(藝考基礎(chǔ))新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精講精練第04講正弦定理和余弦定理 (高頻考點(diǎn)

第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶
第二部分：典型例題剖析
高頻考點(diǎn)一：利用正、余弦定理解三角形
角度1：三角形個(gè)數(shù)問(wèn)題
角度2：利用正弦定理解三角形
角度3：利用余弦定理解三角形
角度4：正余弦定理綜合應(yīng)用
高頻考點(diǎn)二：判斷三角形的形狀
高頻考點(diǎn)三：三角形面積相關(guān)問(wèn)題
角度1：求三角形面積
角度2：根據(jù)面積求參數(shù)
角度3：三角形面積的最值
高頻考點(diǎn)四：三角形周長(zhǎng)相關(guān)問(wèn)題
第一部分：知識(shí) 點(diǎn) 精準(zhǔn) 記憶
1、正弦定理
1.1正弦定理的描述
①文字語(yǔ)言：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等.
②符號(hào)語(yǔ)言：在中，若角、及所對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別為，及，則有
1.2正弦定理的推廣及常用變形公式
在中，若角、及所對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別為，及，其外接圓半徑為，則
①
②；；；
③
④
⑤，，（可實(shí)現(xiàn)邊到角的轉(zhuǎn)化）
⑥，，（可實(shí)現(xiàn)角到邊的轉(zhuǎn)化）
2、余弦定理
2.1余弦定理的描述
①文字語(yǔ)言：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍.
②符號(hào)語(yǔ)言：在中，內(nèi)角，所對(duì)的邊分別是,則：
；
2.2余弦定理的推論
；
；
3、三角形常用面積公式
①；
②；
③（其中，是三角形的各邊長(zhǎng)，是三角形的內(nèi)切圓半徑）；
4、常用結(jié)論
在三角形中的三角函數(shù)關(guān)系
①
②
③
④
⑤
⑥若
⑦若或
第二部分：典型例題剖析
高頻考點(diǎn)一：利用正、余弦定理解三角形
角度1：三角形個(gè)數(shù)問(wèn)題
典型例題
例題1．（2022·河南·南陽(yáng)中學(xué)高二開(kāi)學(xué)考試）在中，已知，則此三角形（）
A．有一解B．有兩解C．無(wú)解D．無(wú)法判斷有幾解
【答案】A
【詳解】在中，，由正弦定理得，
而，有，即A為銳角，所以此三角形有一解．
故選：A
例題2．（2022·青海西寧·高一期末）在△ABC中，，，，則滿足條件的（）
A．無(wú)解B．有一解C．有兩解D．不能確定
【答案】A
【詳解】由正弦定理可知：，
顯然不存在這樣的角，
故選：A
例題3．（2022·天津·高一期中）在中，，，若該三角形有兩個(gè)解，則邊范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】因?yàn)槿切斡袃蓚€(gè)解，所以，
所以，所以.
故選：D
例題4．（多選）（2022·黑龍江·哈爾濱三中高一階段練習(xí)）的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，，若解該三角形有且只有一解，則的可能值為（）
A．6B．C．D．8
【答案】BD
【詳解】如圖，當(dāng)時(shí)，以為原點(diǎn)，為半徑的圓與射線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，
故此時(shí)三角形有唯一解.
當(dāng)時(shí)，為直角三角形且，此時(shí)三角形有唯一解.
當(dāng)，以為原點(diǎn)，為半徑的圓與射線無(wú)交點(diǎn)，故此時(shí)三角形不存在，
當(dāng)，以為原點(diǎn)，為半徑的圓與射線有兩個(gè)公共點(diǎn)，
故此時(shí)三角形有兩解，故舍去.
而，
故選：BD.
題型歸類(lèi)練
1．（2022·山東濰坊·高一期末）在中，若，，，則此三角形解的情況是（）
A．有一解B．有兩解C．無(wú)解D．有解但解的個(gè)數(shù)不確定
【答案】B
【詳解】，，有兩解.
故選：B.
2．（2022·陜西·長(zhǎng)安一中高一期中）在中，，，，則滿足條件的（）
A．無(wú)解B．有解C．有兩解D．不能確定
【答案】A
【詳解】在中，，，，由正弦定理得：，
所以無(wú)解.
故選：A
3．（2022·山東棗莊·高一期中）在中，若，，，則此三角形解的情況為（）
A．無(wú)解B．有兩解C．有一解D．有無(wú)數(shù)解
【答案】B
【詳解】由正弦定理得，
所以，所以此三角形有兩解.
