2024.11
本試卷共4頁(yè)，19題.全卷滿分150分.考試用時(shí)120分鐘
注意事項(xiàng)：
1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置上，并將條形碼粘貼在答題卡指定位置上.
2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.
3.考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡上交.
一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題.每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的
1. 已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，，，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算逐一求解，即可求解.
【詳解】由題意可得，，，，
故，
，
，
，
因此，
故選：A
2. 如圖，正方形的邊長(zhǎng)為，取正方形各邊的中點(diǎn)，，，，作第個(gè)正方形，然后再取正方形各邊的中點(diǎn)，，，，作第個(gè)正方形，依此方法一直繼續(xù)下去.則從正方形開(kāi)始，連續(xù)個(gè)正方形面積之和為，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)條件，分別求得前個(gè)正方形的面積，再結(jié)合條件，即可求解.
【詳解】由題意得，第一個(gè)正方形邊長(zhǎng)為，面積為，
第二個(gè)正方形邊長(zhǎng)為，面積為，
第三個(gè)正方形邊長(zhǎng)，面積為，
第四個(gè)正方形邊長(zhǎng)為，面積為，
第五個(gè)正方形邊長(zhǎng)為，面積為，
由題有
，得到，解得，
故選：D.
3. 已知平面向量滿足，若，則與的夾角為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)向量垂直及數(shù)量積運(yùn)算律、定義可得，即可求夾角.
【詳解】由題設(shè)，而，
所以，，
所以.
故選：B
4. 設(shè)集合，則是的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】解不等式得A，根據(jù)集合的基本關(guān)系確定a的范圍結(jié)合充分、必要條件的定義判定即可.
【詳解】由集合，
又，所以，
所以是的必要不充分條件.
故選：B.
5. 若正數(shù)滿足，則的最小值是（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意可得，利用基本不等式求解.
【詳解】由可得，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)符合題意.
所以的最小值為.
故選：A
6. 如圖，已知函數(shù)，點(diǎn)，是直線與函數(shù)y=fx的圖象的兩個(gè)交點(diǎn)，若，則fπ3=（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)條件，利用的圖象與性質(zhì)，可求得，結(jié)合圖象，利用，可求得，即可求解.
【詳解】設(shè)，由，得到，
當(dāng)，由，得到，
所以，得到，
又，結(jié)合圖象有，
得到，所以，
當(dāng)時(shí)，，由，
得到，
所以，得到，
又，結(jié)合圖象有，
得到，所以，
綜上，，所以，
故選：C.
7. 2024年1月1日，第五次全國(guó)經(jīng)濟(jì)普查正式啟動(dòng).甲、乙、丙、丁、戊5名普查員分別去城東、城南、城西、城北四個(gè)小區(qū)進(jìn)行數(shù)據(jù)采集，每個(gè)小區(qū)至少去一名普查員，若甲不去城東，則不同的安排方法共有（ ）
A. 36種B. 60種C. 96種D. 180種
【答案】D
【解析】
【分析】按城東去1人和2人分類，再結(jié)合分組分配列式計(jì)算即得.
【詳解】城東去1人，不同安排方法為（種）；
城東去2人，不同安排方法是（種），
所以不同的安排方法共有（種）.
故選：D
8. 定義在上的函數(shù)滿足：，，，當(dāng)時(shí)，，則（ ）
A. 2B. 1C. D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)和，再由當(dāng)時(shí)，，可得時(shí)，，再利用條件將逐步轉(zhuǎn)化到內(nèi)，代入求解即可．
【詳解】由可得中令可得，
又因?yàn)闀r(shí)，，又，
所以時(shí)，，
由可得，
因?yàn)椋裕?br>所以,
故選：A
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)和，再由當(dāng)時(shí)，，可得時(shí)，.
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知二項(xiàng)式，則其展開(kāi)式中（ ）
A. 的系數(shù)為15B. 各項(xiàng)系數(shù)之和為1
C. 二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)是第3項(xiàng)D. 系數(shù)最大項(xiàng)是第3項(xiàng)或第5項(xiàng)
【答案】AD
【解析】
【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式計(jì)算后可判斷ACD的正誤，利用賦值法可求各項(xiàng)系數(shù)之和，故可判斷B的正誤.
【詳解】的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，
對(duì)于A，取，則，故的系數(shù)為，故A正確；
對(duì)于B，因?yàn)椋?br>令，則各項(xiàng)系數(shù)之和為，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于CD，由展開(kāi)式的通項(xiàng)可得展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)依次為：，
故二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)是第3項(xiàng)或第5項(xiàng)，故C錯(cuò)誤，D正確；
故選：AD.
