TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc14195" 第一部分：基礎知識 PAGEREF _Tc14195 \h 1
\l "_Tc5988" 第二部分：高考真題回顧 PAGEREF _Tc5988 \h 2
\l "_Tc14641" 第三部分：高頻考點一遍過 PAGEREF _Tc14641 \h 3
\l "_Tc21210" 高頻考點一：基本不等式的內容及辨析 PAGEREF _Tc21210 \h 3
\l "_Tc31971" 高頻考點二：利用基本不等式比較大小 PAGEREF _Tc31971 \h 3
\l "_Tc32049" 高頻考點三：利用基本不等式求最值 PAGEREF _Tc32049 \h 4
\l "_Tc5819" 角度1：利用基本不等式求積最大值 PAGEREF _Tc5819 \h 4
\l "_Tc31156" 角度2：利用基本不等式求和最小值 PAGEREF _Tc31156 \h 5
\l "_Tc1331" 角度3：二次與二次（一次）的商式的最值 PAGEREF _Tc1331 \h 5
\l "_Tc15331" 角度4：“1”的妙用求最值 PAGEREF _Tc15331 \h 5
\l "_Tc26869" 角度5：條件等式求最值 PAGEREF _Tc26869 \h 6
\l "_Tc6219" 高頻考點四：基本不等式的恒成立問題 PAGEREF _Tc6219 \h 7
\l "_Tc10457" 高頻考點五：利用基本不等式解決實際問題 PAGEREF _Tc10457 \h 8
\l "_Tc5359" 第四部分：典型易錯題型 PAGEREF _Tc5359 \h 10
\l "_Tc19225" 備注：利用基本不等式解題容易忽視“一正”，“三相等” PAGEREF _Tc19225 \h 10
\l "_Tc32327" 第五部分：新定義題（解答題） PAGEREF _Tc32327 \h 10
第一部分：基礎知識
1、基本不等式（一正，二定，三相等，特別注意“一正”，“三相等”這兩類陷阱）
①如果，，，當且僅當時，等號成立．
②其中叫做正數，的幾何平均數；叫做正數，的算數平均數．
2、兩個重要的不等式
①（）當且僅當時，等號成立．
②（）當且僅當時，等號成立．
3、利用基本不等式求最值
①已知，是正數，如果積等于定值，那么當且僅當時，和有最小值；
②已知，是正數，如果和等于定值，那么當且僅當時，積有最大值；
4、常用技巧
利用基本不等式求最值的變形技巧——湊、拆（分子次數高于分母次數）、除（分子次數低于分母次數））、代（1的代入）、解（整體解）.
①湊：湊項，例：；
湊系數，例：；
②拆：例：；
③除：例：；
④1的代入：例：已知，求的最小值.
解析：.
⑤整體解：例：已知,是正數，且，求的最小值.
解析：，即，解得.
第二部分：高考真題回顧
1．（2022·全國·（甲卷文））已知，則（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全國·（甲卷文理））已知中，點D在邊BC上，．當取得最小值時， ．
3．（2022·全國·（新高考Ⅰ卷））記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
第三部分：高頻考點一遍過
高頻考點一：基本不等式的內容及辨析
典型例題
例題1．（2024上·陜西安康·高一校考期末）下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
例題2．（多選）（2024·全國·高三專題練習）任取多組正數，通過大量計算得出結論：，當且僅當時，等號成立．若，根據上述結論判斷的值可能是（ ）
A．B．C．5D．3
練透核心考點
1．（2024·全國·高一假期作業(yè)）下列不等式中等號可以取到的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（多選）（2024上·河南漯河·高一漯河高中校考階段練習）下列命題中正確的是（ ）
A．的最小值是2
B．當時，的最小值是3
C．當時，的最大值是5
D．若正數滿足，則的最小值為3
高頻考點二：利用基本不等式比較大小
典型例題
例題1．（2024·全國·高三專題練習）對于任意a，b∈R，下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．2
例題2．（2024下·福建·高一校聯考開學考試）杭州，作為2023年亞洲運動會的舉辦城市，以其先進的科技和創(chuàng)新能力再次吸引了全球的目光.其中首次采用“機器狗”在田徑賽場上運送鐵餅等，迅速成為了全場的焦點.已知購買臺“機器狗”的總成本為.
(1)若使每臺“機器狗”的平均成本最低，問應買多少臺?
(2)現安排標明“汪1”、“汪2”、“汪3”的3臺“機器狗”在同一場次運送鐵餅，且運送的距離都是120米. 3臺“機器狗”所用時間（單位:秒）分別為，，. “汪1”有一半的時間以速度（單位:米/秒） 奔跑，另一半的時間以速度奔跑；“汪2”全程以速度奔跑；“汪3”有一半的路程以速度奔跑，另一半的路程以速度奔跑，其中，，且 則哪臺機器狗用的時間最少? 請說明理由.
練透核心考點
1．（多選）（2024上·湖南常德·高三統(tǒng)考期末）已知，則下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（多選）（2024·全國·高三專題練習）十六世紀中葉，英國數學家哈利奧特用“”“”表示不等號，并逐漸被數學界所接受，不等號的引入對不等式發(fā)展影響深遠.若某同學從一樓到五樓原路往返的速度分別為和，記兩速度的算術平均值為，全程的平均速度為，則下列選項正確的是（ ）
A．B．C．D．
