TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc2389" 第一部分：基礎(chǔ)知識(shí) PAGEREF _Tc2389 \h 1
\l "_Tc20260" 第二部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò) PAGEREF _Tc20260 \h 2
\l "_Tc20659" 高頻考點(diǎn)一：求三角形面積（定值問(wèn)題） PAGEREF _Tc20659 \h 2
\l "_Tc15169" 高頻考點(diǎn)二：根據(jù)三角形面積求其它元素 PAGEREF _Tc15169 \h 4
\l "_Tc13653" 高頻考點(diǎn)三：求三角形面積最值 PAGEREF _Tc13653 \h 6
\l "_Tc17293" 高頻考點(diǎn)四：求三角形面積取值范圍（普通三角形面積取值范圍） PAGEREF _Tc17293 \h 7
\l "_Tc26235" 高頻考點(diǎn)五：求三角形面積取值范圍（銳角三角形面積取值范圍） PAGEREF _Tc26235 \h 8
第一部分：基礎(chǔ)知識(shí)
1、三角形面積的計(jì)算公式：
①；
②；
③（其中，是三角形的各邊長(zhǎng)，是三角形的內(nèi)切圓半徑）；
④(其中，是三角形的各邊長(zhǎng)，是三角形的外接圓半徑).
2、三角形面積最值：
核心技巧：利用基本不等式，再代入面積公式.
3、三角形面積取值范圍：
核心技巧：利用正弦定理，，代入面積公式，再結(jié)合輔助角公式，根據(jù)角的取值范圍，求面積的取值范圍.
第二部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò)
高頻考點(diǎn)一：求三角形面積（定值問(wèn)題）
典型例題
例題1．（23-24高一下·四川成都·階段練習(xí)）在中，已知．
(1)求邊；
(2)若為上一點(diǎn)，且，求的面積．
例題2．（2024·陜西商洛·三模）在中，角所對(duì)的邊分別為，且滿足．
(1)求角的大??；
(2)若，求的面積．
例題3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知中，角、、的對(duì)邊分別是．
(1)求角的大??；
(2)若，為邊上一點(diǎn)，，，求的面積．
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高二下·浙江·階段練習(xí)）在中，分別是角的對(duì)邊，且滿足．
(1)求角的大小；
(2)若為的中點(diǎn)且，求的面積．
2．（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且．
(1)證明：是銳角三角形；
(2)若，求的面積．
3．（2024·北京海淀·一模）在中，.
(1)求；
(2)若，求的面積.
高頻考點(diǎn)二：根據(jù)三角形面積求其它元素
典型例題
例題1．（2024·四川南充·二模）在①；②；③；這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面對(duì)問(wèn)題中，并解答問(wèn)題.
在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足 .
(1)求；
(2)若的面積為，D為AC的中點(diǎn)，求BD的最小值.
例題2．（2024·陜西西安·一模）已知△ABC為鈍角三角形，它的三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且，，．
(1)求的值；
(2)若△ABC的面積為，求c的最小值．
例題3．（23-24高一下·江蘇南通·階段練習(xí)）的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．
(1)求C；
(2)若面積為，，求AB邊上中線的長(zhǎng)度．
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高一下·廣東湛江·階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)在中，、、分別是角、、的對(duì)邊長(zhǎng)，若，，的面積為，求的值.
2．（23-24高一下·重慶渝中·階段練習(xí)）在中，角的對(duì)邊分別為，已知．
(1)求角的大?。?br>(2)若的面積為，角的平分線與交于點(diǎn)，且，求邊的值．
3．（23-24高一下·河南濮陽(yáng)·階段練習(xí)）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.
(1)求A；
(2)若的面積為，周長(zhǎng)為18，求a.
高頻考點(diǎn)三：求三角形面積最值
典型例題
例題1．（23-24高一下·湖南衡陽(yáng)·階段練習(xí)）在中，分別是上的點(diǎn)，且與相交于點(diǎn).
(1)用表示；
(2)若，求面積的最大值.
