湖南省婁底市漣源市部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（含解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

注意事項(xiàng)：
1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上.
2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 若，則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出向量的坐標(biāo)，根據(jù)模的計(jì)算公式求得答案.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以,
因此，，
故選：.
2. 復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)后，利用復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)象限內(nèi)點(diǎn)的特征求解即可.
【詳解】由題意得，故在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，
該點(diǎn)位于第三象限，故C正確.
故選：C
3. 為了培養(yǎng)青少年無私奉獻(xiàn)，服務(wù)社會(huì)，回饋社會(huì)的精神，某學(xué)校鼓勵(lì)學(xué)生在假期去社會(huì)上的一些福利機(jī)構(gòu)做義工．某慈善機(jī)構(gòu)抽查了其中100名學(xué)生在一年內(nèi)在福利機(jī)構(gòu)做義工的時(shí)間（單位：小時(shí)），繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，則x的值為（）
A. 0.0020B. 0.0025C. 0.0015D. 0.0030
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意結(jié)合頻率和為1列式求解即可.
【詳解】由題意可得：，解得.
故選：B.
4. 已知四邊形中，，并且，則四邊形是（）
A. 菱形B. 正方形C. 等腰梯形D. 長(zhǎng)方形
【答案】A
【解析】
【分析】由，得到四邊形為平行四邊形，再由，得到，得出四邊形為菱形.
【詳解】由題意，四邊形中，
因?yàn)?，可得且，所以四邊形為平行四邊形?br>又因?yàn)?，可得?br>所以四邊形為菱形.
故選：A.
5. 拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，記事件“第一枚硬幣正面朝上”，事件“第二枚硬幣反面朝上”，事件“兩枚硬幣都正面朝上”，事件“至少一枚硬幣反面朝上”則（）
A. 與獨(dú)立B. 與互斥C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】寫出樣本空間及事件，再結(jié)合相互獨(dú)立事件、互斥事件判斷AB；利用古典概率公式計(jì)算判斷CD.
【詳解】樣本空間{(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)}，事件{(正,正),(正,反)}，
事件{(正,反),(反,反)}，事件{(正,正)}，事件{(正,反),(反,正),(反,反)}，
對(duì)于A，，而，，與不獨(dú)立，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，事件可以同時(shí)發(fā)生，與不互斥，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，{(正,正),(正,反),(反,反)}，，D正確.
故選：D
6. 在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若，則的形狀一定為（）
A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等邊三角形D. 銳角三角形
【答案】A
【解析】
【分析】利用余弦定理將化為，然后化簡(jiǎn)可得答案.
【詳解】，
由余弦定理可得，則，
則，所以為直角三角形.
故選：A.
7. 已知兩個(gè)平面、，在下列條件下，可以判定平面與平面平行的是（）．
A. 、都垂直于一個(gè)平面γ
B. 平面內(nèi)有無數(shù)條直線與平面平行
C. l、m是內(nèi)兩條直線，且∥，∥
D. l、m是兩條異面直線，且∥，∥ ，∥，∥
【答案】D
【解析】
【分析】對(duì)于ABC，舉例判斷，對(duì)于D，由面面平行的判定理分析判斷.
【詳解】對(duì)于A，如在正方體中，平面和平面都與平面ABCD垂直，但這兩個(gè)平面不平行，所以A錯(cuò)誤，
對(duì)于B，如在正方體中，平面和平面，平面中所有平行于交線的直線都與平面平行，但這兩個(gè)平面不平行，所以B錯(cuò)誤，
對(duì)于C，如在正方體中，平面和平面，分別為的中點(diǎn)，則在平面內(nèi)，且都與平面平行，但這兩個(gè)平面不平行，所以C錯(cuò)誤.