高頻考點三：利用基本不等式求最值
角度1：利用基本不等式求積最大值
典型例題
例題1．（2024上·安徽·高一校聯考期末）若正數滿足，則的最大值為（ ）
A．6B．9C．D．
例題2．（2024下·重慶·高三重慶巴蜀中學校考階段練習）已知，向量，則的最大值為 .
角度2：利用基本不等式求和最小值
典型例題
例題1．（2024上·安徽蕪湖·高一統(tǒng)考期末）若實數滿足，則的最小值為（ ）
A．1B．C．2D．
例題2．（2024上·廣西·高一校聯考期末）已知，則的最大值為（ ）
A．2B．4C．8D．
例題3．（2024上·湖北·高一校聯考期末）已知，則的最小值為
角度3：二次與二次（一次）的商式的最值
典型例題
例題1．（2024·全國·高三專題練習）函數 的最大值為 .
例題2．（2024·全國·高三專題練習）函數的最小值為 ．
例題3．（2024·全國·高三專題練習）函數在上的最大值為 ．
角度4：“1”的妙用求最值
典型例題
例題1．（2024上·安徽·高一校聯考期末）已知正數，滿足，則的最小值是（ ）
A．6B．16C．20D．18
例題2．（多選）（2024上·福建漳州·高一統(tǒng)考期末）已知，，且，則（ ）
A．的最大值為B．的最小值為
C．的最小值為2D．的最大值為8
角度5：條件等式求最值
典型例題
例題1．（2024下·重慶·高三重慶南開中學校考階段練習）對于正數，有，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
例題2．（多選）（2024上·安徽合肥·高一合肥一中?？计谀┮阎龜禎M足，則（ ）
A．B．
C．D．
練透核心考點
1．（2024上·福建龍巖·高一福建省武平縣第一中學校聯考期末）已知，且，則的最小值是（ ）
A．B．4C．D．5
2．（多選）（2024下·吉林通化·高三梅河口市第五中學校考開學考試）已知，若，則（ ）
A．B．
C．的最大值為D．的最小值為8
3．（多選）（2023上·安徽合肥·高一合肥市第六中學?？茧A段練習）已知，且，則（ ）
A．的最大值為B．的最大值是
C．的最小值是8D．的最小值是
4．（多選）（2023上·河南三門峽·高一?？茧A段練習）已知a，b為正實數，且，則（ ）
A．ab的最大值為4B．的最小值為
C．的最小值為D．的最小值為2
5．（2023上·重慶永川·高一重慶市永川中學校校考期末）已知，且，則的最小值是 .
6．（2023·全國·高三專題練習）當時，求函數的最小值.
高頻考點四：基本不等式的恒成立問題
典型例題
例題1．（2024上·山東濱州·高一統(tǒng)考期末）已知，，且，若恒成立，則實數的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
例題2．（2024上·重慶·高一校聯考期末）當，且滿足時，有恒成立，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
例題3．（2024上·江西萍鄉(xiāng)·高一統(tǒng)考期末）已知，函數，．
(1)若，求不等式的解集；
(2)求不等式的解集；
表中的數據，從以上三種函數模型中，選擇你認為最合適的一種函數模型，來表示該專賣店特價航模日銷售量（百個）與時間的關系，說明你的理由.
(2)借助你在（1）中選擇的模型，記該專賣店特價航模日銷售收入為（百元），其中，，預估該專賣店特價航模日銷售收入在一個月內的第幾天最低？
例題2．（2024上·江西上饒·高一統(tǒng)考期末）隨著我國經濟發(fā)展、醫(yī)療消費需求增長、人們健康觀念轉變以及人口老齡化進程加快等因素的影響，醫(yī)療器械市場近年來一直保持了持續(xù)增長的趨勢.上饒市醫(yī)療器械公司為了進一步增加市場競爭力，計劃改進技術生產某產品.已知生產該產品的年固定成本為400萬元，最大產能為100臺.每生產臺，需另投入成本萬元，且，由市場調研知，該產品每臺的售價為200萬元，且全年內生產的該產品當年能全部銷售完.
(1)寫出年利潤萬元關于年產量臺的函數解析式（利潤=銷售收入-成本）；
(2)當該產品的年產量為多少時，公司所獲利潤最大?最大利潤是多少?
練透核心考點
1．（2024上·安徽亳州·高一統(tǒng)考期末）拉魯濕地國家級自然保護區(qū)位于西藏自治區(qū)首府拉薩市西北角，是國內最大的城市濕地自然保護區(qū)，也是世界上海拔最高、面積最大的城市天然濕地．其中央有一座涼亭，涼亭的俯瞰圖的平面圖是如圖所示的正方形結構，其中EFIJ和GHKL為兩個相同的矩形，俯瞰圖白色部分面積為20平方米．現計劃對下圖平面正方形染色，在四個角區(qū)域（即圖中陰影部分）用特等顏料，造價為200元/平方米，中間部分即正方形MNPQ區(qū)域使用一等顏料，造價為150元/平方米，在四個相同的矩形區(qū)域即EFNM，GHPN，PQJI，MQKL用二等顏料，造價為100元/平方米．
(1)設總造價為W元，MN的邊長為x米，AB的邊長為y米，試建立W關于x的函數關系式；
(2)計劃至少要投入多少元，才能完成平面染色．
2．（2024上·云南昭通·高一昭通市第一中學校聯考期末）某工廠生產某種產品，年固定成本為200萬元，可變成本萬元與年產量（件）的關系為
每件產品的售價為90萬元，且工廠每年生產的產品都能全部售完.
(1)將年盈利額（萬元）表示為年產量（件）的函數；
(2)求年盈利額的最大值及相應的年產量.
第四部分：典型易錯題型
備注：利用基本不等式解題容易忽視“一正”，“三相等”
1．（2024·全國·高二專題練習）已知函數當時，y取最大值b，則的值為（ ）
A．8B．C．4D．0
2．（多選）（2024上·安徽安慶·高一安慶一中?？计谀┫铝惺阶又凶钚≈禐?的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（多選）（2024上·山東臨沂·高一山東省臨沂第一中學期末）下列命題中正確的是（ ）
