1．已知集合，則中元素的個數(shù)為（ ）
A．3B．4C．5D．6
2．已知直線與直線互相垂直，交點坐標(biāo)為，則的值為（ ）
A．20B．C．0D．24
3．在中，內(nèi)角所對的邊分別為，若，則的形狀一定為（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形C．等邊三角形D．銳角三角形
4．設(shè)是兩條不同的直線，是三個不同的平面，下列說法中正確的序號為（ ）
①若，則為異面直線
②若，則
③若，則
④若，則
⑤若，，，則
A．②③⑤B．①②⑤C．④⑤D．①③
5．已知點關(guān)于直線對稱的點在圓：上，則（ ）
A．4B．C．D．
6．在發(fā)生某公共衛(wèi)生事件期間，有專業(yè)機構(gòu)認(rèn)為該事件在一段時間沒有發(fā)生規(guī)模性感染的標(biāo)志為“連續(xù)10天，每天新增疑似病例不超過7人”．根據(jù)過去10天，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例數(shù)據(jù)，一定符合該標(biāo)志的城市是（ ）
A．甲：中位數(shù)為2，眾數(shù)為3B．乙：總體均值為3，中位數(shù)為4
C．丙：總體均值為2，總體方差為3D．丁：總體均值為1，總體方差大于0
7．如圖，在棱長為2的正方體中，為線段上的動點，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）

A．直線與所成的角不可能是
B．若，則二面角的平面角的正弦值為
C．當(dāng)時，
D．當(dāng)時，點到平面的距離為
8．在數(shù)學(xué)史上，為了三角計算的簡便并且更加追求計算的精確性，曾經(jīng)出現(xiàn)過下列兩種三角函數(shù)：定義為角的正矢，記作；定義為角的余矢，記作，則下列命題正確的是（ ）
A．函數(shù)的對稱中心為
B．若，則的最大值為
C．若，且，則圓心角為，半徑為3的扇形的面積為
D．若，則
二、多選題（本大題共3小題）
9．下列四個命題中，是真命題的是（ ）
A．，且，
B．，使得
C．若，則
D．若，則的最小值為1
10．設(shè)復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，i為虛數(shù)單位，則下列命題錯誤的是（ ）
A．
B．若，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限
C．是純虛數(shù)
D．若，則的最大值是6
11．設(shè)為正實數(shù)，定義在上的函數(shù)滿足，且對任意的，都有成立，則（ ）
A．或B．關(guān)于直線對稱
C．為奇函數(shù)D．
三、填空題（本大題共3小題）
12．在校園乒乓球比賽中，甲、乙進入決賽，賽制為“三局兩勝”．若在每局比賽中甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，則乙獲得冠軍的概率為 ．
13．已知圓錐的母線長為2，其外接球表面積為，則圓錐的高為 ．
14．定義，設(shè)函數(shù)，若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是 .
四、解答題（本大題共5小題）
15．已知點為圓上的一點，圓心坐標(biāo)為，且過點的直線被圓截得的弦長為.
(1)求圓的分程；
(2)求直線的方程.
16．2023年8月8日，世界大學(xué)生運動會在成都成功舉行閉幕式．某校抽取100名學(xué)生進行了大運會知識競賽并記錄得分（滿分：100，所有人的成績都在內(nèi)），根據(jù)得分將他們的成績分成六組，制成如圖所示的頻率分布直方圖．
(1)求圖中a的值；
(2)估計這100人競賽成績的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）、眾數(shù)及中位數(shù)．
17．如圖，在直四棱柱中，底面四邊形為梯形，，.
(1)證明：；
(2)若直線 AB與平面 所成角的正弦值為 ，點 為線段 BD上一點，求點到平面 的距離.
18．已知函數(shù)，對，有.
(1)求的值及的單調(diào)遞增區(qū)間：
(2)在中，已知，其面積為，求；
(3)將函數(shù)圖象上的所有點，向右平移個單位后，再將所得圖象上的所有點，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得到函數(shù)的圖象，若，求實數(shù)的取值范圍.