10. 數(shù)列滿足，，則（ ）
A. 數(shù)列為等差數(shù)列B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】選項(xiàng)A，根據(jù)條件，利用等差數(shù)列的定義，即可判斷選項(xiàng)的正誤；選項(xiàng)B，根據(jù)條件，利用累加法，即可判斷選項(xiàng)的正誤；選項(xiàng)C，由選項(xiàng)B可得，再利用裂項(xiàng)相消法，即可判斷選項(xiàng)的正誤；選項(xiàng)D，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，得到在上恒成立，從而有，再利用數(shù)學(xué)歸納法，即可判斷選項(xiàng)的正誤.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)?，則不為常數(shù)，由等差數(shù)列的定義可知，數(shù)列不為等差數(shù)列，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，
對(duì)于選項(xiàng)B，由，得到，
當(dāng)時(shí)，，
又當(dāng)時(shí)，，滿足，所以，故選項(xiàng)B正確，
對(duì)于選項(xiàng)C，由選項(xiàng)B知，得到，
所以，故選項(xiàng)C正確，
對(duì)于選項(xiàng)D，由選項(xiàng)B知，，即，整理得到，
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明成立，
當(dāng)，不等式左邊等于，不等式右邊等于，所以時(shí)，等式成立，
假設(shè)時(shí)，成立，
則時(shí)，因?yàn)椋?br>令，則在區(qū)間上恒立，
即在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以，得到在上恒成立，
所以，
即時(shí)，也成立，
綜上，對(duì)任意的成立，故選項(xiàng)D正確，
故選：BCD.
【點(diǎn)睛】本題的關(guān)鍵在于選項(xiàng)D，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系得在上恒成立，從而有，再利用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明即可.
11. 在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，，，已知點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)在上，點(diǎn)為中點(diǎn)，，則（ ）
A. 若，則的面積為2
B. 若在方向上的投影向量為，則的最小值為
C. 若點(diǎn)為中點(diǎn)，則
D. 若，則
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律可判斷為等腰三角形，故可判斷AD的正誤，結(jié)合投影向量的性質(zhì)可判斷為直角三角形，故可判斷B的正誤，根據(jù)向量的線性運(yùn)算可判斷C的正誤.
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋剩?br>所以即即，
故的面積為，
故A正確；
對(duì)于B，若在方向上的投影向量為，則，
當(dāng)時(shí)取最小值，此時(shí)，故為的中點(diǎn)，故此時(shí)，
故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，因?yàn)?，故?br>則即，故C正確；
對(duì)于D，設(shè)，因?yàn)榫鶠閱挝幌蛄浚?br>故在的角平分線上，而，
故的角平分線與垂直，故，
取的中點(diǎn)為，連接，則，且，
故，
故D正確.
故選： ACD.
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知函數(shù)為上增函數(shù)，寫(xiě)出一個(gè)滿足要求的的解析式______
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】利用分段函數(shù)、一次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合條件，即可求解.
【詳解】的解析式為（答案不唯一），理由如下，
因?yàn)闀r(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，
所以時(shí)，函數(shù)為上的增函數(shù)，
故答案為：（答案不唯一）
13. 記為正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)積，，則______.
【答案】2025
【解析】
【分析】由數(shù)列的前項(xiàng)積，利用賦值法令可求得，將表達(dá)式化簡(jiǎn)可得數(shù)列是等差數(shù)列，求出通項(xiàng)即可.
【詳解】數(shù)列的各項(xiàng)均為正，當(dāng)時(shí)，，解得，
由，得當(dāng)時(shí)，，
即，因此，
數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差為等差數(shù)列，，
所以.
故答案為：2025
14. 某警察學(xué)院體育比賽包括“射擊”、“游泳”、“折返跑”、“百米接力”、“傷員搬運(yùn)”、“400米障礙”六個(gè)項(xiàng)目，規(guī)定：每個(gè)項(xiàng)目前三名得分依次為，，，其中，選手的最終得分為各場(chǎng)得分之和.最終甲、乙、丙三人包攬了每個(gè)項(xiàng)目的前三名，在六個(gè)項(xiàng)目中，已知甲最終得分為26分，乙最終得分為12分，丙最終得分為10分，且丙在“射擊”這個(gè)項(xiàng)目中獲得了第一名，那么______，“游泳”這個(gè)項(xiàng)目的第二名是______.
【答案】 ①. ②. 乙
【解析】
【分析】根據(jù)得分總和可得，結(jié)合反證法可得，再就甲在除射擊外的5個(gè)項(xiàng)目中的得分分類討論后可得游泳中的第二名.
【詳解】因?yàn)榧滓冶鼣埩嗣總€(gè)項(xiàng)目的前三名，故它們的得分總和為，故，
若，則，此時(shí)，與矛盾；
故，故，故或，
若，則丙在除射擊外的5個(gè)項(xiàng)目共拿6分，
但其余5個(gè)項(xiàng)目丙拿5分或7分以上，矛盾；
故，所以丙在除射擊外的5個(gè)項(xiàng)目中每個(gè)項(xiàng)目均拿1分，共計(jì)5分；
甲共計(jì)分，則甲在除射擊外的5個(gè)項(xiàng)目中拿分或分，
若甲在除“射擊”外的5個(gè)項(xiàng)目中拿分，則甲在射擊項(xiàng)目中拿1分，
其余5個(gè)項(xiàng)目中每個(gè)項(xiàng)目都拿5分，
此時(shí)乙在6個(gè)項(xiàng)目中的分?jǐn)?shù)為，符合題意；
若甲在除“射擊”外的5個(gè)項(xiàng)目中拿分，故甲在射擊中拿2分，乙拿1分，
則其余5個(gè)項(xiàng)目中，甲在4個(gè)項(xiàng)目中每個(gè)項(xiàng)目拿5分，1個(gè)項(xiàng)目中拿2分，
此時(shí)甲的總分達(dá)不到分，
故，游泳的第二名為乙，
故答案為：，乙.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：對(duì)于邏輯推理題，我們需從題設(shè)條件中挖掘一些等量關(guān)系，而且要結(jié)合數(shù)據(jù)的特征作出合理的分類.