對(duì)于D，因?yàn)閘、m是兩條異面直線，所以將這兩條直線平移到共面時(shí)，一定在內(nèi)形成兩條相交直線，由面面平行的判定定理可知，該結(jié)論正確．
故選：D
8. 已知正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為為棱上一點(diǎn)，則三棱錐的體積為（）
A. 3B. 32C. 1D.
【答案】C
【解析】
【分析】連接,通過已知條件證明平面,即為三棱錐的高，再通過三棱錐的體積公式計(jì)算即可.
【詳解】如圖所示，連接,
因?yàn)闉檎切危覟橹悬c(diǎn)，
所以,
又因?yàn)槠矫?且平面，
所以,
因?yàn)?平面,平面，
所以平面,
所以為三棱錐的高，且,
所以
故選：C.
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知向量，，且，則下列說法正確的是（）
A. B.
C. 向量與夾角是D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)題意，由條件可得，再由平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，代入計(jì)算，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷，即可得到結(jié)果.
【詳解】因?yàn)橄蛄?，，則，
且，則，解得，故A錯(cuò)誤；
因?yàn)?，，則，故B正確；
因?yàn)?，則，故C正確；
因?yàn)椋瑒t，故D正確；
故選：BCD
10. 若，則下列結(jié)論正確的有（）
A. B. 若，則
C. 若，則D. 若，則
【答案】BCD
【解析】
【分析】
對(duì)于選項(xiàng)A B C：利用基本不等式化簡(jiǎn)整理求解即可判斷，對(duì)于選項(xiàng)D：利用作差法判斷即可.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：若，
由基本不等式得，
即，
得，
故，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；
所以選項(xiàng)A不正確；
對(duì)于選項(xiàng)B：若，
，
，
當(dāng)且僅當(dāng)且，
即時(shí)取等號(hào)，
所以選項(xiàng)B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C：由，
，
即，
由基本不等式有：
，
當(dāng)且僅當(dāng)且，
即時(shí)取等號(hào)，
所以選項(xiàng)C正確；
對(duì)于選項(xiàng)D：，
又，得，
所以，
所以選項(xiàng)D正確；
故選：BCD.
【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.
11. 如圖所示，在正方體中，，分別是，的中點(diǎn)，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列判斷正確的是（）
A. 三棱錐的體積是定值
B. 過，，三點(diǎn)的平面截正方體所得的截面是六邊形
C. 存在唯一的點(diǎn)，使得
D. 與平面所成的角為定值
【答案】AC
【解析】
【分析】利用，結(jié)合的面積為定值，點(diǎn)到平面的距離為定值，可判斷A；平面的基本性質(zhì)作出面與的交點(diǎn)，利用正方體的性質(zhì)及線線平行、線面平行、中位線性質(zhì)判斷B；當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，可得，進(jìn)而判斷C；到平面的距離一定，而長(zhǎng)度隨運(yùn)動(dòng)會(huì)變化，結(jié)合線面角定義判斷D.
【詳解】因?yàn)槭蔷€段上的動(dòng)點(diǎn)，而且，
所以的面積為定值，又點(diǎn)到平面的距離為定值，
，所以三棱錐的體積是定值，A正確；
過作分別交，的延長(zhǎng)線于，，連接，，如圖，
為，的交點(diǎn)，為，的交點(diǎn)，所以截面為五邊形，B錯(cuò)誤；
在上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，，而為中點(diǎn)，
所以當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，，故存在唯一的點(diǎn)使得，C正確；
由，平面，平面，則平面，
所以到平面的距離一定，而長(zhǎng)度隨運(yùn)動(dòng)會(huì)變化，
故與平面所成的角不為定值，D錯(cuò)誤.
故選：AC.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題A選項(xiàng)解決的關(guān)鍵在于，利用線線平行得到點(diǎn)到的面積為定值，從而得解.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知向量，，且，則_____．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算求解.
【詳解】因?yàn)?，則，解得.
故答案為：.
13. 甲?乙兩人獨(dú)立解同一道數(shù)學(xué)題目，甲解出這道題目的概率是，乙解出這道題目的概率是，這道題被解出（至少有一人解出來）的概率是__________.
