命題人：李昊?歐陽東凌?陳詩如 審題人：張志軍 時(shí)量：120分鐘 分值：150分
第Ⅰ卷（選擇題）
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 在數(shù)軸上與原點(diǎn)距離不大于3的點(diǎn)表示的數(shù)的集合是（ ）
A. 或B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】在數(shù)軸上與原點(diǎn)距離不大于3的點(diǎn)表示的數(shù)的集合為|x|≤3的集合．
【詳解】由題意，滿足|x|≤3的集合，可得：，
故選：B
2. 下列運(yùn)算正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)冪指運(yùn)算的性質(zhì)，可得答案.
【詳解】對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，，故B正確；
對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，，故D錯(cuò)誤.
故選：B.
3. 桌上擺著一個(gè)由若干個(gè)相同正方體組成的幾何體，其三視圖如圖所示．則組成此幾何體需要正方體的個(gè)數(shù)是（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查由三視圖判斷幾何體，從俯視圖中可以看出最底層小正方體的個(gè)數(shù)及形狀，從主視圖和左視圖可以看出每一層小正方體的層數(shù)和個(gè)數(shù)，從而算出總的個(gè)數(shù)．
【詳解】根據(jù)俯視圖可知該組合體共2行?4列，
結(jié)合主視圖和左視圖知該幾何體中小正方體的分布情況如圖所示：
則組成此幾何體需要正方體的個(gè)數(shù)是8，
故選：B．
4. 下列方程中兩根之和為6的是（ ）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先判斷每個(gè)方程的是否大于等于0，確定方程是否有解，進(jìn)而利用根與系數(shù)的關(guān)系求解即可得結(jié)論.
【詳解】對(duì)于A：，，所以方程無實(shí)數(shù)根，故A不滿足題意，
對(duì)于B：，，
所以方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根且兩根之和為，故B不符合題意；
對(duì)于C：，，
所以方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根且兩根之和為，故C不符合題意；
對(duì)于D：，，
所以方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根且兩根之和為，故D符合題意.
故選：D.
5. 設(shè)集合，若，則（ ）
A. 或或2B. 或C. 或2D. 或2
【答案】C
【解析】
【分析】
分和討論，即得解.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，符合題意；
當(dāng)時(shí)，或. 當(dāng)時(shí)，符合題意；當(dāng)時(shí)，，與集合元素的互異性矛盾.所以舍去.
故或.
故選：C
【點(diǎn)睛】本題主要考查元素和集合的關(guān)系，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.
6. 函數(shù)與在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)，結(jié)合兩個(gè)函數(shù)的圖象及其性質(zhì)分類討論．
【詳解】分兩種情況討論：
①當(dāng)時(shí)，反比例函數(shù)，在一?三象限，
而二次函數(shù)開口向上，與y軸交點(diǎn)為，都不符；
②當(dāng)時(shí)，反比例函數(shù)，在二?四象限，
而二次函數(shù)開口向下，與y軸交點(diǎn)為，C符合．
故選：C．
7. 關(guān)于的不等式組恰好有5個(gè)整數(shù)解，則的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分別解一元一次不等式，進(jìn)而確定不等式組的解，再利用整數(shù)解的個(gè)數(shù)求出范圍.
【詳解】解不等式，得；解不等式，得，
而不等式組有解，則，其解為，
由不等式組恰好有5個(gè)整數(shù)解，得，解得，
所以的取值范圍是.
故選：A
8. 定義：若拋物線的頂點(diǎn)，拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)構(gòu)成的三角形是直角三角形，則這種拋物線就稱為：“美麗拋物線”．如圖，直線經(jīng)過點(diǎn)，一組拋物線的頂點(diǎn)，（為正整數(shù)），依次是直線上的點(diǎn)，這組拋物線與軸正半軸的交點(diǎn)依次是：，（為正整數(shù)）．若，當(dāng)為（ ）時(shí)，這組拋物線中存在美麗拋物線．
A. 或B. 或C. 或D.
【答案】B
【解析】
【分析】由拋物線的對(duì)稱性可知，“美麗拋物線”所構(gòu)成的直角三角形必是以拋物線頂點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰三角形，所以此等腰三角形斜邊上的高等于斜邊的一半，又，所以等腰直角三角形斜邊的長(zhǎng)小于2，所以等腰直角三角形斜邊的高一定小于1，即拋物線的定點(diǎn)縱坐標(biāo)必定小于1，據(jù)此解答即可．
【詳解】因?yàn)橹本€經(jīng)過點(diǎn)，則，解得，
直線，
由拋物線的對(duì)稱性知，“美麗拋物線”所構(gòu)成的直角三角形必是以拋物線頂點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰三角形，
所以該等腰三角形的高等于斜邊的一半，
因?yàn)?，結(jié)合題意可知該等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)小于2，
斜邊上的高小于1（即拋物線的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)小于1），
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
所以美麗拋物線的頂點(diǎn)只有，
①若為頂點(diǎn)，由，則；
②若為頂點(diǎn)，由，則，
綜上所述，的值為或時(shí)，存在美麗拋物線．
故選：B
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：此題主要考查新定義問題，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，等腰直角三角形的性質(zhì)，利用拋物線的對(duì)稱性找出相應(yīng)的等腰直角三角形是解答該題的關(guān)鍵．
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 已知x，y，z為非零實(shí)數(shù)，代數(shù)式的值所組成的集合是M，則下列判斷正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】討論的正負(fù)數(shù)分布情況判斷對(duì)應(yīng)代數(shù)式的值，即可確定集合M，進(jìn)而確定正確的選項(xiàng).