A．若，則B．
C．若且，則D．
第五部分：新定義題（解答題）
1．（2024·全國·高一假期作業(yè)）問題：正實數a，b滿足，求的最小值.其中一種解法是：，當且僅當且時，即且時取等號.學習上述解法并解決下列問題：
(1)若正實數x，y滿足，求的最小值；
(2)若實數a，b，x，y滿足，求證：；
(3)求代數式的最小值，并求出使得M最小的m的值.
第03講 基本不等式
目錄
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc25909" 第一部分：基礎知識 PAGEREF _Tc25909 \h 1
\l "_Tc28128" 第二部分：高考真題回顧 PAGEREF _Tc28128 \h 2
\l "_Tc5088" 第三部分：高頻考點一遍過 PAGEREF _Tc5088 \h 5
\l "_Tc12365" 高頻考點一：基本不等式的內容及辨析 PAGEREF _Tc12365 \h 5
\l "_Tc1133" 高頻考點二：利用基本不等式比較大小 PAGEREF _Tc1133 \h 8
\l "_Tc19911" 高頻考點三：利用基本不等式求最值 PAGEREF _Tc19911 \h 11
\l "_Tc6846" 角度1：利用基本不等式求積最大值 PAGEREF _Tc6846 \h 11
\l "_Tc2614" 角度2：利用基本不等式求和最小值 PAGEREF _Tc2614 \h 12
\l "_Tc1122" 角度3：二次與二次（一次）的商式的最值 PAGEREF _Tc1122 \h 13
\l "_Tc6424" 角度4：“1”的妙用求最值 PAGEREF _Tc6424 \h 14
\l "_Tc31356" 角度5：條件等式求最值 PAGEREF _Tc31356 \h 15
\l "_Tc15404" 高頻考點四：基本不等式的恒成立問題 PAGEREF _Tc15404 \h 20
\l "_Tc14388" 高頻考點五：利用基本不等式解決實際問題 PAGEREF _Tc14388 \h 23
\l "_Tc26818" 第四部分：典型易錯題型 PAGEREF _Tc26818 \h 28
\l "_Tc29019" 備注：利用基本不等式解題容易忽視“一正”，“三相等” PAGEREF _Tc29019 \h 28
\l "_Tc12343" 第五部分：新定義題（解答題） PAGEREF _Tc12343 \h 30
第一部分：基礎知識
1、基本不等式（一正，二定，三相等，特別注意“一正”，“三相等”這兩類陷阱）
①如果，，，當且僅當時，等號成立．
②其中叫做正數，的幾何平均數；叫做正數，的算數平均數．
2、兩個重要的不等式
①（）當且僅當時，等號成立．
②（）當且僅當時，等號成立．
3、利用基本不等式求最值
①已知，是正數，如果積等于定值，那么當且僅當時，和有最小值；
②已知，是正數，如果和等于定值，那么當且僅當時，積有最大值；
4、常用技巧
利用基本不等式求最值的變形技巧——湊、拆（分子次數高于分母次數）、除（分子次數低于分母次數））、代（1的代入）、解（整體解）.
①湊：湊項，例：；
湊系數，例：；
②拆：例：；
③除：例：；
④1的代入：例：已知，求的最小值.
解析：.
⑤整體解：例：已知,是正數，且，求的最小值.
解析：，即，解得.
第二部分：高考真題回顧
1．（2022·全國·（甲卷文））已知，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】法一：根據指對互化以及對數函數的單調性即可知，再利用基本不等式，換底公式可得，，然后由指數函數的單調性即可解出．
【詳解】［方法一］：（指對數函數性質）
由可得，而，所以，即，所以.
又，所以，即，
所以.綜上，.
［方法二］：【最優(yōu)解】（構造函數）
由，可得．
根據的形式構造函數 ，則，
令，解得 ，由 知 .
在 上單調遞增，所以 ，即 ，
又因為 ，所以 .
故選：A.
【點評】法一：通過基本不等式和換底公式以及對數函數的單調性比較，方法直接常用，屬于通性通法；
法二：利用的形式構造函數，根據函數的單調性得出大小關系，簡單明了，是該題的最優(yōu)解．
2．（2022·全國·（甲卷文理））已知中，點D在邊BC上，．當取得最小值時， ．
【答案】/
【分析】設，利用余弦定理表示出后，結合基本不等式即可得解.
【詳解】[方法一]：余弦定理
設，
則在中，，
在中，，
所以
，
當且僅當即時，等號成立，
所以當取最小值時，.
故答案為：.
[方法二]：建系法
令 BD=t，以D為原點，OC為x軸，建立平面直角坐標系.
則C（2t,0），A（1，），B（-t,0）
[方法三]：余弦定理
設BD=x,CD=2x.由余弦定理得
，，
，，
令，則，
，
，
當且僅當，即時等號成立.
3．（2022·全國·（新高考Ⅰ卷））記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）根據二倍角公式以及兩角差的余弦公式可將化成，再結合，即可求出；
（2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式將化成，然后利用基本不等式即可解出．
【詳解】（1）因為，即，
而，所以；
（2）由（1）知，，所以，
而，
所以，即有，所以
所以
．
當且僅當時取等號，所以的最小值為．
第三部分：高頻考點一遍過
高頻考點一：基本不等式的內容及辨析
典型例題
例題1．（2024上·陜西安康·高一校考期末）下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據各項所給條件，結合均值不等式分析、判斷作答.
