一、單選題
1．（2022·四川·眉山中學(xué)高二期中（文））橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，則（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】C
【詳解】由題知，橢圓與雙曲線的焦點(diǎn)都在軸上，且焦點(diǎn)相同，
所以，
解得（經(jīng)檢驗(yàn)，都符合題意），
故選：C.
2．（2022·江蘇·無錫市第一中學(xué)高二期中）橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是，則的值是（ ）
A．B．2C．3D．4
【答案】B
【詳解】橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是，焦點(diǎn)在軸上，
，，，
．
故選：B
3．（2022·湖南師大附中高二期中）曲線與曲線（且）的（ ）
A．長軸長相等B．短軸長相等C．焦距相等D．離心率相等
【答案】C
【詳解】曲線表示焦點(diǎn)在軸上，長軸長為，短軸長為，離心率為，焦距為的橢圓．
曲線（且）表示焦點(diǎn)在軸上，長軸長為，
短軸長為，焦距為，離心率為的橢圓．
故選：C.
4．（2022·天津河北·高二期中）若橢圓上一點(diǎn)P到右焦點(diǎn)的距離為5，則它到左焦點(diǎn)的距離為（ ）
A．31B．15C．7D．1
【答案】C
【詳解】橢圓中，，
記橢圓的左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，則，
由橢圓的定義可知：，
所以，
故選：C.
5．（2022·山東青島·高二期中）在平面上，動(dòng)點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之和為，若，則點(diǎn)的軌跡為（ ）
A．線段B．兩條射線C．橢圓D．不存在
【答案】D
【詳解】由題意可知，,
所以點(diǎn)的軌跡為不存在.
故選：D.
6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，是橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，則的最大值為（ ）
A．13B．12C．9D．6
【答案】C
【詳解】法一：由題意，，則，
所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）．
法二：設(shè)，，
由焦半徑公式可得：，
故，
因?yàn)?，所以?br>當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，最大值為9.
故選：C．
7．（2022·河南·駐馬店市第二高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）已知、是橢圓：的焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且，則的內(nèi)切圓半徑（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【詳解】橢圓中，，，
則，、∴，，∴．
∵，，∴，
∵，
∴，
解得．
故選：C．
8．（2022·浙江·長興縣教育研究中心高二期中）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯采用平面切割圓錐的方法來研究圓錐曲線，用垂直于圓錐軸的平面去截圓錐，得到的截面是圓；當(dāng)平面不垂直于圓錐軸時(shí)得到的截面可能是橢圓．若用周長為的矩形截某圓錐得到橢圓，且橢圓與矩形的四邊恰好相切．設(shè)橢圓在平面直角坐標(biāo)系中的方程為，下列選項(xiàng)中滿足題意的方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【點(diǎn)睛】∵用周長為28的矩形ABCD截某圓錐得到橢圓，且與矩形ABCD的四邊相切，
∴4（a＋b）＝28，即a＋b＝7，
對(duì)于A，a＝6，b＝8，不滿足a＞b＞0，故A錯(cuò)誤，
對(duì)于B，a＝8，b＝6，a＋b＝14≠7，故B錯(cuò)誤，
對(duì)于C，a＝4，b＝3，滿足a＋b＝7，故C正確，
對(duì)于D，a＝3，b＝4，不滿足a＞b＞0，故D錯(cuò)誤．
故選：C．
二、多選題
9．（2022·江蘇· 高二期中）若橢圓上的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．B．的長軸長為
C．的長軸長為4D．的離心率為
【答案】AB
【詳解】因?yàn)榻裹c(diǎn)坐標(biāo)為，所以，解得或（舍），
所以橢圓的方程為，長軸長為，離心率.
故選：AB.
10．（2022·云南·昆明一中高二期中）已知橢圓，，是橢圓的左右焦點(diǎn)，P為橢圓上任意一點(diǎn).下列說法中正確的是（ ）
A．橢圓離心率為B．的最大值為3
C．D．
【答案】ABCD
【詳解】A：由知，則，所以，故A正確；
B：當(dāng)點(diǎn)為橢圓的右頂點(diǎn)時(shí)，最大，且最大值為，故B正確；
C：當(dāng)點(diǎn)為橢圓的左、右頂點(diǎn)時(shí)，最小，且最小值為0，
當(dāng)點(diǎn)為橢圓的上、下頂點(diǎn)時(shí)，最大，此時(shí)，
為等邊三角形，，所以，故C正確；
D：由橢圓的定義知，，故D正確.
故選：ABCD.
11．（2022·廣西·桂平市潯州高級(jí)中學(xué)高二期中）已知橢圓的離心率為，則的值可能為（ ）
A．B．C．5D．25
【答案】BC
【詳解】可化為.
當(dāng)時(shí)，，橢圓的離心率為，解得；
當(dāng)時(shí)，，橢圓的離心率為，解得.