四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
15. 已知函數(shù).
（1）求的最大值及相應(yīng)的取值集合；
（2）設(shè)函數(shù)，若在區(qū)間上單調(diào)遞增，求的取值范圍.
【答案】（1），的取值集合為
（2）
【解析】
【分析】（1）利用二倍角公式、輔助角公式化簡(jiǎn)，再利用正弦函數(shù)性質(zhì)求解即得.
（2）求出函數(shù)解析式，確定相位的范圍，再結(jié)正弦函數(shù)的單調(diào)性列式求解即得.
【小問(wèn)1詳解】
依題意，，
當(dāng)，即時(shí)，，
此時(shí)，的取值集合為．
【小問(wèn)2詳解】
由（1）知，，
當(dāng)時(shí)，，由在區(qū)間上單調(diào)遞增，
可得：，解得：，
所以的取值范圍是
16. 記數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，，且是和的等比中項(xiàng).
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）數(shù)列滿足： ，，，
（ⅰ）求證：為等比數(shù)列；
（ⅱ）求取最大值時(shí)的值.
【答案】（1）
（2）（?。┳C明見(jiàn)解析；（ⅱ）
【解析】
【分析】（1）利用基本量法求得公差為4，從而可求的通項(xiàng)公式.
（2）根據(jù)（1）求出，判斷其符號(hào)后可得取最大值時(shí)的值.
【小問(wèn)1詳解】
設(shè)的公差為，則，
所以即，而，故，
故.
【小問(wèn)2詳解】
（ⅰ），,
而，故，
而，，所以
所以為等比數(shù)列且公比為2，首項(xiàng)為.
（ⅱ）由（?。┛傻?，所以，
故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故，
故取最大值時(shí).
17. 在中，記角，，所對(duì)的邊分別為，，，.
（1）求；
（2）若，為中點(diǎn)，，分別在線段，上，且，，求面積的最小值及此時(shí)對(duì)應(yīng)的的值.
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）根據(jù)條件，利用正弦定理邊轉(zhuǎn)角，再利用三角形的性質(zhì)和正弦的和角公式，得到，結(jié)合輔助角公式求解；
（2）由正弦定理可得出，DE，再利用三角形的面積公式和兩角和與差的正弦公式化簡(jiǎn)即可求得結(jié)果.
【小問(wèn)1詳解】
由，得到，
又，所以，
又，得到，即，
又，所以，得到.
【小問(wèn)2詳解】
由（1）知，如圖，因?yàn)?，所以?br>在中，因?yàn)?，所以?br>在中，因?yàn)?，所以?br>所以，
設(shè)，，
所以
化簡(jiǎn)可得：
所以
當(dāng)時(shí)，取得最小值．
18. 已知函數(shù).
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）求證：當(dāng)時(shí)，函數(shù)只有兩個(gè)零點(diǎn)；
（3）若對(duì)任意的實(shí)數(shù)，，曲線與直線總相切，則稱函數(shù)為“函數(shù)”.當(dāng)時(shí)，若函數(shù)是“函數(shù)”，求.
【答案】（1）答案見(jiàn)解析
（2）證明見(jiàn)解析 （3）
【解析】
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，分類討論求的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）根據(jù)條件，將的零點(diǎn)問(wèn)題化成的零點(diǎn)問(wèn)題，再結(jié)合條件，利用函數(shù)的單調(diào)性即可證明結(jié)果；
（3）利用“函數(shù)”的定義，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義得，然后結(jié)合是方程的根，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系得到，即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
易知函數(shù)定義域?yàn)椋驗(yàn)?，則，
當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，由，得到，即，得到，
又易知為增函數(shù)，
所以當(dāng)時(shí)，f'x>0，即在區(qū)間單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，f'x-1)，
因?yàn)?，則hx在上單調(diào)遞增，
又，時(shí)，，則，使得，
當(dāng)時(shí)，hx0，
即在上遞減，在上遞增，
又，所以，又由于時(shí)，，
故在內(nèi)存在唯一零點(diǎn)，
又時(shí)，，故在內(nèi)存在唯一零點(diǎn)，
所以當(dāng)時(shí)，只有兩個(gè)零點(diǎn)，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)只有兩個(gè)零點(diǎn).
【小問(wèn)3詳解】
當(dāng)時(shí)，函數(shù)是“函數(shù)”，且，
設(shè)函數(shù)與直線切點(diǎn)，
又，則，故，
由，得到，又，
所以，
因?yàn)?，所以是方程的根?br>設(shè)，，易知，且是增函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，h'x>0，hx單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，h'x

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