【詳解】對于A，當時，，A不正確；
對于B，當時，，且，若，則，B不正確；
對于C，，則，即C不正確；
對于D，當時，由均值不等式得成立，當且僅當時取等號，則D正確.
故選：D
例題2．（多選）（2024·全國·高三專題練習）任取多組正數，通過大量計算得出結論：，當且僅當時，等號成立．若，根據上述結論判斷的值可能是（ ）
A．B．C．5D．3
【答案】BD
【分析】利用已知結論求出的最大值進行判斷，為此需湊出三個正數的和為定值．
【詳】根據題意可得，
當且僅當，即時，等號成立．故的最大值為4．
從而AC不可能，BD可以?。?br>故選：BD．
練透核心考點
1．（2024·全國·高一假期作業(yè)）下列不等式中等號可以取到的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據基本不等式使用條件逐一檢驗取等條件即可得答案.
【詳解】解：對于A，因為，所以，當且僅當，即，故等號不成立，故A不符合；
對于B，因為，所以，當且僅當，即，故等號不成立，故B不符合；
對于C，因為，所以，當且僅當，即時取等號，故C符合；
對于D，因為，所以，當且僅當，即，故等號不成立，故D不符合.
故選：C.
2．（多選）（2024上·河南漯河·高一漯河高中?？茧A段練習）下列命題中正確的是（ ）
A．的最小值是2
B．當時，的最小值是3
C．當時，的最大值是5
D．若正數滿足，則的最小值為3
【答案】BCD
【分析】利用基本不等式對選項進行分析，從而確定正確答案.
【詳解】A選項，①，
但是無解，所以①等號不成立，所以A選項錯誤.
B選項，當時，，
，
當且僅當時等號成立，所以B選項正確.
C選項，當時，，
所以，
當且僅當時等號成立，所以C選項正確.
D選項，是正數，
，
當且僅當時等號成立，所以D選項正確.
故選：BCD
高頻考點二：利用基本不等式比較大小
典型例題
例題1．（2024·全國·高三專題練習）對于任意a，b∈R，下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．2
【答案】D
【分析】當時，可判斷A；當時，可判斷B；當時，可判斷C；利用均值不等式，可判斷D.
【詳解】選項A：當時，，，不成立，故A錯誤；
選項B：當時，，，不成立，故B錯誤；
選項C：當時，，不成立，故C錯誤；
選項D：由有意義，故，因此
由均值不等式，，當且僅當，即時等號成立
故D正確
故選：D
例題2．（2024下·福建·高一校聯考開學考試）杭州，作為2023年亞洲運動會的舉辦城市，以其先進的科技和創(chuàng)新能力再次吸引了全球的目光.其中首次采用“機器狗”在田徑賽場上運送鐵餅等，迅速成為了全場的焦點.已知購買臺“機器狗”的總成本為.
(1)若使每臺“機器狗”的平均成本最低，問應買多少臺?
(2)現安排標明“汪1”、“汪2”、“汪3”的3臺“機器狗”在同一場次運送鐵餅，且運送的距離都是120米. 3臺“機器狗”所用時間（單位:秒）分別為，，. “汪1”有一半的時間以速度（單位:米/秒） 奔跑，另一半的時間以速度奔跑；“汪2”全程以速度奔跑；“汪3”有一半的路程以速度奔跑，另一半的路程以速度奔跑，其中，，且 則哪臺機器狗用的時間最少? 請說明理由.
【答案】(1)
(2)“汪1”用的時間最少，理由見解析
【分析】（1）平均成本為，利用比較不等式，即可求解函數的最值；
（2）利用速度，時間和路程的關系，分別求解，，，再根據不等式，比較時間大小，即可求解.
【詳解】（1）由題意，購買臺“機器狗”的總成本為，
則每臺機器狗的平均成本為，
當且僅當時，即時，等號成立，
所以，若使每臺“機器狗”的平均成本最低，應買臺.
（2）由題意，“汪1”滿足，可得，
“汪2”滿足，可得，
“汪3”滿足，
，，
所以 ，
因為，，且，
所以可得，
則，
所以，所以 “汪1”用的時間最少.
練透核心考點
1．（多選）（2024上·湖南常德·高三統(tǒng)考期末）已知，則下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【分析】根據不等式的性質和基本不等式判斷AB，利用特值法判斷CD．
【詳解】∵，∴ 即，∴，A正確；
由基本不等式知：，當且僅當時等號成立
又，∴
∴即,當且僅當時等號成立；
已知 ,故，B正確;
令，，C錯誤；
令，，分母為零無意義，D錯誤．
故選：AB．
2．（多選）（2024·全國·高三專題練習）十六世紀中葉，英國數學家哈利奧特用“”“”表示不等號，并逐漸被數學界所接受，不等號的引入對不等式發(fā)展影響深遠.若某同學從一樓到五樓原路往返的速度分別為和，記兩速度的算術平均值為，全程的平均速度為，則下列選項正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】利用基本不等式以及不等式的性質求解.
【詳解】設一樓到五樓的距離為，
由題知，A錯誤；
因為，
且，所以，所以，所以，
又因為，（因為，所以取不到等號），所以，B正確；
對C，因為，所以，
又因為，
所以，即，C正確；
對D，因為，
所以，即，D正確；
故選:BCD.
高頻考點三：利用基本不等式求最值
角度1：利用基本不等式求積最大值
典型例題
例題1．（2024上·安徽·高一校聯考期末）若正數滿足，則的最大值為（ ）
A．6B．9C．D．
【答案】C
【分析】由基本不等式求解即可.
【詳解】解：因為，
所以，
當且僅當時取等號．
故選：C．
例題2．（2024下·重慶·高三重慶巴蜀中學校考階段練習）已知，向量，則的最大值為 .
【答案】/0.125
【分析】根據向量的數量積的坐標運算可得，結合題意利用基本不等式，即可求得答案.
【詳解】由題意知，故，
又，所以，
故，當且僅當，結合，即時取等號，
故的最大值為，
故答案為：
角度2：利用基本不等式求和最小值
典型例題