例題2．（23-24高二上·云南·期末）在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，且滿足．
(1)求角；
(2)若，求面積的最大值．
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高三上·云南昆明·階段練習(xí)）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，．
(1)求；
(2)若點(diǎn)是上的點(diǎn)，平分，且，求面積的最小值．
練透核心考點(diǎn)
1．（22-23高三下·四川雅安·階段練習(xí)）在中，角的對(duì)邊分別為．
(1)求；
(2)若，且，求面積的取值范圍．
2．（22-23高一下·廣東廣州·階段練習(xí)）在中，設(shè)a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，已知向量，，且.
(1)求角C的大??；
(2)若，求面積的取值范圍.
高頻考點(diǎn)五：求三角形面積取值范圍（銳角三角形面積取值范圍）
典型例題
例題1．（2023·江西·二模）在中，角所對(duì)的邊分別為，已知.
(1)求角；
(2)若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍.
例題2．（2023·河北石家莊·一模）已知內(nèi)角所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為.
(1)求；
(2)若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍.
例題3．（22-23高一下·安徽合肥·階段練習(xí)）已知為銳角三角形，角所對(duì)的邊分別為，且．
(1)求的取值范圍；
(2)若，求面積的取值范圍．
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高二上·河北秦皇島·開(kāi)學(xué)考試）在銳角中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，．
(1)求角B的大小和邊長(zhǎng)b的值；
(2)求面積的取值范圍．
2．（22-23高一下·重慶萬(wàn)州·階段練習(xí)）的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.
(1)若，求的外接圓的周長(zhǎng)和面積.
(2)若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍.
3．（22-23高三下·安徽池州·階段練習(xí)）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.
(1)求角的值；
(2)若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍.
第08講 拓展三：三角形中面積（定值，最值，取值范圍）問(wèn)題
目錄
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc2389" 第一部分：基礎(chǔ)知識(shí) PAGEREF _Tc2389 \h 1
\l "_Tc20260" 第二部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò) PAGEREF _Tc20260 \h 1
\l "_Tc20659" 高頻考點(diǎn)一：求三角形面積（定值問(wèn)題） PAGEREF _Tc20659 \h 1
\l "_Tc15169" 高頻考點(diǎn)二：根據(jù)三角形面積求其它元素 PAGEREF _Tc15169 \h 7
\l "_Tc13653" 高頻考點(diǎn)三：求三角形面積最值 PAGEREF _Tc13653 \h 12
\l "_Tc17293" 高頻考點(diǎn)四：求三角形面積取值范圍（普通三角形面積取值范圍） PAGEREF _Tc17293 \h 16
\l "_Tc26235" 高頻考點(diǎn)五：求三角形面積取值范圍（銳角三角形面積取值范圍） PAGEREF _Tc26235 \h 19
第一部分：基礎(chǔ)知識(shí)
1、三角形面積的計(jì)算公式：
①；
②；
③（其中，是三角形的各邊長(zhǎng)，是三角形的內(nèi)切圓半徑）；
④(其中，是三角形的各邊長(zhǎng)，是三角形的外接圓半徑).
2、三角形面積最值：
核心技巧：利用基本不等式，再代入面積公式.
3、三角形面積取值范圍：
核心技巧：利用正弦定理，，代入面積公式，再結(jié)合輔助角公式，根據(jù)角的取值范圍，求面積的取值范圍.
第二部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò)
高頻考點(diǎn)一：求三角形面積（定值問(wèn)題）
典型例題
例題1．（23-24高一下·四川成都·階段練習(xí)）在中，已知．
(1)求邊；
(2)若為上一點(diǎn)，且，求的面積．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理即可求得答案；
（2）求出，即可求出的值，即可得，結(jié)合三角形面積公式，即可求得答案.
【詳解】（1）依題意知，在中，，
故
，
故；
（2）由于，，故，
故，
則.
例題2．（2024·陜西商洛·三模）在中，角所對(duì)的邊分別為，且滿足．
(1)求角的大小；
(2)若，求的面積．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理化邊為角，再利用輔助角公式即可得解；
（2）先利用余弦定理求出，再根據(jù)三角形的面積公式即可得解.