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)這道題沒被解出來為事件A，則這道題被解出（至少有一人解出來）的概率
【詳解】設(shè)數(shù)學(xué)題沒被解出來為事件A，
則，
則這道題被解出（至少有一人解出來）的概率：
.
故答案為：
14. 在中，，滿足此條件有兩解，則邊長(zhǎng)度的取值范圍為__________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)三角形有兩解，應(yīng)滿足，化簡(jiǎn)即可求解.
【詳解】有兩解，，.
故答案為：.
四、解答題：本題共5小題，其中第15題13分，第16，17題15分，第18，19題17分，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知向量，．
（1）若與垂直，求實(shí)數(shù)k的值；
（2）已知O，A，B，C為平面內(nèi)四點(diǎn)，且，，．若A，B，C三點(diǎn)共線，求實(shí)數(shù)m的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由向量坐標(biāo)線性運(yùn)算結(jié)合垂直關(guān)系的坐標(biāo)運(yùn)算，列出方程求解即可；
（2）由向量的加減、數(shù)乘運(yùn)算表示，，再由共線定理解出實(shí)數(shù)m的值．
【小問1詳解】
，
則，
因?yàn)榕c垂直，所以，
解得．
【小問2詳解】
，
，
，
，
因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，所以．
所以，
解得．
16. 如圖，在多面體中，四邊形是菱形，平面，，，.

（1）求證：平面；
（2）求證：平面.
【答案】（1）證明見解析
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）由菱形的性質(zhì)證得，由已知平面，證得，由線面垂直的判定定理得證平面；
（2）取的中點(diǎn)，證明四邊形為平行四邊形，得證，由線面平行的判定定理得平面.
【小問1詳解】
證明：連接，交于點(diǎn)，
因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所以?br>因?yàn)槠矫妫矫妫裕?br>因?yàn)?，平面?br>所以平面；
【小問2詳解】
證明：取的中點(diǎn)，連接，
又為的中點(diǎn)，有，，
已知，，
則有，，四邊形為平行四邊形，
有，即有，
平面，平面，所以平面.
17. 在中，
（1）求值；
（2）求角和的面積.
【答案】（1）
（2），的面積為
【解析】
【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊化角和二倍角公式可得，再利用余弦定理計(jì)算得出結(jié)果；
（2）根據(jù)余弦定理推論計(jì)算得出角；再根據(jù)三角形面積公式計(jì)算的結(jié)果；
【小問1詳解】
在中，由正弦定理得
因?yàn)椋裕?br>由余弦定理得，代入，
解得或（舍）
【小問2詳解】
由余弦定理推論得，
因?yàn)?，所以角?br>因此的面積為.
18. 某地區(qū)課改時(shí)實(shí)行高考新方案試點(diǎn)，規(guī)定：語文、數(shù)學(xué)和英語是必考科目，考生還要從物理、化學(xué)、生物、歷史、地理和政治六個(gè)科目中選取三個(gè)科目作為選考科目.為了解某校學(xué)生選科情況，現(xiàn)從高一、高二、高三學(xué)生中各隨機(jī)選取了100名學(xué)生作為樣本進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查數(shù)據(jù)如下表，用頻率估計(jì)概率.
（1）已知該校高一年級(jí)有400人，估計(jì)該學(xué)校高一年級(jí)學(xué)生中選考?xì)v史的人數(shù)；
（2）現(xiàn)采用分層抽樣的方式從樣本中隨機(jī)抽取三個(gè)年級(jí)中選擇歷史學(xué)科的5名學(xué)生組成興趣小組，再從這人中隨機(jī)抽取2名同學(xué)參加知識(shí)問答比賽，求這2名參賽同學(xué)來自不同年級(jí)的概率；
（3）假設(shè)三個(gè)年級(jí)選擇選考科目是相互獨(dú)立的.為了解不同年級(jí)學(xué)生對(duì)各科目的選擇傾向，現(xiàn)從高一、高二、高三樣本中各隨機(jī)選取1名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，求這3名學(xué)生均選擇了第1門科目的概率.