19．已知集合且中元素的個數(shù)為．若存在，得為2的正整數(shù)指數(shù)冪，則稱為的弱子集；若對任意的均為2的正整數(shù)指數(shù)冪，則稱為的強子集．
(1)請判斷集合和是否為的弱子集，并說明理由；
(2)是否存在的強子集？若存在，請寫出一個例子；若不存在，請說明理由；
(3)若，且的任意一個元素個數(shù)為的子集都是的弱子集，求的最小值．
答案
1．【正確答案】C
【分析】利用列舉法表示集合即可得解.
【詳解】依題意，，
所以中元素的個數(shù)為5.
故選C.
2．【正確答案】B
【分析】根據(jù)兩直線垂直可求出的值，將公共點的坐標(biāo)代入直線的方程，可得出的值，再將公共點的坐標(biāo)代入直線的方程，可得出的值，由此可得出的值.
【詳解】已知直線的斜率為，直線的斜率為．
又兩直線垂直，則，解得．
所以，即，
將交點代入直線的方程中，得．
將交點代入直線的方程中，得．
所以．
故選B．
3．【正確答案】A
【分析】利用余弦定理將化為，然后化簡可得答案.
【詳解】因為，
由余弦定理可得，則，
則，所以為直角三角形.
故選A.
4．【正確答案】A
【分析】根據(jù)空間線面的位置關(guān)系，逐項判斷即可.
【詳解】對①：因為平面的平行線和平面內(nèi)的直線可以平行，也可以異面，故①錯誤；
對②：平行于同一個平面的兩個平面平行，故②正確；
對③：先根據(jù)垂直于同一條直線的兩個平面平行得，再根據(jù)，可得，故③正確；
對④：兩直線平行，則這兩條直線分別垂直的平面也平行，故④錯誤.
對⑤：若，，則存在且，
因為，，所以，又因為，所以，故⑤正確，
故選A.
5．【正確答案】B
【分析】設(shè)利用點關(guān)于線對稱列方程求得Q坐標(biāo)，代入圓方程計算即可.
【詳解】設(shè)，則，解得，.
因為在上，所以，解得.
故選B.
6．【正確答案】C
【分析】通過舉反例排除ACD三個選項，根據(jù)方差的計算判斷C選項正確.
【詳解】A選項，數(shù)據(jù)可以為“”，不符合該標(biāo)志；
B選項，數(shù)據(jù)可以為“”，不符合該標(biāo)志；
C選項，總體均值是2時，只要出現(xiàn)超過7人時，方差就大于3，故C正確；
D選項，數(shù)據(jù)可以為“”，不符合該標(biāo)志；
故選C.
7．【正確答案】B
【分析】建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，利用反證法可判斷A的正誤，利用向量法可求面面角的余弦值后結(jié)合同角的三角函數(shù)基本關(guān)系式計算后可判斷B的正誤，利用空間中的距離公式計算CD后可判斷它們的正誤.
【詳解】

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，
對于A，設(shè)，故，
故，而，
設(shè)直線與所成的角為，則，
若直線與所成的角是，則，
整理得到：，此方程在上無實數(shù)解，
故直線與所成的角不可能是，故A正確.
對于B，當(dāng)時，結(jié)合A分析得，此時，
故，而，設(shè)此時平面的法向量為，
則即，取，則，，故，
又，，設(shè)平面的法向量為，
則即，取，則，，故，
故，故二面角的平面角的正弦值為，故B錯誤.
對于C，當(dāng)時，又B的分析可得，故，故，故C正確.
對于D，當(dāng)時，結(jié)合A中分析可得，故，故，
而，設(shè)平面的法向量為，
則即，取，則，，故，
又，故到平面的距離為，故D正確.
故選B.
8．【正確答案】D
【分析】根據(jù)新定義，把新函數(shù)轉(zhuǎn)化為熟悉的三角函數(shù)，再分析它們的有關(guān)性質(zhì)即可.
【詳解】對A.
由，，，所以函數(shù)的對稱中心為，故A錯誤；
對B.
設(shè)，則，且，
所以，
當(dāng)時，.故B錯誤；
對C.