故選：B
4．（2022·福建·上杭縣第二中學(xué)高一階段練習(xí)）在中，，，若三角形有兩個(gè)解，則邊的取值范圍是__________．
【答案】
【詳解】根據(jù)題意，，，
由正弦定理得：，則，
時(shí)，三角形只有一個(gè)解，故，則，
又，若，三角形有一個(gè)解，
故三角形有兩個(gè)解的條件為，
解得：.
故答案為：.
角度2：利用正弦定理解三角形
典型例題
例題1．（2022·黑龍江·杜爾伯特蒙古族自治縣第一中學(xué)高一階段練習(xí)）已知中，，則等于（）
A．或B．或C．D．
【答案】A
【詳解】解：中，因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)椋?br>所以，
又，
所以或.
故選：A.
例題2．（2022·吉林·長(zhǎng)春市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一階段練習(xí)）中，，，，則（）
A．B．2C．D．1
【答案】B
【詳解】因?yàn)?，，所?br>由正弦定理知：，所以.
故選：B
例題3．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在中，若，則等于（）
A．B．2C．3D．
【答案】B
【詳解】因?yàn)?，所以?br>因?yàn)?，所?
故選：B.
例題4．（2022·浙江·高一期中）在中，是邊上的一點(diǎn)，，，，則（）
A．15°B．30°C．45°D．60°
【答案】B
【詳解】
如圖所示,在中，，，
所以，由正弦定理知
，
設(shè)，，
所以
設(shè)，
在中，由正弦定理得：
，即，解得.
故選：B.
題型歸類(lèi)練
1．（2022·新疆石河子一中高一階段練習(xí)）在中，??所對(duì)的邊分別為??，若，，，則（）
A．B．C．D．或，
【答案】B
【詳解】根據(jù)題意，由正弦定理，可得:，
解得，故可得或，
由，可得，故.
故選:B.
2．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若，則（）
A．B．C．6D．
【答案】A
【詳解】由正弦定理，整理得
故選：A．
3．（2022·江蘇·鹽城市田家炳中學(xué)高一期中）在中，A＝30°， C＝45°， c＝，則a的值為（）
A．2B．1C．D．
【答案】B
【詳解】解：因?yàn)樵谥?，A＝30°， C＝45°， c＝，
所以由正弦定理可得，即，
故選：B.
4．（多選）（2022·福建省福州華僑中學(xué)高二期末）在中，角，，對(duì)應(yīng)的邊分別為，，，已知，則角的值為（）
A．B．C．D．
【答案】BC
【詳解】由正弦定理可知：，又，所以，
所以或.
故選：BC.
角度3：利用余弦定理解三角形
典型例題
例題1．（2022·江蘇·鹽城市田家炳中學(xué)高一期中）在中，角所對(duì)的邊分別是，若，則角的大小為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】解：因?yàn)椋?br>所以由余弦定理可得，
因?yàn)椋?br>所以，
故選：D.
例題2．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，若，則等于（）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】解：因?yàn)?，所以?br>故選：B
例題3．（2022·甘肅·永昌縣第一高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)（文））在中，，則___________.
【答案】
【詳解】由已知得.由余弦定理得，所以.
故答案為：
例題4．（2022·廣東省陽(yáng)山縣陽(yáng)山中學(xué)高一階段練習(xí)）在中，，，，則______
【答案】
【詳解】依題意，由余弦定理，，于是.
故答案為：
題型歸類(lèi)練
1．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，，，則等于（）
A．B．C．2D．3
【答案】D
【詳解】根據(jù)余弦定理得，即，亦即，解得或（舍去）.
故選：D.
2．（2022·福建·莆田一中高一期末）在中，角，，所對(duì)的邊分別是，，，若，則角的大小為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】解：
由余弦定理的推論，可得，
又
故選：B.
3．（2022·湖南邵陽(yáng)·高一期末）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，，則c=（）
A．3B．C．D．
【答案】B
【詳解】由已知．
故選：B．
4．（2022·吉林·東北師大附中高一階段練習(xí)）已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，若，，，則 __________.
【答案】
【詳解】由余弦定理得：，.
故答案為：.
角度4：正余弦定理綜合應(yīng)用
典型例題
例題1．（2022·云南昆明·高一期末）的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知．
(1)求；
(2)若，，求．
【答案】(1)(2)7
(1)變形為：，
所以，
因?yàn)?，所以?br>(2)因?yàn)?，且?br>所以
由正弦定理得：，即，
解得：
例題2．（2022·北京一七一中高一階段練習(xí)）如圖，在平面四邊形中，，，，.