例題1．（2024上·安徽蕪湖·高一統(tǒng)考期末）若實數滿足，則的最小值為（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】D
【分析】通過求出，代入所求式消元，運用基本不等式求解即得.
【詳解】由可知，則，代入得：，
當時等號成立，即當時，取得最小值.
故選：D.
例題2．（2024上·廣西·高一校聯考期末）已知，則的最大值為（ ）
A．2B．4C．8D．
【答案】B
【分析】利用基本不等式可得關于的一元二次不等式，解不等式即可.
【詳解】，則有，
可得，即4，當且僅當時，等號成立.
所以的最大值為4.
故選：B
例題3．（2024上·湖北·高一校聯考期末）已知，則的最小值為
【答案】
【分析】利用基本不等式求得正確答案.
【詳解】由于，所以，
所以
，
當且僅當時等號成立，
所以的最小值為.
故答案為：
角度3：二次與二次（一次）的商式的最值
典型例題
例題1．（2024·全國·高三專題練習）函數 的最大值為 .
【答案】/
【分析】首先化簡可得，由則可以利用基本不等式求最值即可.
【詳解】因為，則，
所以
≤，
當且僅當，即時等號成立，
所以的最大值為.
故答案為：.
例題2．（2024·全國·高三專題練習）函數的最小值為 ．
【答案】
【分析】將函數化為，利用基本不等式求其最小值，注意取值條件即可.
【詳解】由，又，
所以，當且僅當，即時等號成立，
所以原函數的最小值為.
故答案為：
例題3．（2024·全國·高三專題練習）函數在上的最大值為 ．
【答案】
【分析】令，則，則，利用基本不等式計算可得.
【詳解】解：因為，，令，則，
則，
當且僅當，即時，等號成立．
故的最大值為．
故答案為：
角度4：“1”的妙用求最值
典型例題
例題1．（2024上·安徽·高一校聯考期末）已知正數，滿足，則的最小值是（ ）
A．6B．16C．20D．18
【答案】D
【分析】將所求的式子乘以“1”，然后利用基本不等式求解即可.
【詳解】因為正數，滿足，
則，
當且僅當，即時等號成立.
故選：D
例題2．（多選）（2024上·福建漳州·高一統(tǒng)考期末）已知，，且，則（ ）
A．的最大值為B．的最小值為
C．的最小值為2D．的最大值為8
【答案】BC
【分析】A選項，利用基本不等式直接進行求解；B選項，利用基本不等式“1”的妙用求出最值；C選項，兩邊平方后，利用基本不等式求出答案；D選項，變形得到，D錯誤.
【詳解】A選項，因為，由基本不等式得，
即，故A錯誤；
B選項，因為，
所以，
當且僅當，即時，等號成立，
故的最小值為，B正確；
C選項，兩邊平方得，
，其中，
當且僅當，即時，等號成立，
故，解得，
的最小值為2，C正確；
D選項，因為，，
所以，
故D錯誤.
故選：BC
角度5：條件等式求最值
典型例題
例題1．（2024下·重慶·高三重慶南開中學校考階段練習）對于正數，有，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據題意可得利用基本不等式可得，再結合二次函數不等式求解方法即可求解.
【詳解】由題可知：，
因為都是正數，所以（當且僅當時取等），
所以（當且僅當時取等），
化簡可得，解得，故C正確.
故選：C.
例題2．（多選）（2024上·安徽合肥·高一合肥一中?？计谀┮阎龜禎M足，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】利用不等式的性質可判定A項，結合基本不等式可判定B項，利用特殊值可判定C項，根據條件放縮得出，即可得出判定D項.
【詳解】對于A，，
所以選項正確；
對于B，由題，
當且僅當等號成立，故B選項正確；
對于C，可取特殊值滿足題意，則，故C選項錯誤；
對于D，，
即，則，故D正確.
故選：ABD
練透核心考點
1．（2024上·福建龍巖·高一福建省武平縣第一中學校聯考期末）已知，且，則的最小值是（ ）
A．B．4C．D．5
【答案】D
【分析】由已知可得，再根據基本不等式求解即可.
【詳解】由，得，
因為，所以，
則，
當且僅當，即時，等號成立，
所以的最小值是.
故選：D.
2．（多選）（2024下·吉林通化·高三梅河口市第五中學?？奸_學考試）已知，若，則（ ）
A．B．
C．的最大值為D．的最小值為8
【答案】ABD
【分析】對于AB：根據題意消去，結合的取值范圍分析求解；對于C：根據基本不等式運算求解；對于D：根據“1”的靈活應用結合基本不等式分析求解.
【詳解】因為，，則，可得，
對于選項AB：因為，
所以，，故AB正確；
對于選項C：因為，
當且僅當時，等號成立，
所以的最大值為，故C錯誤；
對于選項D：因為，
當且僅當，即時，等號成立，
所以的最小值為8，故D正確；
故選：ABD.
3．（多選）（2023上·安徽合肥·高一合肥市第六中學?？茧A段練習）已知，且，則（ ）
A．的最大值為B．的最大值是
C．的最小值是8D．的最小值是
【答案】AC
【分析】利用基本不等式判斷AC；利用基本不等式“1”的妙用判斷B，利用消元法與基本不等式判斷D.
【詳解】對于A，，所以，，
當且僅當時，等號成立，故A正確；
對于B，，
當且僅當，即時，等號成立，故B錯誤；
對于C，，，
當且僅當且，即時，等號成立，故C正確；
對于D，由，得，由，得，
，
當且僅當，即時，等號成立，
此時，矛盾，故等號取不到，故錯誤，
故選：AC.
【點睛】易錯點睛：在應用基本不等式求最值時，要把握不等式成立的三個條件，就是“一正——各項均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號能否取得”，若忽略了某個條件，就會出現錯誤．
4．（多選）（2023上·河南三門峽·高一?？茧A段練習）已知a，b為正實數，且，則（ ）
A．ab的最大值為4B．的最小值為
C．的最小值為D．的最小值為2
【答案】BD