【詳解】（1）在中，因?yàn)椋?br>由正弦定理得，
即，即，即，
又，所以，所以，即；
（2）在中，，
由余弦定理得，即，，
所以．
例題3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知中，角、、的對(duì)邊分別是．
(1)求角的大小；
(2)若，為邊上一點(diǎn)，，，求的面積．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理及誘導(dǎo)公式、恒等變換公式得到的正切值，進(jìn)而求解即可；
（2）解法一利用已知條件和向量的知識(shí)得到，進(jìn)而實(shí)數(shù)化得到和的一個(gè)關(guān)系式，再由三角形余弦定理結(jié)合角的互補(bǔ)關(guān)系得出和的另一個(gè)關(guān)系式，聯(lián)立方程求解即可；解法二直接由第一問(wèn)的結(jié)果結(jié)合余弦定理得出和的一個(gè)關(guān)系式，再由三角形余弦定理結(jié)合角的互補(bǔ)關(guān)系得出和的另一個(gè)關(guān)系式，聯(lián)立方程求解即可.
【詳解】（1）由正弦定理得，
因?yàn)?br>故，
即，
即．
而，故，
又因?yàn)樗裕?br>而，故．
（2）解法一：由知，
兩邊同時(shí)平方得，
即，化簡(jiǎn)得．①
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
而，所以，
故，即，②
由①②得，
由于，得，代入②得．
所以的面積為．
解法二：在中，由余弦定理可得，
整理得，①
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
而，所以，
故，即，②
由①②得，
由于，得，代入②得，
所以的面積為．
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高二下·浙江·階段練習(xí)）在中，分別是角的對(duì)邊，且滿足．
(1)求角的大?。?br>(2)若為的中點(diǎn)且，求的面積．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)正弦定理及正弦的和角公式化簡(jiǎn)計(jì)算即可；
（2）由余弦定理及三角形面積公式計(jì)算即可.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>由正弦定理可得．
又因?yàn)樵谥校校?br>所以，
化簡(jiǎn)得．
因?yàn)?，所以?br>所以，于是．
因?yàn)椋裕?br>（2）由為的中點(diǎn)，可得．
又，所以，
在和中，
根據(jù)余弦定理從而可得．
又，所以，
可得．
2．（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且．
(1)證明：是銳角三角形；
(2)若，求的面積．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析；
(2)．
【分析】（1）由正弦定理和余弦定理求解即可；
（2）由兩角和的正弦公式求出，再由正弦定理和三角形的面積公式求解即可.
【詳解】（1）證明：因?yàn)椋?br>所以由正弦定理得，整理得．
則，因?yàn)?，所以?br>因?yàn)椋?，因?yàn)椋?br>所以，所以是銳角三角形．
（2）因?yàn)?，所以?br>所以．
在中，由正弦定理得，即，所以，
所以的面積為．
3．（2024·北京海淀·一模）在中，.
(1)求；
(2)若，求的面積.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)條件，利用正弦定理邊轉(zhuǎn)角得到，再利用輔助角公式及特殊角的三角函數(shù)值，即可求出結(jié)果；
（2）根據(jù)（1）中及條件，由余弦定理得到，再結(jié)合，即可求出，再利用三角形面積公式，即可求出結(jié)果.
【詳解】（1）因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻茫?br>又，所以，得到，即，
所以，又因?yàn)?，所以，得?
（2）由（1）知，所以，又，得到①，
又，得到代入①式，得到，
所以的面積為.
高頻考點(diǎn)二：根據(jù)三角形面積求其它元素
典型例題
例題1．（2024·四川南充·二模）在①；②；③；這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面對(duì)問(wèn)題中，并解答問(wèn)題.
在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足 .
(1)求；
(2)若的面積為，D為AC的中點(diǎn)，求BD的最小值.
【答案】(1)條件選擇見(jiàn)解析，
(2)
【分析】（1）選①：利用正弦定理邊化角結(jié)合兩角和的正弦化簡(jiǎn)求解；選②：利用平方關(guān)系結(jié)合正弦定理角化邊，再利用余弦定理求解；選③：利用正弦定理角化邊得即可求解；
（2）由面積得，結(jié)合余弦定理和基本不等式求最值.
【詳解】（1）若選擇①：，
由正弦定理可得，
因，,故，，
則有，因,故.
若選擇②：，
則，
由正弦定理可得，
故，
因,故.
若選擇③ ；
由正弦定理可得，，
再由余弦定理得，，即，
，．
（2），又，
在三角形BCD中，，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
的最小值為．
例題2．（2024·陜西西安·一模）已知△ABC為鈍角三角形，它的三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且，，．
(1)求的值；
(2)若△ABC的面積為，求c的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由三角恒等變換化簡(jiǎn)可得，再由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式得解；
（2）由三角形面積公式、余弦定理及重要不等式即可求解.