因為且，所以.
所以.
所以圓心角為，半徑為3的扇形的面積為：，故C錯誤；
對D：由.
所以，故D正確.
故選D.
9．【正確答案】BCD
【分析】根據(jù)基本不等式即可逐項判斷求解.
【詳解】對于，且對時不成立，故A錯誤；
對于，當(dāng)時，成立，故B正確；
對于，若，則，化為，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故C正確；
對于
因為，所以，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號.
故的最小值為
故選BCD.
10．【正確答案】AB
【分析】A選項，舉出反例；B選項，先求出共軛復(fù)數(shù)，由三角函數(shù)性質(zhì)得到，確定所在象限；C選項，利用復(fù)數(shù)除法法則化簡，得到C正確；D選項，由復(fù)數(shù)模長的幾何意義確定其軌跡，從而確定的最大值.
【詳解】A選項，設(shè)，則，故，故A錯誤；
B選項，，因為，所以，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第三象限，故B錯誤；
C選項，，為純虛數(shù)，故C正確：
D選項，若，則的幾何意義為到點的距離為1的圓上的點，
此圓上的點到原點的距離最大值為圓心到原點的距離加上半徑1，
故的最大值為，故D正確.
故選AB.
11．【正確答案】ABD
【分析】采用賦值法可判斷選項A，B，C；根據(jù)函數(shù)周期性可判斷選項D.
【詳解】因為對于任意的，都有成立，
令，代入可得，
因為，聯(lián)立可得或，故A正確；
令，代入可得，
當(dāng)時，有，
則關(guān)于直線對稱，
當(dāng)時，有，
再令，代入可得，得，
所以，
即關(guān)于直線對稱，
綜上所述，關(guān)于直線對稱，B正確；
令，代入可得，
又因為，所以，
根據(jù)B選項，，所以，
故為偶函數(shù)，故C錯誤；
由上面可得，，
所以，故D正確.
故選ABD.
12．【正確答案】
【分析】根據(jù)三局兩勝制中，乙獲得冠軍有兩種情況，第一是乙兩局都獲勝，第二是前兩局乙獲勝一局，第三局乙獲勝，根據(jù)分類原則得到兩類結(jié)果相加即可求解.
【詳解】若兩局決出冠軍，則乙獲得冠軍的概率；
若三局決出冠軍，則乙獲得冠軍的概率；
則所求概率為．
故答案為.
13．【正確答案】
【分析】根據(jù)圓錐的特征，先找到球心的位置，再結(jié)合勾股定理得出高.
【詳解】
設(shè)圓錐高，而母線，在中，則，
設(shè)圓錐外接球的半徑為R，顯然外接球的球心為O在高上，
球心O到底面圓心的距離，由，得，
因此，解得，所以長為．
故答案為.
14．【正確答案】
【分析】令，先考慮的單調(diào)減區(qū)間，再根據(jù)在上單調(diào)遞減可得滿足的不等式組，從而可求其取值范圍.
【詳解】令，則，故的周期為，
又當(dāng)時，，
的減區(qū)間為，，其中，
當(dāng)，則，
故存在，使得，
或，
故或（無解，舍），
而，故，故，
故實數(shù)的取值范圍是.
故答案為.
15．【正確答案】(1)；
(2)或.
【分析】(1)根據(jù)題意求出，從而可求出圓的方程；
(2)根據(jù)已知條件求出圓心C到直線的距離，然后分直線的斜率不存在和直線的斜率存在兩種情況討論求解即可.
【詳解】(1)設(shè)圓C的半徑為，則，
則圓C的方程為：；
(2)因為圓C的半徑為1，
所以當(dāng)直線與圓相交所得的弦長為時，圓心C到直線的距離為，
當(dāng)直線的斜率不存在時，直線，此時圓心C到直線的距離為，滿足題意
當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線，即①.
則，解得，
代入①得：
綜上，直線的方程為或.
16．【正確答案】(1)；
(2)平均數(shù)72分，眾數(shù)約為75分，中位數(shù)為分.