【分析】根據基本不等式及“1”代換即可判斷各選項.
【詳解】對于A，，
因為（當且僅當時取“=”），
所以ab的最小值為4，A錯誤；
對于B，由，得（當且僅當時取“=”），B正確；
對于C，（當且僅當時，取“=”），C錯誤；
對于D，（當且僅當時，取“=”），D正確．
故選：BD．
5．（2023上·重慶永川·高一重慶市永川中學校?？计谀┮阎?，且，則的最小值是 .
【答案】2
【分析】將條件等式因式分解可得，然后將待求式子通分并結合基本不等式可求解出最小值.
【詳解】因為，所以，
因為，所以，所以，
所以，
當且僅當，即時取等號，
所以最小值為，
故答案為：.
6．（2023·全國·高三專題練習）當時，求函數的最小值.
【答案】
【分析】將函數變形成，再利用重要不等式即可求出結果.
【詳解】因為，所以，
，
當且僅當，即時，等號成立，
所以函數的最小值為.
高頻考點四：基本不等式的恒成立問題
典型例題
例題1．（2024上·山東濱州·高一統(tǒng)考期末）已知，，且，若恒成立，則實數的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】將問題轉化為，利用“1”的代換以及基本不等式求解，從而得到，求解不等式，即可得到答案．
【詳解】因為不等式恒成立，
則，
因為，，由可得，
所以，
當且僅當，即，時取等號，
故，
所以，即，解得，
則實數的取值范圍是．
故選：B．
例題2．（2024上·重慶·高一校聯考期末）當，且滿足時，有恒成立，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】把恒成立問題轉化成求最值問題，利用基本不等式求出的最小值，然后解二次不等式即可.
【詳解】因為即且，
所以，
當且僅當，即時等號成立，
因為不等式恒成立，所以，
即，解得，故的取值范圍為.
故選：A
例題3．（2024上·江西萍鄉(xiāng)·高一統(tǒng)考期末）已知，函數，．
(1)若，求不等式的解集；
(2)求不等式的解集；
(3)，不等式恒成立，求a的取值范圍．
【答案】(1)
(2)答案見解析
(3)
【分析】（1）運用換元法求解不等式即可.
（2）討論參數范圍，求解不等式即可.
（3）運用分離參數法結合基本不等式求解參數范圍即可.
【詳解】（1）令，，即，解得或，所以或，解得；
（2）依題意得，，即，
當時，；當時，x的解集為空集；當時，；
（3）依題意得，因為，所以，
又，，當且僅當時，取得等號，所以，即．
練透核心考點
1．（2024上·陜西漢中·高一南鄭中學校聯考期末）“”是“不等式對于任意正實數恒成立”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】當時，利用基本不等式可證得，而得不到，可通過舉例驗證，利用充分條件，必要條件的概念即可判斷．
【詳解】當時，對于任意正實數，
．當且僅當時等號成立，
所以：是對于任意正實數恒成立的充分條件；
同理：若時，
，當且僅當時等號成立，
也成立，
故不是對于任意正實數恒成立的必要條件．
綜上：是對于任意正實數恒成立的充分不必要條件．
故選：A．
2．（2024上·青海西寧·高三統(tǒng)考期末）對滿足的任意正實數、，不等式恒成立，則實數的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由，可算出，再將最小值代入，即可求解
【詳解】不等式恒成立
，，且
當且僅當，即時取等號
，即
解得
故實數的取值范圍是
故選：C
3．（2024上·上海青浦·高一統(tǒng)考期末）若對任意的，不等式恒成立，則實數的取值范圍是 .
【答案】
【分析】由題意可得對任意的恒成立，故只需，結合基本不等式求解即可，注意取等條件.
【詳解】由題意對任意的恒成立，
即對任意的恒成立，故只需，
而由基本不等式可得，等號成立當且僅當，
所以，即實數的取值范圍是.
故答案為：.
高頻考點五：利用基本不等式解決實際問題
典型例題
例題1．（2024上·福建漳州·高一統(tǒng)考期末）北京時間2023年10月26日11時14分，搭載神舟十七號載人飛船的長征二號遙十七運載火箭在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心精準發(fā)射，約10分鐘后，神州十七號載人飛船與火箭成功分離，進入預定軌道，航天員乘組狀態(tài)良好，發(fā)射取得圓滿成功，這是我國載人航天工程立項實施以來的第30次發(fā)射任務，也是空間站階段的第2次載人飛行任務.航天工程對人們的生活產生方方面面的影響，有關部門對某航模專賣店的航模銷售情況進行調查發(fā)現：該專賣店每天銷售一款特價航模，在過去的一個月內（以30天計）的特價航模日銷售價格（元/個）與時間（一個月內的第天，下同）的函數關系近似表示為（常數）.該專賣店特價航模日銷售量（百個）與時間部分數據如下表所示：
已知一個月內第7天該專賣店特價航模日銷售收入為350百元.
(1)給出以下三種函數模型：①，②，③.請你依據上表中的數據，從以上三種函數模型中，選擇你認為最合適的一種函數模型，來表示該專賣店特價航模日銷售量（百個）與時間的關系，說明你的理由.
(2)借助你在（1）中選擇的模型，記該專賣店特價航模日銷售收入為（百元），其中，，預估該專賣店特價航模日銷售收入在一個月內的第幾天最低？
【答案】(1)選擇模型③，理由見解析
(2)第13天最低.
【分析】（1）根據變化速度排除模型①，根據不對稱性排除模型②，代入數據計算，滿足條件，得到答案.
（2）確定，，利用均值不等式計算最值得到答案.
【詳解】（1）選擇模型③，理由如下：
表格中對應的數據勻速遞增時，對應的數據并未勻速變化，模型①不滿足題意；
因為表格中數據滿足，而模型②滿足，模型②不滿足題意；
對于模型③，將，代入模型③，有，解得，
此時，