【詳解】（1）因?yàn)?br>，
因?yàn)?，所以?br>由△ABC為鈍角三角形且，知，為鈍角，
所以，即，
所以.
（2）因?yàn)椋?br>所以，
由余弦定理，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
此時(shí)的最小值為，所以c的最小值為.
例題3．（23-24高一下·江蘇南通·階段練習(xí)）的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．
(1)求C；
(2)若面積為，，求AB邊上中線的長(zhǎng)度．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意，由正弦定理和三角恒等變化和的公式，得到，求得，即可求解；
（2）根據(jù)三角形的面積公式，求得，再由，求得，得到，結(jié)合正弦定理得到，聯(lián)立方程組求得，結(jié)合余弦定，即可求解.
【詳解】（1）解：因?yàn)椋烧叶ɡ淼茫?br>因?yàn)椋傻?，又因?yàn)?，可得?br>所以，即，
又因?yàn)?，可得，所以，所以，可?
（2）解：由（1）知，，
因?yàn)槊娣e為，可得，可得，
又因?yàn)?，可得?br>所以，
又由正弦定理，即，解得，
聯(lián)立方程組，解得，
如圖所示，設(shè)邊的中點(diǎn)為，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，

可知AEBC為平行四邊形，在中，且，
由余弦定理得，
所以上的中線長(zhǎng)為.
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高一下·廣東湛江·階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)在中，、、分別是角、、的對(duì)邊長(zhǎng)，若，，的面積為，求的值.
【答案】(1)最小正周期為，遞增區(qū)間為,
(2)
【分析】（1）利用二倍角的正弦、余弦公式及輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)，即可求解；
（2）根據(jù)題意和角的范圍求出角，再由三角形面積公式求出，最后利用余弦定理求解.
【詳解】（1）
，
即，故最小正周期為，
令，
故，遞增區(qū)間為,.
（2）由得，
因?yàn)?，故，?
又，故.
故，故
2．（23-24高一下·重慶渝中·階段練習(xí)）在中，角的對(duì)邊分別為，已知．
(1)求角的大??；
(2)若的面積為，角的平分線與交于點(diǎn)，且，求邊的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由兩角和的正弦公式以及正弦定理可得，可得結(jié)果；
（2）由三角形面積公式并利用可得，再由余弦定理即可求得.
【詳解】（1）由，得，
由正弦定理可得，
即；
因?yàn)椋钥傻?，又因?yàn)椋?br>所以．
（2）易知，所以；
如下圖所示：
因?yàn)闉榻瞧椒志€，所以，
即，即
而，
所以．
3．（23-24高一下·河南濮陽(yáng)·階段練習(xí)）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.
(1)求A；
(2)若的面積為，周長(zhǎng)為18，求a.
【答案】(1)
(2)6
【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊角互化可得，即可根據(jù)輔助角公式求解；
（2）根據(jù)面積公式可得，結(jié)合余弦定理即可求解.
【詳解】（1）由正弦定理得，
又，得，
由輔助角公式可得.
圖為中，
所以，則，故.
（2），
而由余弦定理得，即，
則，
解得.
高頻考點(diǎn)三：求三角形面積最值
典型例題
例題1．（23-24高一下·湖南衡陽(yáng)·階段練習(xí)）在中，分別是上的點(diǎn)，且與相交于點(diǎn).
(1)用表示；
(2)若，求面積的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）設(shè)，，求出，表達(dá)出；
（2）根據(jù)題意求解，求出的最大值，進(jìn)而求出的最大值.
【詳解】（1）設(shè)，
，
因此解得，
因此.

（2）由（1）得，，因此，
又因?yàn)?，因此?br>由，當(dāng)時(shí)，最大為，
因此的最大值為.
例題2．（23-24高二上·云南·期末）在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，且滿足．
(1)求角；
(2)若，求面積的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）利用正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)得出的值，結(jié)合角的取值范圍可得出角的值；
（2）利用余弦定理結(jié)合基本不等式可求得的最大值，再結(jié)合三角形的面積公式可求得面積的最大值.
【詳解】（1）解：因?yàn)椋?br>由正弦定理可得
，
因?yàn)?、，則，可得，
所以，，故.