【詳解】當(dāng)均為負(fù)數(shù)時(shí)，；
當(dāng)兩負(fù)一正時(shí)，；
當(dāng)兩正一負(fù)時(shí)，；
當(dāng)均為正數(shù)時(shí)，；
∴，A、B錯(cuò)誤，C、D正確.
故選：CD
10. 如圖，下列是國家統(tǒng)計(jì)局公布的數(shù)據(jù)，下列關(guān)于這組數(shù)據(jù)的說法正確的是（ ）
A. 眾數(shù)是2.1B. 中位數(shù)是1.6
C. 平均數(shù)是2.08D. 方差大于1
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)平均數(shù)，眾數(shù)，中位數(shù)以及方差的計(jì)算公式，分別對(duì)每一項(xiàng)進(jìn)行分析計(jì)算即可得解．
【詳解】對(duì)A：因?yàn)?.1出現(xiàn)了2次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，所以眾數(shù)數(shù)是2.1，故A正確；
對(duì)B：把這些數(shù)從小到大排列為：，中位數(shù)是2.1，故B錯(cuò)誤；
對(duì)C：平均數(shù)是：，故C正確；
對(duì)D：，故D錯(cuò)誤.
故選：AC．
11. 已知二次函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則下面說法正確的是（ ）
A. 該二次函數(shù)的圖象一定過定點(diǎn)；
B. 若該函數(shù)圖象開口向下，則的取值范圍為：；
C. 當(dāng)，且時(shí)，的最大值為；
D. 當(dāng)，且該函數(shù)圖象與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿足時(shí)，m的取值范圍為：
【答案】ABD
【解析】
【分析】代入，解得，即可求解A，根據(jù)判別式即可求解B，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可求解C，利用二次函數(shù)的圖象性質(zhì)即可列不等式求解.
【詳解】由可得，
當(dāng)時(shí)，，故二次函數(shù)的圖象一定過定點(diǎn)，A正確，
若該函數(shù)圖象開口向下，且與軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)，則，
解得：，故B正確，
當(dāng)，函數(shù)開口向上，對(duì)稱軸為，故函數(shù)在時(shí)，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，故的最大值為；C錯(cuò)誤，
當(dāng)，則開口向上，又時(shí)，
則，且，且，
且，解得，m的取值范圍為：，D正確，
故選：ABD
第Ⅱ卷（非選擇題）
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 若，則式子的值為______．
【答案】
【解析】
【分析】由題意可化簡(jiǎn)，從而可求解
【詳解】由題意得.
故答案為：.
13. 如圖，一段拋物線記為，它與軸交于點(diǎn)、；將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到，交軸于點(diǎn)；將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到，交軸于點(diǎn)如此進(jìn)行下去，直至得到．若在第13段拋物線上，則______．
【答案】2
【解析】
【分析】結(jié)合圖象根據(jù)圖象的變換規(guī)律，可得出圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，從而得出的表達(dá)式，代入求解即可.
【詳解】由題知圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，圖象在x軸上方，
圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，圖象在x軸下方，
圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，圖象在x軸上方，
以此類推，圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，且圖象在x軸上方，
的表達(dá)式為，
當(dāng)時(shí)，，即.
故答案為：.
14. 給定實(shí)數(shù)集合，，定義運(yùn)算.設(shè)，，則中的所有元素之和為______.
【答案】29970
【解析】
【分析】
【詳解】由，
則可知所有元素之和為.
故答案為：29970.
四?解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
15. 已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
（1）求的取值范圍；
（2）若滿足，求的值．
【答案】（1）
（2）4
【解析】
【分析】（1）根據(jù)判別式列不等式來求得的取值范圍.
（2）利用根與系數(shù)關(guān)系以及對(duì)的符號(hào)進(jìn)行分類討論，由此求得的值.