經驗證，，均滿足，所以模型③滿足題意.
故選擇模型③.
（2），故，所以，
，
當且僅當，即時，等號成立，
所以預估該專賣店特價航模日銷售收入在一個月內的第13天最低.
例題2．（2024上·江西上饒·高一統(tǒng)考期末）隨著我國經濟發(fā)展、醫(yī)療消費需求增長、人們健康觀念轉變以及人口老齡化進程加快等因素的影響，醫(yī)療器械市場近年來一直保持了持續(xù)增長的趨勢.上饒市醫(yī)療器械公司為了進一步增加市場競爭力，計劃改進技術生產某產品.已知生產該產品的年固定成本為400萬元，最大產能為100臺.每生產臺，需另投入成本萬元，且，由市場調研知，該產品每臺的售價為200萬元，且全年內生產的該產品當年能全部銷售完.
(1)寫出年利潤萬元關于年產量臺的函數解析式（利潤=銷售收入-成本）；
(2)當該產品的年產量為多少時，公司所獲利潤最大?最大利潤是多少?
【答案】(1)
(2)該產品的年產量為35（臺）時所獲利潤最大，最大利潤為2050（萬元）
【分析】（1）由已知條件，根據銷售收入和成本計算利潤；
（2）由利潤的函數解析式，結合函數性質和基本不等式，求最大值.
【詳解】（1）由題意可得，
所以.
（2）當時，，
當時，取最大值，（萬元）；
當時，，
當且僅當，即時，等號成立，即（萬元），因為，
故當該產品的年產量為35（臺）時所獲利潤最大，最大利潤為2050（萬元）.
練透核心考點
1．（2024上·安徽亳州·高一統(tǒng)考期末）拉魯濕地國家級自然保護區(qū)位于西藏自治區(qū)首府拉薩市西北角，是國內最大的城市濕地自然保護區(qū)，也是世界上海拔最高、面積最大的城市天然濕地．其中央有一座涼亭，涼亭的俯瞰圖的平面圖是如圖所示的正方形結構，其中EFIJ和GHKL為兩個相同的矩形，俯瞰圖白色部分面積為20平方米．現計劃對下圖平面正方形染色，在四個角區(qū)域（即圖中陰影部分）用特等顏料，造價為200元/平方米，中間部分即正方形MNPQ區(qū)域使用一等顏料，造價為150元/平方米，在四個相同的矩形區(qū)域即EFNM，GHPN，PQJI，MQKL用二等顏料，造價為100元/平方米．
(1)設總造價為W元，MN的邊長為x米，AB的邊長為y米，試建立W關于x的函數關系式；
(2)計劃至少要投入多少元，才能完成平面染色．
【答案】(1)
(2)元
【分析】（1）根據已知條件及矩形正方形的面積公式即可建立函數關系式；
（2）利用基本不等式求最小值，確定取值條件即可.
【詳解】（1）由題意得，陰影部分的面積為，
，化簡得，
顯然，所以．
則
，
故W關于x的函數關系式．
（2），
當且僅當時，即時，W有最小值，
所以當米時，元，
故計劃至少要投入元，才能完成平面染色．
2．（2024上·云南昭通·高一昭通市第一中學校聯考期末）某工廠生產某種產品，年固定成本為200萬元，可變成本萬元與年產量（件）的關系為
每件產品的售價為90萬元，且工廠每年生產的產品都能全部售完.
(1)將年盈利額（萬元）表示為年產量（件）的函數；
(2)求年盈利額的最大值及相應的年產量.
【答案】(1)
(2)當年產量為109件時該廠盈利額最大，最大為800萬元
【分析】（1）分得兩種情況進行研究，列出函數關系式，最后寫成分段函數的形式，從而得到答案；
（2）根據年盈利額的解析式，分段研究函數的最值，當時，利用二次函數求最值；當時，利用基本不等式求最值，最后比較兩個最值，即可得到答案．
【詳解】（1）∵當時，；
又當時，，
∴
（2）①當時，，
∴當時，L取得最大值，最大值為600；
②當時，
.
當且僅當，即當時，L取得最大值，最大值為800.
綜上，當年產量為109件時該廠盈利額最大，最大為800萬元.
第四部分：典型易錯題型
備注：利用基本不等式解題容易忽視“一正”，“三相等”
1．（2024·全國·高二專題練習）已知函數當時，y取最大值b，則的值為（ ）
A．8B．C．4D．0
【答案】B
【分析】根據基本不等式即可求解.
3．（多選）（2024上·山東臨沂·高一山東省臨沂第一中學期末）下列命題中正確的是（ ）
A．若，則B．
C．若且，則D．
【答案】ACD
【分析】由已知條件，利用基本不等式驗證各選項的結論是否正確.
【詳解】時有，則，
當且僅當，即時等號成立，A選項正確；
，
等號成立的條件是，即，顯然不能成立，
故的等號取不到，B選項錯誤；
若且，則，
當且僅當，即或時等號成立，C選項正確；
，
當且僅當，即時等號成立，D選項正確；
故選：ACD
第五部分：新定義題（解答題）
1．（2024·全國·高一假期作業(yè)）問題：正實數a，b滿足，求的最小值.其中一種解法是：，當且僅當且時，即且時取等號.學習上述解法并解決下列問題：
(1)若正實數x，y滿足，求的最小值；
(2)若實數a，b，x，y滿足，求證：；
(3)求代數式的最小值，并求出使得M最小的m的值.
【答案】(1)
(2)證明見解析
(3)時，取得最小值．
【分析】（1）利用“1”的代換湊配出積為定值，從而求得和的最小值；
（2）利用已知，，然后由基本不等式進行放縮：，再利用不等式的性質得出大小．并得出等號成立的條件．
（3）令，，構造，即以，即，然后利用（2）的結論可得．
【詳解】（1）因為,，
所以，
當且僅當，即時取等號，
所以的最小值是．
（2），
又，當且僅當時等號成立，
所以，
所以，當且僅當且同號時等號成立．此時滿足.
（3）令，，由得，
，
又，所以，
構造，
由，可得，因此，
由（2）知，
取等號時，且同正，
結合，解得，即，．
所以時，取得最小值．
【點睛】本題考查用基本不等式求最小值，考查方法的類比：“1”的代換．解題關鍵是“1”的代換，即利用，從而借助基本不等式得出大小關系，同時考查新知識（新結論）的應用，考查了學生的靈活運用數學知識的能力．對學生的創(chuàng)新性思維要求較高，本題屬于難題．
（天）
2
7
14
23
（百個）
4
5
6
7

