duì)1000人進(jìn)行了一次市場調(diào)研，以決策是否開發(fā)將短視頻剪接成長視頻的APP，得到如下數(shù)據(jù)：
其中的數(shù)據(jù)為統(tǒng)計(jì)的人數(shù)，已知被調(diào)研的青年人數(shù)為400．
(1)求的值；
(2)根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析對(duì)短視頻剪接成長視頻的APP的需求，青年人與中老年人是否有差異？
參考公式：，其中．
臨界值表：
17. (15分) （2024·全國·一模）如圖，棱柱的所有棱長都等于2，且，平面平面．
(1)求平面與平面所成角的余弦值；
(2)在棱所在直線上是否存在點(diǎn)P，使得平面．若存在，求出點(diǎn)P的位置；若不存在，說明理由．
18. (17分) （2024·四川樂山·三模）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為分別是橢圓的上下頂點(diǎn)，分別是橢圓的左右頂點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且的面積為.
(1)求橢圓的方程；
(2)點(diǎn)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)（不與重合），是在點(diǎn)處的切線，直線交于點(diǎn)，直線交于點(diǎn)，求證：直線的斜率為定值.
19. (17分) （23-24高三上·北京海淀·階段練習(xí)）已知函數(shù)
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；
(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(3)若對(duì)任意的實(shí)數(shù)，函數(shù)與直線總相切，則稱函數(shù)為“恒切函數(shù)”．當(dāng)時(shí)，若函數(shù)是“恒切函數(shù)”，求證：．
參考答案：
1．A
【分析】先化簡集合A，B，再利用集合的交集運(yùn)算求解.
【詳解】解：因?yàn)榧希?br>所以，
故選：A
2．D
【分析】利用復(fù)數(shù)除法求出z，即可判斷.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以點(diǎn)位于第四象限.
故選：D.
3．D
【分析】根據(jù)給定條件，利用正八邊形的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合數(shù)量積的定義計(jì)算即得.
【詳解】在正八邊形中，連接，則，
而，即，于是，
在等腰梯形中，，
所以.
故選：D

4．B
【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則即可得解.
【詳解】因?yàn)閍n是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，，
所以，即，則
記，則，
兩式相加得，
所以，即.
故選：B.
5．A
【分析】根據(jù)題意可得，利用基本不等式求解.
【詳解】由可得，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)符合題意.
所以的最小值為.
故選：A.
6．B
【分析】平行移動(dòng)與相交構(gòu)成三角形，指明或其補(bǔ)角就是異面直線與所成的角，在三角形中由余弦定理解出即可.
【詳解】
如圖連接，因?yàn)闉檎睦庵?br>所以且，所以四邊形為平行四邊形，
所以，則或其補(bǔ)角就是異面直線與所成的角，
設(shè)，則，，，
由余弦定理得：.
故選：B.
7．C
【分析】設(shè)過與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線于點(diǎn)，運(yùn)用雙曲線的定義和條件可得，，，再由漸近線的斜率和余弦定理，結(jié)合離心率公式，計(jì)算即可得到所求值．
【詳解】設(shè)過與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線于點(diǎn)，
由雙曲線的定義可得，
由，可得，，，
由可得，
在三角形中，由余弦定理可得：
，
即有，化簡可得，
所以雙曲線的離心率．
故選：C．
8．B
【分析】根據(jù)所給數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，設(shè)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，利用單調(diào)性比較大小，可得答案.
【詳解】設(shè)函數(shù)，則，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
又，，，
因?yàn)?，故，即?br>故選：B
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：此類比較大小類題目，要能將所給數(shù)進(jìn)行形式上的變化，進(jìn)而由此構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，進(jìn)而比較大小.
9．BC
【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合代入法、整體法逐一判斷各項(xiàng)正誤.
【詳解】由，最小正周期，A錯(cuò)；
由，即是對(duì)稱中心，B對(duì)；
由，則，顯然在區(qū)間上單調(diào)遞增，C對(duì)；
由題意，故，D錯(cuò).
故選：BC
10．ACD
【分析】將，，代入判斷ACD，利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式判斷B即可.
【詳解】將代入得，解得，A正確；
由二項(xiàng)式定理可知展開式的通項(xiàng)為，
令得，所以，B錯(cuò)誤；
將代入得，
即，C正確；
將代入得，
即①，
將代入得，
即②，
①+②得，所以，
①-②得，所以，
所以，D正確；
故選：ACD
11．BD
【分析】通過設(shè)l：,設(shè),,然后聯(lián)立方程后結(jié)合韋達(dá)定理得到,然后求出直線與,進(jìn)而求出Q點(diǎn)坐標(biāo),然后可以判斷A,B選項(xiàng),然后通過參數(shù)m表示點(diǎn)Q到直線l的距離和的面積,進(jìn)而可以判斷.
【詳解】易知,設(shè)l：,設(shè),,
將l與拋物線C的方程聯(lián)立,則可得,
所以,,即,,
所以,因?yàn)?所以直線AQ：,有,
同理可知,直線BQ：,所以,
所以,所以,所以,即A錯(cuò)誤；
又,
所以Q的軌跡方程為,即B正確；
Q到l的距離,
因?yàn)?所以,即C錯(cuò)誤；
因?yàn)?