(1)求的值；
(2)求邊的值.
【答案】(1)；
(2).
（1）由題設(shè)，，故，
又，則.
（2）由，，故，
所以，故.
例題3．（2022·重慶市二0三中學(xué)校高一階段練習(xí)）在△中，內(nèi)角的對(duì)邊長(zhǎng)分別為，且.
(1)求；
(2)若，，求△的邊的值.
【答案】(1)(2)
(1)由已知得
由正弦定理得,
其中,
,

∵，
∴，解得,
(2)由余弦定理得,
即，，
解得，（舍去），
即△的邊c的值為.
題型歸類(lèi)練
1．（2022·廣東·江門(mén)市第二中學(xué)高一期中）在銳角中，的對(duì)邊分別為，且
(1)確定角的大小；
(2)若，且，求邊.
【答案】(1)
(2)或
(1)由及正弦定理得
因?yàn)?，?br>又銳角，所以.
(2)由余弦定理，
，得
解得:或.
2．（2022·新疆·和碩縣高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）在中，角A?B?C的對(duì)邊分別為a?b?c，已知
(1)求的值；
(2)若，求的值.
【答案】(1)(2)
（1）在中，由，整理得，又由余弦定理，可得；
（2）由（1）可得，又由正弦定理，及已知，可得；故.
3．（2022·黑龍江·大慶中學(xué)高一階段練習(xí)）在中，根據(jù)下列條件求相應(yīng)的值.
（1）已知，，，求；
（2）已知，，，求.
【答案】（1）；（2）.
【詳解】（1）由余弦定理可得，故.
（2），
由正弦定理可得，解得.
高頻考點(diǎn)二：判斷三角形的形狀
典型例題
例題1．（2022·江蘇·常州市新橋高級(jí)中學(xué)高一期末）在中，，，，則的形狀是（）
A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．無(wú)法判斷
【答案】C
【詳解】在中,由余弦定理以及，，可知:,故為鈍角，因此是鈍角三角形
故選：C
例題2．（2022·江西省銅鼓中學(xué)高二開(kāi)學(xué)考試）在中，角所對(duì)的邊分別是，且，則的形狀為（）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
【答案】A
【詳解】因?yàn)椋裕?br>即，
整理得到，
因?yàn)?，，所以?br>即，，為等腰三角形.
故選：A
例題3．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若在，則三角形的形狀一定是（）
A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等邊三角形
【答案】B
【詳解】由以及余弦定理得，
化簡(jiǎn)得，所以三角形的形狀一定是等腰三角形.
故選：B
題型歸類(lèi)練
1．（2022·重慶一中高一期中）若三角形的三邊長(zhǎng)分別是3，4，6，則這個(gè)三角形的形狀是（）
A．銳角三角形B．鈍角三角形
C．直角三角形D．不能確定
【答案】B
【詳解】大邊對(duì)大角，故邊長(zhǎng)為6的邊所對(duì)的角為最大角，設(shè)為，
則，
故為鈍角，所以這個(gè)三角形是鈍角三角形.
故選：B
2．（2022·河南·濮陽(yáng)一高高二階段練習(xí)（理））某學(xué)生在“撿起樹(shù)葉樹(shù)枝，凈化校園環(huán)境”的志愿活動(dòng)中拾到了三支小樹(shù)枝（視為三條線段），想要用它們作為三角形的三條高線制作一個(gè)三角形．經(jīng)測(cè)量，其長(zhǎng)度分別為，則（）
A．能作出二個(gè)銳角三角形B．能作出一個(gè)直角三角形
C．能作出一個(gè)鈍角三角形D．不能作出這樣的三角形
【答案】C
【詳解】因?yàn)槿龡l高線的長(zhǎng)度為，故三邊之比為，
設(shè)最大邊所對(duì)的角為，則，
而為三角形內(nèi)角，故為鈍角，故三角形為鈍角三角形，
故選：C.
3．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，則是（）
A．等腰三角形B．銳角三角形C．直角三角形D．鈍角三角形
【答案】D
【詳解】因?yàn)?，由余弦定理可得?br>又由，所以，所以是鈍角三角形.
故選：D.