相關試卷

2025高考數學一輪復習講義(新高考通用版)第02講常用邏輯用語(知識+真題+6類高頻考點)(精講)(學生版+解析)：

這是一份2025高考數學一輪復習講義(新高考通用版)第02講常用邏輯用語(知識+真題+6類高頻考點)(精講)(學生版+解析)，共30頁。試卷主要包含了充分條件，全稱量詞與存在量詞等內容，歡迎下載使用。

2025高考數學一輪復習講義(新高考通用版)第02講導數與函數的單調性(知識+真題+10類高頻考點)(精講)(學生版+解析)：

這是一份2025高考數學一輪復習講義(新高考通用版)第02講導數與函數的單調性(知識+真題+10類高頻考點)(精講)(學生版+解析)，共46頁。試卷主要包含了函數的單調性與導數的關系，求已知函數的單調區(qū)間，含參問題討論單調性等內容，歡迎下載使用。

2025高考數學一輪復習講義(新高考通用版)第01講集合(知識+真題+8類高頻考點)(精講)(學生版+解析)：

這是一份2025高考數學一輪復習講義(新高考通用版)第01講集合(知識+真題+8類高頻考點)(精講)(學生版+解析)，共42頁。試卷主要包含了元素與集合，集合間的基本關系，集合的基本運算，集合的運算性質，高頻考點結論等內容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關試卷 更多

2025高考數學一輪復習講義(新高考通用版)第01講數列的概念與簡單表示法(知識+真題+10類高頻考點)(精講)(學生版+解析)

2025高考數學一輪復習講義(新高考通用版)第01講數列的概念與簡單表示法(知識+真題+10類高頻考點)(精講)(學生版+解析)
2025高考數學一輪復習講義(新高考通用版)第01講平面向量的概念及其線性運算(知識+真題+7類高頻考點)(精講)(學生版+解析)

2025高考數學一輪復習講義(新高考通用版)第01講平面向量的概念及其線性運算(知識+真題+7類高頻考點)(精講)(學生版+解析)
2025高考數學一輪復習講義(新高考通用版)第01講導數的概念及運算(知識+真題+9類高頻考點)(精講)(學生版+解析)

2025高考數學一輪復習講義(新高考通用版)第01講導數的概念及運算(知識+真題+9類高頻考點)(精講)(學生版+解析)
2024-2025學年高考數學一輪復習講義(新高考)第03講基本不等式(知識+真題+5類高頻考點)(精講)(學生版+解析)

2024-2025學年高考數學一輪復習講義(新高考)第03講基本不等式(知識+真題+5類高頻考點)(精講)(學生版+解析)
資料下載及使用幫助
版權申訴
版權申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內容侵犯了您的知識產權，請掃碼添加我們的相關工作人員，我們盡可能的保護您的合法權益。
入駐教習網，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習網
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經成功發(fā)送，5分鐘內有效

設置密碼

6-20個字符，數字、字母或符號

注冊即視為同意教習網「注冊協議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部