小問1詳解】
關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
，
解得：，取值范圍為．
【小問2詳解】
關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
①，②．
，
當(dāng)時(shí)，有③，
聯(lián)立①③解得：，
當(dāng)時(shí)，有④，
聯(lián)立①④解得：（不合題意，舍去）．
符合條件的的值為4．
16. 甲口袋中裝有2個(gè)相同的小球，它們分別寫有字母和；乙口袋中裝有3個(gè)相同的小球，它們分別寫有字母和；丙口袋中裝有2個(gè)相同的小球，它們分別寫有字母和．從三個(gè)口袋中各隨機(jī)取出1個(gè)小球．
（1）取出的3個(gè)小球上恰好有1個(gè)?2個(gè)和3個(gè)元音字母的概率分別是多少？
（2）取出的3個(gè)小球上全是輔音字母的概率是多少？（注：本題中，是元音字母；是輔音字母）
【答案】（1）（1個(gè)元音），（2個(gè)元音），（3個(gè)元音）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后根據(jù)古典概型求得所有的結(jié)果；
（2）首先求得取出的3個(gè)小球上全是輔音字母的情況，然后利用概率公式求解即可．
【小問1詳解】
如圖所示，所有可能出現(xiàn)的情況有種，
記三個(gè)小球上恰好有一個(gè)、兩個(gè)和三個(gè)的元音字母為事件,
事件發(fā)生的情況有種，事件發(fā)生的情況有種，事件C發(fā)生的情況有種，
所以.
【小問2詳解】
由樹狀圖知共有12種等可能結(jié)果，
取出的3個(gè)小球上全是輔音字母的有2種情況，
所以取出的3個(gè)小球上全是輔音字母的概率為.

17. 對(duì)?定義一種新運(yùn)算“”，規(guī)定：（其中?均為非零常數(shù)），等式右邊的運(yùn)算是通常的四則運(yùn)算，例如：．
（1）已知．
①求的值；
②若關(guān)于x的不等式組有且只有一個(gè)整數(shù)解，試求字母的取值范圍．
（2）若運(yùn)算“”滿足加法的交換律，即對(duì)于我們所學(xué)過的任意數(shù)，結(jié)論“”都成立，試探索a?b所應(yīng)滿足的關(guān)系式．
【答案】（1）①；②；
（2）
【解析】
【分析】本題考查了解二元一次方程組和解一元一次不等式組?一元一次不等式組的整數(shù)解等知識(shí)點(diǎn)，能根據(jù)已知算式得出方程組或不等式組是解此題的關(guān)鍵．
（1）①根據(jù)已知新運(yùn)算得出方程組，求出方程組的解即可；
②先根據(jù)運(yùn)算得出不等式組，求出每個(gè)不等式的解集，根據(jù)已知得出關(guān)于t的不等式組，求出解集即可；
（2）根據(jù)新運(yùn)算得出等式，整理后即可得出答案．
【小問1詳解】
①，
∴
解得：；
②∵
∴
即，
解得：
關(guān)于x的不等式組有且只有一個(gè)整數(shù)解，
，
解得：，
即字母t的取值范圍是；
【小問2詳解】
，
，
，
，
，
為任意數(shù)，
不一定等于0，
，
即所應(yīng)滿足的關(guān)系式是．
18. 定義：若任意（m，n可以相等），都有，則集合稱為集合A的生成集；
（1）求集合的生成集B；
（2）若集合，A的生成集為B，B的子集個(gè)數(shù)為4個(gè)，求實(shí)數(shù)a的值；
（3）若集合，A的生成集為B，求證.
【答案】（1）
（2）或
（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)新定義算出的值即可求出；
（2）B的子集個(gè)數(shù)為4個(gè)，轉(zhuǎn)化為B中有2個(gè)元素，然后列出等式即可求出的值；
（3）求出的范圍即可證明出結(jié)論
【小問1詳解】
由題可知，
(1)當(dāng)時(shí)， ，
(2) 當(dāng)時(shí)，，
（3）當(dāng)或時(shí)，
所以
【小問2詳解】
（1）當(dāng)時(shí)，，
（2）當(dāng)時(shí)，
（3）當(dāng)或時(shí)，
B的子集個(gè)數(shù)為4個(gè)，則中有2個(gè)元素，
所以或 或 ，
解得或（舍去）,
所以或.
【小問3詳解】
證明：，
，
，
，
，
設(shè)任意，取，則，所以，
則，
所以；
所以
19. 已知拋物線（為常數(shù)）的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)比拋物線的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)大1．
（1）求值；
（2）點(diǎn)Ax1,y1在拋物線上，點(diǎn)在拋物線上．
（i）若，且，求的值；
（ii）若，求的最大值．
【答案】（1）
（2）（i）；（ii）
【解析】
【分析】（1）求出拋物線和的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)，根據(jù)題意列方程，即可求解；
（2）先求出，（i）列出方程，即可求出h的值；
（ii）求出關(guān)于的方程，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得最大值．
【小問1詳解】
由拋物線 的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
又由拋物線的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
因?yàn)閽佄锞€ 的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)比的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)大，
可得，解得.
【小問2詳解】
由點(diǎn)Ax1,y1在拋物線上，可得，
又由點(diǎn)在拋物線上，可得，
則，所以，
（i）因?yàn)?，所以，可得?br>因?yàn)?，可得，則.
（ii）將代入，可得，
即，當(dāng)，即時(shí)，取最大值．

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