高頻考點(diǎn)三：三角形面積相關(guān)問(wèn)題
角度1：求三角形面積
典型例題
例題1．（2022·湖南·長(zhǎng)郡中學(xué)高一期末）在中，若，，則的面積為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】由題意，
故選：D
例題2．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶，發(fā)現(xiàn)了從三角形三邊求面積的公式，他把這種方法稱(chēng)為“三斜求積”，它填補(bǔ)了我國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一個(gè)空白．如果把這個(gè)方法寫(xiě)成公式，就是，其中，，是三角形的三邊，是三角形的面積．設(shè)某三角形的三邊，則該三角形的面積___________．
【答案】.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>故答案為：.
例題3．（2022·四川涼山·高二期末（理））在中，已知，，．
(1)求角；
(2)求的面積．
【答案】(1)A＝90°或A＝30°；
(2)或．
(1)由得：．
由且C為三角形內(nèi)角，則，故或，而B(niǎo)＝30°，
所以A＝90°或A＝30°．
(2)當(dāng)A＝90°時(shí)，．
當(dāng)A＝30°時(shí)，，
所以△ABC的面積為或．
例題4．（2022·福建·廈門(mén)市湖濱中學(xué)高一期中）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別是，已知，，.
(1)求的值；
(2)求的面積.
【答案】(1)
(2)
(1)由余弦定理可得
，即，
解得，
(2)∵，且，
∴,
由得，,
∴.
故△的面積為.
例題5．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且.
(1)求角；
(2)若為邊上中線，，求的面積.
【答案】(1)(2)
(1)由正弦定理得，
∴，
∴,
∴，
∵，∴，
又∵, ∴,
(2)由已知得，，
在△中，由余弦定理得，
在△中，由余弦定理得，
又∵,
∴，
在△中，由余弦定理得，
以上兩式消去得, 解得或（舍去），
則.
例題6．（2022·遼寧·東北育才學(xué)校高三期末）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，已知向量，，且．
（1）求角的大??；
（2）若，求面積．
【答案】（1）（2)
【詳解】解：（1）由得，，
由正弦定理可得，，
可得：，即：，
由，可得：，
又，
可得：．
（2）由已知及正弦定理得即可得
即故
的面積．
題型歸類(lèi)練
1．（2022·北京豐臺(tái)·高一期末）在中，若，，，則的面積為_(kāi)___________．
【答案】
【詳解】解：因?yàn)椋?，?br>所以；
故答案為：
2．（2022·全國(guó)·高一）的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別是，，.已知，則__，若，，則的面積為 __.
【答案】 ## ##
【詳解】由于，則，
由于；
所以；
故.
故答案為：.
3．（2022·天津河?xùn)|·高一期中）在△中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若，且，
（1）求角A.
（2）求△的面積.
【答案】（1）；（2）.
【詳解】（1）由，得，
∴，，可得.
（2）.
4．（2022·福建漳州·高二期末）在△ABC中，acsB＝bsinA．
（1）求∠B；
（2）若b＝2，c＝2a，求△ABC的面積．
【答案】（1）；（2）．
【詳解】解：（1）在△ABC中，由正弦定理，
因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)閟inA≠0，
所以，
所以tanB，
因?yàn)?＜B＜π，
所以，
（2）因?yàn)閎＝2，c＝2a，由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accsB，
可得，
所以a，c，
所以．
角度2：根據(jù)面積求參數(shù)
典型例題
例題1．（2022·上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)．
(1)若，，求的值；
(2)在銳角△中，、、分別是角、、的對(duì)邊，若，，△的面積，求的值．
【答案】(1)(2)
(1)

∵，∴，
又∵，∴，
∴ ，
∴

，
(2)∵，∴，
又∵，∴，
∴，即，
又∵，∴，
由余弦定理得，
，
即.
例題2．（2022·四川省仁壽縣文宮中學(xué)高二階段練習(xí)（文））已知的內(nèi)角、，所對(duì)的邊分別為、、，且．
（Ⅰ）求角的值．
（Ⅱ）若的面積為，且，求的值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【詳解】解：（I）由，得，即，
∵，∴，
又，∴，故．
（Ⅱ）由面積，得，
又，
∴，，
由余弦定理，
∴．
例題3．（2022·山東·臨沂二十四中高一階段練習(xí)）已知的周長(zhǎng)為，且.
(1)求邊的長(zhǎng)；
(2)若的面積為，求角的度數(shù).
【答案】(1)2
(2)
（1）因?yàn)槿切沃荛L(zhǎng)為，所以①，
因?yàn)?，所以由正弦定理可得②?