【答案】（1）80人（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由樣本中選擇歷史學(xué)科的比例結(jié)合高一年級(jí)學(xué)生總?cè)藬?shù)即可得解.
（2）先確認(rèn)各年級(jí)樣本中抽取的人數(shù)并進(jìn)行編號(hào)，列出從這5名運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)抽取2名參加比賽所有可能的結(jié)果，再由2名參賽同學(xué)來自相同年級(jí)的可能結(jié)果即可求出2名參賽同學(xué)來自不同年級(jí)的概率.
（3）先求出樣本中三個(gè)年級(jí)選第一門科目的概率即可依據(jù)相互獨(dú)立乘法概率公式進(jìn)一步求出所求概率.
【小問1詳解】
由題意知，樣本中高一學(xué)生共有100人，其中選擇歷史學(xué)科的學(xué)生有20人，
故估計(jì)高一年級(jí)選歷史學(xué)科的學(xué)生有人.
【小問2詳解】
由表格數(shù)據(jù)可知應(yīng)從樣本中三個(gè)年級(jí)選歷史的學(xué)生中分別抽取人數(shù)為1，2，2，
編號(hào)依次為，，，，，
從這5名運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)抽取2名參加比賽，所有可能的結(jié)果為
，，，，，，，，，，共10種，
設(shè)為事件“這2名參賽同學(xué)來自不同年級(jí)”，
則為事件“這2名參賽同學(xué)來自相同年級(jí)”有，共2種，
所以事件發(fā)生的概率.
【小問3詳解】
樣本中三個(gè)年級(jí)選第一門科目的學(xué)生分別為80，60，50，
所以樣本中三個(gè)年級(jí)選第一門科目的概率分別為，
所以現(xiàn)從高一、高二、高三樣本中各隨機(jī)選取1名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，
則這3名學(xué)生均選擇了第1門科目的概率為.
19. 如圖，在三棱柱中，底面中角為直角，，側(cè)面底面.
（1）求證：；
（2）當(dāng)，直線與平面所成角為時(shí)，
（i）求證：平面平面；
（ii）求二面角的正弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）（i）證明見解析；（ii）
【解析】
【分析】（1）先求證平面，進(jìn)而得，接著由菱形得，從而得平面，進(jìn)而得證.
（2）（i）求證平面即可由面面垂直的判定定理得證平面平面；
（ii）分別作交于，作交于，連接，進(jìn)而得平面，從而得是二面角的平面角，接著由等面積法求出和即可由得解.
【小問1詳解】
因?yàn)?，所以?br>因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面?br>所以平面，
因?yàn)槠矫?，所以?br>由三棱柱性質(zhì)得四邊形平行四邊形，又因?yàn)椋?br>所以是菱形，所以，
因?yàn)?，、平面，所以平面?br>因?yàn)槠矫?，所?
小問2詳解】
（i）當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?br>所以，所以，
由（1）平面，平面，所以，
因?yàn)椋?、平面，所以平面?br>因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫妫?br>（ii）因平面，平面，
所以直線與平面所成的角為，所以，
因?yàn)椋?，，，故?br>作交于，
因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面?br>所以平面，又平面，所以，
作交于，連接，
因?yàn)椋?、平面，所以平面?br>因?yàn)槠矫妫裕?br>所以是二面角平面角，
因?yàn)榧?，所以?br>因?yàn)榧?，所以?br>所以，
所以二面角的正弦值為.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題在求二面角時(shí)采用的方法是定義法，通過作交于和作交于，從而作出二面角的棱的垂面，進(jìn)而得到二面角的平面角，再由等面積法求出和即可得選考情況
第1門
第2門
第3門
第4門
第5門
第6門
物理
化學(xué)
生物
歷史
地理
政治
高一選科人數(shù)
80
70
35
20
35
60
高二選科人數(shù)
60
45
55
40
40
60
高三選科人數(shù)
50
40
60
40
40
70

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