（2）解：由余弦定理可得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
故，
因此，面積的最大值為.
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高三上·云南昆明·階段練習(xí)）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，．
(1)求；
(2)若點(diǎn)是上的點(diǎn)，平分，且，求面積的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理邊化角結(jié)合兩角和的正弦公式，化簡(jiǎn)已知等式，可得，結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系，即可求得答案；
（2）利用面積相等，即，推出，利用基本不等式結(jié)合三角形面積公式，即可求得答案.
【詳解】（1）由題意知中，，
故，即,
即,
所以，而，
故，即，
又，故；
（2）由于點(diǎn)是上的點(diǎn)，平分，且，
則，
由，得，
即，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以，
即面積的最小值為.
2．（23-24高二上·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，．
(1)求；
(2)若角的平分線交于點(diǎn)，且，求面積的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)條件，得到，利用正弦定理角轉(zhuǎn)邊，得到，再利用余弦定理即可求出結(jié)果；
（2）利用條件，結(jié)合，得到，再利用基本不等式，得到，從而求出結(jié)果.
【詳解】（1）由已知，得，
在中，由正弦定理得，即．
再由余弦定理得．
又，所以.
（2）因?yàn)槭墙堑钠椒志€，則，
又，
又，所以，得到，
又因?yàn)?，得到，解得，即?br>當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，
即面積的最小值是．
高頻考點(diǎn)四：求三角形面積取值范圍（普通三角形面積取值范圍）
典型例題
例題1．（2024·山西·一模）中角所對(duì)的邊分別為，其面積為，且.
(1)求；
(2)已知，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）根據(jù)面積公式以及余弦定理即可求解，進(jìn)而可求解，
（2）根據(jù)余弦定理結(jié)合不等式即可求解.
【詳解】（1）
因?yàn)槿切蔚拿娣e為，
則，
所以，又，則；
（2）由于，所以，
即，取等號(hào)，
故，
故
例題2．（23-24高二上·福建福州·期中）已知在，角所對(duì)的邊分別是，且．
(1)求的大?。?br>(2)若，求面積的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理化邊為角得到，知值由范圍求角即可；
（2）由（1），已知，由一組對(duì)邊角已知可得，借助這一常數(shù)利用正弦定理化邊為角，再由三角恒等變換化簡(jiǎn)面積表達(dá)式求解最值.
【詳解】（1）因?yàn)椋杂烧叶ɡ砜傻茫?br>整理可得，又，所以．
（2）因?yàn)?，所以由正弦定理得?br>所以，
又，所以，
所以
又因?yàn)椋傻茫?br>所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立），
可得，
由，,
即面積的取值范圍是．
練透核心考點(diǎn)
1．（22-23高三下·四川雅安·階段練習(xí)）在中，角的對(duì)邊分別為．
(1)求；
(2)若，且，求面積的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系將切化弦得到，即可得解；
（2）利用正弦定理將邊化角，即可求出，再由余弦定理及基本不等式求出，由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及誘導(dǎo)公式得到，即可求出的取值范圍，在結(jié)合三角形面積公式計(jì)算可得.
【詳解】（1）因?yàn)椋裕?br>在中，，所以，則．
因?yàn)?，所以?br>（2）由及正弦定理得，
所以．
由余弦定理得，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．
因?yàn)椋裕瑒t，
所以，因?yàn)榈拿娣e為，
所以面積的取值范圍是．
2．（22-23高一下·廣東廣州·階段練習(xí)）在中，設(shè)a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，已知向量，，且.
(1)求角C的大?。?br>(2)若，求面積的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由向量平行坐標(biāo)表示、正弦邊角關(guān)系得，由余弦定理求，即可得結(jié)果．
（2）由三角形面積公式有，由及基本不等式求范圍，即可得面積的范圍．
【詳解】（1）由，，且，
所以，
由正弦定理得：，化為：，
由余弦定理得：，，故.
（2）由，又，即，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，
綜上，.
高頻考點(diǎn)五：求三角形面積取值范圍（銳角三角形面積取值范圍）
典型例題
例題1．（2023·江西·二模）在中，角所對(duì)的邊分別為，已知.
(1)求角；
(2)若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)正弦定理角化邊，余弦定理求解即可；
（2）由題知，進(jìn)而結(jié)合正弦定理得，再根據(jù)面積公式，結(jié)合三角恒等變換求解即可.