由①②聯(lián)立，解得．
（2）由的面積得，由⑴得，
由余弦定理，得，
∵，∴．
題型歸類(lèi)練
1．（2022·西藏·拉薩中學(xué)高三階段練習(xí)（理））的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，角，，成等差數(shù)列，．
（1）若，求；
（2）若的面積為，求．
【答案】（1）；（2）2．
【詳解】（1）∵A，B，C成等差數(shù)列，
∴2B＝A+C，而A+B+C＝π，則B＝，又a＝2，c＝1，
由余弦定理可得：；
（2）∵S△ABC，
∴c＝2．
2．（2022·青?！の鲗幈蓖飧綄傩氯A聯(lián)外國(guó)語(yǔ)高級(jí)中學(xué)有限公司高三開(kāi)學(xué)考試）已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，．
(1)求；
(2)若，的面積為，求，．
【答案】(1)
(2)
（1），，，，即，又，解得；
（2），，又，則，即，解得
3．（2022·遼寧·沈陽(yáng)二中高一階段練習(xí)）中，是角所對(duì)的邊，.
(1)求的大?。?br>(2)若的面積為，求的值.
【答案】(1)；
(2).
(1)由題設(shè)，，故，
又，故.
(2)由題設(shè)，故，
所以，故.
4．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且，．
(1)若，求的值；
(2)若的面積，求的值．
【答案】(1)
(2)；
(1)，，，，，
由得：，；
由正弦定理得：.
(2)由（1）知：，；
，解得：；
由余弦定理得：，.
角度3：三角形面積的最值
典型例題
例題1．（2022·寧夏·青銅峽市寧朔中學(xué)高一期末）已知的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且．
(1)求角；
(2)當(dāng)時(shí)，求面積的最大值．
【答案】(1)(2)
(1)解：由，即，，
又，故；
(2)解：由（1）知，，
∴．
由余弦定理得，
即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
∴，
∴面積的最大值為．
例題2．（2022·河南安陽(yáng)·高二期末（文））在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，的面積為，且．
(1)求角的大??；
(2)若，求面積的最大值．
【答案】(1)
(2)
(1)解：因?yàn)?，可得，即?br>由余弦定理可得，所以，則．
又因?yàn)椋?
(2)解：由余弦定理可得，
又由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
所以，所以，
所以面積的最大值為．
例題3．（2022·福建泉州·高一階段練習(xí)）在中，已知向量，，且．
(1)求；
(2)若，求面積的最大值．
【答案】(1)
(2)
(1)解：設(shè)中，角的對(duì)邊分別為，
∵，∴
又，，
∴，
即，
∴由正弦定理得，
∴由余弦定理得，
又∵ ∴.
(2)解：由（1）得，
又∵
∴即且
∴面積
又由基本不等式得即
當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)
∴面積
故面積的最大值為
題型歸類(lèi)練
1．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知的內(nèi)角所對(duì)邊分別為，且.
(1)求；
(2)若，求面積的最大值.
【答案】(1)
(2)
（1）解：在中，因?yàn)椋?br>所以由正弦定理可得，即，
所以，
因?yàn)椋?br>所以；
（2）解：時(shí)，由（1）可得，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
所以，
所以面積的最大值為.
2．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．
(1)求A；
(2)若，求△ABC的面積的最大值．
【答案】(1)
(2)
（1）由．
得，
即，
即．
因?yàn)?，所以?br>又，所以．
（2）由及正弦定理得，解得．
由得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以，
即△ABC的面積的最大值為．
高頻考點(diǎn)四：三角形周長(zhǎng)相關(guān)問(wèn)題
典型例題
例題1．（2022·河北·大名縣第一中學(xué)高二期末）在銳角中，，，的對(duì)邊分別為，，，且．
(1)求角的大?。?br>(2)若，且，求的周長(zhǎng)．
【答案】(1)
(2)
（1）由及正弦定理得
因?yàn)?，故?
又∵ 為銳角三角形，所以．
（2）由余弦定理，
∵，得
解得：或
∴ 的周長(zhǎng)為．
例題2．（2022·廣東廣州·高一期中）在中，內(nèi)角，，對(duì)應(yīng)的邊分別為，，，已知．
(1)求角的大小；
(2)若，的面積為，求的周長(zhǎng)．
【答案】(1)；
(2)3.
（1）在中，由正弦定理得，
∵，代入化簡(jiǎn)得，
∵，∴，
∴，又顯然，即，
∴，又∵，∴.
（2）∵，由，得．
在△ABC中，由余弦定理，得
∴，
∴，∴△ABC的周長(zhǎng)為3．
例題3．（2022·福建省福州高級(jí)中學(xué)高二期末）在中，.