所以,即D正確.
故選:BD.
12．23
【分析】利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式聯(lián)立方程組即可求解.
【詳解】由題意可知：，
根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)公式可得：①，②,
聯(lián)立①②可得，解得.
故答案為：23
13．
【分析】借助過圓錐的軸以及內(nèi)切球球心的截面圖求出圓錐的母線長，即可求出圓錐表面積.
【詳解】由題過圓錐的軸以及內(nèi)切球球心的截面圖如下：

設(shè)圓錐高為，母線長為，
則在三角形中有，即①，
又由得，即②，
所以由①②得，
所以圓錐的表面積為.
故答案為：.
14．①②④
【分析】分情況，做出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合，可得問題答案.
【詳解】當(dāng)時(shí)，可得函數(shù)圖象如下：
由；，，結(jié)合圖象：
當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，且；
當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞增，.
所以當(dāng)時(shí)，方程有唯一解.故①正確；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象如下：
由；由圖象可知，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，.
因?yàn)?，因?yàn)椋?，?
所以，當(dāng)時(shí)，方程有三個(gè)解.故②正確；
如圖：
由，再由，
此時(shí)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，
所以此時(shí)函數(shù)的值域不是.故③錯(cuò)誤；
由①可得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增.
即：存在實(shí)數(shù)，使得在區(qū)間上單調(diào)遞增.故④正確.
故答案為：①②④
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題可以畫出分段函數(shù)的草圖，數(shù)形結(jié)合，可以比較輕松的解答.
15．(1)證明見解析
(2)．
【分析】（1）將已知條件利用兩角和差公式與正弦定理即可計(jì)算出結(jié)果；
（2）利用第一問的結(jié)果代入的余弦定理表達(dá)式，再利用基本不等式即可得到結(jié)果.
【詳解】（1）已知，
由正弦定理得：，
整理得：，
……①
因?yàn)椤?br>②代入①有：，
再由正弦定理得．
（2）由余弦定理得：
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為．
16．(1)
(2)有差異
【分析】（1）根據(jù)題意列式求解即可；
（2）根據(jù)題意可得列聯(lián)表，計(jì)算，并與臨界值對(duì)比分析.
【詳解】（1）由題意可得：，解得．
（2）零假設(shè)為：對(duì)短視頻剪接成長視頻APP的需求，青年人與中老年人沒有差異．
由已知得，如下列聯(lián)表：
可得，
根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，
所以對(duì)短視頻剪接成長視頻的APP有需求，青年人與中老年人有差異．
17．(1)
(2)存在，點(diǎn)P在的延長線，且.
【分析】（1）取中點(diǎn)，先證平面.再以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量的方法求二面角所成的余弦.
（2）根據(jù)在線段上，設(shè)，再由和平面的法向量，求，即可得解.
【詳解】（1）如圖：
取中點(diǎn)，連接，，.
因?yàn)楦骼忾L均為2，且，所以是等邊三角形.
所以.
又因?yàn)?，，所以是等邊三角?
所以，又平面平面，平面平面，
平面，
所以平面.
由，所以可以以為原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系.
那么：，，，.
設(shè)平面的法向量為，則
，??；
因?yàn)槠矫?，可取平面的法向?
則，即為平面與平面所求角的余弦值.
（2）因?yàn)椋?br>設(shè)，因?yàn)樵谏?，可設(shè)，
則，
可得.
設(shè)平面的法向量為，
則，
取.
由.
所以存在點(diǎn)P，使得平面，此時(shí)點(diǎn)P在的延長線，且.
18．(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)條件求的值，確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
（2）因?yàn)橹本€的斜率不為0，可設(shè)直線方程為：，與直線方程聯(lián)立可得點(diǎn)坐標(biāo)，與橢圓方程聯(lián)立，可得點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)一步寫出直線的方程，令得點(diǎn)坐標(biāo)，列出直線的斜率，化簡即可.
【詳解】（1）．
點(diǎn)在橢圓上，
，解得或（舍）
．橢圓的方程為．
（2）如圖：
易知直線斜率不為0，設(shè)直線方程為
直線方程為：，
聯(lián)立，得．
由，得，
．
直線的斜率為：．
直線方程為：．
令，得．
．
所以直線的斜率為定值.
19．(1)有極小值，無極大值.
(2)答案見解析
(3)證明見解析
【分析】（1）利用極值的定義求解即可；
（2）分類討論求的單調(diào)區(qū)間即可；
（3）利用“恒切函數(shù)”的定義，列方程組得出，然后結(jié)合的范圍求解即可.
【詳解】（1）函數(shù),
,
當(dāng)時(shí)， ，
，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
故有極小值，無極大值.
（2），
當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，,，
,且為增函數(shù)，
時(shí)，，在單調(diào)遞增；
時(shí)，，在單調(diào)遞減；
綜上得：當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減；
（3）當(dāng)時(shí)，函數(shù)是“恒切函數(shù)”，
且,
設(shè)函數(shù)與直線切點(diǎn),則,
故，即，，，
，所以是方程的根，
設(shè)，,
,
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
且,
，，
是方程的根，
所以或,
或
故.
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