【詳解】（1）解：因?yàn)?br>所以
整理可得，
所以，由正弦定理可得：.
由余弦定理知，，
因?yàn)?，所?br>（2）解：由（1）知，，所以，
又是銳角三角形，
所以，且，解得，
因?yàn)?，由正弦定理知：，?br>所以
所以
因?yàn)椋?br>所以，所以
所以，面積的取值范圍為.
例題2．（2023·河北石家莊·一模）已知內(nèi)角所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為.
(1)求；
(2)若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理可得，結(jié)合三角形內(nèi)角性質(zhì)求角的大??；
（2）法一：由已知可得，應(yīng)用正弦邊角關(guān)系及三角形面積公式可得即可得范圍；法二：根據(jù)三角形為銳角三角形，應(yīng)用幾何法找到邊界情況求面積的范圍.
【詳解】（1）由余弦定理得，即，
所以，又，則.
（2）法一：為銳角三角形，，則，
所以，可得，
又，則，故
由，即而，
所以，故面積的取值范圍為.
法二：由，畫(huà)出如圖所示三角形，
為銳角三角形，
點(diǎn)落在線段（端點(diǎn)除外）上，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
.
例題3．（22-23高一下·安徽合肥·階段練習(xí)）已知為銳角三角形，角所對(duì)的邊分別為，且．
(1)求的取值范圍；
(2)若，求面積的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理化簡(jiǎn)已知條件，求得.根據(jù)三角形是銳角三角形求得的取值范圍，利用正弦定理化簡(jiǎn)，通過(guò)的取值范圍求得的取值范圍.
（2）利用正弦定理表示出，由此求得三角形面積的表達(dá)式，結(jié)合的取值范圍求得的取值范圍，對(duì)分成和兩者情況，結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行分類討論，由此求得三角形面積的最小值.
【詳解】（1）因?yàn)?，由正弦定理可得?br>，則，
所以或，即或，
所以，
因?yàn)闉殇J角三角形，可得，即，
解得：，所以，，，
故的取值范圍為.
（2）在中，由正弦定理可得
，又，
，
，
因?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
，
又，在上單調(diào)遞增，
∴，
，
∵，，∴，
∴，∴，
∴
2．（22-23高一下·重慶萬(wàn)州·階段練習(xí)）的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.
(1)若，求的外接圓的周長(zhǎng)和面積.
(2)若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍.
【答案】(1)的外接圓的周長(zhǎng)為，的外接圓的面積為；
(2)面積的取值范圍為.
【分析】（1）利用正弦定理化邊為角，結(jié)合內(nèi)角和關(guān)系和三角恒等變換公式化簡(jiǎn)求，再由正弦定理求外接圓半徑，由此可得結(jié)論；
（2）由條件結(jié)合三角形面積公式可得的面積，結(jié)合正弦定理將其轉(zhuǎn)化為角的解析式，結(jié)合的范圍，由此可求面積的取值范圍.
【詳解】（1）因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻茫?br>因?yàn)?，?br>所以，又，
所以，故，
所以，
又，所以，
所以，因?yàn)椋?br>所以，故，
設(shè)的外接圓半徑為，
由正弦定理可得，又，
所以，
所以的外接圓的周長(zhǎng)為，的外接圓的面積為；
（2）由三角形面積公式可得，的面積，
又，，
所以，
由正弦定理可得，
所以，
所以，
因?yàn)闉殇J角三角形，所以，，
所以，
所以，所以，
所以，
故面積的取值范圍為.
3．（22-23高三下·安徽池州·階段練習(xí)）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.
(1)求角的值；
(2)若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）切化弦，利用正弦定理將已知等式統(tǒng)一用角表示，再利用兩角和與差的正、余弦公式整理可得角.
（2）把的面積表示為的形式，代入已知量利用正弦定理將面積統(tǒng)一用角、表示，再利用角、的關(guān)系消元轉(zhuǎn)化為求一元函數(shù)的值域.
【詳解】（1）解：根據(jù)題意，
由正弦定理得，
，
，故，
.
（2）因?yàn)槭卿J角三角形，由（1）知得到，
故，解得.
又由正弦定理得：
又，
故.故的取值范圍是

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