(1)求；
(2)若的周長(zhǎng)為，求邊上中線的長(zhǎng).
【答案】(1)；(2).
（1）根據(jù)正弦定理由，
因?yàn)?，所以，即，所以?br>（2）由（1）可知，而，所以，
因此，由余弦定理可知：，
因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)為，所以有，
設(shè)邊上中點(diǎn)為，所以，
由余弦定理可知：，
所以邊上中線的長(zhǎng).
例題4．（2022·河南·商丘市第一高級(jí)中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試（文））中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且的外接圓半徑滿足.
(1)求角；
(2)若，求周長(zhǎng)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
（1）由正弦定理，可得，
∴，
所以，則，
因?yàn)?，所?
（2）∵，，由正弦定理得，
∴，，
∴△ABC的周長(zhǎng)：，
由，得，∴，
∴a＋b＋c的取值范圍，即△ABC周長(zhǎng)的取值范圍是.
例題5．（2022·黑龍江·龍江縣第一中學(xué)高二開(kāi)學(xué)考試）在①，②的面積，③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并進(jìn)行求解.問(wèn)題：在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知_________，.
(1)求角.
(2)求周長(zhǎng)的取值范圍.
【答案】(1)選①②③，結(jié)果均為(2)
（1）選①：
由正弦定理得：，
因?yàn)椋?br>所以，
所以，即，
因?yàn)?，所以?br>選②：的面積，
由，又，
所以，
即，
因?yàn)椋裕?br>選③：，
由正弦定理得：，
因?yàn)椋?br>所以，
整理得：，
因?yàn)椋?br>所以，
所以
即，
故，
因?yàn)?，所以?br>所以，解得：
（2）由余弦定理得：，
即，即
由基本不等式得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
即，解得：，
又因?yàn)椋?br>所以，，
故周長(zhǎng)的取值范圍是
題型歸類(lèi)練
1．（2022·山東·泰安市基礎(chǔ)教育教學(xué)研究室高一期末）如圖，在四邊形中，，，．
(1)求；
(2)若，，求的周長(zhǎng)．
【答案】(1)(2)24
（1）在中，，∴
∵，∴
又∵為鈍角，∴為銳角，∴
（2）在中，
∴
∴解得(負(fù)根舍去)
在中，，∴
∴又，
整理得，，∴
∴∴，
∴的周長(zhǎng)為24.
2．（2022·湖南懷化·高二開(kāi)學(xué)考試）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為.已知，.
(1)求；
(2)若，求的周長(zhǎng).
【答案】(1)
(2)
（1）由正弦定理得：，，又，.
（2）由正弦定理得：，解得：，
由余弦定理得：，；
的周長(zhǎng)為.
3．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在銳角中，角A，B，C，的對(duì)邊分別為a，b，c，從條件①：，條件②：，條件③：這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知條件．
(1)求角A的大??；
(2)若，求周長(zhǎng)的取值范圍．
【答案】(1)
(2)周長(zhǎng)的取值范圍為
（1）選條件①：因?yàn)?，所以，即，又因?yàn)闉殇J角三角形，所以，所以，所以.
選條件②：因?yàn)?，所?br>所以，又因?yàn)?，所以，所以，所以?
選條件③：由正弦定理可得
即，又因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所?
（2）
，，
則即，
即周長(zhǎng)的取值范圍為.
4．（2022·福建福建·高二期末）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，其面積為S，且．
(1)求角B的大小；
(2)若，求△ABC周長(zhǎng)的取值范圍．
【答案】(1)(2)
(1)由，又，
由，則.
由正弦定理得，
所以.
由余弦定理得，
因?yàn)椋?
(2)由余弦定理得，
∴，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．
又，（三角形任意兩邊之和大于第三邊）
∴，
∴周長(zhǎng)的取值范圍為．
5．（2022·江西·新余市第一中學(xué)高二開(kāi)學(xué)考試）已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．若_____________．（請(qǐng)從①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)填入上空）
(1)求角C；
(2)若時(shí)，求周長(zhǎng)的最大值．
【答案】(1)(2)18
（1）若選①，
因?yàn)椋?br>所以，，
因?yàn)?，所?
若選②，
因?yàn)?，所以?br>因?yàn)椋?，?
因?yàn)?，所以，?
若選③，
因?yàn)椋?br>所以，即，
所以，，所以.
（2）由①②③可得，
由余弦定理：，即，
所以，解得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).
所以周長(zhǎng)的最大值是.

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