故選：BC.
12．（2022·廣東潮州·高二期末）方程表示的曲線為C，下列正確的命題是（ ）
A．曲線C可以是圓B．若，則曲線C為橢圓
C．若曲線C為雙曲線，則或D．若曲線C表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則
【答案】ACD
【詳解】A. 若曲線C是圓，則，解得，故正確；
B.若曲線C為橢圓，則 ，解得且 ，故錯(cuò)誤；
C. 若曲線C為雙曲線，則，解得或，故正確；
D.若曲線C表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則，解得，故正確；
故選：ACD
三、填空題
13．（2022·四川省綿陽江油中學(xué)高二期中（文））若點(diǎn)為橢圓上的一點(diǎn)，，為左右焦點(diǎn)，若，則點(diǎn)到軸的距離為__________.
【答案】
【詳解】由已知，，因此，，
當(dāng)為短軸端點(diǎn)時(shí)，，是等邊三角形，，
此時(shí)到軸距離等于．
故答案為：．
14．（2022·上海·復(fù)旦附中高二期中）橢圓的焦距為，則實(shí)數(shù)的值為___________.
【答案】或##或
【詳解】當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，則，，此時(shí)，
，解得；
當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，則，，此時(shí)，
，解得.
綜上所述，或.
故答案為：或.
15．（2022·江蘇省響水中學(xué)高二期中）設(shè)，是橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上的點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，的面積為_______.
【答案】4
【詳解】∵，；∴，因?yàn)?，所以?br>設(shè)，，
則①，②，
由①2﹣②得，
∴．
故答案為：4．
16．（2022·山西·高二期中）設(shè)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P，Q在橢圓C上，若，且，則橢圓C的離心率為______．
【答案】
【詳解】由兩邊平方并化簡得，所以.
設(shè)，
則，
所以，，
.
故答案為：
四、解答題
17．（2022·遼寧·大連市第二十三中學(xué)高二期中）分別求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
(1)經(jīng)過兩點(diǎn)，；
(2)長軸長是短軸長的2倍，且過點(diǎn)．
【答案】(1)
(2)或
【詳解】（1）①當(dāng)焦點(diǎn)在軸時(shí)，設(shè)橢圓方程為，則，解得，所以此時(shí)橢圓方程為；
②當(dāng)焦點(diǎn)在軸時(shí)，設(shè)橢圓方程為，則，解得，不符合要求；
所以橢圓方程為.
（2）①當(dāng)焦點(diǎn)在軸時(shí)，設(shè)橢圓方程為，則，解得，所以此時(shí)橢圓方程為；
②當(dāng)焦點(diǎn)在軸時(shí)，設(shè)橢圓方程為，則，解得，所以此時(shí)橢圓方程為，
所以橢圓方程為或.
18．（2022·山東青島·高二期中）已知橢圓C：，，分別為其左?右焦點(diǎn)，短軸長為2，離心率，過作傾斜角為60°的直線 l ，直線 l 與橢圓交于A，B兩點(diǎn).
(1)求線段AB的長；
(2)求的周長和面積.
【答案】(1)；
(2)的周長為，面積為.
【詳解】（1）∵橢圓的短軸長為2，
∴，又∵，
∴，
∴橢圓C的方程為：，，，
設(shè)，，直線 l 的方程為：，
由，可得，
所以，，
所以
；
（2）由于，分別為橢圓的左?右焦點(diǎn)，
所以的周長為，
因?yàn)榈街本€l：的距離為，
所以的面積.
B能力提升
19．（2022·安徽·馬鞍山二中高二期中）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：的離心率為，焦距為.
(1)求橢圓的方程.
(2)若過橢圓的左焦點(diǎn)，傾斜角為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，求的面積.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）因?yàn)闄E圓離心率為，焦距，則解得，所以橢圓方程為.
（2）已知橢圓方程，左焦點(diǎn)為，若傾斜角為，則斜率為，過左焦點(diǎn)且傾斜角為的直線方程為：
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則
聯(lián)立方程組得，，
所以，
所以.
所以的面積為.
20．（2022·天津一中高二期中）已知橢圓：的離心率為，且短軸長等于雙曲線：的實(shí)軸長.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若，為橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，在圓：上存在點(diǎn)，使得為等邊三角形，求直線的方程..
【答案】(1)；
(2)或.
【詳解】（1）由橢圓的離心率為可得：；
對(duì)雙曲線，其實(shí)軸長為，故可得，
又，解得，
則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：;
（2）根據(jù)題意，，因?yàn)闉榈冗吶切危?br>由，可得.
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，此時(shí)不滿足題意，
故直線的斜率存在，設(shè)其為，則直線方程為，
聯(lián)立橢圓方程可得：，
根據(jù)題意，顯然有，設(shè)坐標(biāo)分別為，
則，
，
解得，
故直線的方程為：或.

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