【分析】(1)由所有頻率之和為1列方程即可求解；
(2)由頻率分布直方圖中平均數(shù)、眾數(shù)以及中位數(shù)的計算公式直接計算即可求解.
【詳解】(1)由題意知，即，得．
(2)由頻率分布直方圖可知這100人競賽成績的平均數(shù)約為
（分）．
眾數(shù)約為（分）．
前3組的頻率為，前4組的頻率為，
所以中位數(shù)為（分）．
17．【正確答案】(1)證明見解析；
(2).
【分析】(1)因為，因此只需證明平面，只需證明（由題可證），，由勾股定理易證.
(2)建立空間直角坐標(biāo)系，先由直線 AB與平面 所成角的正弦值為，求出，再證明平面，由此得點M到平面 的距離等價于點到平面的距離，再由點到平面的距離公式求解即可.
【詳解】(1)因為，，
所以，所以,
因為為直四棱柱，
所以,
因為，平面，
所以平面，
因為，所以平面，
因為平面，所以.
(2)由(1)及題意知，兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
因為，.設(shè)，
所以
所以,
設(shè)平面的一個法向量為
則，
令，則，所以
設(shè)直線與平面 所成的角為，
則，
解得，所以
所以點到平面 的距離為
因為，所以
因為不在平面，所以平面，
因為M在線段上，所以點M到平面的距離等價于點到平面的距離，為.
故點M到平面 的距離.
18．【正確答案】(1)，單調(diào)遞增區(qū)間為；
(2)；
(3).
【分析】(1)化簡得到，根據(jù)對，有，求出，，整體法求出函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)由求出，由三角形面積得到，再由余弦定理求出；
(3)先根據(jù)平移和伸縮變換得到，分離參數(shù)，令，則，換元得到，求出最小值為，得到不等式，求出答案.
【詳解】(1)，
對，有，故，
所以，解得，
因為，故只有當(dāng)時，滿足要求，故，
，令，
解得，
的單調(diào)遞增區(qū)間為；
(2)，
因為，所以，故，解得，
，即，解得，
由余弦定理得，
故；
(3)圖象上的所有點，向右平移個單位后，得到，
再將所得圖象上的所有點，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得到，
，
即，
令，則，
則，
故，
其中，當(dāng)時，取得最小值，最小值為-1，
所以，解得或，
故實數(shù)的取值范圍為.
19．【正確答案】(1)不是，理由見解析；
(2)不存在；理由見解析；
(3)8.
【分析】(1)根據(jù)的強子集的定義，即可容易求得；
(2)利用反證法假設(shè)存在的強子集，設(shè)為正整數(shù)，
，則，代入化簡得，與為正整數(shù)矛盾，證明不存在的強子集．
(3)設(shè)，
若不是的弱子集，可有最多能包含中的一個元素以及中的元素，一共7個元素，令中任意兩個元素的和都不是2的正整數(shù)指數(shù)冪，得不是的弱子集，分類討論當(dāng)和時，不滿足題意，再驗證時的情況滿足題意，即可求得的最小值.
【詳解】(1)是的弱子集，不是的弱子集．
理由如下：
中存在兩個元素的和是2的正整數(shù)指數(shù)冪，所以是的弱子集．
中任意兩個元素的和都不是2的正整數(shù)指數(shù)冪，
所以不是的弱子集．
(2)不存在的強子集．
理由如下：
假設(shè)存在的強子集，不妨設(shè)為正整數(shù)，
，則為正整數(shù)，，
則，代入中，
所以，
所以，與為正整數(shù)矛盾，所以不存在的強子集．
(3)設(shè)，
若不是的弱子集，
則最多能包含中的一個元素以及中的元素，一共7個元素，
令中任意兩個元素的和都不是2的正整數(shù)指數(shù)冪，
所以不是的弱子集，當(dāng)時，的任意一個元素個數(shù)為的子集都不是的弱子集，
當(dāng)時，中至少有一個集合是的子集，
此時中一定存在兩數(shù)之和為2的正整數(shù)冪，
即的任意一個元素個數(shù)為的子集都是的弱子集，所以的最小值為8．

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